3.6. Смешанные задачи

Примеры

Краткие сведения по теории

MathCad

 

Пример 3.6.1. Механическая система (рис. 3.6.1), состоящая из груза 1 массы m1 = 4 кг, однородных блока 2 массы m2 = 2 кг и катка 3 массы m3 = 8 кг, приводится в движение грузом. Определить ускорение груза и реакции внешних связей, если каток катится без скольжения.

 

рис. 3.6.1

 

рис. 3.6.2

рис. 3.6.3

 

рис. 3.6.4

 

рис. 3.6.5

 

 

Решение:

1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из груза, блока, катка и нити, соединяющей тела.

2. Изобразим действующие на систему внешние силы: тяжести , нормальную реакцию горизонтальной плоскости , силу трения  и опорные реакции подшипника в точке О:  (рис. 3.6.2).

3. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в форме

.                                   (3.6.1)

 

Сумма мощностей внутренних сил в абсолютно твердом теле равна нулю.

3. Найдем кинетическую энергию механической системы

где .

 

Откуда

      8 кг,

 

где mпр – приведенная масса.

4. Запишем сумму мощностей внешних сил, действующих на систему.

.

Мощность остальных внешних сил равна нулю, так как они приложены либо в точках, скорость которых равна нулю, либо в точке, скорость которой перпендикулярна силе.  

5. Найдем ускорение груза 1, подставив найденные выражения для кинетической энергии и мощности в (3.6.1),

.        .

 

Откуда

 м/с2.

 

6. Для определения сил натяжения нитей, реакций подшипника, реакции горизонтальной плоскости и силы трения воспользуемся дифференциальными уравнениями движения груза, блока и катка.

Груз (рис. 3.6.3) совершает поступательное движение. Его уравнение движения

.

Откуда

  Н.

Блок (рис. 3.6.4) совершает вращательное движение. Применяя теорему о движении центра масс и используя дифференциальное уравнение вращательного движения, получим

;

,   ;

, ;

Откуда

 Н,  Н,  Н.

 

Каток (рис. 3.6.5) совершает плоское движение. Используя дифференциальные уравнения движения, получим

, ,

,

.

 

Из первых двух уравнений

 Н,   Н.

 

Знак «–» у модуля силы трения означает, что в действительности эта сила направлена в противоположную сторону.

Последнее уравнение с учетом кинематического соотношения  может быть использовано для проверки расчетов.