Понятия и термины
Впервые упоминание о логарифмах встречается в XIX веке в астрономических вычислениях. Сам же термин ввёл в обиход математик Спейдел.
В 1893 году обозначать натуральный логарифм буквами ln предложил немецкий учёный Прингсхейм.
Но лишь только в книге «Введение в анализ бесконечности» Эйлер дал определения логарифмам и описал их свойства, выделив при этом выражение с основанием равным десяти.
Существует несколько определений логарифмов. Для того чтобы разобраться в сущности термина нужно представить себе любое простое уравнение, содержащее степень. Например, 3x = 9. Это выражение называется показательным, так как неизвестное число стоит в показателе степени. Равенство будет верным при иксе равному два. Ведь три в квадрате это девять.
Теперь можно рассмотреть другое уравнение: 3x = 7. Если попробовать его решить, то можно обнаружить, что подобрать неизвестное значение будет довольно сложно.
Интуитивно можно понять, что ответ будет располагаться между числом три в степени один и три в степени два. Искомое число и было решено назвать логарифмом. Записывается он как x = log3 7.
Читается же формула как икс равный логарифму семи по основанию три.
Цифра, стоящая в нижнем регистре записи, называется основанием, а в верхней части аргументом. То есть любое выражение вида cx = k можно записать как x = logc k. Эта запись очень удобна для обозначения иррациональных чисел.
Логарифм можно записать только при выполнении условия: logp K = b, где pb = k, p > 0, k > 0, p ≠ 0. Существует три вида логарифма:
- Обыкновенный. Им называют выражение определённого числа по основанию.
- Десятичный. Определение логарифма связано с указаннім основанием равным десяти.
- Натуральный. Это логарифм, у которого в основании иррациональная постоянная составляет 2,72, то есть является экспонентной.
Десятичный логарифм записывают упрощённой записью: log10. Например, число два можно представить, как lg 100. Эта запись верна, так как используя определение, запись можно переписать в виде: 102 = 100. Для того чтобы научиться решать задачи по нахождению логарифмов нужно знать их свойства, формулы сокращённого умножения и правила вычисления степеней.
Свойства и формулы
Формулы сокращённого умножения изучают в средней школе на уроках алгебры. Учащимся предлагается выучить семь основных выражений, собранных в таблицу. С их помощью можно быстро и в уме рассчитывать квадраты даже больших чисел, что используется при нахождении логарифмов. Доказываются они просто раскрытием скобок. Из основных равенств умножения можно выделить следующие:
- g2 − l2 = (g − l) * (g + l).
- (g + l)2 = g2 + 2gl + l2.
- (g − l)2 = g2 − 2gl + l2.
- (g + l) 3 = g3 + 3g2l + 3gl2 + l3.
- (g − l) 3 = g3 − 3g2l + 3gl2 − l3.
- g3+ l3 = (g + l) * (g2 − gl + l2).
- g3− l3 = (g − l) * (g2 + gl + l2).
На этих формулах основаны свойства десятичных логарифмов. Большинство задач можно решить, зная только эти закономерности. Первое свойство вытекает из самого определения выражения: logp pv = v.
Для доказательства этого свойства можно использовать рассуждение, что если logі p = v, то iv = p. Тогда отношение logk p / logk I будет равняться: logk iv / logk I = v * logk i / logk I = v = logі p.
Что и требовалось доказать.
Второе и третье свойство помогает определить сумму логарифмов и посчитать их разницу. Согласно ему сумма выражений с одинаковым основанием равняется их произведению: logp i + logp c = logp (i * c). А также используется то что разность произведений с одинаковыми основаниями тождественна логарифму отношения: logp i − logp c = logp c * i.
Четвёртое свойство позволяет при необходимости степень выносить за знак логарифма: logk iv = n * logk i. Пятое правило гласит, что если в основании логарифма стоит степень, то её можно переместить за знак функции: logkn i = 1/ n * logk i. В отличие от четвёртого свойства показатель степени всегда выносится как обратное число.
