Стационарное уравнение шредингера

ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1. Уравнение Шредингера

Для выполнения лабораторных работ 6 и 7 необходимо знакомство с основами квантовой механики. Остановимся на тех её положениях, которые непосредственно связаны с содержанием данных работ.

В них изучается поведение микрочастицы (электрона) в определенных внешних условиях. Это означает, что потенциальная энергия электрона U, Обусловленная его взаимодействием с окружающими объектами, является известной функцией координат: . Требуется найти эволюцию состояния электрона во времени. В отличие от классической механики, состояние частицы в квантовой механике нельзя задавать, указывая её координаты и компоненты скорости (или импульса). Состоянию частицы в момент времени T в квантовой механике ставят в соответствие Волновую функцию – функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответственно, эволюцию состояния описывает функция координат и времени . Волновую функцию можно найти, решая дифференциальное уравнение в частных производных

Называемое Временны́м уравнением Шредингера, где I – мнимая единица, ( H – постоянная Планка), Ñ2 – оператор Лапласа (имеющий в декартовых координатах вид ), Т – масса частицы. Уравнение (1) при заданном потенциале имеет бесконечное множество решений, соответствующих множеству возможных начальных состояний электрона. Если задано и начальное состояние электрона , его эволюция определяется уравнением (1) однозначно.

• 2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний
• Среди решений уравнения (Б.1) особый интерес представляют волновые функции вида
• , ω = Const (2)
• Описывающие состояния, называемые Стационарными. Легко проверить, что волновая функция вида (2) будет решением уравнения Шредингера (1), если удовлетворяет уравнению

Где . Постоянная E в (3) имеет смысл полной энергии частицы. Таким образом, в стационарных состояниях Е = СоNst, а зависимость волновой функции от времени описывается сомножителем , осциллирующим с частотой .

Уравнение (3) называется Уравнением Шредингера для стационарных Состояний, или Стационарным уравнением Шредингера. Существенно, что стационарное уравнение Шредингера имеет физически приемлемые решения, вообще говоря, не для любых значений Е, А лишь для некоторого множества .

Находя такие решения, мы одновременно получаем и набор возможных значений энергии стационарных состояний электрона при заданных внешних условиях. О нахождении множества говорят как об определении Энергетического спектра, или Уровней энергии, или как о Квантовании энергии Частицы.

Физически приемлемыми в рассматриваемом круге задач считаются функции, однозначные и ограниченные во всей области их определения. Можно показать, что удовлетворяющие стационарному уравнению Шредингера (3) однозначные ограниченные функции, будут непрерывными и гладкими (т. е.

имеющими непрерывную первую производную) даже в тех точках, где претерпевает конечный разрыв (скачок).

3. Волновая функция и заключенная в ней информация

Как уже говорилось, волновая функция описывает состояние частицы. Это означает, что в заключена информация о распределениях вероятностей для всех физических величин (координат, проекций импульса, момента импульса и т. д.), относящихся к частице, для любого момента времени..

В частности, Плотность вероятности в точке с координатами Х,У,Z В момент времени T (т. е.

вероятность нахождения частицы в малом объеме в окрестности указанной точки, деленная на этот объем), пропорциональна квадрату модуля волновой функции

(звездочка обозначает комплексное сопряжение). Важную информацию о движении частицы дает выражающийся через вектор

Называемый вектором плотности потока вероятности. Он указывает направление наиболее быстрого перемещения вероятности и дает скорость этого перемещения. Смысл величин (4) и (5) раскрывается в эксперименте, когда производится N Измерений над электроном в одном и том же состоянии.

Тогда при больших значениях N должно выполняться: DN¢ / N~ , DN¢¢ / N ~ J , где DN¢ – число электронов, обнаруженных в единичном объеме вблизи точки (Х, у, z), а DN¢¢ – результирующее число электронов, прошедших за единицу времени в направлении вектора сквозь перпендикулярную к нему единичную площадку.

