Уравнения лагранжа в физике

Из принципа Гамильтона обычным методом вариационного исчисления можно получить дифференциальные уравнения. Наряду с зависимостью , описывающей истинное движение механической системы, рассмотрим пробные функции , отличающиеся от на бесконечно малую величину:

(3.1) Дифференцируя равенство (3.1) по времени, найдем (3.2) Откуда следует, что вариация скорости равна производной от вариации координаты: . (3.3).

Это уже было отмечено ранее, что дифференцирование по времени и варьирование можно переставлять. Вариации координат рассматриваются такими, что в моменты времени и . они равны нулю: (3.4)

• Действие для пробных функций Разложим в ряд в линейном приближении по , и : (3.5)
• Интеграл от одного из слагаемых первой суммы в (3.5) вычислим по частям:
• (3.6)

Согласно условию (3.4), на пределах интегрирования . Поэтому первое слагаемое в последнем равенстве обращается в нуль. Подставляя теперь результат из (3.6) в (3.5) и записывая вариацию действия, получим

Поскольку вариации координат Произвольны, то нулю должны равняться выражения в скобках для каждого . В результате получается система дифференциальных уравнений, которые в механике называются Уравнениями Лагранжа: (3.8) Уравнения Лагранжа — это система дифференциальных уравнений относительно неизвестных обобщенных координат . Их решение дает зависимость обобщенных координат от времени, ко­торая удовлетворяет принципу Гамильтона и, следовательно, опи­сывает истинное движение механической системы. Преимуществом уравнений Лагранжа по сравнению с векторными уравнениями второго закона Ньютона является то, что они получаются из одной скалярной функций — функции Лагранжа и сразу оказываются записанными в обобщенных координатах

Несмотря на то, что Функция Лагранжа равна разности кине­тической и потенциальной энергии, в выборе функции Лагранжа имеется некоторый произвол.

Две функции Лагранжа, отличаю­щиеся на полную производную по времени от произвольной функ­ции координат и времени, дают одни и те же уравнения движения. Покажем это.

Пусть и Отличаются на полную производную по времени от некоторой функции ; (3.9)

Тогда для разности действий, отвечающих этим функциям Лагранжа, получим:

Вследствие того, что вариация координат на пределах интегрирования и =0, вариацииИ равны.

Поэтому они будут обращаться в нуль одними и теми же зависимостями , то есть принцип Гамильтона с функцией ЛагранжаДает тот же закон движения системы, что и принцип Гамильтона с функцией Лагранжа .

Наличие этого произвола позволяет иногда упрощать функцию Лагранжа путем отбрасывания членов, которые можно объединить в выражение, представляющее полную производную по времени от функции координат и времени.

Уравнения Лагранжа обобщаются на механические системы, в которых действуют непотенциальные силы. Выражение для; обо6щенной непотенциалыюй силы нужно добавить в правую часть уравнений Лагранжа. Они тогда принимают вид , Где (3,10)

В частном случае, когда непотенциальные силы являются силами трения, пропорциональными первой степени скорости, они могyт быть получены из Диссипативной функции Рэлея: ; (3.11) Коэффициенты могут зависеть от координат и характеризуют силы трения в механической системе.

Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12) Уравнения (3.10) и (3.12) не могут быть получены на основе вариационного принципа. Они выводятся непосредственно из принципа Даламбера. В лагранжевом формализме можно включать в уравнения движения силы немеханической природы.

Например, уравнения движения заряда в электромагнитном поле получаются из фунции Лагранжа, которая содержит слагаемые, описывающие взаимодей­ствие заряда с полем: (3.13) где И — скалярный и векторный потенциалы электромагнит­ного поля, — скорость света в вакууме. Электромагнитные ве­личины записаны в гауссовой системе единиц.

Источник: https://www.webpoliteh.ru/poluchenie-uravnenij-lagranzha-iz-principa-gamiltona/

Maple: составление уравнений Лагранжа 2 рода и метод избыточных координат

По роду профессиональной и научной деятельности я механик. Преподаю теоретическую механику в университете, пишу докторскую диссертацию в области динамики подвижного состава железных дорог. В общем, эта наука поглощает большую часть моего рабочего и даже свободного времени.

С Maple (на кафедре была 6-я версия, а у лоточников домой была куплена 8-я) познакомился ещё студентом, когда начинал работать над будущей кандидатской под крылом моего первого (ныше покойного) научного руководителя. Были и добрые люди, что помогли на самом первом этапе разобраться с пакетом и начать работать.

