Уравнения максвелла в интегральной форме, с примерами

Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лекция 14

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

1. Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

   1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

   2. Теория Максвелла:

      1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.

      2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.

      3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

      4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).

      5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.

      6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света

   3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.

2. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

1. Из выражения для магнитного потока следует

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

1. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

2. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

3. По теореме Стокса в векторном анализе

где ротор вектора Е выражается определителем

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

1. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.

   1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

   2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

   3. Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

• с плотностью тока смещения
• где D – вектор электрического смещения.

1. Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).

2. В диэлектрике вектор электрического смещения равен

1. где Р – вектор поляризованности.
2. Тогда плотность тока смещения

где – плотность тока смещения в вакууме, а – плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

1. Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.

2. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

а полный ток

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

1. Для областей поля, где нет макротоков

• где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.

1. Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей

   1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

1. где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда

1. По теореме Гаусса из векторного анализа

• где дивергенция вектора определяется выражением

1. В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где – объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

1. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

1. 2.

3. 4.

1. Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.

2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.

3. Для стационарных электрического и магнитного полей

1. и, следовательно, эти поля существуют независимо друг от друга и описываются соответственно уравнениями электростатики
2. и магнитостатики

1. Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить «материальными уравнениями«, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды

• а также граничными условиями
• где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, а – вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости.

1. Документ

   Введение. Принято считать, что токи смещения входят в правую часть уравнений Максвелла [1] совершенно равноправно с токами переноса. Однако «до настоящего времени эти уравнения через токи смещения никто еще не решал, так как решения

2. Решение

   В настоящее время в ЦНИИ проводятся разработки по изучению солитонных полей, солитонных каналов связи, а так же изучается воздействие на третий глаз человека излучений от соответствующих генераторов.

3. Документ

   Специальная теория относительности (СТО) покоится на двух китах: оптике и механике, и прошла свое развитие от Галилея до Эйнштейна в механике и от Гюйгенса и Максвелла до Эйнштейна в теории света и электродинамике.

4. Реферат

   Джеймс Клерк Максвелл родился 13 июня 1831г. в Эдинбурге, в семье юриста — обладателя поместья в Шотландии. В мальчике рано проявились любовь к технике и стремление постичь окружающий мир.

5. Документ

   В статье предлагается альтернативный подход к решению проблемы единого поля электромагнетизма и гравитации в рамках классической теории Максвелла, вместо общей теории относи– тельности Эйнштейна.

Источник: https://refdb.ru/look/2292793.html

Уравнения Максвелла: дифференциальные формы закона Гаусса для электро и магнитных полей, закона Ампера и закона Фарадея

В статье мы, используя теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса приведем четыре уравнения Максвелла к дифференциальной форме. В конце статьи вы сможете посмотреть видео-лекцию для закрепления информации.

Четыре фундаментальных уравнения электромагнетизма сформулированы Джеймсом Клерком Максвеллом. Они описывают свойства электрического и магнитного полей и отношения между этими полями. Из уравнений Максвелла можно вывести уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме со скоростью света

Первое уравнение Максвелла, дифференциальной формы Фарадея

Закон Фарадея — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) в левой части уравнения на поверхностный интеграл:

 Мы можем оставить правую сторону в законе Фарадея в виде:

Теперь мы можем сравнить оба поверхностных интеграла:

Итак, мы получаем закон Фарадея — дифференциальную форму:

Второе уравнение Максвелла, дифференциальной формы обобщенного закона Ампера

Обобщенный закон Ампера — интегральная форма:

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) с левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Мы можем представить правую часть в обобщенном законе Ампера как поверхностный интеграл:

С учетом того, что прямой ток I можно выразить плотностью тока j :

записываем правую сторону как один поверхностный интеграл:

Теперь мы сравним оба поверхностных интеграла друг с другом:

Чтобы это уравнение было истинным для каждой поверхности A, независимо от ее размера и формы, подфункции с обеих сторон уравнения должны быть равны.

Таким образом, мы получаем обобщенный закон Ампера — дифференциальную форму :

Третье уравнение Максвелла, дифференциальной формы закона Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса для электрического поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Нагрузка Q также представлена ​​как интеграл объема от плотности заряда ρ :

Из равенства обоих интегралов объема:

получаем закон Гаусса для электрического поля — дифференциальную форму:

Четвертое уравнение Максвелла,дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для магнитного поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Поскольку на основе закона Гаусса для магнитного поля оба этих интеграла равны нулю, то подфункции также равны нулю, поэтому мы сразу получаем закон Гаусса для магнитного поля — дифференциальную форму:

Финальный вывод уравнений Максвелла

Видео-лекция

В данном видео подробно разберем уравнения Максвелла.

Источник: https://meanders.ru/uravnenija-maksvella.shtml

Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме

4.
Граничные условия.Уравнения Максвелла в интегральной форме. Граничные
условия.

4.1.
Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные
условия. Дифференциальные системы
уравнений Максвелла для материальных сплошных средв четырех,
приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в
областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций.

На поверхностях
разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо
иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные
стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на
фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности.

В линейных задачах
разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности),
разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает
из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля
будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной
переходной областью.

