Свойства вписанной окружности, с примерами

• Тема: Окружность
• Урок: Вписанная окружность
• Начнем с напоминания важных опорных фактов, и первый факт – это касание прямой и окружности.

Задана окружность с центром О и радиусом r (см. Рис. 1). А – общая точка прямой и окружности. Если такая точка единственная, то прямая р – касательная к окружности.

Радиус ОА, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной р.

Справедливо обратное: если А – общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой, то общая точка единственная, и прямая р – касательная.

Рис. 1

Рассмотрим касание окружности сторонами угла (см. Рис. 2).

1. Помним, что биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.
2. Точка О лежит на биссектрисе: перпендикуляр ОА к прямой а, ОВ – к прямой В, .
3. Построим окружность радиусом ОА.

Рис. 2

Утверждаем, что окружность касается прямой а, т.к. А – общая точка прямой а и окружности, и она единственная (радиус ОА перпендикулярен прямой). Аналогично прямая b касается окружности.

• Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.
• Многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон, мы готовы дать определение вписанной в него окружности.
• Окружность называется вписанной в многоугольник, если касается всех его сторон.
• Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, рассмотрим пример – окружность вписана в выпуклый четырехугольник:
• Как получить центр и радиус вписанной окружности?
• Мы знаем, что точка О – центр, лежит на биссектрисе угла А, вписана в угол А, аналогично точка О лежит на биссектрисе каждого угла и вписана в каждый угол.
• Таким образом, все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О.
• Строим биссектрисы, на их пересечении получаем центр окружности. Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам

Рис. 3

В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Дано: окружность с центром О вписана в четырехугольник ABCD. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Таким образом, описанный четырехугольник – это такой четырехугольник, в который можно вписать окружность (см. Рис. 4)_.

1. Рис. 4
2. Доказательство:
3. Запишем равенство через отрезки касательных:
4. ; ; ; ;

Раскроем скобки:

• Таким образом, суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны, что и требовалось доказать.
• Итак, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
• Справедлива обратная теорема.
• Теорема
• Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.

Это важная теорема, так как центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Отсюда, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, его биссектрисы пересекутся в одной точке.

1. Данную теорему мы доказывать не будем.
2. Прямую и обратную теоремы можно объединить.
3. Теорема
4. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
5. Приведем конкретные примеры четырехугольников, в которые можно вписать окружность и в которые нельзя вписать окружность.
6. Ромб

У ромба все стороны равны, отсюда суммы противоположных сторон равны, значит, в ромб можно вписать окружность (см. Рис. 5). Кроме того, мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Значит, каждая диагональ – это биссектриса, биссектрисы всех четырех углов пересеклись в одной точке – точке О. О – центр вписанной окружности.

Рис. 5

Квадрат

Квадрат – частный случай ромба, в него также можно вписать окружность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Прямоугольник

В прямоугольник нельзя вписать окружность (см. Рис. 7), это очевидно из рисунка – суммы противоположных сторон не равны, т.к. противоположные стороны равны между собой, а соседние не равны:

• Рис. 7

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну (см. Рис. 8).

1. Рис. 8
2. Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла  – АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов  и , таким образом, от трех сторон треугольника.

• Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:
• .
• Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Докажем, что данная вписанная окружность единственная. Если бы была вторая окружность, ее центр был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении всех биссектрис. Но все биссектрисы пересекаются в единственной точке – точке О, таким образом, и вписанная окружность в треугольник единственная.

