Лекция 6  (С6).

ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

6.1. Центр параллельных сил

6.2. Центр тяжести твердого тела

 

Описание: Описание: j0301252

Основные понятия этой лекции

Основные соотношения этой лекции

Описание: Описание: j0299125

Проверка освоения материала этой лекции

 

6.1. Центр параллельных сил

Рассмотрим  систему параллельных сил   (рис. 6.1), направленных в одну сторону.

При повороте всех сил системы на один и тот же угол линия действия равнодействующей системы параллельных сил повернется в ту же сторону на тот же угол вокруг некоторой точки. Эта точка называется центром параллельных сил.  Для определения координат центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси.

Относительно оси  (рис. 6.2) ,                     .

Относительно оси  (рис. 6.2) ,                         .

Относительно оси  (рис. 6.2) ,                        .

 

 

                                    

 
 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, формула для определения радиус-вектора центра параллельных сил принимает вид

 .

 

 

В начало лекции

 

6.2. Центр тяжести твердого тела

 

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела

.  Для однородного тела положение центра тяжести тела определяется его геометрической формой.  Пусть  − удельный вес однородного тела, тогда   ,   ,

 
где  − элементарный объем,  − объем всего тела.  Подставив эти значения в формулу для определения , имеем    .  Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема:

,

,

.

 
Аналогично для  координат центра тяжести однородной поверхности (рис. 6.4):

,

,

;

и  координат центра тяжести однородной линии (рис. 6.5):

 
,

,

.

На практике используются различные способы нахождения центра тяжести. К основным относятся следующие:

1. Аналитический (интегрированием).

2. Метод симметрии

Если тело имеет плоскость или ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости или оси.

Если тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести лежит в точке пересечения этих осей.

3. Экспериментальный (при подвешивании тела за любую точку его центр тяжести лежит на линии подвеса).

4. Метод разбиения на части (если возможно провести разбиение тела на части с известным положением центров тяжести, то координаты центра тяжести тела определяются с помощью конечных сумм).

Разновидностью метода разбиения на части является метод отрицательных площадей и объемов (применяется для тел, имеющих  полости).

 

 

Рассмотрим способы определения центров тяжести простейших фигур.

 

Подпись: .

 

 

 

 

 

 

1. Треугольник.  Центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан (рис. 6.6).

,     .

2. Дуга окружности.   Дуга радиуса  с центральным углом  (рис. 6.7) имеет ось симметрии. Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. .  Координату  определяем аналитически  ,   где

  -  элемент  дуги,  ,               ,           ,   .    Следовательно,   .

3. Круговой сектор.  Рассмотрим круговой сектор радиуса  с центральным углом  (рис. 6.8). Сектор имеет ось симметрии , на которой находится центр тяжести. Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения, можно принять за треугольники, центры тяжести которых располагаются на дуге окружности радиуса .  Тогда центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги    .

 

4.Конус.  Рассмотрим однородный конус с радиусом основания  и  высотой . Поместим начало координат в центр основания конуса и ось  совместим с осью конуса (рис. 6.9). Оси  и   лежат в плоскости основания конуса и из соображений симметрии , .  Координату  определяем аналитически  . Разбиваем конус горизонтальными плоскостями на элементарные объемы, которые в пределе, при увеличении количества элементов разбиения, можно принять за диски толщины .  Выделим элементарный диск на расстоянии  от основания конуса. Радиус элементарного диска (из подобия треугольников)             ,            а его объем                .  Тогда  . 

Так как , то   .

5. Шаровой сектор.  Рассмотрим однородный шаровой сектор радиуса  с углом  между образующей и осью симметрии (рис. 6.10). Поместим  начало координат  в центр шара и направим ось  по оси симметрии. Из соображений симметрии , .   Координату  определяем аналитически   .  Переходя к сферическим координатам (, ), находим  , где      .  Откуда  .   В частности, для центра тяжести полушара   .

.                                                     

 
 

 

 

 

 

 

В начало лекции

 

 

Описание: Описание: j0301252

Основные понятия этой лекции

(Все элементы ячеек являются ссылками на нужное место в этой лекции!)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В начало лекции

 

 

Основные соотношения этой  лекции

(Все элементы ячеек являются ссылками на нужное место в этой лекции!)

 

 

 

 

 

В начало лекции

 

Описание: Описание: j0299125

 

ПРОВЕРКА ОСВОЕНИЯ МАТЕРИАЛА ЭТОЙ  ЛЕКЦИИ.

 

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ ПРОДОЛЖЕНИЕ (….)  ПРИВЕДЕННЫХ ТЕКСТОВ?

 

01

 

Проверьте себя

02

 

Проверьте себя

 

В начало лекции