И вот так постепенно на его плечи была переложена большая часть вычислительной работы по подготовке диссертации. Диссертация была защищена, а Maple навсегда остался надёжным помошником в научном труде. Часто бывает необходимо быстро оценить какую-нибудь задачу, составить уравнения, исследовать их аналитически, быстро получить численное решение, построить графики.

В этом отношении Maple просто незаменим для меня (ни в коем разе не хочу обидеть приверженцев других пакетов). Сделать всё то, что будет предложено читателю под катом, меня подвигла задача принесенная ученицей (приходится ещё заниматься и репетиторством) со школьной олимпиады.

Условие задачи таково:Груз, висящий на нити длины L = 1,1 м, привязанной к гвоздю, толкнули так, что он поднялся, а затем ударился в гвоздь. Какова его скорость в момент удара о гвоздь? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Если не придираться к некоторонной туманности условия, то задача достаточно проста, а её решение, полученное путем довольно громоздких для школьника выкладок, в общем виде дает результат

• 
• 
• где — функция Лагранжа, равная разности кинетической и потенциальной энергий системы.

И вот тут захотелось проверить решение, полученное с оглядкой на школьную программу по физике независимым способом, например составив дифференциальные уравнения движения этого маятника, да не просто, а с учетом освобождения от связи (в процессе движения нить, считаемая невесомой, провисает и маятник движется как свободная точка). Это послужило катализатором для того, чтобы взять да и откопать свои старые задумки, накопленные ещё со времен работы в оргкомитете Всероссийской Олимпиады студентов по теоретической механике — три года подряд занимался там подготовкой задач компьютерного конкурса. Задумки касались автоматизации построения уравнений движений для механических систем с неудерживающими связями и трением, используя известные всем уравнения Лагранжа 2 рода поборов стереотип многих преподавателей о том, что уравнения эти неприменимы к системам с неудерживающими связями и трением. Что касается Maple, то его библиотека для решения задач вариационного исчисления дает возможность быстро получить уравнения Эйлера-Лагранжа, решение которых минимизирует действие по Гамильтону, что применимо для консервативных систем Так как расматриваемые задачи не относятся к классу консервативных, то автором была предпринята попытка самостоятельно реализовать автоматизацию построения и анализа уравнений движений. Что из этого вышло, изложено под катом

1. Метод избыточных координат

Рассматриваем механическую систему, имеющую s степеней свободы, положение которой описывается вектором обобщенных координат . Пусть также имеется r неудерживающих связей, к числу реакций которых можно причислить и трение покоя, при превышении предельного значения переходящее в активную силу трения скольжения, направление которой противоположно направлению относительной скорости скольжения.

1. Учет неудерживающих связей требует от нас определения и анализа величины их реакций, поэтому необходимо так же определить их величину. Уберем указанные связи и введем дополнительно r обобщенных координат, выразив через них кинетическую энергию системы
2. 
3. Составим s + r уравнений движения в форме уравнений Лагранжа 2 рода
4. 
5. содержащие s+r неизвестных координат и r неизвестных реакций связей. Считая связи удерживающими, дополняем данную систему уравнениями связей (для простоты рассматривая геометрические связи) в виде
6. 
7. 
8. являющиеся функциями первых s (независимых) обобщенных координат и скоростей и они могут быть расчитаны на любом шаге интегрирования уравнений движения (1). Для удерживающих связей типа «нить/поверхность» уравнения (1) и (2) надо дополнить условием освобождения от связи
9. 
10. а для связей с сухим трением вида
11. где Fj и Nj соответственно касательная и нормальная составляющая реакции; vj — проекция скорости относительного проскальзывани точки приложения реакции.

получаем замкнутую систему уравнений, из которой находятся значения реакций Таким образом, уравнения (1) — (4) представляют собой полную математическую модель движения рассматриваемой механической системы. Засим с теорией можно покончить и перейти к практике

2. Maple-функции построения и анализа уравнений Лагранжа

Для решения этой задачи была написана Maple-библиотека lagrange, содержащая четыре функции

LagrangeEQs — построение уравнений движения в форме Лагранжа 2 рода

LagrangeEQs := proc(T, q, r, F)

local s := numelems(q);
local n := numelems(rk);
local i, k;
local T1, dT1dv;
local dTdv, dTdvdt;
local T2, dT2dq;
local dTdq;
local left_part;
local Q;
local summa;
local r1, dr1dq, drdq;

