Медиана в прямоугольном треугольнике

Содержание

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Δ ABС — прямоугольный треугольник
∠ C = 90°
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами
сторона АС и сторона СВ — катеты прямоугольного Δ ABС
АС = b CB = a = катеты
Сторона, противолежащая прямому углу называется гипотенузой
сторона АС — гипотенуза треугольника
AC = c = гипотенуза
Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – частный случай обычного треугольника. Поэтому все свойства обычных треугольников для прямоугольных сохраняются. Но есть и некоторые частные свойства, обусловленные наличием прямого угла.

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Доказательство: В самом деле, сумма углов любого треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90° (∠ C = 90°), поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°( ∠ А + ∠ В = 180° — 90° = 90°)

Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов ∠ А + ∠ В = 90° .

Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше 90°. Значит ∠ C = 90°, является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника.

Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: с > a и c > b

Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.

Неравенство треугольника «В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны»

Из данного неравенства сразу же следует свойство 3. Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше

Свойство 4. Катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Дано: Δ ABС — прямоугольный треугольник

∠ CАВ = 30°

Доказать: AB = 2ВС

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую ВС за точку С на отрезок, равный ВС . Получим точку D. Так как углы ∠ АCВ и ∠ АCD – смежные, то их сумма равна 180°. Поскольку∠ АCВ = 90° , то и угол ∠ АCD = 90° .

Значит, прямоугольные треугольники Δ ABС = Δ AСD (по двум катетам: AC– общий, BC и CD– по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, ∠ CАВ = 30° = ∠ CАD = 30°. Откуда: ∠ DАВ = 60° . Кроме того, ∠ В = ∠ D (из равенства всё тех же треугольников).

Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен 60° – равносторонний.

Из этого следует, в частности, что AB = 2ВС

Свойство 5. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
Свойство 6. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Теорема Пифагора: c2 = a2 + b2,
где a,b – катеты, c – гипотенуза.
Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Напомним, что медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. СМ — медиана Δ ABС
Дано:
СМ = 1/2 АВ
Доказать: ∠ C = 90°

Доказательство: поскольку СМ = МВ = МА, то Δ AМС и Δ МBС – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть,∠ САМ = ∠АСМ , ∠МСВ = ∠МВС. Тогда сумма углов треугольника равна ∠ САМ + ∠АСМ + ∠ СМА = 180° Значит, ∠ САМ + ∠АСМ = 90°. Но: ∠С = ∠АСМ + МСВ = 90°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Читатели сайта «Спиши у Антошки уже прочитали «Признаки равенства треугольников». Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников.

Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются.

Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

. — два катета;

«Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»
Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АС =A1С1 , ВС = B1С1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1

Доказательство: в прямоугольных треугольниках:Δ ABС и Δ A1B1С1 ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.

— катет и прилежащий острый угол;

«Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АС =A1С1 , ∠ А = ∠ А1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна 90°. Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов ∠ C = 90° = ∠ C1. Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.

— гипотенуза и острый угол.

«Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1
АВ =A1В1 , ∠ А = ∠ А1
Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию:АВ =A1В1 , ∠ А = ∠ А1, а из свойств прямоугольных треугольников следует, что∠ C = 90° = ∠ C1 . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: Δ ABС = Δ A1B1С1.— катет и гипотенуза;

«Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны»

Дано: Δ ABС и Δ A1B1С1

АС =A1С1 , АВ =A1В1

Доказать, что Δ ABС = Δ A1B1С1

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными.

Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: ∠ C = 90° = ∠ C1. Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике.

Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше 90°. Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше 180° . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может.

Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить:Δ ABС = Δ A1B1С1.

Источник: http://spishy-u-antoshki.ru/pryamougolnye-treugolniki.html

Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 2

№10. В треугольнике A B C B M – медиана и B H – высота. Известно, что A C = 216, H C = 54 и ∠ A C B = 40 ° . Найдите угол A B M .

Решение:

Точка M – середина стороны A C . Отрезки A M и M C равны.

A M = M C = A C 2 = 216 2 = 108
M H + H C = M C
x + 54 = 108
x = 54

В △ M H C B H является высотой и медианой, значит △ M H C – равнобедренный.
У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
∠ B C H = ∠ B M C = 40 °

∠ B M A является смежным с ∠ B M C . Сумма смежных углов равна 180 ° .

α + 40 ° = 180 °
α = 180 ° − 40 ° = 140 °
Ответ: 140

№11. Точки M и N являются серединами сторон A B и B C треугольника A B C , сторона A B = 66 , сторона B C = 37 , сторона A C = 74 . Найдите M N .