Следующее свойство сообщает, что если основание и аргумент имеют степень, то эти показатели можно вынести за знак выражения как дробь: logkn * im = (m/n) * logki.
При этом если степени совпадают по своему значению, это правило можно записать как log k n i n = log k i. Седьмое свойство помогает решать логарифмы с разным основанием.
Так, любой логарифм можно записать в виде равенства: log k i = log c i / log c k.
Эти свойства применимы к любым видам логарифмов. При этом существует ещё одно позволяющее поменять местами основание и аргумент. Для этого нужно просто единицу разделить на логарифм: log k b = 1 / log k b.
Дифференцирование и функция
Производная десятичного логарифма определяется, как отношение в числителе которого стоит единица, а в знаменателе показатель. Для доказательства этого можно рассмотреть произвольное число, которое больше единицы. Пусть имеется следующая функция: t = logc p.
Её график определён при p больше нуля. Нужно найти производную по переменной p. По определению производной она ограничивается лимитом: t’ = lim t * ((p + Δ p) – t(p)) / (Δp) = = lim t ( log (p + Δ p) – log p / (Δp)). Используя свойства логарифмов это выражение можно преобразовать до вида: (1/p) * logc (1+ Δp / p)p/Δp.
Воспользовавшись свойством формулу можно упростить и записать: t’ = 1/t * logc p = (1/t) * (1/ln p) = 1 / t * ln p. То есть получить рассматриваемую функцию. Тождественным доказательством будет и метод вынесения постоянной за знак дифференцирования: (logc p)’ = (ln p / ln c)’ = ((1 / ln c ) * ln p )’ = (1/ ln c) * (1/ p) = 1 / p ln c.
Интеграл функции можно записать выражением: ∫ ln x dx = x * ln x – x + C. Находят его способом интегрирования по частям. Этим методом выражение сводится к более простому виду.
Функцию десятичного логарифма можно записать как y = lg x. График имеет вид плавной возрастающей кривой, которую ещё называют логарифмикой. К основным характеристикам функции относят:
- Неупорядоченность.
- Область определения, лежащую в интервале от нуля до плюс бесконечности.
- Множество значений, принадлежащих области от минус бесконечности до плюс.
- Пересечение графика с осью абсцисс в точке (1; 0).
- Возрастание кривой на всей области определения.
- Отсутствие минимума и максимума.
- Знакопостоянство промежутков для значений ординаты больше нуля, принадлежащих области от единицы до плюс бесконечности и для ординаты меньше нуля от нуля до единицы.
Функция монотонная, то есть всё время она не убывает и не возрастает. Иными словами, она всегда неотрицательная или неположительная, но при этом всюду дифференцируемая.
Производная для выражения находится с помощью формулы: (d/dx) lg x = lg e / x.
Ось ординат обладает свойством вертикальной асимптотности, так как при лимите стремящимся к нулю логарифм по иксу будет равный минус бесконечность.
Примеры решения задач
При решении задач на сложение или вычитание логарифмов для быстрого вычисления нужно использовать знания, что десятичное выражение единицы всегда равняется нулю. А также то, что десятичный логарифм десятков, сотен, тысяч и подобных чисел будет иметь столько положительных единиц, сколько нулей содержит число. Например, lg 1000 = 3, lg 1 00000 = 5. В то же время логарифм дробных выражений наподобие 1/10, 1/100, то есть с нулями после единицы в делителе, в ответе будет иметь столько отрицательных цифр, сколько нулей содержится в знаменателе. Например, lg 0,001 = -3.
При решении тождеств, содержащих тригонометрические функции, поможет и сборник таблиц Брадиса. Это пособие, в котором собраны ответы для чаще всего встречающихся типовых выражений.