# Получение левой части уравнений движения
for i from 1 to s do

# Дифференцируем кинетическую энергию по обобщенным скоростям и времени
T1[i] := subs(diff(q[i], t) = v[i], T);
dT1dv[i] := diff(T1[i], v[i]);
dTdv[i] := subs(v[i] = diff(q[i], t), dT1dv[i]);
dTdvdt[i] := diff(dTdv[i], t);

# Дифференцируем кинетическую энергию по обобщенным координатам
T2[i] := subs(q[i] = q1[i], T);
dT2dq[i] := diff(T2[i], q1[i]);
dTdq[i] := subs(q1[i] = q[i], dT2dq[i]);

# Формируем левую часть уравнения движения
left_part[i] := expand(simplify(dTdvdt[i] — dTdq[i]));
end do;

VectorCalculus[BasisFormat](false);

# Вычисляем обобщенные силы (правая часть уравнений движения)
for i from 1 to s do
summa := 0;
for k from 1 to n do

# Дифференцируем радиус-ректор точки приложения k-й силы по i-й обобщенной координате
r1[k] := subs(q[i] = q1[i], r[k]);
dr1dq[k] := VectorCalculus[diff](r1[k], q1[i]);
drdq[k] := subs(q1[i] = q[i], dr1dq[k]);

# Скалярно перемножаем вектор силы на производную от радиус-вектора по обобщенной координате
# и накапливаем результат
summa := summa + LinearAlgebra:-DotProduct(F[k], drdq[k], conjugate = false);
end do;

Q[i] := expand(simplify(summa));
end do;

# Окончательно формируем уравнения и возвращаем результатq
return {seq(left_part[i] = Q[i], i=1..s)};

end proc:

В качестве входных параметров функция принимает выражение кинетической энергии T как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей; массив обобщенных координат q; массив радиус-векторов точек приложения сил r и массив векторов сил F.

LinksEQs — получение уравнений дифференциальных связей из уравнений геометрических связей

LinksEQs := proc(eqs)

local Eq1, Eq2;
local i;
local r := numelems(eqs);

# Дважды дифференцируем уравнения связей по времени
for i from 1 to r do
Eq1[i] := diff(lhs(eqs[i]), t) = diff(rhs(eqs[i]), t);
Eq2[i] := diff(diff(lhs(eqs[i]), t), t) = diff(diff(rhs(eqs[i]), t), t);
end do;

# и возвращаем результат
return {seq(eqs[i], i=1..r), seq(Eq1[i], i=1..r),seq(Eq2[i], i=1..r)};

end proc:

• Здесь надо отметить, что система уравнений геометрических связей eqs должна содержать избыточные координаты в явном виде, то есть иметь вид
• ReduceSystem — преобразование уравнений движения с учетом уравнений связей

в противном случае функции библиотеки не смогут обработать уравнения правильно. Для тестирования возможностей библиотеки сойдет и так, но в дальнейшем этот момент будет переработан: просто пока неясно, будет ли гарантированно разрешена система уравнений связи относительно угловых избыточных координат. ReduceSystem := proc(eqs, links, q)

local i, j, k;
local links_eqs := LinksEQs(links);

local r := numelems(links_eqs);
local s := numelems(q);

local eq := [seq(eqs[i], i=1..s)];

for i from 1 to s do
for j from 1 to r do
eq[i] := simplify(algsubs(links_eqs[j], eq[i]));
end do:
end do:

return {seq(eq[i], i=1..s)};

end proc:
Данный код в подробных пояснениях не нуждается — тут выполняется подстановка избыточных обобщенных координат, скоростей и ускорений, выражаемых уравнениями геометрических и дифференциальных связей в уравнения движения, с целью приведения их к виду, пригодному для вычисления реакций неудерживающих связей

SolveAccelsReacts — решение уравнений движения относительно реакций и обобщенных ускорений

SolveAccelsReacts := proc(eqs, q, R)

local s := numelems(q);
local r := numelems(R);

# Формируем вектор переменных, относительно которых будем решать уравнения движения
local vars := [seq(diff(diff(q[i], t), t), i=1..s), seq(R[i], i=1..r)];
local eq := [seq(eqs[i], i=1..numelems(eqs))];
local i, j;
local x;
local solv;

# Вводим подстановку — заменяем «иксами» все искомые переменные
for i from 1 to numelems(eqs) do
for j from 1 to s + r do
eq[i] := subs(vars[j] = x[j], eq[i]);
end do:
end do;

# ищем «иксы» (система всегда линейна относительно них)
solv := solve({seq(eq[i], i=1..numelems(eq))}, {seq(x[i], i=1..s+r)});

# Связываем иксы с найденными значениями
assign(solv);

# Возвращаем уравнения, решенные относительно обобщенных ускорений и реакций
return {seq(vars[i] = x[i], i=1..s+r)};

end proc:

Данная функция принимает на вход систему уравнений движения eqs, преобразованную с учетом уравнений связей. Она линейна относительно вторых производных независимых координат и реакций связей. Другие входные параметры: q — вектор независимых координат; R — массив реакций, относительно которых необходимо разрешить уравнения движения.

