Косинус двойного угла, формулы и примеры

•    
•    
•    
•    
•    
•    

Формулы двойного угла — это формулы, связывающие тригонометрические функции угла (синус, косинус, тангенс) с тригонометрическими функциями угла .

Формулы двойного и тройного угла (аргумента) выводятся из формул сложения.

Синус двойного угла

   

Доказательство. Воспользуемся формулой сложения для синуса

1.    
2. Из этой формулы получаем
3.    
4.    

Косинус двойного угла

Доказательство. Применим формулу суммы агументов косинуса: 

• Получим

Тангенс двойного угла

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Синус, косинус и тангенс тройного угла

Доказательство. Формулы тройного угла можно получить из формул сложения, зная формулы двойного угла. Покажем это на примере синуса:

• Используя основное тригонометрическое тождество и приводя подобные члены, получаем формулу тройного угла для синуса.

Аналогично получаются формулы тройного угла для косинуса и тангенса.

Источник: https://umath.ru/theory/formuly-dvojnogo-i-trojnogo-ugla/

Косинус двойного угла

• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Косинус двойного угла

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

• Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:
•     [cos 2alpha = {cos ^2}alpha — {sin ^2}alpha ]
•     [{cos ^2}alpha + {sin ^2}alpha = 1]
• Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:
•     [{cos ^2}alpha = 1 — {sin ^2}alpha ]
• и подставить его в косинус двойного угла, то получим:
•     [cos 2alpha = 1 — {sin ^2}alpha — {sin ^2}alpha = 1 — 2{sin ^2}alpha ]
• Это — еще одна формула косинуса двойного угла:
•     [cos 2alpha = 1 — 2{sin ^2}alpha ]
• Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:
•     [2{sin ^2}alpha = 1 — cos 2alpha , Rightarrow {sin ^2}alpha = dfrac{{1 — cos 2alpha }}{2}]
• Итак, формула понижения степени синуса:
•     [{sin ^2}alpha = dfrac{{1 — cos 2alpha }}{2}]
• Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:
•     [{sin ^2}dfrac{alpha }{2} = dfrac{{1 — cos alpha }}{2}]
• Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:
•     [{sin ^2}alpha = 1 — {cos ^2}alpha ]
• Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:
•     [cos 2alpha = {cos ^2}alpha — (1 — {cos ^2}alpha ) = {cos ^2}alpha — 1 + {cos ^2}alpha = ]
•     [ = 2{cos ^2}alpha — 1]
• Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  
•     [cos 2alpha = 2{cos ^2}alpha — 1]
• Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.
•     [2{cos ^2}alpha = 1 + cos 2alpha , Rightarrow {cos ^2}alpha = dfrac{{1 + cos 2alpha }}{2}]
• Таким образом, формула понижения степени косинуса:
•     [{cos ^2}alpha = dfrac{{1 + cos 2alpha }}{2}]
• Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:
•     [{cos ^2}dfrac{alpha }{2} = dfrac{{1 + cos alpha }}{2}]
• Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:
•     [t{g^2}dfrac{alpha }{2} = dfrac{{1 — cos alpha }}{{1 + cos alpha }}]
• Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:
•     [ct{g^2}dfrac{alpha }{2} = dfrac{{1 + cos alpha }}{{1 — cos alpha }}]

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

• Тангенс и котангенс. Формулы и определение Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x). Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
• Тригонометрические функции числового аргументаОсновным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1
• Что такое угол. Понятие угла: радиан, градусУглом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
• Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс углаСинус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
• Основные формулы тригонометрииОсновное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
• Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
• Значения тригонометрических функцийЗначения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов

• 1 ом представляет собой электрическое сопротивление между двумя точками проводника, когда постоянная разность потенциалов 1 вольт, приложенная к этим точкам, создаёт в проводнике ток 1 ампер, а в проводнике не действует какая-либо электродвижущая сила.
• Сколько километров в узле?Один морской узел равен одной тысяче восемьсот пятьдесят двум метрам или одному километру восемьсот пятьдесят двум метрам
• Сколько километров в миле?Морскую милю приравняли к 1862 метрам, сухопутная американская миля равна 1.609344 километра.
• Сколько в ампере ватт, как перевести амперы в ватты и киловаттыМощность – это скорость расходования энергии, выраженная в отношении энергии ко времени: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Один ватт равен отношению одного джоуля (единице измерения работы) к одной секунде.
• Вес — это физическая величина, а именно сила, воздействующая на горизонтальную поверхность или вертикальную подвеску.
• В «современном» латинском алфавите 26 букв.
• 1 Вольт равен электрическому напряжению, вызывающему в электрической цепи постоянный ток силой 1 ампер при мощности 1 ватт.

