Гиперболический котангенс cth(x), формулы и примеры

Ответ:

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями Например, гиперболические синус и косинус определяются как Производные этих функций имеют вид Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1)гиперболический синус: (в зарубежной литературе обозначается sinx); 2)гиперболический косинус: (в зарубежной литературе обозначается cosx); 3)гиперболический тангенс: (в зарубежной литературе обозначается tanx); 4)гиперболический котангенс: ; 5)гиперболические секанс и косеканс: Геометрическое определение: Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы При этом аргумент t=2S , где S — площадь криволинейного треугольника OQR , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом. Связь с тригонометрическими функциями: Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента. Аналитические свойства: Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности.

Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек вычеты его в этих полюсах также равны единице.

• Таблица производной.
  
• Ответ:

  Таблица производных (которые в основном нам нужны):

• 46)Производная функции – заданной параметрически.
  

Ответ:

Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от Пусть функция имеет обратную: Тогда мы можем, взяв композицию функций получить зависимость y от x: Зависимость величины y от величины x, заданной параметрически, можно выразить через производные функций поскольку и, по формуле производной обратной функции, где — значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение x. Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между снова выраженной в виде параметрической зависимости: второе из этих соотношений — то же, что участвовало в параметрическом задании функции y(x) . Несмотря на то, что производная не выражена через в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра t. Покажем это на следующем примере. Пример 4.22: Пусть зависимость между x и y задана параметрически следующими формулами: Найдём уравнение касательной к графику зависимости y(x) в точке Значения получаются, если взять t=1. Найдём производные x и y по параметру t: Поэтому При t=1 получаем значение производной это значение задаёт угловой коэффициент k искомой касательной. Координаты точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково: Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости мы можем отыскать вторую производную функции y по переменной x:

Справочные данные по гиперболическим функциям. Определения, графики и свойства гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Формулы сумм, разностей и произведений. Производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через тригонометрические функции.

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

sh x — гиперболический синус

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x — гиперболический косинус

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y < +∞ .

th x — гиперболический тангенс

, -∞ < x < +∞; — 1 < y < +1 .

cth x — гиперболический котангенс

X ≠ 0
; y < -1 или y > +1 .

Графики гиперболических функций

1. График гиперболического синуса y = sh x
2. График гиперболического косинуса y = ch x
3. График гиперболического тангенса y = th x
4. График гиперболического котангенса y = cth x

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = — i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = — i ctg z
Здесь i — мнимая единица, i 2 = -1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh(-x) = — sh x ; ch(-x) = ch x .
th(-x) = — th x ; cth(-x) = — cth x .

Функция ch(x) — четная. Функции sh(x) , th(x) , cth(x) — нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x — sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y
,
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y
,
,
,

sh 2
x = 2 sh x ch x
,
ch 2
x = ch 2 x + sh 2 x
= 2 ch 2 x — 1 = 1 + 2 sh 2 x
,
.

Формулы произведений гиперболического синуса и косинуса

• ,
  ,
  ,
• ,
  ,
• .

Формулы суммы и разности гиперболических функций

,
,
,
,

.

Связь гиперболического синуса и косинуса с тангенсом и котангенсом

, ,
, .

Производные

,

Интегралы от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разложения в ряды

sh x

ch x

th x

cth x

Обратные функции

Ареасинус

При — ∞ < x < ∞ и — ∞ < y < ∞ имеют место формулы: ,

.

Ареакосинус

1. При 1 ≤ x < ∞ и 0 ≤ y < ∞ имеют место формулы: ,
2. .
3. Вторая ветвь ареакосинуса расположена при 1 ≤ x < ∞ и — ∞ < y ≤ 0 : .

Ареатангенс

При — 1 < x < 1 и — ∞ < y < ∞ имеют место формулы: ,

.

Ареакотангенс

При — ∞ < x < — 1 или 1 < x < ∞ и y ≠ 0 имеют место формулы: ,

.

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.

№	Функция	Название	Производная
1.	гиперболический синус
2.	гиперболический косинус
3.	гиперболический тангенс
4.	гиперболический котангенс

Формулы для гиперболических функций

1. .

Доказательство. Рассмотрим искомую разность

. .

• Доказательство. Рассмотрим произведение
• .
• Рассмотрим произведение .
• Сложим два произведения и приведем подобные:
• Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
• Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.
• Докажем формулы для производных гиперболических функций.