Итак, мы ознакомились с понятием вписанной окружности и доказали некоторые важные теоремы. В следующем уроке мы рассмотрим описанную окружность.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).
2. Mschool.kubsu.ru (Источник).
3. Ege-study.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1 – в треугольник  вписана окружность с центром О. Найдите угол , если угол .
2. Задание 2 – на сторонах АВ и АС треугольника АВС, описанного около окружности с центром О, отмечены точки D и E таким образом, что , . Доказать, что .
3. Задание 3 – найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, периметр которого 24 см, а гипотенуза 10 см.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-okruzhnost?trainers

Вписанная окружность

• Тема урока : «Вписанная окружность»
• Тип урока : урок изучения нового материала
• Цель урока:
• — ввести понятие вписанная окружность
• — рассмотреть доказательство теоремы о вписанной окружности
• — закрепить новый материал на примере решения задач.
• Задачи:
• образовательные:
• — обеспечить усвоение обучающимися понятия вписанная окружность;
• — сформировать умение применять теорему о вписанной окружности к решению задач;
• развивающие:
• — развить у школьников умение выделять главное в изучаемом материале, логически излагать свои мысли при решении задач;
• — учить обобщать и систематизировать материал, анализировать чертежи;
• — устанавливать связь изучаемого материала с жизнью, развивать познавательный интерес;
• воспитательные:
• — сформировать мотивацию учебной деятельности;
• — воспитывать дисциплинированность, самостоятельность, аккуратность;
• — сформировать значимое представление геометрии в жизни.
• Планируемые образовательные результаты:
• предметные – знать определение и свойства вписанной окружности,
• знать доказательство теоремы об окружности, вписанной в треугольник,
• уметь применять полученные знания к решению задач;
• метапредметные – уметь представлять конкретное содержание и сообщить его в письменной и устной форме, выделять и формулировать проблему, строить логические цепи рассуждений;
• личностные – формирование положительного отношения к учению, формирование навыков работы по алгоритму, формирование навыков самоанализа и самоконтроля
• Основные термины, понятия: окружность, касательная, вписанные и описанные фигуры, биссектриса, равноудаленная точка, перпендикуляр.
• Оборудование ПК, проектор, электронная презентация, чертежные инструмент.
• План урока
• Этап урока
• Время
• 2 мин.
• 5 мин.

1. Изучение нового материала

1. 12 мин.
2. 18 мин.
3. 2 мин.
4. 1 мин.
5. Ход урока
6. Этапы урока
7. Содержание учебного материала
8. Деятельность учителя
9. Деятельность ученика
10. время
11. 1.
12. Организационный момент.
13. Слайд 1,2
14. Приветствие учеников, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.
15. Сообщаю тему и цель урока.
16. Приветствие.
17. 2
18. 2.
19. Актуализация
20. знаний
21. Слайд 3
22. Задача 1
23. АВ-касательные , В и С – т. касания,
24. ÐВАС=56о, ОС=4 см
25. Найти: ÐОАВ, ОВ.
26. Слайд 4
27. Задача 2
28. АВ,ВС,АС – касательные, ÐВОС=120о, ÐАВО=25о, ÐАОС=115о
29. Найти углы ∆АОВ
30. Для подготовки учащихся к восприятию нового материала предлагаю решить задачи по готовым чертежам
31. Решают задачи в тетради и по одному ученику у доски
32. — Ответ : ÐОАВ=56о:2= 28о
33. ОВ=ОС=4 см.
34. — Ответ: ,ÐАОВ= 360о-120о-115о=125о,ÐВАО=180о-25о-125о=30о.
35. 5
36. 3.
37. Изучение нового материала

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

Слайд 5

Определение: окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Слайд 6.

• Слайд 7
• Замечания:
• — в треугольник можно вписать только одну окружность
• -не во всякий четырехугольник можно вписать окружность
• — Как вы думаете, как называется окружность из задачи 2?
• — Можно ли вписать окружность в многоугольник?

— Перед вами окружность, вписанная в многоугольник. Как располагается окружность относительно сторон многоугольника?

1. — Откройте учебник на странице 181 и запишите определение вписанной в многоугольник окружности.
2. — Как построить вписанную окружность в заданный треугольник?
3. Для этого необходимо знать теорему о вписанный в треугольник окружности и ее доказательство.