Источник: https://calcsbox.com/post/kosinus-dvojnogo-ugla.html

Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

15 января 2014

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

• Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:
• Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:
• sinx+sin2x2−cos2x2,x∈[−2 π ;− π 2]

sin x+frac{{{sin }^{2}}x}{2}-frac{{{cos }^{2}}x}{2},xin left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight]

Полезные формулы для решения

1. Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме.

   В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

2. sinx=a
3. sin x=a
4. cosx=a
5. cos x=a
6. tgx=a
7. tgx=a

Именно в этом состоит основная сложность задания С1.

Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

• cos2x=cos2x−sin2x
• cos 2x={{cos }^{2}}x-{{sin }^{2}}x
• Однако в нашем задании нет cos2x{{cos }^{2}}x или sin2x{{sin }^{2}}x, зато естьsin2x2frac{{{sin }^{2}}x}{2} и cos2x2frac{{{cos }^{2}}x}{2}.

Решаем задачу

1. Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:
2. x=t2
3. x=frac{t}{2}
4. Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:
5. cos2⋅t2=cos2t2−sin2t2
6. cos 2cdot frac{t}{2}=frac{{{cos }^{2}}t}{2}-frac{{{sin }^{2}}t}{2}
7. Или другими словами:
8. cost=cos2t2−sin2t2
9. cos t=frac{{{cos }^{2}}t}{2}-frac{{{sin }^{2}}t}{2}
10. Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin2x2frac{{{sin }^{2}}x}{2} перенесем вправо:
11. sinx=cos2x2−sin2x2
12. sin x=frac{{{cos }^{2}}x}{2}-frac{{{sin }^{2}}x}{2}
13. Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:
14. sinx=cosx
15. sin x=cos x

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из xx, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0cos x=0.

• Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:
• sin2x+cos2x=1
• {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x=1
• sin2x+0=1
• {{sin }^{2}}x+0=1
• sinx=±1
• sin x=pm 1
• Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:
• ±1 = 0
• pm 1 ext{ }= ext{ }0

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0cos x=0 неверно, cosxcos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosxcos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosxcos x:

1. sinxcosx=1
2. frac{sin x}{cos x}=1
3. sinxcosx=tgx
4. frac{sin x}{cos x}=tgx
5. tgx=1
6. tgx=1

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tgx=atgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

x= π 4+ π n,n˜∈Z

x=frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}}+ ext{ }!!pi!! ext{ }n,n˜in Z

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight]]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка: 

На отрезке

−2 π ;−π2

-2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{pi }{2} нужно найти все значения, которые принадлежат

 π 4+ π n

frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}}+ ext{ }!!pi!! ext{ }n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка  π 4frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4} не принадлежит отрезку

[−2 π ;− π 2],

left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight], это очевидно:

 π 4∉˜[−2 π ;−  π 2]

frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}
otin ˜left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };- ext{ }frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число  π 4frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4} положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

 π 4+ π n

frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}+ ext{ }!!pi!! ext{ }n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

−2 π 

-2 ext{ }!!pi!! ext{ } и прибавляем  π 4frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}} , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2 ext{ }!!pi!! ext{ }, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4=−7 π 4

x=-2 ext{ }!!pi!! ext{ }+frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}=-frac{7 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4+ π =−3 π 4

x=-2 ext{ }!!pi!! ext{ }+frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}}+ ext{ }!!pi!! ext{ }=-frac{3 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}

−7 π 4;−3 π 4

-frac{7 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4};-frac{3 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosxcos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tgx=1tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса.

Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

 π 4+ π n,n∈Z

frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}}+ ext{ }!!pi!! ext{ }n,nin ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

[−2 π ;− π 2]

left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight].

Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое  π 4frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4} и  π 4+ π frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}+ ext{ }!!pi!! ext{ }, которые получились во время отметки всех корней вида  π 4+ π nfrac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{ ext{4}}+ ext{ }!!pi!! ext{ }n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

−7 π 4

-frac{7 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4} и

−3 π 4

-frac{3 ext{ }!!pi!! ext{ }}{4}, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

[−2 π ;− π 2]

left[ -2 ext{ }!!pi!! ext{ };-frac{ ext{ }!!pi!! ext{ }}{2}
ight].

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

1. Синус двойного угла:

   sin2 α =2sin α cos α 

   sin 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }=2sin ext{ }!!alpha!! ext{ }cos ext{ }!!alpha!! ext{ } — эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

2. Косинус двойного угла: cos2 α =cos2 α −sin2 α cos 2 ext{ }!!alpha!! ext{ =}co{{s}^{2}} ext{ }!!alpha!! ext{ }-si{{n}^{2}} ext{ }!!alpha!! ext{ } — а вот тут возможны варианты.

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α 

cos 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }=cos 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }-sin 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }=2cos 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }-1=1-2sin 2 ext{ }!!alpha!! ext{ }

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

sin2 α 

Источник: https://www.berdov.com/ege/equation-root/trigonometricheskoe-uravnenie-dvoinoi-ugol/

Формулы двойного угла в тригонометрии, синус косинус двойного угла, вывод формул двойного угла

Формулы двойного угласлужат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2α, используя тригонометрические функции угла α. Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид nα записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок.

Таким образом, считается, что запись sin nαимеет то же значение, что и sin (nα). При обозначении sinn α имеем аналогичную запись(sin α)n.

Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n.

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2α=2·sin α·cos αcos 2α=cos2 α-sin2 α,   cos 2α=1-2·sin2 α, cos 2α=2·cos2 α-1tg 2α=2·tg α1-tg2 αctg 2α-ctg2 α-12·ctg α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α, где tg 2α имеет смысл, то есть α≠π4+π2·z, z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α, где ctg 2α определен на α≠π2·z.

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

• Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:
• sin (α+β)=sin α ·cos β+cos α·sin βи косинуса суммы cos (α+β)=cos α ·cos β-sin α·sin β. Предположим, что β=α, тогда получим, что
• sin (α+α)=sin α ·cos α+cos α·sin α=2·sin α·cos α и cos (α+α)=cos α ·cos α-sin α·sin α=cos2α-sin2α
• Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2α= 2·sin α·cos α и cos 2α=cos2α-sin2α.

Остальные формулы cos 2α=1-2·sin2 α и cos 2α=2·cos2 α-1 приводят к виду cos 2α=cos 2α=cos2 α-sin2 α, при замене 1 на сумму квадратов по основному тождествуsin2 α+cos2 α=1. Получаем, что sin2 α+cos2 α=1.  Так 1-2·sin2 α=sin2 α+cos2 α-2·sin2 α=cos2 α-sin2 α и 2·cos2 α-1=2·cos2 α-(sin2 α+ cos2 α)=cos2 α-sin2 α.

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства tg 2α=sin 2αcos 2α и ctg 2α=cos 2αsin 2α. После преобразования получим, что tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α и ctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos α.

Разделим выражение на cos2 α, где cos2 α≠0 с любым значением α, когда tg α определен. Другое выражение поделим на sin2 α, где sin2 α≠0 с любыми значениями α, когда ctg 2α имеет смысл.

tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α=2·sin α·cos αcos2 αcos2 α-sin2 αcos2 α=2·sin2 αcos2 α1-sin2 αcos2 α=2·tg α1-tg2 αctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos=cos2 α-sin2 αsin2 α2·sin α·cos αsin2 α=cos2 αsin2 α-12·cos αsin α=ctg2 α-12·ctg α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2α для α=30°, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α=30°, тогда 2α=60°. Проверим значения sin 60°=2·sin 30°·cos 30°, cos 60°=cos2 30°-sin2 30°.