Теперь проиллюстрируем, как применять описанное «хозяйство» в деле

3. Задача о маятнике на тонкой нерастяжимой нити

Расчетная схема будет такой. В качестве обобщенной координаты выбираем угол наклона нити к вертикали.

Поскольку нить — неудерживающая связь, нас будет интересовать её реакция, а значит введем дополнительную, избыточную координату r(t).

Приступаем. Чистим память и подключаем библиотеку линейной алгебрыrestart;
with(LinearAlgebra):
Подключаем библиотеку lagrange read `/home/maisvendoo/work/maplelibs/mechanics/lagrange.m`;
Определяем вектор обобщенных координат, вычисляем координаты и скорость груза, а так же кинетическую энергию системыq := [r(t), phi(t)];

xM := q[1]*sin(q[2]);
yM := -q[1]*cos(q[2]);

vMx := diff(xM, t);
vMy := diff(yM, t);

T := simplify(m*(vMx^2 + vMy^2)/2);
На выходе получаем выражение для кинетической энергии (для вставки сюда использована функция latex(), генерирующая результат в LaTeX-нотации) Формируем массив сил и массив координат точек их приложенияMg := Vector([0, -m*g]);
React := Vector([-S*sin(q[2]), S*cos(q[2])]);
rM := Vector([xM, yM]);
Fk := [Mg, React];
rk := [rM, rM];
Скармливаем всё функции LagrangeEQs() EQs := LagrangeEQs(T, q, rk, Fk):
получая на выходе уравнения движения

Нетрудно убедится, что функция отработала нормально — для иллюстрации специально выбрана не слишком громоздкая задача. Далее задаем уравнение связи — пока нить натянута, справедливо условие преобразуем систему с учетом этого условия и находим реакцию связиlink_eqs := {r(t) = L};
simple_eqs := ReduceSystem(EQs, link_eqs, q);
solv1 := SolveAccelsReacts(simple_eqs, [phi(t)], [S]);
Сила натяжения нити равна Система (5) — (7) является полной системой уравнений движения груза, с учетом возможности провисания нити. Теперь подготовим её к численному интегрированию. Для начала разрешим её относительно ускорений, передав в SolveAccelsReacts() уравнения (5) и (6), вектор обобщенных координат и пустой массив реакцийEQs2 := SolveAccelsReacts(EQs, q,[]);
получая на выходе Для численного моделирования, хоть это и не спортивно, напишем отдельный код, дабы не забивать голову читателя длительной обработкой полученной системы напильником. Тем более что моделирование будет иметь свои особенности. Готовим исходные данные и систему уравнений движенияL := 1.1:
g := 10.0:

# Функция вычисляет производные фазовых координат
EQs_func := proc(N, t, Y, dYdt)
# Ускорение силы натяжения нити (as = S/m)
local as := 0;
# Если нить уже провисла, то реакции нет
if Y[1] < L then as := 0; else # Если нить натянута, вычисляем ускорение её реакции as := L*Y[4]^2 + g*cos(Y[2]); # Если оно отрицательно — нить провисла, реакции нет if as < 0 then as := 0; end if; end if; # Собственно система уравнений в форме Коши # Y[1] -> r(t) — расстояние от груза до гвоздя
# Y[2] -> phi(t) — угол радиус-вектора груза к вертикали
# Y[3] -> vr(t) — радиальная скорость груза
# Y[4] -> omega(t) — угловая скорость поворота радиус-вектора
dYdt[1] := Y[3];
dYdt[2] := Y[4];
dYdt[3] := Y[1]*Y[4]^2 + g*cos(Y[2]) — as;
dYdt[4] := -(2*Y[3]*Y[4] + g*sin(Y[2]))/Y[1];
end proc:
Строим функцию вычисления состояния системы, при заданной горизонтальной начальной скорости грузаsys_pos := proc(v0)

# Формируем начальные условия
local initc := Array([L, 0, 0, v0/L]);
# Задаем функции, которые ищем
local q := [r(t), phi(t), vr(t), omega(t)];