Следующие типы примеров наиболее часто предлагаются в школе для самостоятельного решения:
- Нужно преобразовать заданное выражение до удобного вида и вычислить ответ. Пусть дано отношение: (2* lg 40 – lg 16) / (lg 50 – ½ * (lg 25). Для упрощения этого выражения нужно использовать свойство произведений и степеней. Исходную формулу можно привести к виду: (2 * (lg 4 + lg 10) — lg 42) / lg 5 + lg 10 — (1/2) * lg 52. После нужно раскрыть скобки и выделить подобные слагаемые, при этом учесть, что lg10 = 1. Таким образом, выражение примет вид: (2 * lg 4 + 2 – 2 * lg 4) / lg 5 + 1 – 1/2 * (2 * lg 5) = 2 / ( lg 5 + 1 – lg 5) = 1 / 2 = 2. То есть сложная дробь превратилась в простую натуральную цифру.
- Доказать справедливость или ошибочность линейного неравенства: 3 * lg 0,09 – 2 * lg 27 > -3. Левую часть уравнения можно представить в виде степенного многочлена: 3 * lg 0,09 – 2 * lg 27 = 3 * lg (9/102) – 2 * lg 27 = 3 * lg (3/10)2 – 2 * lg 33 = 3 * 2 * lg (3/10) – 2 * 3 * lg 3 = 6 * lg (3/10) – 6 * lg 3. Используя свойство частного логарифма полученное выражение можно представить как 6 * (lg 3 * lg 10) – 6 * lg 3. Теперь нужно открыть скобки и привести подобные слагаемые: 6 * lg 3 – 6 * lg10 – 6*lg 3 = — 6. Подставив полученное значение в исходное неравенство можно утверждать что оно неверно.
-
Найти корень уравнения: lg (4×2 — 16x + 144) = lg 2 x + lg(2 x+ 6). Используя свойства знак логарифма можно вынести за скобки: lg (4×2 — 16x + 144) = lg (4×2 + 12x).
В правой и левой части стоит одинаковое действие – логарифмирование. Поэтому на него можно сократить. В итоге получится: 4×2 — 16x + 144 = 4×2 + 12x.
После объединения подобных членов уравнение примет вид двоичного: -4x +144 = 0 или x = 144 / 4 = 36.
Но бывает так, что самостоятельно решить задачу довольно сложно из-за громоздкости записи уравнения. При этом не так сложно провести вычисления, как правильно выбрать алгоритм решения. Поэтому в таких случаях используют так называемые онлайн-калькуляторы.
Использование онлайн-калькулятора
Использовать сервисы предлагающие услуги по вычислению десятичного логарифма, довольно удобно. Всё, что требуется от пользователя, — это интернет-канал и браузер с поддержкой флеш-технологии. Доступ к онлайн-калькуляторам предоставляется бесплатно, при этом даже нет необходимости в регистрации или указании каких-либо данных.
Онлайн-расчётчики позволяют не только получить быстрый и правильный ответ вычисления выражения любой сложности, но и предоставляют подробное решение с пояснениями. Кроме того, на страницах таких сервисов содержится краткая теория с примерами. Так что проблем с понятием, откуда взялся ответ возникнуть не должно.
Программы, используемые для расчётов, написаны на Java и включают в свой алгоритм все необходимые формулы. Пользователь, загрузив сервис должен ввести условие задачи в специально предложенную формулу и нажать кнопку «Решение» или «Вычислить». После чего буквально через две три секунды появится ответ с поэтапным решением.
Такие сервисы будут полезны не только учащимся для проверки своих знаний, но и даже инженерам, проводящим сложные вычисления. Ведь самостоятельный расчёт требует повышенного внимания и скрупулёзности. При этом любая незначительная ошибка приведёт к неправильному ответу. В то же время появление ошибки при вычислении на онлайн-калькуляторе практически невозможно.
- По мнению пользователей, из нескольких десятков существующих сайтов можно выделить тройку лидеров:
- Kontrolnaya-rabota.
- Umath.
- Allcalc.
- Nauchniestati.
- Allworks.
Приведённые онлайн-калькуляторы для десятичного логарифма имеют интуитивно понятный интерфейс. Используемые программы написаны российскими программистами и не содержат рекламного и вредоносного кода.