Подставив значения, получим tg 60°= 2·tg 30°1-tg2 30° и ctg 60°=ctg230°-12·ctg 30°..

1. Известно, что sin 30°=12, cos 30°=32, tg 30°=33, ctg 30°=3 и
2. sin 60°=32, cos 60°=12, tg 60°=3, ctg 60°=33, тогда отсюда видим, что
3. 2·sin 30°·cos 30°=2·12·32=32, cos230°-sin230°=(32)2-(12)2=12,2·tg 30°1-tg230°=2·321-(33)=3 
4. и  ctg230°-12·ctg 30°=(3)2-12·3=33
5. Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α=30° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2α.

В примере допускается применение формулы двойного угла 3π5. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α=3π5:2=3π10.

Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь видcos3π5=cos23π10-sin23π10.

Пример 1

Представить sin 2α3 через тригонометрические функции, при α6.

Решение

Заметим, что из условия имеем 2α3=4·α6. Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin2α3 через тригонометрические функции угла α6. Применяя формулу двойного угла, получим sin 2α3=2·sin α3·cos α3. После чего к функциям sin α3 и cos α3применим формулы двойного угла: sin 2α2=2·sin α3·cosα3=2·(2·sinα5·cosα6)·(cos2α6-sinα6)==4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6

Ответ: sin2α3=4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6.

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

• sin 3α=sin(2α+α)=sin 2α·cos α+cos 2α·sin α=2·sin α·cosα·cos α+ (cos2 α-sin2α)·sin α==3·sin α·cos2α-sin3 α
• При замене cos2α на 1-sin2α из формулы sin 3α=3·sin α·cos2α-sin3α, она будет иметь вид sin 3α=3·sin α-4·sin3 α.
• Так же приводится формула косинуса тройного угла:
• cos 3α=cos (2α+α)=cos 2α·cos α-sin 2α·sin α==(cos2 α-sin2 α)·cos α-2·sin α·cos α·sin α=cos3α-3·sin2α·cos α
• При замене sin2 α на 1-cos2 α получим формулу вида cos 3α=-3·cos α+4·cos3 α.
• При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:
• tg 3α=sin 3αcos 3α=3·sin α·cos2 α-sin3 αcos3α-3·sin2α·cos α=3·sin α·cos2α-sin3αcos3αcos3α-3·sin2α·cos αcos3α==3·sin αcos α-sin3αcos3α1-3·sin2 αcos2 α=3·tg α-tg3α1-3·tg2α;ctg 3α=cos 3αsin 3α=cos3 α-3·sin2α·cosα3·sin α·cos2α-sin3α=cos3α-3·sin2α·cosαsin3α3·sin α·cos2α-sin3αsin3α==cos3αsin3α-3·cos αsin α3·cos2αsin2α-1=ctg3α-3·ctgα3·ctg2α-1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4α как 2·2α, тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза.

Для выводы формулы 5 степени, представляем 5α в виде 3α+2α, что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования.

Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/formuly-dvojnogo-ugla-v-trigonometrii/

Формулы двойного угла — значения функций, свойства и примеры решений — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

На уроках математики школьники 8−11 классов изучают интегралы, знакомятся с таблицей значений аргумента (переменная). Через формулу двойного угла (ФДУ) выражаются косинус, синус, тангенс, котангенс с произведением 2α. В основе находится тригонометрическая функция угла альфа. Чтобы её отобразить на графике, используются координаты и окружность.

Способы преобразования

Чтобы понять, как выражаются тригонометрические функции двойных углов, необходимо воспользоваться их записью в виде nα, где n принадлежит натуральному числу. Значение основного выражения отображается математически без скобок. Используя это свойство, можно составить следующее уравнение: sin nα = sin (nα).

Для приведения произведения sin nα х sin nα, используется аналогичное свойство. Выражение можно упростить до 2 (n sin α). Основой тождества является n sin α. В математике используются и другие равенства:

Косинус двойного угла: косинус 2α = косинус2α – синус2α.

Разность косинуса и тангенса двойного угла.