1. В связи с приведенной интерпретацией выражений (4) и (5) волновую функцию называют также Амплитудой вероятности.
2. Отметим, что для стационарных состояний выражения (4) и (5) не зависят от времени и что для вещественных векторРавен нулю.
3. 4. Оптическая аналогия

Анализируя квантовомеханическую задачу, полезно сопоставлять ее, с одной стороны, с аналогичной задачей классической механики, а с другой – с некоторой оптической задачей. В классической механике аналогом, очевидно, будет задача о частице такой же массы, движущейся в силовом поле, характеризуемом той же потенциальной энергией , что и в исходной квантовой.

Выяснив характер движения классической частицы, можно лучше понять особенности ее квантовомеханического поведения.

Оптическим аналогом для квантовомеханической задачи с E = Const будет, Как можно показать, задача о распространении монохроматической световой волны в неоднородной среде, для которой показатель преломления N Изменяется по закону

Аналогия с оптикой позволяет во многих случаях, не решая уравнение Шредингера, предвидеть и объяснить качественно поведение y-функции, а следовательно и частицы.

5. Одномерные квантовомеханические задачи

Среди квантовомеханических задач выделяются своей простотой одномерные, т. е. такие, в которых U = U( X), а волновую функцию можно считать зависящей только от Х и T. В этих задачах волновые функции стационарных состояний имеют вид

• (7)
• А стационарное уравнение Шредингера сводится к уравнению в обыкновенных производных
• (8)

Уравнение (8) решается особенно просто, когда ось X можно разбить на области, в каждой из которых потенциал U(X) принимает постоянные значения, а на границах соседних областей испытывает скачок. Такой потенциал называется Прямоугольным Из-за прямых углов на его графике.

Строго говоря, такие потенциалы не реализуемы, поскольку им соответствуют бесконечные силы в точках скачков потенциальной энергии. Все же прямоугольные потенциалы дают грубое представление о многих реальных системах, позволяя получать полезные результаты крайне простыми математическими методами.

1. В области, где потенциал UПостоянен, при E > U стационарное уравнение Шредингера (8) сводится к уравнению
2. Где , а его общее решение имеет вид
3. , (9)
4. Где А И В – произвольные постоянные.
5. При этом, в соответствии с (9) и (7), зависящая от времени
6. Волновая функция , будет равна выражению
7. ,

В котором первое слагаемое описывает волну, бегущую вправо, а второе – влево. При переходе от одной области к другой U изменяется и, следовательно, изменяется длина волны.

Существенно, что на границе между областями, как уже отмечалось, y(Х) и ее первая производная D Y / D x должны быть непрерывны.

Это приводит к двум уравнениям связи между амплитудными коэффициентами А и В для соседних областей.

6. Движение электрона в области потенциальной ступеньки

Рис. 1

Используем, прежде всего, оптическую аналогию.

Согласно (6) при X= 0 происходит скачкообразное изменение показателя преломления N , а при падении света на поверхность раздела двух сред с различными N часть волны отражается от неё, а часть проходит во вторую среду.

Поэтому следует ожидать отражения в точке Х = 0 и для y-волны, а следовательно, отличной от нуля вероятности отражения электрона при падении на скачок потенциала как справа, так и слева.

Подтвердим эти предположения строгим расчетом на основе стационарного уравнения Шредингера (8). В области I, слева от скачка потенциала (т. е. при Х < 0) волновая функция y1(Х) согласно (9) будет, вообще говоря, суммой двух слагаемых

(где ; ), первое из которых соответствует падающему потоку электронов, а второе – потоку, отраженному от скачка. В области II за скачком потенциала (т. е. при Х > 0) для случая, когда электроны падают только слева, решение содержит лишь одно слагаемое, соответствующее прошедшей волне

,

Где ; . Постоянные А, В И С Не могут быть заданы произвольно, поскольку их связывают условия непрерывности волновой функции и её первой производной в точке : и , где . Из этих условий легко найти, что коэффициенты В И С – амплитуды отраженной и прошедшей волн – связаны с амплитудой падающей волны А следующим образом:

, . (10)

Поскольку K2 > K1 , амплитуды отраженной и падающей волн имеют противоположные знаки. Это означает, что для падающей слева волны её фаза при отражении от скачка потенциала изменяется на π – происходит «потеря» полуволны.

