Свойства числовых неравенств, с примерами

1. Решение: -1

   рис1.                                                                                                  рис.2.         

   1. Решить неравенство (1) — это значит найти все решения х,
   2. для которых прямая y = kx-b расположена выше оси х.
   3. Здесь важную  роль  играет  точка  А  пересечения  прямой   (3)   с  осью  х.
   4. Абсциссу точки А обозначим через xo. Так как ее ордината равна нулю, то xo удовлетворяет уравнению
   5. O = kxo + b, откуда
   6. xo=-b/k.
   7. Обратимся к рис. 1, соответствующему случаю

   k

   >

   0. Мы видим , что прямая

   y

   =

   kx+b

   расположена выше оси х для всех х, находящихся правее точки xo, т. е. для всех х из интервала (-∞, + ∞), и расположена ниже оси х для всех х, находящихся левее точкиxo, т. е. для всех х из интервала (—∞,xo).

   • Итак, при k> 0 неравенство (1) выполняется на интервале (xo, + ∞), а неравенство (2) —на интервале (—∞,xo).
   • При k0,           (4)                                  
   • 2X+1

   рис3.

   Для этого нужно знать две ее точки. В качестве первой точки возьмем точку пересечения прямой с осью х. Она все равно будет нужна. Полагая в формуле (6) у = 0, получим уравнение                                                                     

   0 = 2х+1.

    Его решение есть абсцисса точки А пересечения прямой с осью х. Итак, А ( —1/2 ,0).

   1. В качестве второй точки можно взять точку В пересечения прямой с осью у. Ее абсцисса X=0, а ордината
   2.  y=2∙0+1, y=1.
   3. Итак, В(0, 1).

   Через точки А и В проводим прямую. Это и есть прямая y=2X+1 (рис. 3).

   Из рис. 3 видно, что неравенство (4) выполняется на интервале ( — 1/2, + ∞) а (5) — на интервале (— ∞, —1/2).

   • Вопрос.
   • Как можно решать неравенства первой степени, применяя графический метод?

   Источник: http://kalach-gimnazia.narod.ru/sites/skoroded/teoria.htm

   Урок 5: Неравенства — 100urokov.ru

   • План урока:
   • Сравнение чисел
   • Свойства неравенств
   • Оценка значений выражений
   • Доказательство неравенств
   • Решение неравенств с одной переменной
   • Решение систем неравенств с одной переменной
   • Решение совокупностей неравенств
   • Метод интервалов

   Сравнение чисел

   Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ «», означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).

   Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.

   Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.

   

   Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.

   

   Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):

   

   1. b располагается правее а, а потому
   2. b>a
   3. Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что
   4. b– а = с
   5. Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить
   6. а – b = – с

   Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.

   

   Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40

   Решение. Найдем разность этих двух дробей:

   

   Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.

   Ответ: 29/35 > 33/40.

   Свойства неравенств

   Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.

   

   • Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:
   • а – b = c
   • умножив части равенства на (– 1), получим:
   • – (а – b) = – с
   • (b– a) = – с
   • Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоba, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше. Данное свойство называют транзитивностью. Им обладает не только отношение «больше — меньше», но и ряд других отношений. Например, из геометрии известно, что если отрезок АВ параллелен отрезку CD, а тот в свою очередь параллелен ещё одному отрезку EF, то и АВ параллельно ЕF. Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:
     1. 25 < 48 < 94
     2. Можно использовать и более двух знаков сравнения:
     3. 365 » на «=»:
     4. (х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = 0

     Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому

     • х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0
     • Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:
     • х = 5
     • х = 7
     • – 2х = – 4
     • х = 2
     • Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:
     • Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:
     • (– ∞; 2);
     • (2; 5);
     • (5; 7);
     • (7; + ∞).

     В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:

     1. Из промежутка (– ∞; 2) возьмем х = 0:

     (х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (0 – 5)(0 – 7)(4 – 2•0) = (– 5)•(– 7)•4 = 140

     Получили число, большее нуля: 140 > 0

     1. Из промежутка (2; 5) возьмем х = 3:

     (х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (3 – 5)(3 – 7)(4 – 2•3) = (– 2)•(– 4)•(– 2) = – 16

     Получили отрицательное число.