Тангенс минус двойной тангенс.

Котангенс минус тангенс.

В геометрии и алгебре чаще применяются следующие известные формулы: синус2α = cos2α – sin2α, cos2α = 1 − 2·sin2α. Можно разложить производные sin и cos, если угол имеет любой градус.

Решение тангенса потребуется, если в основе задачи находится tg2α, при этом значение угла отлично от суммы π4 и π2. Частный случай, когда в задании есть целое число z, а α ≠ π4 + π2·z.

Если рассматривать для котангенса ФДУ при любом альфа, ctg2α не определён на промежутке π2. Для косинуса двойного угла характерна тройная запись.

Доказательства равенств

Чтобы подтвердить уравнения на сложение, вычитание и умножение, понадобится подойти к доказательству комплексным способом. Используя формулы синуса с плюсом для углов (α+β) и косинуса ​ для β и α, получится синусα·косинусβ+косинусα·синусβ. Пример для вычитания: соsα ·cosβ-синусα·синусβ.

При вычислении разницы следует придерживаться аналогичного принципа. Результат будет следующим: косинус (α+α) равен двойному значению косинуса минус двойное значение синуса. Формула двойного угла косинуса и синуса доказана. При решении задач из дидактических материалов используются и другие уравнения при положительном и отрицательном значении альфа, при нуле либо половинном π.

Для их доказательства необходимо находить корень из числа z, возводить целое значение в квадрат либо иную степень. Чтобы определиться с ходом решения, необходимо следить за графиком функции:

• возрастанием;
• понижением.

Сложные действия вычисляются с помощью калькулятора. Если задача состоит из нескольких частей, для нахождения результата потребуется преобразовать первичное уравнение в более простое. Используются следующие равенства:

• косинус2α=1−2⋅синус2α;
• косинус 2α=2·косинус2α – 1.

Их можно привести к косинус2α – синус2α. Если заменить единицу суммой квадратов, тогда sin2α + cos2α = 1. Получается, что синус2α + косинус2α = 1. Подставив данные, выходит: 1 − 2·sin2α.

Чтобы доказать ФДУ котангенса, применяется равенство ctg2α = cos2αsin2α. Преобразовав данные, получится для tg2α равенство 2·sinα·cosαcos2α – sin2α. Разделив выражение на cos2α, отличное от нуля, получится, что tgα определен. Другое выражение поделится на sin2α. Значение sin2α ≠ 0 будет иметь смысл при любом α, если ctg2α имеет смысл.

Решение задач

Для убеждения в справедливости 2α для α=30° применяется значение тригонометрических функций для углов. Если α=30°, тогда 2α будет соответствовать 60°. Необходимо проверить значение sin 60° = 2·sin 30°·cos 30°, cos 60° = cos2 30° – sin2 30°. Если подставить данные, получится подробная функция: tg 60°= 2·tg 30°1 — tg2 30° и ctg 60° = ctg230° – 12·ctg 30°.

Так как sin 30° = 12, cos 30° = 32, tg 30° = 33, ctg 30° = 3 и sin 60° = 32, cos 60° = 12, tg 60° = 3, ctg 60° = 33, тогда выводится следующее: 2·sin 30°·cos 30° = 2·12·32 = 32, cos230° – sin230° = (32)2-(12)2 = 12,2·tg 30°1-tg230° = 2·321 — (33) = 3 и ctg230° – 12·ctg 30° = (3)2 − 12·3 = 33.

Задача 1: дан угол, отличный от 2α, например 3π5. Нужно найти его значение. Решение: угол 3π5 необходимо преобразовать. Получается α = 3π5:2 = 3π10. Из результата следует, что ФДУ для косинуса принимает следующий вид: cos3π5 = cos23π10 — sin23π10.

Задача 2: необходимо представить sin2α3 через функции, когда α = 6. Решение: заменить 2α3 = 4·α6. Если подставить данные, получится sin2α3. Выражая через функцию, принимая формулу двойного угла, записывается выражением: sin2α3 = 2·sinα3·cosα3. Используя cosα3, применяя sin2α2, получится результат sin2α3 = 4·sinα6·cos3α6 − 4·sin3α6·cosα6.

