Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или мнимая единица.
i 2= — 1
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой:
Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.
Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).
Операции над комплексными числами.
На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.
1.1 Сложение.
(Как видно, данная операции в точности соответствует покоординатному сложению векторов)
1.2 Вычитание, аналогично, производится по следующему правилу:
2. Умножение.
(см. векторное произведение векторов)
3. Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Тригонометрическая форма.
Модулем комплексного числа z называется следующая величина:
очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.
Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.
Если представлять каждое комплексное число a+bi как вектор началом в точке (0,0) и концом в точке (a,b), то можно ввести еще одно понятие — угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси х, то есть «правый» угол, который получается с осью х. (см. рисунок справа).
Величина этого ула в радианах называется аргументом комплексного числа и обозначается : arg z.
Оказывается, что
z = ρ(cosφ+isinφ)
Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы:
Последнюю формулу называют Формулой Муавра. Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа:
таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.
Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/complexNumbers/ComplexNumbers/ComplexNumbersPrint/
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел можно производить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Для каждой из них существует своя формула.
Формула
| Формула деления в алгебраической форме |
| Чтобы разделить в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тем самым избавляемся от комплексности в знаменателе: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = frac{a_1 cdot a_2 + b_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + ifrac{a_2 cdot b_1 — a_1 cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$ |
| Формула деления в тригонометрической форме |
| В этой форме необходимо разделить модули комплексных чисел и найти разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} (cos (varphi_1 — varphi_2) + isin (varphi_1 — varphi_2)) $$ |
| Формула деления в показательной форме |
| В данной форме делятся модули и в экспоненте вычисляется разность аргументов: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} e^{(varphi_1 — varphi_2)i} $$ |
Примеры решений
| Пример 1 |
| Разделить два комплексных числа: $ z_1 = 3+i $ и $ z_2 = 2-3i $ |
| Решение |
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{13} + frac{11}{13}i $$ |
| Пример 2 |
| Найти частное комплексных чисел: $ z_1 = 2(cos frac{pi}{3} + isin frac{pi}{6}) $ и $ z_2 = 4(cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6}) $ |
| Решение |
Так как требуется выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме, то пользуемся соответствующей формулой. В ней нужно найти деление модулей и разность аргументов.
|
| Ответ |
| $$ frac{z_1}{z_2} = frac{1}{6} (cos frac{pi}{6} + isin frac{pi}{6} ) $$ |
| Пример 3 |
| Выполнить деление комплексных чисел: $ z_1 = 3e^{frac{pi}{2}i} $ и $ z_2 = 4e^{frac{pi}{4}i} $ |
| Решение |
|
| Ответ |
| $$ frac{z_1}{z_2} = frac{3}{4} e^{frac{pi}{4}i} $$ |
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/delenie-kompleksnyh-chisel.html
Операции с комплексными числами и комплексными переменными в электронной таблице
- Комплексным числом называется выражение вида: Z=X + iY,
- где X и Y – действительные числа, i – мнимая единица.
- В тригонометрической форме комплексное число представляется в форме:
- Z=rcos(a + isin a),
- а в показательной: Z= reia
- Комплексные числа следует вводить в ячейки рабочего листа в алгебраическом виде:
- X + iY.
Одно число (и вещественная и мнимая часть) вводится в одну ячейку. Если вещественная часть отрицательна, то перед числом ставится знак апостроф. Значение мнимой части вводится в любом случае, если даже она равна 1, например:
‘-3 + 1i.
В Excel для выполнения арифметических операций с комплексными числами предназначены функции МНИМ.СУММ, МНИМ.РАЗН, МНИМ.ПРОИЗВЕД, МНИМ.ДЕЛ, МНИМ.СТЕПЕНЬ, МНИМ.АБС и ряд других.
Рассмотрим технологию работы с комплексными числами на примере.