— Рассмотрим произвольный ∆ АВС. Проведем биссектрисы углов ∆. Они пересекутся в т.О. Проведем из т.О перпендикуляры ОК, ОМ и ОL. Т.к. т.О равноудалена от сторон ∆ АВС, то ОК=ОМ=ОL.Скажите, что из этого следует?

-Заметим , что ∆АКО=∆АМО. Почему?

— Правильно. Окружность проходит через т. К,L,М, а стороны треугольника касаются окружности в этих точках. Значит окружность с центром в т.О является вписанной в ∆ АВС. Теорема доказана.

— Теперь рассмотрим какими свойствами обладает окружность, вписанная в треугольник. Откройте учебник на стр.182 и 183. Запишите эти свойства в тетрадь.

• — Вписанная окружность.
• — Да.
• -Стороны многоугольника являются касательными к окружности.
• Записывают определение вписанной окружности в тетрадь
• ?
• Записывают теорему и ее доказательство в тетрадь.
• — ОК, ОМ и ОL являются радиусами окружности.

— ∆АКО и ∆АМО — прямоугольные, АО- общая сторона, ÐКАО=ÐМАО т.к. АО биссектриса.

1. Записывают свойства окружности, вписанной в треугольник.
2. 12
3. 4.
4. Закрепление

• Слайд 9
• 
• Слайд 10
• №690

1. Слайд 11
2. №691
3. — Закрепим полученные знания на примере решения задач
4. Самостоятельное решение задачи №691.
5. Оценивается решение задачи по критериям:
6. «5»- задача решена правильно, имеется чертеж, в логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок, нет ошибок в математических расчетах.
7. «4» — задача решена правильно, но допущено 1-2 негрубые ошибки.
8. «3»- допущено1 грубая и 3-4 негрубые ошибки
9. «2» — допущено 2 и более грубых ошибок.
10. ученики решают задачи у доски.
11. -а, д
12. Решение
13. -Отрезки касательных к

окружности , проведенные из одной точки, равны. Поэтому АТ=АМ=5м, СМ=СН=3м, ВН=ВТ=6м. След-но РАВС=АМ+МС+СН+ВН+АТ+ВТ= 2*(АМ+СМ+ВТ) =28м.

Краткое решение: Т.к. АВ,ВС, АС- касательные, К,N,D- т. касания рис. 8.122, то АК=АD, СD=CN, BK=BN. Т.к. АВ=ВС, то СN=CD=3см, следовательно РАВС= 3*4+4*2=20 см.

• 18
• 5.
• Подведение итогов

— Сегодня на уроке вы хорошо поработали. Те кто работал на уроке получают соответствующие оценки.

1. Давайте подведем итог:
2. Что нового вы узнали сегодня на уроке
3. — мы узнали что такое вписанная окружность
4. — доказали теорему о вписанной окружности
5. — узнали свойства вписанной окружности
6. -можем применять все это к решению задач.
7. 2
8. 6.
9. Домашнее задание

П.74 стр. 181-183 учебника, выучить определение, доказательство и свойства; №689, 692

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/vpisannaia-okruzhnost.html

Вписанная и описанная окружности

• Вписанная и описанная
• окружности
• Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

1. Софронова Наталия Андреевна,
2. учитель математики высшей категории
3. МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
4. Оршанского района Республики Марий Эл

• ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
• С
• В
• Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности
• D
• О
• А
• F
• На каком рисунке окружность вписана в трапецию?
• Рис. 2
• Рис. 3
• Рис. 4
• Рис. 1

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК

Всегда ли можно вписать окружность в треугольник?

1. Окружность, вписанная в треугольник
2. В
3. Каким свойством обладает точка О ?
4. F
5. Е
6. О
7. А
8. С
9. Р
10. Как расположена точка О по отношению к углу А треугольника АВС ?
11. Как расположена точка О по отношению к углу В треугольника АВС ?
12. Как расположена точка О по отношению к углу С треугольника АВС ?
13. Чем является точка О для треугольника АВС ?