Решив несколько задач с помощью этих порталов, пользователь научится самостоятельно вычислять любые логарифмические уравнения.
То есть калькуляторы смогут не только подтянуть знания на нужный уровень, но и даже заменить репетитора по математике.
Источник: https://nauka.club/matematika/desyatichnyi-logarifm.html
Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln)
Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни. / / Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
|
Источник: https://tehtab.ru/Guide/GuideMathematics/logarifm/LogMainForm/
Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln)
 Проект Карла III Ребане и хорошей компании |
Раздел недели: Тепловые величины: теплоемкость, теплопроводность, температуры кипения, плавления, пламени… |
 |
|||||||||||||||||
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни. / / Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: |
|||||||||||||||||||
| Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста. | |||||||||||||||||||
| Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. |
Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/logarifm/LogMainForm/
Десятичный логарифм
Определение 1
Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.
- Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $lg$:
- $lg a=log_{10}a$.
- Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.
- Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:
- $log a$.
Замечание 1
Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $lg a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.
Свойства десятичного логарифма
-
Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:
$lg 1=0$.
-
Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:
$lg 10=1$.
-
Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:
$lg (ab)=lg a+lg b$.
-
Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:
$lg frac{a}{b}=lg a-lg b$.
-
Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:
$lg a^s=s cdot lg a$.
Ничего непонятно?
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Пример 1
- Упростить выражение $frac{2 lg 40-lg 16}{lg 50-frac{1}{2} lg 25}$.
- Решение.
- Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
- $frac{2 lg 40-lg 16}{lg 50-frac{1}{2} lg 25}=frac{2(lg 4+lg 10 )-lg 4^2}{lg 5+lg 10-frac{1}{2} lg 5^2}=$
- откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $lg 10=1$:
- $=frac{2 lg 4+2-2 lg 4}{lg 5+1-frac{1}{2} cdot 2 lg 5}=frac{2}{lg 5+1-lg 5}=2$.
- Ответ: $frac{2 lg 40-lg 16}{lg 50-frac{1}{2} ln 25}=2$.
Пример 2
- Вычислить значение логарифмического выражения $lg 200+lg frac{1}{20}$.
- Решение.
- Применим формулу суммы логарифмов:
- $lg 200+lg frac{1}{20}=lg (200 cdot frac{1}{20})=lg 10=1$.
- Ответ: $lg 200+lg frac{1}{20}=1$.
Пример 3
- Вычислить значение логарифмического выражения $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg 10000$.
- Решение.
- Применим свойство логарифма степени:
- $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg 10000=2 ln e^{-2}+3 lg 10^4=2 cdot (-2) ln e+3 cdot 4 lg 10=-4 ln e+12 lg 10=$
- теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:
- $=-4 cdot 1+12 cdot 1=8$.
- Ответ: $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg 10000=8$.
Пример 4
- Упростить логарифмическое выражение $lg frac{1}{8}-3 lg 4$.
- Решение.
- Применим свойство логарифма степени:
- $lg frac{1}{8}-3 lg 4=lg 2^{-3}-3 lg 2^2=-3 lg 2-3 cdot 2 lg 2=-9 lg 2$.
- Ответ: $lg frac{1}{8}-3 lg 4=-9 lg 2$.
Пример 5
- Вычислить значение логарифмического выражения $3 lg 0,09-2 lg 27$.
- Решение.
- Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
- $3 lg frac{9}{10^2}-2 lg 27=3 lg (frac{3}{10})^2-2 lg 3^3=3 cdot 2 lg frac{3}{10}-2 cdot 3 lg 3=6 lg frac{3}{10}-6 lg 3=$
- применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
- $=6(lg 3-lg 10 )-6 lg 3=$
- откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
- $=6 lg 3-6 lg 10-6 lg 3=-6$.
- Ответ: $3 lg 0,09-2 lg 27=-6$.
Пример 6
- Упростить логарифмическое выражение $lg 0,81-2 lg 9$.
- Решение.
- Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:
- $lg 0,81-lg 9^2=lg 0,81-lg 81=$
- применим формулу разности логарифмов:
- $=lg frac{0,81}{81}=lg 0,01=$
- запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:
- $=lg 10^{-2}=$
- применим формулу логарифма степени:
- $=-2 lg 10=-2$.
- Ответ: $lg 0,81-2 lg 9=-2$.
Пример 7
- Вычислить значение логарифмического выражения $frac{2 lg 2-lg 16}{lg 4+lg 16}$.
- Решение.
- Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:
- $frac{2 lg 2-lg 16}{lg 4+lg 16}=frac{lg 2^2-lg 16}{lg 4+lg 16}=$
- применим формулы разности и суммы логарифмов:
- $=frac{lg frac{4}{16}}{lg (4 cdot 16)} =frac{lg frac{1}{4}}{lg 64} =$
- применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:
- $=frac{lg 4^{-1}}{lg 4^3} =frac{-lg 4}{3 lg 4}=-frac{1}{3}$.
- Ответ: $frac{2 lg 2-lg 16}{lg 4+lg 16} =-frac{1}{3}$.
Пример 8
- Преобразовать логарифмическое выражение $lg frac{100}{e}$.
- Решение.
- Применим формулу логарифма частного:
- $lg frac{100}{e}=lg 100-lg e=$
- к первому логарифму применим формулу логарифма степени:
- $=lg 10^2-lg e=2 lg 10-lg e=$
- применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:
- $=2 cdot 1-lg e=2-lg e$.
- Ответ: $lg frac{100}{e}=2-lg e$.
Источник: https://spravochnick.ru/matematika/osnovnoe_logarifmicheskoe_tozhdestvo/desyatichnyy_logarifm/
Десятичные логарифмы
- Свойства десятичных логарифмов
- Десятичный логарифм – это логарифм при основании числа 10. Например,
- log10100 = 2; log101000 = 3; log100,01 = -2.
- Десятичные логарифмы часто для краткости изображают знаком lg без указания основания:
- log10N = lg N.
- Все десятичные логарифмы обладают общими свойствами всех логарифмов, но они имеют и свои собственные свойства, не подходящие для логарифмов, не относящихся к десятичным.
Свойства десятичных логарифмов
Десятичный логарифм числа, изображённого единицей с последующими нулями, равен стольким единицам, сколько нулей в записи числа.
lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3; …
| lg | 100 . . . 0 | = n |
| n нулей |
Логарифм правильной десятичной дроби, изображённой единицей с предшествующими нулями, равен стольким отрицательным единицам, сколько нулей в изображении дроби (считая в том числе и 0 целых).
lg 0,1 = -1; lg 0,01 = -2; lg 0,001 = -3; …
| lg | 0,00…01 | = -n |
| n нулей |
- Десятичный логарифм любого числа, не являющегося рациональной степенью числа 10, представляет собой число иррациональное.
- Например, числа 2, 11, 250 не являются рациональной степенью числа 10. Поэтому логарифмами этих чисел будут иррациональные числа:
- lg 2, lg 11, lg 250 – иррациональные числа.
- Логарифм целого числа, изображённого n цифрами, заключается между числами (n — 1) и n.
- 0 ⩽ lg 2 < 1
- 2 ⩽ lg 234 < 3
- 3 ⩽ lg 1000 < 4
- Логарифм десятичной дроби, целая часть которой содержит n цифр, заключается также между (n — 1) и n.
- 0 ⩽ lg 2,5 < 1
- Логарифм правильной десятичной дроби, содержащий до первой значащей цифры n нулей, считая и нуль целых, заключается между числами -n и -(n — 1).
- -1 ⩽ lg 0,1 < 0
- -2 ⩽ lg 0,025 < -1
- -3 ⩽ lg 0,007 < -2
| Новое на сайте | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2020 | © | izamorfix.ru |
Источник: https://izamorfix.ru/matematika/algebra/desyatich_logarifm.html