Тождества при других значениях

На практике студенты высших учебных заведений математических факультетов встречаются с задачами, для решения которых применяются формулы тройного, четверного и другого угла. В их основе находятся тригонометрические функции. Чтобы их вывести, используются формулы сложения двойного угла: sin3α = sin (2α+α) = 3·sinα·cos2α – sin3α.

При замене cos2α на 1-sin2α формула примет новый вид: sin3α = 3·sinα-4·sin3α. По аналогичной схеме приводится формула косинуса тройного угла: косинус3α = косинус (2α+α) = косинус3α – 3·синус2α·косинусα.

При замене sin2α на 1-cos2α, получится формула вида cos3α = -3·cosα+4·cos3α. С помощью полученных равенств преобразовывается формула тройного угла для тангенса и котангенса: tg3α = sin3αcos3α = ctg3α – 3·ctgα3·ctg2α – 1.

Такая сумма позволяет использовать формулы двойного и тройного углов с целью преобразования в конечный результат. По аналогичной схеме преобразовываются разные степени тригонометрических функций, но их применяют в тригонометрии редко.

Область применения

Чтобы определить значение тригонометрической функции (ТФ), рассматривается окружность с радиусом в единицу и диаметрами, взаимно перпендикулярными. Для вычислений потребуется отложить от точки, принадлежащей окружности, дуги любых длин. Они будут положительными, если их отложить против часовой стрелки.

Отрицательное значение принимают те, которые размещены по часовой стрелке. Если конец дуги имеет длину f, тогда проекция радиуса на любом диаметре примет значение косинуса дуги. Под аргументом понимается число, которое рассматривается геометрически как f либо радианная мера угла. Если аргумент ТФ взят за угол, тогда его значение выражается и в градусах.

Доказано, что значение острых углов больше нуля, но меньше p/2. Для таких величин ТФ рассматривается как отношение катетов к гипотенузе. Эти элементы принадлежат прямоугольному треугольнику.

Название связано с наличием угла в 90 градусов.

Для решения задач с тригонометрическими функциями используется и теорема Пифагора, в основе которой находится свойство прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дуга делит окружность на несколько частей. Углы, размещенные в первой четверти, больше нуля, во второй косинус меньше, но синус больше, в третьей ТФ меньше 0, а в четвёртой получаются значения, противоположные второй. Для построения окружности потребуется циркуль, а для измерения углов транспортир.

Для получения точного чертежа рекомендуется наносить данные на миллиметровую бумагу либо тетрадь в клетку.

ПредыдущаяСледующая

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/matematika-uroki/93432-formyly-dvoinogo-ygla-znacheniia-fynkcii-svoistva-i-primery-reshenii.html

Как вспомнить забытую тригонометрическую формулу? Вывести!

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии.

Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами.

На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот.

Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

1. Основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1
2. Определение тангенса:
3. Определение котангенса:
4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

1. Синус разности: sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb-cosasinb
2. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)-sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

1. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+cosasina = 2sinacosa
2. Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-sinasina = cos2a-sin2a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

1. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a-sin2a)sina = 2sinacos2a+sinacos2a-sin3a = 3sinacos2a-sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a = 3sina-4sin3a
2. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-sin2asina = (cos2a-sin2a)cosa-(2sinacosa)sina = cos3a-sin2acosa-2sin2acosa = cos3a-3sin2acosa = cos3a-3(1-cos2a)cosa = 4cos3a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу. Дано: угол — острый. Найти его косинус, если Решение, данное одним учеником:

Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.

(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1 и разделим его на cos2a. Получим:

1. Связь тангенса и косинуса:

1. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

1. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

1. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла: cos2a = cos2a-sin2a прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.

cos2a+1 = cos2a-sin2a+cos2a+sin2a

2cos2a = cos2a+1 Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

1. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим: cos2a-1 = cos2a-sin2a-cos2a-sin2a 2sin2a = 1-cos2a

1. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y.

Тогда sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

1. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

Источник: http://intelmath.narod.ru/formulas-trigonom.html