# Численно решаем систему ОДУ движения
local dsolv := dsolve(numeric, number = 4, procedure = EQs_func, start = 0, initial = initc, procvars = q, output=listprocedure);

# Выделяем из решения полученные функции
local R := eval(r(t), dsolv);
local Phi := eval(phi(t), dsolv);
local Vr := eval(vr(t), dsolv);
local Omega := eval(omega(t), dsolv);

return [R, Phi, Vr, Omega];

end proc:
Теперь проверяем «школьное» решение задачи# Такая начальная скорость должна быть, согласно школьному решению задачи
v0 := evalf(sqrt(g*L*(2 + sqrt(3)))):

# Погрешность попадания груза в гвоздь
eps := 1e-5:

# Интегрируем уравнения и получаем решение
r := sys_pos(v0)[1]:
phi := sys_pos(v0)[2]:
vr := sys_pos(v0)[3]:

# Строим декартовы координаты груза
x := t->r(t)*sin(phi(t)):
y := t->-r(t)*cos(phi(t)):

# Определяем момент удара о гвоздь
t1 := fsolve(r(t) = eps, t=0..10.0):

# Вычисляем скорость в момент удара
v := vr(t1);

# Строим траекторию груза
plot([x(t), y(t), t=0..t1], view=[-L..L, -L..L]);
В итоге, получаем результат, приведенный на скриншоте. Скорость груза в момент удара соответствует приведенному в предисловии значению, и видно, что до провисания нити груз движется по окружности, а после провисания нити движется как свободная точка под действием силы тяжести, по параболе.

Замечу, что погрешности попадания в гвоздь — вынужденная мера: в полярных координатах, которые были использованы, задача имеет особенность, понятную из уравнения (8).

Поэтому r(t) сравнивалось не с нулем, а с величиной eps достаточно малой, чтобы получить решение, и достаточно большой, чтобы численный решатель fsolve() не сходил с ума.

Однако это нисколько не умаляет практической ценности изложенных результатов.

Вместо заключения

Возможно, читатель упрекнет меня, что я стреляю из пушки по воробьям. Однако, хочется заметить, что всё сложное начинается с простого, а большая наука — с малых задач.

Тестовую версию библиотеки можно качнуть тут

Благодарю за внимание к моему труду )

Источник: https://habr.com/en/post/244957/

Функция Лагранжа в обобщенных координатах

(2.2), полу­чим потенциальную энергию как функцию обобщенных координат . Выражение для кинетической энергии мы найдем только для случая, когда связи стационарны и формулы преобразования (2.2) не содержат времени. Подставляя формулу для скорости [ (2.4)] из (2.4) в выражение для кинетической энергии ( ), имеем

Введем матрицу коэффициентов, зависящих только от обобщен­ных координат:

Матрица — это симметричная матрица. Учитывая обозначения (3.24), запишем кинетическую энергию механической системы в виде

Если формулы преобразования к обобщенным координатам не со­держат времени, то кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Функция Лагранжа (разность кинетической и потенциальной энергии называется функцией Лагранжа и обозначается буквой ) принимает форму

• Если формулы преобразования к обобщенным координатам со­держат время, то выражение для кинетической энергии в обобщен­ных координатах будет содержать члены, линейные по обобщен­ным скоростям, и члены, не зависящие от обобщенных скоростей.
• Обобщенный импульс, обобщенная энергия
• Циклические координаты.
• Для одной материальной точки производные от функции Лагранжа по равны проекциям импульса на декартовы оси
• ; ; (3.27)

В обобщенных координатах вводится понятие обобщенного импульса. Обобщенный импульс, сопряженный координате определяется по формуле, аналогичной формулам (3.27): (3.28)

Если координаты не декартовы, то обобщенные импульсы больше не равны проекциям импульса. Их можно выразить через импуль­сы отдельных материальных точек, составляющих систему материальных точек. Рассмотрим функцию Лагранжа как сложную функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей:

1. Вычислим производные по обобщенным координатам как производные от сложной функции:
2. (3.29)
3. Для частных производных от векторов скорости из формулы (2.4) находим, что
4. (3.30)
5. В рез-те имеем следующую связь обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы: (3.31)

Обобщенный импульс, сопряженный де­картовой координате, равен проекции импульса на декартову oсь. Обобщенный импульс, сопряженный угловой координате, равен проекции момента импульса на ось вращения. Чтобы убедиться в этом, выразим радиус-вектор материальной точки через сфери­ческие координаты:

• (3.32)
• Используя представление (3.32), легко проверить,
• (3.33)

Подставляя выражение (3.33) в формулу (3.31), найдем для одной материальной точки , (3.34)

то есть обобщенный импульс , сопряженный угловой координате , равен проекции момента импульса на ось OZ, которая в дан­ном случае представляет ось вращения при изменении угла . По­скольку моменты импульса складываются, то это будет справед­ливо и для системы материальных точек.