     1. Из промежутка (5; 7) возьмем х = 6:

     (х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (6 – 5)(6 – 7)(4 – 2•6) = 1•(– 1)•(– 8) = 8

     Получили положительное число

     1. Для последнего промежутка возьмем х = 8:
     1. (х – 5)(х – 7)(4 – 2х) = (8 – 5)(8 – 7)(4 – 2•8) = 3•1•(– 12) = – 36
     2. Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:
     3. Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.
     4. Ответ: (– ∞; 2)⋃(5; 7)

     В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:

     • 5х + 9
     • 8х – 13
     • 7,56х + 12,35
     • Пример. Определите, при каких значениях переменной полином
     • х2 – 8х + 12
     • принимает отрицательные значения.
     • Решение. По сути, нам надо решить нер-во
     • х2 – 8х + 12< 0
     • Вспомним, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Для этого надо решить уравнение:
     • х2 – 8х + 12 = 0
     • D = (– 8)2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16
     • Зная х1 и х2, можем записать, что
     • х2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)
     • Перепишем исходное нер-во:
     • (х – 2)(х – 6) > 0
     • К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):
     • (х – 2)(х – 6) = 0
     • х – 2 = 0 или х – 6 = 0
     • х = 2 или х = 6
     • Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:
     • На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5
     • Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3
     • На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5
     • В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).
     • Ответ (2; 6).

     Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-5-neravenstva

     Урок "Свойства числовых неравенств". Часть 1

     Бесплатно

     Числовые неравенства – один из интересных разделов из курса алгебры в восьмом классе. С простыми неравенствами школьники к 8 классу уже сталкивались, однако, настал момент, когда необходимо изучить их более детально.

     Числовые неравенства обладают рядом свойств и характеристик. Их изучению и посвящен данный видеоурок. Информация будет передаваться спокойным голосом диктора и выводится на экран. Все необходимые понятия и замечания выделяются красным или зеленым цветом. С помощью данного видеоурока можно разнообразить урок в классе, посвященный изучению свойств числовых неравенств.

     

     Урок начинается с того, что на экран выводятся два самых элементарных неравенств, с левой и с правой стороны которых стоят неизвестные aи b. Подставить вместо них можно любой сложности множители.

     В первом случае, первое выражение больше второго, во втором – наоборот. Диктор объясняет, что в первом случае их разность будет положительным, а во втором – отрицательным.

     Об этом можно было и догадаться очень легко.

     Чтобы это проверить достаточно подставить какие-то конкретные числовые значения. Данное утверждение сопровождается в видеоуроке практическими примерами.

     

     Далее рассматривается первое важное свойство числовых неравенств. Оно гласит о том, что если некоторое первое значение больше второго, второе – больше третьего, то, следует, что первое значение больше и третьего. Это можно также легко проверить.

     С помощью вышерассмотренного утверждения это легко доказывается. Диктор объясняет доказательство очень подробно. Оно сопровождается иллюстрацией, которая представляет собой числовую ось. На ней отмечены все эти три значения.

     Геометрически показывается верность данного свойства Оно сопровождается иллюстрацией, которая представляет собой числовую ось. На ней отмечены все эти три значения. Геометрически показывается верность данного свойства.

     Оно называется свойством транзитивности.

     

     Далее на экран выводятся второе и третье свойство. Далее на экран выводятся некоторые утверждения, которые помогут глубже и яснее понять структуру числовых неравенств. Если закрепить данные полученные знания на практике, то при решении неравенств, задача школьников во многом упростится. Они смогут решать более сложного уровня неравенства и системы неравенств.

     Далее выводится на экран четвертое свойство, которое доказывается двумя способами. Ученики могут самостоятельно подобрать наиболее понятный для них способ.

     Далее рассматриваются последние два свойства с замечаниями. Эти свойства, желательно, зафиксировать в тетради и попробовать проверить на различных простых примерах. С помощью этого, они лучше запомнятся и прощу станут для понимания.

     

     Учителя не должны забывать, что ученики воспринимают информацию намного лучше, когда во время урока используются какие-то средства интерактивного обучение. Речь идет о различных презентационных материалов, видеуороков, иллюстраций. К счастью, во многих классах есть возможность продемонстрировать на экранах.

     Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-svoystva-chislovih-neravenstv-chast-568.html

     Числовые неравенства

     Вы уже научились сравнивать любые числа, в каком бы виде они не были записаны. Результат их сравнения  записывают в виде равенства или неравенства. Причём, используют следующие знаки: равно, меньше, больше.

     

     Для произвольных чисел  и  верно одно и только одно из трех соотношений:

     

     • Пусть  и  – некоторые выражения.
     • Определение:
     • Если два выражения,  и , соединить одним из знаков, то полученную записи называют неравенством:

     

     1. Определение:
     2. Когда обе части неравенства обозначают числа, то такое неравенство называется числовым.
     3. Числовое неравенствоназывается верным, если его левая часть обозначает число, меньшее, чем правая.
     4. Числовое неравенствоназывается верным, если его левая часть обозначает число, большее, чем правая.
     5. Давайте вспомним, как сравнивают конкретные числа.
     6. При сравнении натуральных чисел сравнивают их разряды.
     7. При сравнении дробей – приводят их к общему знаменателю.
     8. При сравнении отрицательных чисел сравнивают их модули.