1. Рассмотрим гиперболический синус .

При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции .

Поэтому, производная .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. Рассмотрим гиперболический косинус .

Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. Рассмотрим гиперболический тангенс .

1. Находим производную по правилу отыскания производной дроби.
2. 4. Производную гиперболического котангенса
3. можно найти как производную сложной функции .
4. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .
5. Дифференциал функции
   
6. Пусть функция – дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде
7. где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых и . Было показано, что второе слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)

Определение 8.3.Дифференциалом
функции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или ):

(8.4)

Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.

Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. . Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции

Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.

Т.к. производная . Таким образом, получили: и дифференциал функции можно находить по формуле

. (8.4.1)

Замечание 8.7.
Из формулу (8.4.1) следует, что.

8.7.
Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка не вышла из области определения функции .

Рисунок 8.1 Изображение графика функции

Точка имеет координаты . Отрезок . Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке .

По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что .

Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .

Замечание 8.8.
Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что , т.е. .

На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты . Отрезок .

На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е. . Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство . Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.

Источник: https://drafteea.ru/military-id/proizvodnaya-giperbolicheskogo-kotangensa-obratnye-giperbolicheskie-funkcii-ih-grafiki-i-formuly-arc/

Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрии: определения, формулы, примеры, угол поворота

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии. 

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии. 

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

• Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
• Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Важно помнить!

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом.

Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.

 Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Важно помнить!

1. Синус и косинус определены для любых углов α.
2. Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)
3. Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

• Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).
• Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
• Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.
• Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс.

В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y).

Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

1. В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 
2. sin α=A1HOA1=y1=y
3. Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
4. Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/sinus-kosinus-tangens-i-kotangens/

Справочные данные по гиперболическим функциям – свойства, графики, формулы. Формулы суммы и разности гиперболических функций. Что такое тег

Много лет назад тег td использовался для вёрстки сайтов, что не является его прямым назначением. А с ростом популярности CSS идея «таблицы — это плохо
» укоренилась в мозгах многих разработчиков.

Но это совсем не так — таблицы плохи только тогда, когда их используют не по назначению. То есть не для отображения табличных данных: электронных таблиц, календарей, и т.д.

Если вам необходимо вставить на страницу подобные данные, не стоит сомневаться — смело используйте HTML-таблицы
.

Те, кто начал заниматься веб-разработкой уже после того, как табличная вёрстка впала «в немилость
», могут не знать всех элементов, используемых в HTML-таблицах
. Один из распространённых вопросов от них звучит так: «В чём разница между табличными тегами и ?
».

Что такое тег ?

HTML тег td расшифровывается как table data («табличные данные
»). Он создаёт ячейки в определённом ряду таблицы. Именно в этот тег необходимо вставлять текст и изображения.

Что такое тег ?

Тег расшифровывается как table header («заголовок таблицы
»). Он во многом похож на . Он принимает такой же тип содержимого (хотя изображение в
лучше не вставлять
), но обозначает одну ячейку как заглавную.

Большинство браузеров отображают текст в такой ячейке жирным шрифтом и выравнивают его по центру. Конечно, для оформления заголовков таблицы и содержимого ячеек можно и нужно использовать CSS
.

Когда стоит использовать , а не ?

Тэг (а не теги tr и td ) используется для установки содержимого ячейки заголовком определённой колонки или ряда.

Заголовки таблицы обычно расположены по верхнему или левому краю таблицы — в верхнем ряду как заголовки колонки или в первой колонке слева как заголовки ряда. Ячейки-заголовки показывают, что за содержимое расположено в таблице рядом или под ними, облегчая восприятие таблицы.

Не используйте для оформления ячеек. Поскольку браузеры обычно меняют внешний вид ячеек-заголовков, некоторые веб-дизайнеры пользуются этой особенностью для выделения и центровки шрифта. Так не следует делать сразу по нескольким причинам:

1. Нельзя полагаться на то, что все браузеры будут отображать ваш контент одинаково. Будущая версия браузера может поменять цвет, используемый по умолчанию или вообще перестать выделять содержимое тега . Поэтому никогда не стоит полагаться на встроенные стили браузеров и использовать данный HTML-элемент
   ;
2. Это семантически неправильно. Некоторые пользовательские агенты могут читать голосом содержимое таблиц и добавлять «заголовок таблицы: ваш текст
   » при встрече с ячейкой . Кроме этого некоторые веб-приложения могут размещать заголовки по верхней кромке страницы. Это станет проблемой, если ячейка не является заголовком, а используется исключительно для оформления.