Пример. Требуется найти
Решение:
1. Введем комплексное число в ячейку А2 в формате 4 + 6i.2. В ячейку A3 введем функцию МНИМ.СТЕПЕНЬ. Для этого на ленте Формулы кликнем на пиктограмме Вставить функцию.
В открывшемся окне диалога Мастер функций в поле Поиск функции введем текст Мним.степень (рис.1). Кликнем на кнопке Найти.
Кликнем на кнопке ОК диалогового окна Мастер функций.
Рис. 1.
3. Введем в открывшемся диалоговом окне Аргументы функции значения аргументов (параметров), как показано на рис.2. Кликнем на кнопе ОК диалогового окна Аргументы функции.
Рис. 2.
В ячейке А3 отобразится результат вычисления: -0,000512061902594447 -0,00261720527992717i , где
- Операции с функциями комплексной переменной
- В Excel реализованы несколько функций комплексной переменной, которые наиболее часто применяются на практике. К ним, например, относятся:
- 1. Экспоненциальная функция комплексной переменной
реализована функцией Excel МНИМ.EXP.
2. Функция натурального логарифма
вычисляется с помощью функции Excel МНИМ.LN. Существует и ряд других функций.
- Попробуйте вычислить самостоятельно:
- 1. Разделите комплексное число 2 –i3 на число -2 –i
- 2. Сложите комплексные числа 3 +i4, 5 –i2, -6 +i
Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5d4d8e658da1ce00ad5ece61/5da1957dd5bbc35fa42ef74b
Комплексные числа: сложение, умножение, вычитание и др
Понятие комплексного числа
Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 . Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.
С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .
Для данного случая получается:
Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.
Проверка:
Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.
Алгебраические формы комплексного числа
- Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.
- Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.
- Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит, и т. п.
приобретаются только действительные значения.
Пусть дано число . Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:
Сложение и вычитание комплексных чисел
- ;
- .
- Допустим:
- .
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):
.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .
= = = = = .
Сопряженные комплексные числа
Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .
Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.
Модуль комплексного числа
Модуль числа называется число .
Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .
Примеры решения задач
Пример 1
- Задача
- Решить уравнение , где – действительные числа.
- Решение
Из уравнения комплексных чисел получается: , . Решая эту систему, у нас получается , .
Ответ
, .
Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.
Пример 2
- Задача
- Решить уравнение:
- Решение
- Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .
- Ответ
Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.
Пример 3
- Задача
- Найти произведение комплексных чисел и
- Решение
- Ответ
Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.
Пример 4
- Задача
- Найти частное:
- Решение
- .
- Ответ
- .
Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/kompleksnye-chisla/
П.2.4.Деление комплексных чисел
Деление определяется
как действие, обратное умножению. Частным
двух комплексных чисел z1
и z2≠0
называется комплексное число z, которое,
будучи умноженным на z2,
дает число z1,
т. е. z1/z2=z,
если z2z=z1.
Если положить
z1=x1+iy1;
z2=х2+iy2≠0,
z=х+iy, то из равенства (х2+iy2)(x+iy)=x1+iy1
следует
Решая систему,
найдем значения х и у:
Таким образом,
На практике частное
двух комплексных чисел находят путем
умножения числителя и знаменателя на
число, сопряженное знаменателю
(«избавляются от мнимости в знаменателе»).
П.2.5.Извлечение
корней из комплексных чисел Извлечение
корня n-й
степени определяется как действие,
обратное возведению в натуральную
степень.
Корнем n-й
степени из комплексного числа
z называется комплексное число ω,
удовлетворяющее равенству ωn=z,
т. е.,
если ωn=
z.
Если положить
z=r(cosφ+isinφ),
а ω=r(cosθ+isinθ), то, по определению корня и
формуле Муавра, получаем
z=ωn
=rn(cos
nθ+isinnθ)-r(cosφ+isinφ).
Отсюда имеем rn=r,
nθ=φ+2πk, k=0,-1,1,-2,2,… To есть
и
(арифметический
корень).