Плотность потока электронов Г может быть выражена через их концентрацию Пе И скорость v: Г = NeV. Поскольку Пе ~ , а v ~ P ~ K, то Γ~ K|ψ|2. Доля электронов, которые проходят вправо, т. е. коэффициент прохождения DЕ,, равен отношению плотности прошедшего потока к плотности падающего:

• .
• Аналогично рассчитывается и коэффициент отражения:
• .
• Те же выражения получаются в результате подсчета коэффициентов и по формулам
• , ,
• Вытекающим непосредственно из определения вектора плотности потока вероятности .
• Рис. 2

Легко проверить также, что и не изменятся, если электроны с энергией Е Направить из области II в область I. Отметим, однако, что в этом случае отражение будет происходить без изменения фазы, поскольку в выражении (10) для амплитуды отраженной волны В Волновые числа K1 и K2 поменяются местами.

Следует подчеркнуть, что свойство отражения частиц от скачков потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не имеет места в классической физике.

В заключение сформулируем квантовомеханическую задачу, позволяющую на примере одномерной прямоугольной симметричной потенциальной ямы (рис. 2) простыми методами рассмотреть квантование энергии электрона и дать качественное объяснение эффекта Рамзауэра.

1. В этой задаче потенциальная энергия электрона U (Х) задается в виде:
2. U2 >U1.
3. Величина L= 2 а – Ширина ямы, – её глубина.
4. В зависимости от полной энергии электрона E, Возникают три случая:
5. а) E>U2; б) U1 £E£U2; в) E

Источник: https://www.webpoliteh.ru/stacionarnoe-uravnenie-shredingera/

Уравнение Шредингера

    Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем.

На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний.

Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера 4.2. Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками 4.3. Гармонический осциллятор 4.4. Частица в поле с центральной симметрией 4.5. Орбитальный момент количества движения 4.6. Спин 4.7. Полный момент количества движения 4.8. Квантовые числа        Задачи

4.1. Уравнение Шредингера

    В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой  и  заменены операторами импульса x, y, z и координаты , , :

х →  = х,            y →  = y,          z →  = z,

(4.2)

Зависящее от времени уравнение Шредингера: где  – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ),  ψ() = Eψ() и  Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ). Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U(): −(ћ2/2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(), где Δ – лапласиан.

    Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

    Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,

(4.7)

 где k = (2mE/ћ2)1/2. Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

 kL = nπ,   n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений En

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

•     Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.     Каждому значению энергии En соответствует волновая функция ψn(x), которая с учетом условия нормировки
• имеет вид

(4.10)

    В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию E < ћ2π2/(2mL2). Состояния частицы ψn в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

 Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

    Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,

(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.     С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Одномерная прямоугольная яма шириной L:   n = 1, 2, … Одномерный гармонический осциллятор: En = ћω0(n + 1/2),    n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

    В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

    Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = Rnl(r)Ylm(θ,φ),

(4.15)

где радиальная функция Rnl(r) и угловая функция Ylm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

или

Ylm(θ,φ) = ћ2l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Ylm(θ,φ) оператора квадрата момента 2. Уравнение (4.

17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции Rnl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).

    Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции Rnl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Решения уравнения существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).     Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:n = 1, 2, …, ∞.  Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

•     Собственные значения L2 и Lz являются решением уравнений
• 2Ylm(θ,φ) = L2Ylm(θ,φ)     и       zYlm(θ,φ) = LzYlm(θ,φ).
• Они имеют следующие дискретные значения
•    L2 = ћ2l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …, Lz = ћm,  где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.
•     Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:
• Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0	s-состояние
l = 1	p-состояние
l = 2	d-состояние
l = 3	f-состояние
l = 4	g-состояние
l = 5	h-состояние
и. т. д.

    Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0  волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Ylm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.     Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

    Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

    Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

Источник: http://nuclphys.sinp.msu.ru/sem2/sem04.html

Шрёдингер и его уравнение — лекции на ПостНауке

ВИДЕО ON THE EDGE

В гиде On the Edge, который мы подготовили вместе с Отделом культуры и образования Посольства Великобритании в Москве, профессора из ведущих британских университетов объясняют 15 главных научных тем, которые должен понимать каждый образованный человек. Следите за новостями проекта и будьте на крае науки вместе с нами.

9 ноября 1933 года великий австрийский физик Эрвин Шрёдингер пришел в кабинет, где я сейчас работаю, — в кабинет президента Оксфордского колледжа Магдалины (Magdalen College). Шрёдингер был на Сольвеевском конгрессе в Брюсселе; он приехал сюда и в тот день был принят в число членов научного общества колледжа.

На той церемонии использовались те же латинские фразы, что и сейчас. После церемонии в этой комнате зазвонил телефон: это была лондонская газета The Times, которая сообщила, что Шрёдингеру только что присудили Нобелевскую премию. Он услышал новость в этой самой комнате.

На следующий день The Times и The Telegraph написали, что Шрёдингер из Оксфордского университета получил Нобелевскую премию, хотя раньше работал в Берлинском университете.

За что Шрёдингер получил Нобелевскую премию? За работу, написанную в 1926 году, где ввел свое знаменитое уравнение. До этого энергию электронов в атомах объясняла теория известного физика Нильса Бора. Она объясняла спектр атома водорода и предлагала формулы для его энергетических уровней. Но теория Бора плохо работала для других атомов и молекул, она не была всеобщей.

Шрёдингер же предложил общее уравнение, которое работало для атома водорода, а также позволяло предсказать не только его энергетические уровни, но и интенсивность спектральных линий: он мог предсказать, насколько интенсивны будут эти линии. Это было что-то новое.

Даже его коллеги или те, кто с ним соперничал, как Гейзенберг, не знали, как это сделать, а Шрёдингер добился этого своим уравнением.

Сверхтекучесть и критерий Ландау

В том же году он понял, что может применить свое уравнение не только к энергетическим уровням атома водорода, но и к другим задачам. Например, к колебаниям гармонического осциллятора или вращению двухатомной молекулы можно применить то же уравнение и получить результаты, которые согласуются с экспериментальными данными.

Затем Шрёдингер понял, что его уравнение можно адаптировать не только для простых процессов, но и для процессов, которые зависят от времени. На самом деле есть два уравнения Шрёдингера: так называемое стационарное уравнение и временно́е.

Но это уравнение стало так важно, поскольку многие ученые по всему миру поняли, что оно работает не только для атома водорода — этот принцип работает для всех атомов и молекул. Это значит, что его можно было применять почти ко всему, к любым атомам и молекулам. Уравнение Шрёдингера можно использовать для вычисления всех их свойств.

Если решить его без ошибок, вы получите правильный ответ. Так что это была мощная теория для всех атомов и молекул, основанная на великой работе Шрёдингера 1926 года.

Проблема в том, что это уравнение математически довольно сложное. Его трудно решить для более сложных объектов, чем атом водорода. Даже для атома гелия придется использовать довольно трудные приемы интегрирования и дифференцирования. Так что поначалу оно не сильно поменяло науку.

Все изменилось, когда появились компьютеры: тогда стало возможно использовать их для вычисления результатов, и чем дальше, тем точнее они становились.