• В любой треугольник можно вписать окружность
• ТЕОРЕМА.
• КАК ?
• В

(Центр? Радиус?)

1. К
2. Пусть точка О – точка
3. пересечения биссектрис
4. Е
5. О
6. С
7. А
8. М
9. Проведем ОЕ ⏊ АВ, ОК ⏊ ВС, ОМ ⏊ АС.
10. ОЕ = ОК = ОМ, значит окружность проходит через точки Е, К и М
11. Радиус ОЕ перпендикулярен к АВ, значит АВ – касательная.
12. Аналогично …
13. Вывод: Окружность касается всех сторон треугольника, поэтому она является вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность

В

(Центр? Радиус?)

• КАК ?
• О
• С
• А
• М
• Центр окружности , вписанной в треугольник, – точка пересечения биссектрис.
• Радиус – перпендикуляр, опущенный из точки О на любую сторону треугольника

ЗАМЕЧЕНИЯ

• В треугольник можно вписать

1. только одну окружность
2. (почему?)
3. О
4. 2) Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность

• Свойство описанного четырехугольника
• B
• b
• b
• AB + CD = a + b + c + d
• c
• C
• BC + AD = b + c + a + d
• c
• а
• AB + CD = BC + AD
• d
• A
• а
• d
• D
• В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны

1. Свойство описанного четырехугольника
2. B
3. Обратно: Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

( см. задачу № 724, учебник ГЕОМЕТРИЯ 7-9, автор Л.С.Атанасян)

• С
• A
• D

1. ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ
2. С
3. В
4. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
5. D
6. О
7. А
8. F
9. На каком рисунке окружность описана около четырехугольника?
10. Рис. 3
11. Рис. 4
12. Рис. 2
13. Рис. 1

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

Всегда ли можно описать окружность около треугольника?

• Окружность, описанная около треугольника
• В
• Каким свойством обладает точка О ?
• О
• С
• Чем является точка О для треугольника АВС ?
• А
• Как расположена точка О по отношению к отрезку АВ?
• Как расположена точка О по отношению к отрезку ВС ?
• Как расположена точка О по отношению к отрезку АС ?

1. Около любого треугольника можно описать окружность
2. ТЕОРЕМА.
3. В
4. КАК ?

(Центр? Радиус?)

• Пусть точка О – точка
• пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
• h
• n
• О
• С
• А
• m
• Получили: ОА = ОВ = ОC
• Окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника АВС и, значит, является описанной около треугольника АВС.
• О є m, значит ОА = ОC
• О є n, значит ОА = ОВ
• О є h, значит OB = ОC

1. В
2. Около любого треугольника можно описать окружность
3. КАК ?
4. n
5. О

(Центр? Радиус?)

• С
• А
• m
• Центр окружности , описанной около треугольника, – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности и вершину треугольника.

ЗАМЕЧЕНИЯ

• Около треугольника можно описать только одну окружность

1. (почему?)
2. О
3. 2) Около четырехугольника не всегда можно описать окружность

• Свойство вписанного четырехугольника
• B
• C
• A
• D
• В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 .

1. Свойство вписанного четырехугольника
2. B
3. Обратно : Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 , то около него можно описать окружность.
4. C

( см. задачу № 729, учебник Геометрия 7-9, автор Л.С.Атанасян)

A

D

• Задача 2 .
• Задача 1 .
• В
• В
• С
• С
• А
• А
• D
• D

В четырёхугольнике АВСD АВ = 6, ВС = 9, СD = 14. Найдите АD, если известно, что в четырёх-угольник АВСD можно вписать окружность.

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В равен 83° , угол А меньше угла D на 20 0 . Найдите угол С .

Источник: https://multiurok.ru/files/vpisannaia-i-opisannaia-okruzhnosti.html