Решение:

M N – средняя линия в △ A B C , параллельная стороне A C .
M N = 1 2 A C = 74 2 = 37
Ответ: 37

№12. Площадь прямоугольного треугольника равна 722 3 . Один из острых углов равен 30 ° . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Катет B C лежит напротив угла, равного 30 ° .
Катет, лежащий напротив угла 30 ° равен половине гипотенузы.
Обозначим катет B C = x , тогда A B = 2 x .
Применим теорему Пифагора, чтобы выразить A C через x :
A C 2 + x 2 = ( 2 x ) 2
A C 2 = 4 x 2 − x 2 = 3 x 2
A C = ± 3 x 2 = [ − x 3 не подходит x 3 подходит
A C = x 3
S △ A B C = A C ⋅ C B 2
x ⋅ x 3 2 = 722 3
x 2 2 = 722
x 2 = 1444
x = ± 1444 = [ − 38 не подходит 38 подходит
x = 38
Ответ: 38

№13. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольнике A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24 .

Решение:

Вспоминаем соотношение отрезков в прямоугольном треугольнике:
x = A H ⋅ A C
x = 6 ⋅ 24 = 144 = 12
Ответ: 12

№14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение:

S △ A B C = A C ⋅ B C 2
Для того, чтобы найти площадь, надо найти неизвестный катет. Найдем его через теорему Пифагора:
x 2 + 12 2 = 13 2
x 2 = 169 − 144 = 25
x = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит
S △ A B C = A C ⋅ B C 2 = 5 ⋅ 12 2 = 30
Ответ: 30

№15. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45 ° . Найдите площадь треугольника.

Решение:

Найдем третий угол треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 ° .

∠ B = 90 ° − 45 ° = 45 °

В △ A B C два угла равны, значит он равнобедренный.

B C = C A = 10
S △ A B C = B C ⋅ C A 2 = 10 ⋅ 10 2 = 100 2 = 50
Ответ: 50

№16. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

В данном прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4.
Гипотенуза по теореме Пифагора будет равна:
3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5
Медиана равна половине гипотенузы:
5 2 = 2,5
Ответ: 2,5

№17. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника △ A B C . Найди площадь △ A B C , если площадь △ D B E равна 7.

Решение:

D E – средняя линия.
Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.
S △ D B E = 1 4 S △ A B C
S △ A B C = 4 ⋅ S △ D B E = 4 ⋅ 7 = 28
Ответ: 28

№18. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника A B C . Найди площадь △ D B E , если площадь △ A B C равна 100.

Решение:

D E – средняя линия.
Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.
S △ D B E = 1 4 S △ A B C = 100 4 = 25
Ответ: 25

Источник: https://epmat.ru/modul-geometriya/urok-3-treugolniki/urok-3-zadaniya-chast-2/

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Рисунок 1

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Рисунок 2
Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Рисунок 3
Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
Рисунок 4
Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть. DE || AB и DE = AB / 2.
Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией. FG || AB и FG = AB / 2
Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то FX=XE, GX=XD
Рисунок 5
Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Второе свойство

Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Рисунок 6
Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Рисунок 7
Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.
Рисунок 8
Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательство:

Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Рисунок 9
Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Источник: https://people-ask.ru/nauki/geometriya/svojstva-mediani-v-pryamougolnom-treugolnike-s-dokazatelstvami

Медиана в прямоугольном треугольнике — задание. Геометрия, 8 класс

Page 2

1.	Треугольники, вписанные в окружность Сложность: лёгкое
2.	Треугольник, описанный около окружности Сложность: лёгкое
3.	Четырёхугольник, описанный около окружности Сложность: лёгкое
4.	Треугольник, вписанный в окружность Сложность: среднее
5.	Диаметр окружности, который является стороной вписанного треугольника Сложность: среднее
6.	Углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность Сложность: среднее
7.	Стороны прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, радиус окружности Сложность: среднее
8.	Углы треугольника, описанного около окружности Сложность: среднее
9.	Треугольник, описанный около окружности, центральные углы Сложность: среднее
10.	Углы прямоугольного треугольника, описанного около окружности, центральные углы Сложность: среднее
11.	Углы треугольника, описанного около окружности, даны градусные меры дуг Сложность: среднее
12.	Медиана в прямоугольном треугольнике Сложность: среднее
13.	Окружность, описанная и вписанная в прямоугольный треугольник Сложность: среднее
14.	Окружность, описанная и вписанная в треугольник Сложность: среднее
15.	Углы трапеции, вписанной в окружность Сложность: лёгкое
16.	Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, градусные меры дуг Сложность: среднее
17.	Площадь трапеции, вписанной в окружность Сложность: среднее
18.	Сторона и тупой угол ромба, описанного около окружности Сложность: среднее
19.	Радиус окружности, вписанной в трапецию Сложность: среднее
20.	Сторона трапеции, описанной около окружности Сложность: среднее
21.	Площадь трапеции, описанной около окружности Сложность: среднее
22.	Окружность и равнобедренный треугольник Сложность: среднее
23.	Площадь ромба, описанного около окружности Сложность: сложное
24.	Радиус и площадь круга, вписанного в ромб Сложность: сложное
25.	Вопросы по треугольникам и окружностям Сложность: сложное

Page 3

Page 4

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/vpisannaia-i-opisannaia-okruzhnosti-9244/re-064c94ee-9390-4591-bfdb-fe67acfeba21