Используя определение обобщенного импульса, уравнения Лагранжа можно записать в форме (3.35)

Читайте также:  Термохимические уравнения в физике

Например, если в функции Лагранжа ма­териальной точки ( массой , находящейся в потен­циальном поле : (3.14) потенциальная энергия не будет зависеть от координат х и у, то координаты х и у будут циклическими.

Для циклической координаты правая часть уравнения (3.35) равна ну­лю и, следовательно, интеграл этого уравнения имеет вид

. (3.36)

Так как обобщенный импульс, сопряженный циклической коорди­нате, остается постоянным при движении механической системы, то говорят, что он сохраняется. Каждой циклической координате отвечает свой закон сохранения.

Наличие законов сохранения упрощает решение задач механи­ки. Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных координат . Соот­ношения вида (3.

36) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относительно . Понижение порядка диффе­ренциальных уравнений облегчает их интегрирование.

Поэтому выбор обобщенных координат, когда некоторые из них являются циклическими, является предпочтительным.

1. Обобщенная энергия
2. Найдем полную производную от функции Лагранжа по време­ни. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями вре­мени, то получим выражение
3. (3.37)
4. Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования про­изведения двух функций и получим из нее следующее равенство:
5. С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запи­шем его в форме
6. (3.38)

Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называет­ся обобщенной энергией. Обозначим его буквой :

(3.39) .

Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

(3.40)

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы.

Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим

• (3.41)
• Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем
• (3.42)
• то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.

38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при от­сутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа.

В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение ме­ханической энергии дается формулой (3.43)



Источник: https://infopedia.su/1x58f2.html

Лагранжа уравнения

 Большая Советская энциклопедия         1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц.

Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.
         Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:
                  где t — время, х, у, z — координаты частицы, a1, a2, a3 — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, ρ — плотность.
         Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, ρ как функции t и а1, a2, a3. При этом надо использовать ещё Неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде ρ = f(Р) (для несжимаемой жидкости ρ — const).
         2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.
         Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
         Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
         Для голономных систем (См. Голономные системы) Л. у. в общем случае имеют вид:
                  где qi — обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы, qi — обобщённые скорости, Qi — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через qi и qi.
         Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно qi. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости qi(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.
         Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:
                  где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.
         Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).          Лит. см. при ст. Механика. О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.

• ЛАГРАНЖА — ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА — устанавливает достаточное условие устойчивости равновесия консервативной механич. системы. Согласно Л.- Д. т., консервативная механич…
• ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ —        1) в гидромеханике — ур-ния движения жидкости в переменных Лагранжа, к-рыми являются координаты ч-ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем …
• ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ —         , характеристич. функция L механич. системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости q'…
• АППЕЛЯ УРАВНЕНИЯ — обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движения как голо-номных, так и не голономных систем, установленные П. Аппелем … Математическая энциклопедия
• ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЕ — для минимальной поверхности z=z — уравнение вида оно получено Ж. Лагранжем и истолковано Ж. Мёнье как условие равенства нулю средней кривизны поверхности z=z, частные интегралы найдены Г. Монжем … Математическая энциклопедия
• ЛАГРАНЖА ФОРМУЛА — то же, что конечных приращений формула… Естествознание. Энциклопедический словарь
• Переменные лагранжа и эйлера — пространственно-временные координаты, используемые при изучении процессов деформации сплошных сред, состоящих из материальных частиц и заполненных ими областей … Энциклопедический словарь по металлургии
• УРАВНЕНИЯ — Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений…
• Лагранжа иридосклерэктомия — способ иридосклерэктомии, при котором вскрытие передней камеры глаза ножом Грефе производят так, чтобы была захвачена также перилимбальная полоска склеры, покрытая конъюнктивой, затем эту полоску склеры срезают… Большой медицинский словарь
• Лагранжа-Покровского иридосклерэктомия — модификация иридосклерэктомии по Лагранжу, при которой выкраивание и иссечение участка склеры производят через разрез конъюнктивы; применяется при глаукоме… Большой медицинский словарь
• Лагранжа-Хольта-Филатова иридосклерэктомия — хирургическая операция, представляющая собой сочетание иссечения склерального лоскута с иридэктомией и ущемлением лоскутов рассеченной радужки в углах склерального разреза; применяется при глаукоме… Большой медицинский словарь
• Лагранжа метод множителей —         метод решения задач на Условный экстремум; Л. м. м. заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа… Большая Советская энциклопедия
• Лагранжа уравнения —          1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды… Большая Советская энциклопедия
• Лагранжа формула —         одна из основных формул дифференциального исчисления; то же, что Конечных приращений формула. Найдена Ж. Лагранжем … Большая Советская энциклопедия
• Лагранжа функция —         кинетический потенциал, характеристическая функция L механической системы, выраженная через Обобщённые координаты qi, обобщённые скорости qi и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф…. Большая Советская энциклопедия
• ЛАГРАНЖА ФОРМУЛА — то же, что конечных приращений формула… Большой энциклопедический словарь