Использование неподходящих тегов может ограничить доступность вашего контента для многих пользователей. Особенно для тех, кто использует различные вспомогательные устройства.

Для оформления ячеек следует применять CSS
. Разделение стиля (CSS ) и структуры (HTML тег td ) — общепринятый метод веб-дизайна уже много лет. Повторим ещё раз: используйте потому, что содержимое ячейки — заголовок, а не потому, что вам нравится, как это по умолчанию отображает ваш браузер.

Перевод статьи “What’s the difference between th and td HTML table tags?
” был подготовлен дружной командой проекта .

Хорошо
Плохо

Как его произносить? Как исправить типичные ошибки? Как “натренировать свой рот” на правильное произношение? Сегодня мы ответим на эти вопросы при помощи видео, упражнений, скороговорок, слов и примеров из песен.

Какой звук дают буквы th

Только давай сразу оговоримся, что th – это не звук. Это сочетание букв, которое может читаться как два звука: глухой / θ /, как в слове thanks,
и звонкий / ð /, как в слове that.
Именно этими знаками межзубные “звуки th” обозначаются в транскрипции. Но в статье я иногда буду писать “звук th” для удобства.

Оба звука, и звонкий и глухой, артикулируются одинаково
(губы и язык находятся в одном положении). Поэтому построим работу мы следующим образом:

1. Сначала научимся правильному положению рта для обоих звуков;
2. Потом проанализируем возможные ошибки и узнаем, как их исправить;
3. Потом отработаем на скороговорках и словах каждый звук по отдельности.

Да, этих звуков у нас нет. Но у нас есть понятие “шепелявить”. Помнишь ленивца Сида из Ледникового периода: “Нет, я ф
лиф
ком молод, ф
тобы умирать!”
. В английском толковом словаре слово “lisp” (шепелявить) толкуется как “дефект речи, при котором s и z звучат как th в think
и this
соответственно”.

В этом видео как раз говорится про шепелявость. Рекомендую к просмотру: просто и с юмором.

То есть, получается, нам нужно произнести русский / с / шепеляво для глухого / θ / и русский / з / – для звонкого / ð /. Как это, “шепеляво”? Скажи прямо сейчас слово “состав”
.

При произнесении звука / c / твой язык находится ЗА зубами. Теперь поставь язык между зубов
(звук th – межзубный) и снова скажи “состав”
.

У тебя получится подобие глухого th, как в слове thick
.

Теперь проделай то же самое, но уже со словом “зазор”.
В итоге у тебя получится подобие звонкого th, как в слове then
.

Почему я говорю “подобие”? Потому что русские /с – з/ /s – z/, а значит и шепелявость их будет немного отличаться. Поэтому давай все же поподробнее остановимся на положении артикуляционного аппарата.

Как произносится звук th в английском

Язык распластан
и напряжен, а его кончик находится между верхними и нижними зубами, образуя узкую плоскую щель между режущим краем верхних зубов
и поверхностью переднего края языка.

Чтобы научиться идеальной постановке артикуляционного аппарата предлагаю тебе к просмотру видео. В нем показано три лайфхака:

2:08
– как поставить артикуляционный аппарат в идеальное положение: открой рот, положи язык сверху на нижние зубы, чтобы кончик находился прямо за нижней губой и медленно опусти на язык верхние зубы – попробуй произнести глухой вариант th, как в think
.

2:52
– как ощутить нужное напряжение языка: берем соломинку и ставим ее между языком и верхними зубами – так ты почувствуешь, какой силы напряжение должно быть у языка.

3:36
– насколько высовывать язык вперед: ставим палец перпендикулярно губам (как, когда мы просим быть потише) и высовываем язык. Язык должен слегка касаться пальца – это и есть лимит.

И не забывай повторять предложения и слова вслед за ведущим! С этим звуком нужна практика и еще раз практика.

Произношение межзубного звука th: видео.

Как произносить звук th на русском

Теперь, когда ты разобрался, в каком положении должен находиться артикуляционный аппарат, давай вместе посмеемся над типичными ошибками русскоговорящих, чтобы избежать их на практике (которая, кстати, будет идти сразу после этого пункта).

