Деление комплексных чисел, формула и примеры

Содержание

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.

i 2= — 1

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)

1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:

2. Умножение.

(см. векторное произведение векторов)

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа).

Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z.

Оказывается, что

z = ρ(cosφ+isinφ)

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:

Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/complexNumbers/ComplexNumbers/ComplexNumbersPrint/

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.

Формула

Формула деления в алгебраической форме

Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = frac{a_1 cdot a_2 + b_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + ifrac{a_2 cdot b_1 — a_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$

Формула деления в тригонометрической форме

В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos (varphi_1 — varphi_2) + isin (varphi_1 — varphi_2)) $$

Формула деления в показательной форме

В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} e^{(varphi_1 — varphi_2)i} $$

Примеры решений

Пример 1

Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $

Решение

Так как числа заданы в алгебраической форме, то и нужно применить соответствующую формулу.
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3+i}{2-3i} = $$
Сопряженным комплексным числом к знаменателю будет $ overline{z_2} = 2+3i $. Домножим и разделим на него дробь, чтобы избавиться от комплексности в знаменателе:
$$ = frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = frac{6 + 9i + 2i — 3}{4 + 6i — 6i + 9} = $$
Приводим подобные слагаемые:
$$ = frac{3 + 11i}{13} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i $$

Пример 2

Найти частное комплексных чисел: $ z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{6}) $ и $ z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) $

Решение

Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов.

Деление модулей:
$$ frac{r_1}{r_2} = frac{2}{4} = frac{1}{2} $$
Разность аргументов:
$$ varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{3} — frac{pi}{6} = frac{pi}{6} $$
Выполняем деление чисел:
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ) $$

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ) $$

Пример 3

Выполнить деление комплексных чисел: $ z_1 = 3e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 4e^{frac{pi}{4}i} $

Решение

По формуле деления в показательной форме находим разность аргументов и частное модулей:
$$ frac{r_1}{r_2} = frac{3}{4} $$ $$ varphi_1 — varphi_2 = frac{pi}{2} — frac{pi}{4} = frac{pi}{4} $$
Подставляем в формулу и получаем:
$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i} $$

Ответ

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/delenie-kompleksnyh-chisel.html

Операции с комплексными числами и комплексными переменными в электронной таблице

Комплексным числом называется выражение вида: Z=X + iY,
где X и Y – действительные числа, i – мнимая единица.
В тригонометрической форме комплексное число представляется в форме:
Z=rcos(a + isin a),
а в показательной: Z= reia
Комплексные числа следует вводить в ячейки рабочего листа в алгебраическом виде:
X + iY.

Одно число (и вещественная и мнимая часть) вводится в одну ячейку. Если вещественная часть отрицательна, то перед числом ставится знак апостроф. Значение мнимой части вводится в любом случае, если даже она равна 1, например:

‘-3 + 1i.

В Excel для выполнения арифметических операций с комплексными числами предназначены функции МНИМ.СУММ, МНИМ.РАЗН, МНИМ.ПРОИЗВЕД, МНИМ.ДЕЛ, МНИМ.СТЕПЕНЬ, МНИМ.АБС и ряд других.

Рассмотрим технологию работы с комплексными числами на примере.

Пример. Требуется найти

Решение:

1. Введем комплексное число в ячейку А2 в формате 4 + 6i.2. В ячейку A3 введем функцию МНИМ.СТЕПЕНЬ. Для этого на ленте Формулы кликнем на пиктограмме Вставить функцию.

В открывшемся окне диалога Мастер функций в поле Поиск функции введем текст Мним.степень (рис.1). Кликнем на кнопке Найти.

Кликнем на кнопке ОК диалогового окна Мастер функций.

Рис. 1.

3. Введем в открывшемся диалоговом окне Аргументы функции значения аргументов (параметров), как показано на рис.2. Кликнем на кнопе ОК диалогового окна Аргументы функции.

Рис. 2.

В ячейке А3 отобразится результат вычисления: -0,000512061902594447 -0,00261720527992717i , где

Операции с функциями комплексной переменной
В Excel реализованы несколько функций комплексной переменной, которые наиболее часто применяются на практике. К ним, например, относятся:
1. Экспоненциальная функция комплексной переменной

реализована функцией Excel МНИМ.EXP.

2. Функция натурального логарифма

вычисляется с помощью функции Excel МНИМ.LN. Существует и ряд других функций.

Попробуйте вычислить самостоятельно:
1. Разделите комплексное число 2 –i3 на число -2 –i
2. Сложите комплексные числа 3 +i4, 5 –i2, -6 +i

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5d4d8e658da1ce00ad5ece61/5da1957dd5bbc35fa42ef74b

Комплексные числа: сложение, умножение, вычитание и др

Понятие комплексного числа

Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 . Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.

С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .

Для данного случая получается:

Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.

Проверка:

Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.

Алгебраические формы комплексного числа

Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.
Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.
Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит, и т. п.

приобретаются только действительные значения.

Пусть дано число . Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:

Сложение и вычитание комплексных чисел

;
.
Допустим:
.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .

= = = = = .

Сопряженные комплексные числа

Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .

Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.

Модуль комплексного числа

Модуль числа называется число .

Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .

Примеры решения задач

Пример 1

Задача
Решить уравнение , где – действительные числа.
Решение

Из уравнения комплексных чисел получается: , . Решая эту систему, у нас получается , .

Ответ

, .

Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.