     Как сравнивают числовые выражения понятно, а вот как сравнить выражения, например,  и ? Для этого составляют разность выражений и выясняют, является ли она положительным числом, отрицательным числом или нулём.

     • Определение:
     • Число  больше числа , если разность – положительное число.
     • Число ???? меньше числа ????, если разность  – отрицательное число.
     • Если разность , то числа .

     Также вы умеете сравнивать числа при помощи координатной прямой. Напомним, что на координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.

     1. Действительно,
     2. Давайте рассмотрим, как используется данное определение, при выполнении заданий.
     3. Задание: сравните числа  и , если:
     4. Решение:
     5. Задание 2: докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство.
     6. Решение:
     7. И, напоследок, давайте докажем, что что , при условии, что .
     8. Решение:
     9. Итоги:
     10. Два выражения, соединённые знаками , , , или  называют неравенствами.
     11. Когда обе части неравенства обозначают числа, то такое неравенство называется числовым.
     12. Число ???? больше числа ????, если разность ????−???? – положительное число.
     13. Число ???? меньше числа ????, если разность ????−???? – отрицательное число.

     Источник: https://videouroki.net/video/26-chislovyie-nieravienstva.html

     Другие важные свойства числовых неравенств

     Числовые неравенства и их свойства.

     Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами, с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств, на которых базируются все принципы работы с неравенствами.

     Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны свойствам числовых равенств. Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.

     Навигация по странице.

     • Числовые неравенства: определение, примеры.
     • Свойства числовых неравенств.
     • Основные свойства.
     • Другие важные свойства числовых неравенств.

     Числовые неравенства: определение, примеры

     Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше , меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:

     Определение.

     Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.

     Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9, и знакомства с операцией сравнения.

     Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 13.

     • А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6), .
     • К началу страницы
     • Свойства числовых неравенств

     На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств. Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):

     Определение.

     · число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;

     1. · число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
     2. · число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
     3. Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
     4. Определение.
     5. · число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
     6. · число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
     7. Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
     8. К началу страницы
     9. Основные свойства

     Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.

     Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:

     · Свойство антирефлексивности, выражающееся в том, что для любого числа a неравенства aa – неверные.

     Действительно, известно, что для любого числа a выполняется равенство a−a=0, откуда в силу разностного определения равных чисел следует равенство a=a. Следовательно, aa – неверные неравенства.

     Например, 3b, то b−1,3 можно переписать как −1,3, а > на

     Источник: https://poisk-ru.ru/s15708t10.html

     Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств

     Сравнение величин

     Как в науке, так и в реальной жизни часто приходится сравнивать два каких-то числа. Иногда без этого нельзя даже говорить о значении вычислений. Допустим, используя числовые неравенства, можно найти приближённое значение иррациональных квадратных корней, оценить значение переменной. Говоря о числовых неравенствах, следует прежде всего указать, что между двумя числами есть всего три рода возможных взаимосвязей — соотношений: они могут быть равны (a = b), a может быть меньше b (a < b), a может быть больше b (a > b) (конечно, при a≠b можно также говорить о разнице между величинами: например, если a сильно (на несколько порядков) больше чем b, то это даже можно обозначить специальным символом », что показывает интерес людей именно к разнице, хотя, конечно, обычно уже интересует именно конкретная величина). Результат сравнения и записывают в виде равенств или неравенств. Для нескольких чисел можно использовать последовательность (цепочку неравенств) в порядке убывания, возрастания или системы неравенств. Вообще, неравенства часто используются в математике, и также важны как и равенства. Примером их использования также будет неравенство треугольника в геометрии, по которому можно оценить, существует ли треугольник с данными сторонами.

     Фактически, неравенства — это утверждения об относительной величине какой-либо переменной, числа. Неравенства, которые разобраны выше подразумевают, что оцениваемая величина не может быть равна числу, относительно которого оценивается, но это, явно, не всегда верно.

     Также нужно заметить, что кроме строгих неравенств (говорят, a строго больше b, a строго меньше b), есть и нестрогие неравенства (a меньше или равно b, a больше или равно b).

     Они используются, когда доподлинно неизвестно равны величины или меньше друг друга, равны величины или больше друг друга и т.д. Например, когда нужно купить, что-то в магазине, очевидно, можно купить продуктов на сумму меньшую или равную деньгам, которые взяты с собой (S≤M).

     Кроме больше или равно и меньше или равно, что является и названиями знаков, можно также говорить не меньше чем и не больше чем.

     Здесь ещё можно добавить, что если использовать нестрогие неравенства там, где можно использовать строгие, не доводить расчёты до конца, оставлять, например, x > 2, когда известно, что x > 3, то подобные неравенства будут неточными. Точным неравенством называется неравенство, которое нельзя «улучшить», т.е. использующее и учитывающее всю доступную информацию. Конечно, логичнее всегда делать свои неравенства точными.