Однако это приводит к большому усложнению решения задачи.
По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы
раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям
Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. Переход от
дифференциальных уравнений к уравнениям в интегральной форме неоднозначен.

«Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде
законов сохранения. По сути, это первичные постулаты электродинамики сплошных
сред (в рамках теории сплошной среды они ни откуда не выводятся). Из этих
уравнений и получаются граничные условия.

            Начнем
с вывода граничного условия для вектора магнитной индукции . Для этого используем интегральную форму

Связь
уравнения (4.1) с известным нам дифференциальным уравнением

                                                         (4.2)

Это
условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора
магнитной индукции.

            Получим
теперь граничное условие для вектора электрической индукции

входящий
в третью форму уравнений Максвелла            . От дифференциального уравнения

можно
прейти к первичной интегральной форме следующим способом: проинтегрируем (4.3)
по объему

С
учетом формулы Гаусса-Остроградского будем иметь первичную интегральную форму

где
 — полный свободный заряд внутри объема , ограниченного площадками .

Не
следует воспринимать приведенные рассуждения, как вывод уравнения (4.4) из
(4.3). На самом деле первичным является уравнение (4.4). Более того: уравнение
(4.4) это постулат.

Используем в качестве  поверхность
цилиндра, изображенного на Рис.4.1. Действуя аналогично тому, как это делалось
при выводе граничного условия для вектора , получим
соотношение

• где
   — плотность свободного поверхностного
  заряда на границе раздела.
•             При
  получении граничных условий для векторов  и  будем исходить из
• уравнений

                                                                                           (4.6)

в
соответствующей им первичной интегральной форме. С этой целью выберем
прямоугольную площадку , перпендикулярную границе
раздела и ограниченную контуром  (Рис.4.2). Направления  ортогональны друг другу.  — нормаль к границе раздела.

Вектор — лежит в плоскости границы раздела и
вектор  ортогонален площадке . Интегрирование по площади  компонент уравнений (4.5), (4.6) по
направлению  и использование формулы Стокса, позволяет
перейти к первичной интегральной форме уравнений (4.

5), (4.6)

                                                ,                                   (4.7)

                                                .                       (4.8)

1. Выбирая
   величину  достаточно малой, и устремляя вертикальный
   размер  к нулю (при этом площадь  стремится к нулю), будем иметь
   представления
2.                                                 ,      ,
3.                         ,            ,
4.                         ,   ,   ,   ,

получим
из (4.7), (4.8) два граничные условия

                                                ,                                   (4.9)

                                    .                     (4.10)

Здесь
-плотность поверхностного тока проводимости
в направлении . Так как выбор  (и соответственно выбор направления
вектора ) произволен, граничное условие (4.9) можно
записать в виде

                                                ,

где- произвольное касательное к границе
раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить
граничное условие (4.10) в векторной форме

                                                ,

где
— вектор плотности поверхностного тока
проводимости.

Источник: https://vunivere.ru/work21892

Уравнения Максвелла

• Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций ():
• Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.
• Введённые обозначения:

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , ,  и  и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение Закон Гаусса Закон Гаусса для магнитного поля Закон индукции Фарадея Теорема о циркуляции магнитного поля

		Поток электрической индукции через замкнутую поверхность  пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

•  — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
•  — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью  (в единицах СИ — Кл);
•  — электрический ток, проходящий через поверхность  (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади  направлен из объёма наружу. Ориентация  при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции  являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Источник: http://msk.edu.ua/ivk/Fizika/AK/Z90/ur_maxvella.htm

Материальные уравнения — Джеймс Максвелл. Уравнения электромагнитного поля

Материальные уравнения устанавливают связь между  и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин[35].

СГССИ

где введены безразмерные константы:  — диэлектрическая восприимчивость и  — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в  раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГССИ

где  — относительная диэлектрическая проницаемость,  — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины  (в единицах СИ — Ф/м) и  (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

• В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома:

где  — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).

• Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между  и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между  и  наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ).

Источник: https://www.sites.google.com/site/uravneniaelektromagnitnogopola/uravnenia-maksvella-v-srede/materialnye-uravnenia

Система уравнений Максвелла в интегральной форме

В основе теории Максвелла, позволившей с единых позиций объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, лежат рассмотренные уже ранее четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным [его циркуляция определяется (77.3) и равна нулю], так и вихревым [его циркуляция

определяется (77.2) и равна -|^?с15]. Поэтому

циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электричеасие заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н [см. (78.8)]:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D |см. (20.3)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного,

где Q — алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, то формула (79.3) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В [см. (60.5)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого магнитного поля:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнето- электрические и неферромагнитные среды):

где е0 и р0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ? и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; у — удельная проводимость вещества.

Физический смысл уравнений Максвелла: источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

• Если электрические и магнитные поля стацио-
• ЭD Л дВ п
• нарны, то —— = 0 и —- = 0, поэтому система урав- dt at
• нений Максвелла в случае стационарных полей'.

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, а источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные ноля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Источник: https://bstudy.net/743539/estestvoznanie/sistema_uravneniy_maksvella_integralnoy_forme