Лекция 3  (С3).

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ.  ПАРЫ СИЛ

3.1. Момент силы относительно центра и оси

3.2. Пара сил

3.3. Теоремы о парах

 

Описание: Описание: j0301252

Основные понятия  этой  лекции

Основные соотношения этой лекции

Описание: Описание: j0299125

Проверка освоения материала этой лекции

 

 

 

3.1. Момент силы относительно центра и оси

 

 

 

 

 

Моментом силы относительно центра (обозначается )  называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки  в точку приложения силы, на вектор силы   (рис. 3.1)

.

 

Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от  действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.  Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

 ,  где    плечо силы (кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы).

Если линия действия силы проходит через центр момента, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

 

 

 

 

 

Если силы расположены в одной плоскости (плоская система сил), то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом силы относительно  центра  называется  взятое  со  знаком плюс  или  минус произведение модуля силы на плечо. Знак плюс берется в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра против хода часовой стрелки (рис. 3.2). 

 

 

 

 

 

 

 

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси (обозначается )  (рис. 3.3). Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно произвольной точки оси на эту ось: .

 

Рассмотрим основные способы вычисления момента силы относительно оси.

1. Аналитический

По правилу вычисления векторного произведения:

Откуда

,

 ,

.

2. Геометрический

 

 

 

 

Для вычисления момента силы относительно оси необходимо провести плоскость  (рис. 3.4), перпендикулярную данной оси , спроецировать силу на эту плоскость и вычислить момент проекции  относительно точки  − точки пересечения оси  с плоскостью . Эквивалентность этих двух способов вытекает из равенств

 .

Момент положителен, если, глядя с положительного направления оси, вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

 

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или линия действия силы пересекает ось.

 

 

 

При вычислении моментов силы относительно координатных осей ее бывает удобно предварительно разложить на составляющие, параллельные координатным осям, и находить момент каждой составляющей отдельно.

 

 

В начало лекции

 

3.2. Пара сил

 

 

 

 

 

Система двух равных по модулю параллельных сил , направленных   в   противоположные   стороны    называется    парой сил (рис. 3.5). Расстояние  между линиями действия сил − плечо пары.

Для характеристики действия пары сил на твердое тело вводится понятие момента пары.

 

 

 

 

 

Вектор момента пары сил равен векторному моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы (рис. 3.6):

,            .

Он направлен перпендикулярно плоскости  действия пары в ту сторону, откуда видно, что  вращение происходит против хода часовой стрелки.   Момент пары − это свободный вектор, и он полностью определяет действие пары на твердое тело.

 

Для пар, расположенных в одной плоскости, используется понятие алгебраического момента пары.

Алгебраический момент пары сил равен алгебраическому моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы или, то же самое, равен взятому со знаком плюс или минус произведению модуля одной из сил пары на плечо. Момент пары положителен, если пара стремится повернуть  плоскость против хода часовой стрелки.

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Суммарное вращательное действие сил, составляющих пару, определяется следующей теоремой: 

Теорема. Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна моменту пары.

Доказательство. Выберем произвольную точку  (рис. 3.7) . Сумма моментов сил пары относительно точки :

,

так как , то   .

Следствие:  Момент пары  не зависит от  выбора  центра. 

 

Начало документа

 

 

3.3. Теоремы о парах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Теорема 1. Пару сил, приложенную к твердому телу, можно перемещать в плоскости действия, сохраняя при этом ее момент.

 Доказательство. Выберем в плоскости действия пары сил  произвольный отрезок  и восстановим перпендикуляры в его концах до пересечения с линиями действия сил  и  (рис. 3.8). Перенесем силы  и  по линиям их действия в точки  и  и разложим на составляющие  и . Система сил , а силы  и  образуют пару сил и могут быть перенесены по линиям их действия в точки  и .  В результате эквивалентных преобразований пара сил  заменена парой сил , момент которой равен моменту заданной пары. Действительно, рассматривая площадь параллелограмма   ,  из подобия соответствующих треугольников          .                               

 

Теорема 2. Пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия.

Скругленная прямоугольная выноска: Стр
000
Доказательство.  Плечо   пары сил , лежащей в плоскости , переместим параллельно в положение  на плоскости  (рис. 3.9)  и приложим систему сил   ,,   .

Силы  имеют равнодействующую , которая приложена в точке пересечения диагоналей параллелограмма . Силы  также имеют равнодействующую , которая направлена в противоположную сторону. То есть . По второй аксиоме статики  ~.  В результате эквивалентных преобразований пары сил   заменена парой сил  в параллельной плоскости, которая имеет тот же момент и   стремится повернуть  тело в том же направлении.

 

Теорема 3. Две пары, действующие на твердое тело и лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов составляющих  пар.

Скругленная прямоугольная выноска: Стр
000
Доказательство. Рассмотрим  две  пары    и                 с моментами     и   ,    лежащие  в    пересекающихся  плоскостях    и    .   Пользуясь  теоремой  1,  перенесем   пары   так,   чтобы   силы были приложены в точках  и  на линии пересечения плоскостей (рис. 3.10).  По правилу сложения сил имеем  и .

Система сил  образует пару.  Момент этой пары , 

где              ,        , 

 т.е.   .     

 

 

В частном случае две пары, лежащие в одной плоскости, эквивалентны одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов составляющих  пар.   Из теоремы следует, что любую систему пар можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов составляющих пар. Это позволяет получить условие равновесия системы пар. 

 Для равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов пар равнялась нулю:

       в случае пространственной системы пар; 

      для системы пар, расположенных в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

 

В начало лекции

 

 

Описание: Описание: j0301252

Основные понятия этой лекции

(Все элементы ячеек являются ссылками на нужное место в этой лекции!)

Момент силы относительно центра

Алгебраический моментом силы относительно  центра

Момент силы относительно оси

 

Вектор момента пары сил

Плечо пары

Пара сил

 

В начало лекции

 

 

 

Основные соотношения этой  лекции

(Все элементы ячеек являются ссылками на нужное место в этой лекции!)

 

 

 

В начало лекции

 

 

Описание: Описание: j0299125

 

 

ПРОВЕРКА ОСВОЕНИЯ МАТЕРИАЛА ЭТОЙ  ЛЕКЦИИ.

 

 

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ ПРОДОЛЖЕНИЕ (….)  ПРИВЕДЕННЫХ ТЕКСТОВ?

 

01

Момент силы относительно оси равен нулю, если…..

Проверьте себя

02

Сумма моментов сил пары относительно произвольной точки равна….

 

Проверьте себя

 

Для равновесия системы пар, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы….

 

Проверьте себя

03

Момент положителен, если…

 

Проверьте себя

 

В начало лекции