     Последний случай, который следует разобрать — это совокупность неравенств, когда есть несколько возможных вариантов для одной величины и выполняется либо один, либо другой.

     К слову о доказательстве неравенств и об определении знака в неравенстве, определить больше одно число другого, меньше или равно ему, можно используя понятия чисел и их визуализаций на координатной прямой (она является наглядным образом множества всех вещественных чисел ℝ).

     Иллюстрация к a > b

     Пусть a больше b, тогда очевидно, что на координатной (числовой) прямой (обычной, с положительным направлением слева на право) точка, представляющая число a, будет правее точки, представляющей число b.

     Это значит, что a = b + c, и c является положительным числом (продвижение по числовой прямой вправо соответствует прибавлению положительного числа). Получается (по определению разности), a-b = c.

     Иллюстрация к a < b

     Пусть a меньше b, тогда поступаем аналогично — на координатной прямой точка a лежит левее точки b. Значит, также b = a + c (c положительным c). Следовательно, при вычитании получаем: a-b = -c. Т.е. a-b = p, где p — отрицательное число.

     Можно на основе этих рассуждений определить: a > b ⇔ a — b = c c > 0 и a b + c ◽

   • Если a ≥ b и c > 0, то ac ≥ bc (возможно умножение и деление на ненулевое c; аналогично для других знаков неравенств). Доказательство: ◽ a ⁢ c — b ⁢ c = c a — b , где a — b ≥ 0 и c > 0 ⇒ a ⁢ c ≥ b ⁢ c ◽
   • Если a ≥ b и c < 0, то ac ≤ bc (свойство противоположных чисел, например (такое же свойство работает для ненулевых обратных чисел одинакового знака); кроме аналогично для других знаков заменяется на противоположный). Доказательство: ◽ a ⁢ c — b ⁢ c = c ⁢ a — b , где a — b ≥ 0 и c 0 и c ≥ d > 0, то ac ≥ bd (возможность почленного перемножения двух положительных неравенств одинакового смысла; аналогично можно складывать со всеми знаками: меньше (или равно) и больше). Доказательство: ◽ a ⁢ c — b ⁢ d = a ⁢ c — b ⁢ d + b ⁢ c — b ⁢ c = c ⁢ a — b + b ⁢ c — d , где c > 0 ; b > 0 ; a — b ≥ 0 ; c — d ≥ 0 ⇒ c ⁢ a — b + b ⁢ c — d ≥ 0 ⇒ a ⁢ c ≥ b ⁢ d ◽
   • Если a ≥ b > 0 и n ∈ ℕ, то an ≥ bn (как и для всех других правил и свойств, здесь разобранных, знак больше или равно можно заменять на другие; из доказательства можно увидеть, что обратное тоже верно; см. также свойства степеней с целым показателем). Доказательство: ◽ a n ≥ b n > 0 ⇔ n раз ( a ≥ b a ≥ b … a ≥ b | ∗ → по свойству 7 при a ≥ b > 0 и n ∈ ℕ a n ≥ b n (и наоборот) ◽
   • Если an ≥ bn при a > 0 и b > 0 и n ∈ ℕ, то a ≥ b. Доказательство: ◽ см. предыдущее доказательство ◽
   • Два предыдущих свойства были для натуральных степеней, но для дробных степеней тоже есть подобные свойства: см. свойства квадратного корня (обратное данной там теореме тоже верно).

Большая часть доказательств здесь приводилась для неравенств со знаком больше или равно, однако, его можно заменить на любой другой (в номере 5 следует после преобразования (умножения) брать противоположный изначальному знак (конечно, знак равно на противоположный менять не следует); также знаки отличные от больше либо равно менять нельзя (там, где используется строго больше 0, остаётся строго больше 0)).

Вообще, здесь нужно сказать о том, что в общем случае при применении монотонной функции к обеим частям неравенства, если она возрастающая, то неравенство держится, иначе, неравенство меняет знак на противоположный.

В свойствах примером этой смены знака были обратные и противоположные числа для положительных a и b (ƒ(x)=-x и g(x)=1/x). Поэтому, на самом деле, возведение в натуральную степень — это строго возрастающая функция, а возведение в отрицательную целую — это строго убывающая функция (подпадающие под данное здесь правило).

Хотя, конечно, со многим из этого и из свойств есть сложности, поэтому лучше всего применять всё это для положительных чисел.

Также при работе с неравенствами можно пользоваться некоторыми опорными неравенствами, числовыми осями. Неравенства задают числовые промежутки своими системами.

Источник: https://fedor1113.github.io/SomeBasicMathsNotions/10.html