Возможные ошибки:	Как исправить:
Замена глухого / θ / на / с / (think произносим “синк” ); Замена звонкого / ð / на / з / (then произносим, как “зен” ).	Не выгибай переднюю спинку языка вверх. + Кончик языка должен быть между зубами, а не у основания нижних передних зубов (и не у альвеол, ). Отчитывай упражнения на контраст слов, например: mouth /maʊθ/ – mouse /maʊs/, thing /θɪŋ/ – sing /sɪŋ/, with /wɪð/ – whizz /wɪz/.
Замена глухого / θ / на / ф / (three произносим, как “фри” ); Замена звонкого / ð / на / в / (breathe произносим, как “брив” ).	Обнажи зубы, особенно нижние, как при их чистке, для того, чтобы нижняя губа не соприкасалась с верхними зубами и не приближалась к ним. Отчитывай контрастные пары: three /θriː/ – free /friː/, thought /θɔːt/ – fought /fɔːt/.
Замена глухого / θ / звуком / т / (thick произносим, как “тик” ); Замена звонкого / ð / на / д / (this произносим, как “диз” ).	Переднюю часть языка не прижимай к верхним зубам: она опущена вниз, а кончик находится между зубами. Отчитывай упражнения на контраст слов, например: thick /θɪk/ – tick /tɪk /.
Оглушение звонкого варианта th / ð / ⇒ замена на глухой вариант / θ / в конце слова. Может происходить по привычке, ведь в русском языке звонкие согласные на конце слова произносятся глухо.	Помни, что в английском языке звонкие звуки на конце слова не оглушаются! Отчитывай упражнения на контраст слов, например: teeth /tiːθ/ – teethe /tiːð/.

Видишь, не так уж все и сложно. ???? Разобраться, как именно должен произноситься этот звук, вполне посильно. Тем более, что в Интернете полно обучающих видео по этой теме (например, посмотри , из которого ты узнаешь о том, как правильно произносить звуки th в сочетании с другими звуками).

В чем же тогда загвоздка? Почему этот звук все же вызывает трудности? Потому что приучить себя правильно произносить его при быстрой и спонтанной речи – настоящий подвиг для нас. Выход – специальные упражнения и много практики.

Отработка звука th на английском: упражнения и тренировки

Первый совет: сначала, чтобы языку стало привычнее это “межзубное положение”, намеренно преувеличивай! Высовывай язык максимально вперед, произноси его очень утрированно, не стесняйся выглядеть глупо. Подробнее в видео:

• Еще одно упражнение, которое поможет привыкнуть: напевать абсолютно любую мелодию (например, “В лесу родилась елочка”), заменяя все слова на звуки / θ / и / ð /.
• В лесу родилась ёлочка, в лесу она росла, зимой и летом стройная зеленая была
  Thethe thethethe thethethe, thethe thethe thethe, thethe the thethe thethethe thethethethe thethe.

• Теперь, когда ты привык, переходи к отработке на словах и скороговорках.

Английские слова со звуком th: глухой вариант

Итак, настраиваем рот в нужное положение и приступаем к фонетической зарядке на звук th. Не забывай, что этот звук не нужно смягчать перед гласными переднего ряда (такими, как i). Звук / θ / всегда только твердый.

1. thought /θɔːt/
2. thrust /θrʌst/
3. through /θruː/
4. strength /streŋθ/
5. thrall /θrɔːl/
6. fourth /fɔːθ/

Отлично! Теперь ты можешь попробовать на скороговорках.

Скороговорки на английском на звук th

• Th
  irty-th
  ree th
  ousand and th
  irty th
  inkers th
  ought th
  irty-th
  ree th
  ousand and th
  irty th
  oughts.
• Th
  ree th
  erapists th
  rew th
  ree th
  ermometers in th
  ree th
  ick th
  ickets of th
  orny th
  istle.
• I am th
  ankful for a th
  ousand th
  ings … For faith
  ful earth
  , for birth
  and breath
  , for th
  ought and health
  and strength
  and mirth
  , and, may be, when it comes, for death
  .

В завершение нашей тренировки, как обычно, мы возьмем пример из известной песни на звук th. Я остановилась на песне “Under My Thumb” группы The Rolling Stones. Слово thumb
повторяется на протяжении всей песни с отчетливым произношением звука / θ /.

Слова со звуком th в английском языке: звонкий вариант

Теперь переходим к звонкому звуку / ð /. Вновь обращаю твое внимание, что этот звук всегда твердый и не смягчается перед гласными переднего ряда.