«РЕЕСТР» ЛАГРАНЖА
Этот «Реестр» — почему бы не признаться? — для нас очень лакомое блюдо. Он был издан в 1947 году в двух томах. Если угодно, это хроника семейных происшествий. Но мелкие замечания, комментарии, что-то неуловимое, что трогает сердце и на расстоянии трех веков,

«РЕЕСТР» ЛАГРАНЖА
Этот «Реестр» — почему бы не признаться? — для нас очень лакомое блюдо. Он был издан в 1947 году в двух томах. Если угодно, это хроника семейных происшествий. Но мелкие замечания, комментарии, что-то неуловимое, что трогает сердце и на расстоянии трех веков,

Эротические уравнения
Итак, у нас получилось, что все — Эрос, каждый предмет сексуален, каждое действие — эротический акт Курит человек — сосет стержень (курят больше мужчины, реализуя тем женское в себе, и мужеподобные женщины курят, которым не так уж надо чисто женское

13.5.3. Уравнения для производства
В производстве многие функции, описывающие процесс выполнения заказов, схожи с соответствующими функциями для оптовой и розничной торговли. Однако производству присущи некоторые организационные особенности. Мы будем считать, что завод и

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА
Жозеф Луи Лагранж родился в Турине 25 января 1736 г. в семье обедневшего чиновника. Семнадцатилетним юношей Лагранж увлекся математическими науками, а в 1754 г. он уже профессор артиллерийской школы в Турине. Здесь он объединяет своих

Клапейрона уравнения
Клапейрона уравнения или формулы – выражают зависимость между моментами, действующими в трех последовательных опорных точках неразрезного бруса, т. е. непрерывной балки, поддерживаемой более чем двумя опорами. Уравнений этих можно составить

Уравнения Эйлера
Заслуга иностранца Бернулли перед российской и мировой наукой заключается еще и в том, что именно по его настоянию Петербургская академия наук пригласила в Россию еще одного швейцарца — Леонарда Эйлера.Тот прибыл в северную столицу 19 лет от роду. Умер

Источник: https://slovar.wikireading.ru/2522734

Уравнения Лагранжа — это… Что такое Уравнения Лагранжа?

• Уравнения Лагранжа (гидромеханика) — Уравнения Лагранжа (в гидромеханике) дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид: где время …   Википедия
• Уравнения Лагранжа второго рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма. Вид уравнений Если… …   Википедия
• Уравнения Лагранжа первого рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода  дифференциальные уравнения движения механической системы, записанные в декартовых координатах и содержащие множители Лагранжа. Уравнения… …   Википедия
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро — Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида: Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они… …   Википедия
• Уравнения Эйлера — Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа (в физике также уравнения Лагранжа Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти… …   Википедия
• Уравнения Гамильтона — (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике  система дифференциальных уравнений: где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) …   Википедия
• Уравнения Эйлера-Лагранжа — Уравнения Эйлера  Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия,… …   Википедия
• ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — 1) в гидромеханике ур ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к рыми являются координаты ч ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч ц среды в виде зависимостей… …   Физическая энциклопедия
• ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… …   Физическая энциклопедия
• Уравнения Рауса — Уравнения Рауса  дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом (англ.)русск. в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения… …   Википедия

Источник: https://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1157413

Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа

В этой статье мы попробуем разобраться с такой темой, как «Уравнения Лагранжа». Вообще, уравнения Лагранжа довольно полезная штука, например, на их основе решаются задачи на малые колебания. В МГТУ им. Баумана в третьем семестре предлагается самостоятельное домашнее задание, в котором нужно записать уравнения Лагранжа для системы с двумя степенями свободы.