Получим n
различных значений корня. При других
значениях k, в силу периодичности косинуса
и синуса, получатся значения корня,
совпадающие с уже найденными. Так, при
k=n
имеем
Итак, для любого
z≠0 корень n-й
степени из числа z
имеет ровно n
различных значений.
Примеры
- Пример №1
- Записать комплексные
числа z1=-1+i
и z2=-1в
тригонометрической и показательной
формах. - Решение: Для z1
имеем
т. е. φ=3p/4.
Поэтому
Для z2
имеем
т. е. j=p. Поэтому
-1=cosπ+isinπ=еiπ.
Пример №2
- По формуле Муавра
имеем - Пример №3
Решение:
Для тригонометрической
формы комплексного числа формула деления
имеет вид
При делении
комплексных чисел их модули, соответственно,
делятся, а аргументы, соответственно,
вычитаются.
Пример №4
Решение: а) Запишем
подкоренное выражение в тригонометрической
форме:
Стало быть,
При k=0 имеем
при k=1 имеем
при k=2 имеем
- б) Снова запишем
подкоренное выражение в тригонометрической
форме: - —1=cosπ+isinπ.
- Поэтому
При k=0 получаем
ω0=cos/2+isin/2=i,
а при k=1 получаем
- Пример №5
- Выполнить
действия: - a)
b)
- Решение. Выполняем
действия как над многочленами - а)
- Пример №6
- Построить на
комплексной плоскости и представить в
тригонометрической и показательной
формах следующие комплексные числа: - 1)
2)3)
4)
5)
.
- Решение. Сначала
построим все эти точки на комплексной
плоскости - Теперь представим
их в тригонометрической и показательной
формах: - 1)
- Имеем:
- Так как 2-
ой четверти, то - Тригонометрическая
форма - Показательная
форма - 2)
- 3)
- 4)
- 5)
- Пример №7
- Представить в
показательной форме числа: - 1)
- 2)
- 3)
- Решение.
- 1)
- 2)
- 3)
- Пример №8
- Выполнить действия:
- Решение.
- 1)
Представим число
в
тригонометрической форме - По формуле Муавра получим:
- 2)
Имеем: - 3)
- Пример №9
- Построить
график функции
. - Решение.
- Эта функция вида
,
то есть четная функция и, следовательно,
график ее симметричен относительно оси
OY. - Учитывая, что
,
то следует построить график функцийсдвигом
вдоль оси OX
на 4 единицы графика функции
. - Итак:
- 1)
строим график функции
(рис.11а); - 2)
сдвигом его на 4 единицы по оси OX
строим график функции
( рис. 11б );
3)
сохраняем правую часть ( для
)
графика функции
и
ее отображаем симметрично относительно
оси OY.
Для уточнения графика определим точку
пересечения графика с осью OY.
При
,
т.е. точка пересечения графика с осью
OY: (
0;-2 ). График функции
представлен
на рис.11в.
- Пример №10
- Построить график
функции
. - Решение.
Так как
,то
функция четная и график ее симметричен
относительно оси OY.
Значения x,
при которых выражение, стоящее под
знаком логарифма, обращается в нуль,
являются недопустимыми для x
и одновременно они помогают найти
вертикальные асимптоты. Найдем их.
- Имеем:
-
или -
. - График имеет четыре
вертикальные асимптоты - .
- Определим нули
функции. Имеем: - или
-
. - Итак, на оси OX
имеется пять точек графика функции:
(-2;0), (-1;0), (0;0), (1;0),
(2;0). График функции имеет четыре асимптоты.
Для построения графика необходимо знать
с какой стороны ветви графика приближаются
к асимптотам. Для этого достаточно
определить интервалы знакопостоянства
функции. Напомним, что
- .
- Решим неравенство
- 1)
или 2) - или Ǿ
- Итак, если
,
то y>0
и, следовательно, если
и
,
то
.
Поэтому график функции в интервале
Источник: https://studfile.net/preview/5171163/page:3/