• loathe /ləʊð/
• breathe /briːð/
• other /ˈʌð.ə r /
• there /ðeə r /
• whether /ˈweð.ə r /
• mother /ˈmʌð.ə r /
• father /ˈfɑː.ðə r /
• brother /ˈbrʌð.ə r /
• neither /ˈniː.ðə r /
• worthy /ˈwɜː.ði/
• leather /ˈleð.ə r /
• together /təˈɡeð.ə r /
• another /əˈnʌð.ə r /

Английские скороговорки на звук th

• Th
  ese broth
  ers bath
  e with
  th
  ose broth
  ers, th
  ose broth
  ers bath
  e with
  th
  ese broth
  ers.
• Th
  ey are always both
  ering Fath
  er and Moth
  er to do things for th
  em.
• Th
  ese cloth
  es are rath
  er for th
  e southern weath
  er, th
  ose cloth
  es are rath
  er for th
  e northern weath
  er.

Кстати, очень советую и изучить еще одну скороговорку. Вернее, это множество разных скороговорок на глухой и звонкий th, которые наложены на музыку.

Выучишь эту песню, и твой артикуляционный аппарат никогда не забудет верное положение. ????

А теперь пример из песни. Для звонкого th я остановилась на песне “One Way Or Another” группы Blondie. Слово another
вновь произносится на протяжении всей песни и четко артикулируется.

Итоги: чтение звуков th в английском языке

Как видишь, ничего слишком страшного в звуке th нет. Главное – практика. Ты можешь сохранить нашу статью в закладки и периодически прогонять тренировки звуков th снова и снова. А чтобы ничего не спуталось в голове, предлагаю кратко подвести итоги:

• Буквосочетание th дает 2 звука: глухой / θ /, как в thanks,
  и звонкий / ð /, как в that
  . Запомни эти значки: если ты встретил новое слово, то обратись к словарю , чтобы узнать транскрипцию и услышать произношение.
• Этот звук произносится, как шепелявое / s / и / z / – язык распластан и напряжен, кончик находится между верхними и нижними зубами, образуя узкую плоскую щель между режущим краем верхних зубов и поверхностью переднего края языка.
• Основная сложность для нас – приучить свой артикуляционный аппарат к этому звуку. Особенно к тому, чтобы правильно произносить его во время быстрой, беглой речи. Поэтому обязательно проводи для себя тренировки: напевай песенки, прогоняй наборы слов и скороговорки.

Не переключайся: продолжение следует

Источник: https://gikk.ru/linux/spravochnye-dannye-po-giperbolicheskim-funkciyam-svoistva/

Гиперболические функции

Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы. Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.

Риккати применял для гиперболических функций обозначения Sh и Ch. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp, coshyp, в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh, ch, в англоязычной закрепились sinh,cosh.

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

(в англоязычной литературе обозначается sinh(x))

(в англоязычной литературе обозначается tanh(x))

• гиперболический котангенс:

,

Иногда также определяются

• гиперболические секанс и косеканс:, .

В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:

•  — «ши́нус», «сихинус».
•  — «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чи́нус», «чихо́нус».
•  — «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
•  — «кочангенс», «кота́хинус».

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

Геометрическое определение

Ввиду соотношения ch²t-sh²t=1, гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x2 − y2 = 1 (x=cht, y=sht).

При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае.

Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

sin (х) = Im(e)

cos(x) = Re(e), где e ix = cos (x) + i sin(x).

Функция Гудермана, названная в честь Кристофа Гудермана (1798—1852), связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел. Она определяется как

При этом .

• Имеют место также следующие тождества:
• , ,
• , ,
• Важные тождества

1. Чётность:
2. Формулы сложения:
3. Формулы двойного угла:
4. Формулы кратных углов:

1. Произведения
2. Суммы
3. Формулы понижения степени

1. Интегралы:

Неравенства

1. При всех выполняется:
2. ,
3. Разложение в степенные ряды
4. (Ряд Лорана)
5. Здесь B2n — числа Бернулли.
6. Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

•  — обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:
•  — обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
•  — обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
•  — обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
•  — обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.
•  — обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.
• Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
• где i — мнимая единица.
• Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, пишут как (причём обозначает другую функцию  — ), и т. д.

Достарыңызбен бөлісу:

Источник: https://dereksiz.org/giperbolicheskie-funkcii.html