Итак, типовое задание выглядит так.

Прежде чем броситься решать эту задачу, посмотрим на задание и проанализируем его. Есть призма 3, которая движется поступательно по горизонтальной плоскости без трения. В призме сделан паз 2, по которому движется шарик 1. Если вы помните темы прошлого семестра, то легко увидите, что шарик совершает сложное движение — переносное поступательное вместе с призмой 3 и относительное поступательное по пазу 2. Далее есть стержень 4, который соединяет призму и каток 5. Очевидно, что скорость центра катка С равна скорость призмы. Каток движется без скольжения, это важный момент. Движение системы описывается двумя обобщенными координатами, которые любезно выбрал для нас составитель задания.

Итак, приступим к решению.

Поскольку обобщенных координат две (две степени свободы), система уравнений Лагранжа будет выглядеть так:

Расчет начинаем с записи уравнений связи — выражаем скорости всех ключевых точек и тел, имеющих массу, через обобщенные координаты. Из сказанного ранее понятно, что нам понадобится линейная скорость призмы 3, линейная скорость катка 5, угловая скорость катка 5 и скорость шарика 1. С поступательным движением все просто

• С угловой скоростью катка тоже все понятно. Так как проскальзывание отсутствует

Самое трудное — выразить скорость шарика 1. Как мы уже говорили, он совершает сложное движение, значит, его скорость складывается из относительной и переносной. Переносная — это скорость поступательного движения призмы 3. Относительное — скольжение вдоль паза 2, которое описано координатой S. Значит

1. Векторно складываем эти две скорости

Второе выражение здесь — это теорема косинусов. Если нанести все векторы на рисунок, станет понятно, почему так. 

Определившись со скоростями, записываем выражение для кинетической энергии системы Т. Полная кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел, обладающих массой. То есть в нашем случае, тел 1, 3, 5.

• Шарик 1 обладает энергией
• Призма 3 движется поступательно
• Каток 5 совершает плоское движение, так что его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательного движений
• Полная кинетическая энергия системы
• Для записи уравнений Лагранжа это выражение нужно несколько раз продифференцировать.
• Сначала по координате x. Частные производные
• Производную по x с точкой дифференцируем по времени
• Теперь то же самое по координате S. Частные производные
• Производная по времени

Левая часть уравнений Лагранжа готова. Займемся правой частью. Для нее нужно посчитать обобщенные силы по каждой координате. Есть несколько способов это сделать, мы предпочитаем делать это через элементарную работу на малом приращении координаты. В общем случае формула выглядит так

На практике это применяется следующим образом. Сначала нанесем на рисунок все действующие силы. В нашем случае это сила упругости пружины и силы тяжести.

Сначала считаем обобщенную силу по координате x. Для этого мысленно «замораживаем» координату S, и позволяем системе свободно двигаться по координате x. То есть шарик «приклеивается» к пазу 2, и внутри него никуда не движется.

Официальным языком это записывается так

Теперь обобщенная сила по координате S. Мысленно «замораживаем» координату x. Получается, что призма 3 вместе с пазом 2 и катком 5 стоит на месте, а внутри неподвижного паза движется шарик. Сила упругости совершает работу, также как и сила тяжести шарика 1.

Пружина была растянута на величину статической деформации δ и дополнительно растянута на S в произвольный момент времени, то есть сила упругости равна с·(δ+S). Работа силы упругости отрицательна, так как пружина растягивается. Работа силы тяжести шарика 1 положительна, так как шарик движется вниз.

Силы тяжести призмы 3 и катка 5 работу не совершают, так как эти тела покоятся. Получаем

Собственно, все. Собираем все посчитанные величины в уравнения Лагранжа и получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

1. Для проверки можно посмотреть размерности, в обеих частях выражения размерности должны совпадать (обычно это ньютоны).
2. Конечно, разные задачи немного отличаются в ходе решения, но алгоритм всех задач примерно такой.
3. Подытожим:
4. 1) Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты
5. 2) Записать уравнения связей
6. 3) Записать выражение для кинетической энергии
7. 4) Взять необходимые производные
8. 5) Записать обобщенные силы по каждой координате
9. 6) Записать уравнения Лагранжа
10. Если что-то не получается, не отчаивайтесь, мы всегда рады помочь.
11. Всегда ваша, Botva-Project.

Источник: http://botva-project.ru/botva/obrazovanie/teoreticheskaya-mehanika-uravneniya-lagranzha/