Пример 2

Задача
Решить уравнение:
Решение
Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .
Ответ

Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.

Пример 3

Задача
Найти произведение комплексных чисел и
Решение
Ответ

Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.

Пример 4

Задача
Найти частное:
Решение
.
Ответ
.

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/kompleksnye-chisla/

П.2.4.Деление комплексных чисел

Деление определяется
как действие, обратное умножению. Частным
двух комплексных чисел z1
и z2≠0
называется комплексное число z, которое,
будучи умноженным на z2,
дает число z1,
т. е. z1/z2=z,
если z2z=z1.

Если положить
z1=x1+iy1;
z2=х2+iy2≠0,
z=х+iy, то из равенства (х2+iy2)(x+iy)=x1+iy1
следует

Решая систему,
найдем значения х и у:

Таким образом,

На практике частное
двух комплексных чисел находят путем
умножения числителя и знаменателя на
число, сопряженное знаменателю
(«избавляются от мнимости в знаменателе»).

П.2.5.Извлечение
корней из комплексных чисел Извлечение
корня n-й
степени определяется как действие,
обратное возведению в натуральную
степень.

Корнем n-й
степени из комплексного числа
z называется комплексное число ω,
удовлетворяющее равенству ωn=z,
т. е.,
если ωn=
z.

Если положить
z=r(cosφ+isinφ),
а ω=r(cosθ+isinθ), то, по определению корня и
формуле Муавра, получаем

z=ωn
=rn(cos
nθ+isinnθ)-r(cosφ+isinφ).

Отсюда имеем rn=r,
nθ=φ+2πk, k=0,-1,1,-2,2,… To есть

и
(арифметический
корень).

Получим n
различных значений корня. При других
значениях k, в силу периодичности косинуса
и синуса, получатся значения корня,
совпадающие с уже найденными. Так, при
k=n
имеем

Итак, для любого
z≠0 корень n-й
степени из числа z
имеет ровно n
различных значений.

Примеры

Пример №1
Записать комплексные
числа z1=-1+i
и z2=-1в
тригонометрической и показательной
формах.
Решение: Для z1
имеем

т. е. φ=3p/4.

Поэтому

Для z2
имеем

т. е. j=p. Поэтому
-1=cosπ+isinπ=еiπ.

Пример №2

По формуле Муавра
имеем
Пример №3

Решение:

Для тригонометрической
формы комплексного числа формула деления
имеет вид

При делении
комплексных чисел их модули, соответственно,
делятся, а аргументы, соответственно,
вычитаются.

Пример №4

Решение: а) Запишем
подкоренное выражение в тригонометрической
форме:

Стало быть,

При k=0 имеем

при k=1 имеем

при k=2 имеем

б) Снова запишем
подкоренное выражение в тригонометрической
форме:
—1=cosπ+isinπ.
Поэтому

При k=0 получаем
ω0=cos/2+isin/2=i,
а при k=1 получаем

Пример №5
Выполнить
действия:
a)
b)
Решение. Выполняем
действия как над многочленами
а)
Пример №6
Построить на
комплексной плоскости и представить в
тригонометрической и показательной
формах следующие комплексные числа:
1)
2)
3)

4)

5)

.
Решение. Сначала
построим все эти точки на комплексной
плоскости
Теперь представим
их в тригонометрической и показательной
формах:
1)
Имеем:
Так как 2-
ой четверти, то
Тригонометрическая
форма
Показательная
форма
2)
3)
4)
5)
Пример №7
Представить в
показательной форме числа:
1)
2)
3)
Решение.
1)
2)
3)
Пример №8
Выполнить действия:
Решение.
1)
Представим число
в
тригонометрической форме
По формуле Муавра получим:
2)
Имеем:
3)
Пример №9
Построить
график функции
.
Решение.
Эта функция вида

,
то есть четная функция и, следовательно,
график ее симметричен относительно оси
OY.
Учитывая, что

,
то следует построить график функций

сдвигом
вдоль оси OX
на 4 единицы графика функции
.
Итак:
1)
строим график функции
(рис.11а);
2)
сдвигом его на 4 единицы по оси OX
строим график функции

( рис. 11б );

3)
сохраняем правую часть ( для
)
графика функции
и
ее отображаем симметрично относительно
оси OY.
Для уточнения графика определим точку
пересечения графика с осью OY.

При
,
т.е. точка пересечения графика с осью
OY: (
0;-2 ). График функции
представлен
на рис.11в.

Пример №10
Построить график
функции
.
Решение.

Так как
,то
функция четная и график ее симметричен
относительно оси OY.
Значения x,
при которых выражение, стоящее под
знаком логарифма, обращается в нуль,
являются недопустимыми для x
и одновременно они помогают найти
вертикальные асимптоты. Найдем их.

Имеем:
или
.
График имеет четыре
вертикальные асимптоты
.
Определим нули
функции. Имеем:
или
.
Итак, на оси OX
имеется пять точек графика функции:

(-2;0), (-1;0), (0;0), (1;0),
(2;0). График функции имеет четыре асимптоты.
Для построения графика необходимо знать
с какой стороны ветви графика приближаются
к асимптотам. Для этого достаточно
определить интервалы знакопостоянства
функции. Напомним, что

.
Решим неравенство
1)
или 2)
или Ǿ
Итак, если
,
то y>0
и, следовательно, если

и
,
то
.
Поэтому график функции в интервале

Источник: https://studfile.net/preview/5171163/page:3/