3.2. Прямолинейные колебания материальной точки

ПРИМЕРЫ

Краткие сведения по теории

MathCad

 

Пример 3.2.2. Груз 3 массы m = 2 кг падает без начальной скорости с высоты h = 40 см на середину невесомой плиты, которая установлена на двух пружинах (рис. 3.2.4). Пружины 1 и 2 одинаковой жёсткости c1 = c2 = c = 9,8 Н/см установлены на равном расстоянии от точки падения груза на плиту. Определить закон движения груза, если после соприкосновения с плитой он движется вместе с ней. Начало отсчёта координатной оси совместить с положением равновесия груза на плите, а саму ось направить вертикально вниз.

рис. 3.2.4

 

рис. 3.2.5

Решение:

1. Определим скорость груза в момент его касания с плитой. Как известно, при падении материальной точки с высоты h без начальной скорости она приобретает скорость  м/с. Дальнейшее движение груз будет совершать вместе с невесомой плитой.

2. Найдем жёсткость  эквивалентной пружины, которой можно заменить заданные параллельные пружины.

Из условий равновесия в случае параллельных пружин:  и в случае эквивалентной пружины: , где ,  – силы упругости параллельных и эквивалентной пружин,  – сила тяжести груза, а также с учетом того, что при поступательном движении плиты , получаем жёсткость эквивалентной пружины

 Н/см.

3. Изобразим груз в произвольном положении М и покажем действующие на него силы: силу тяжести , силу упругости эквивалентной пружины  (рис. 3.2.5).

4. Составим дифференциальное уравнение движения тела

,

здесь; l деформация пружин в произвольном положении груза определяется равенством:

,

 – статическая деформация пружин при равновесии груза.

Тогда

.

С учетом условия равновесия () имеем

  или  ,

где .

5. Запишем общее решение дифференциального уравнения движения груза, а также закон изменения скорости

,                  .

6. Определим начальные условия, которые, учитывая, что деформации пружин до взаимодействия груза с плитой не было, а начальная скорость равна скорости груза в момент касания, имеют вид

 см,   м/с.

 

Тогда, подставляя эти значения в выражения для  и , получаем:

 см,      .

7. Запишем закон движения груза

.