В современном мире это очень мощная теория, которая лежит в основе всей химии и молекулярной биологии. В науке о материалах — понимании свойств материалов — вы тоже можете применить такие вычисления, и многие этим занимаются. Даже в геологии вы можете вычислить температуру центра Земли, используя вариант уравнения Шрёдингера.

В XXI веке это уравнение стало почти незаменимым в моделировании атомов и молекул. Предыдущий метод, который использовали до Шрёдингера, разработал Исаак Ньютон — это его законы.

Вы можете моделировать атомы и молекулы при помощи законов Ньютона, но они не описывают эффекты квантовой механики, например туннельный эффект или квантовую вероятность.

Эти законы на атомах и молекулах не работают, но уравнение Шрёдингера — да.

Шрёдингер приехал сюда в 1933 году, чтобы работать здесь, в Оксфорде. Он был сотрудником моего колледжа, читал лекции о квантовой теории в Оксфордском университете. Но он не был счастлив.

У него была позиция вроде младшего научного сотрудника — и это после Берлинского университета, в котором он был важнейшим профессором. Его позицию обновляли каждый год, ее финансировала химическая компания ICI. Так что он не был счастлив.

Он прожил здесь всего три года: скучал по своим берлинским друзьям. Был очень дружен с Максом Планком — человеком, который открыл квантовую теорию. Дружил с Эйнштейном, который в 1920-х годах тоже жил в Берлине.

Он был несчастлив, так что три года спустя решил переехать в свою родную страну — Австрию, где ему предложили позиции в Грацском, а также Венском университете, куда Шрёдингер и отправился.

Сверхпроводимость и магнетизм

Он покинул Берлин в 1933 году, поскольку его не устраивала тогдашняя политика Германии. Наука и политика в те дни были смешаны. Ему не нравилось, что творили нацисты, и он отправился в Оксфорд, но затем совершил ошибку: вернулся в Австрию. Он не знал, что там начнутся проблемы: войска Гитлера заняли ее в 1938 году. Шрёдингеру пришлось бежать.

Некоторые даже переживали, что его могли арестовать, но он смог сбежать и уехал ненадолго в Ватикан, а затем с ним связался премьер-министр Ирландии де Валера, предложивший ему работать в Ирландии.

Шрёдингер смог вернуться сюда, в Оксфордский колледж Магдалины, в 1938 году, а затем отправился в Ирландию и начал работать в Дублинском институте перспективных исследований, где написал еще одну важную работу./p>

Он размышлял об атомах и молекулах и понял, что фундаментальные принципы физики и химии, в том числе квантовую механику, можно применить и к биологическим молекулам, таким как ДНК и белки, которые в конце 1940-х только начинали изучать. Шрёдингер написал в Дублине небольшую книгу под названием «Что такое жизнь?», в которой говорилось, что базовые принципы физики и химии можно применить в биологии.

Сейчас все это знают: вся область молекулярной биологии объясняется этими базовыми принципами, но тогда об этом не задумывались.

Некоторые молодые ученые того времени, например Уотсон и Крик, прочитали его книгу и подумали: стоит заняться молекулярной биологией.

Так они и поступили, и в 1950-х произошли великие открытия — скажем, открытие Уотсоном и Криком структуры ДНК, а затем РНК и других биологических молекул. Все эти открытия были вдохновлены небольшой книгой Шрёдингера.

Сейчас ученые работают в больших исследовательских группах, но Шрёдингер все сделал сам. Он был индивидуалистом и никогда не был счастлив на одном месте. Он не был счастлив здесь, в Оксфордском колледже Магдалины.

Свои классические работы написал в Цюрихе, где жил несколько лет в начале 1920-х годов, и в Ирландии тоже жил недолго.

После Второй мировой войны он решил вернуться в Австрию, где во времена Гитлера у него были проблемы. Но там его встретили как героя: его портрет печатали на банкнотах и марках, в его честь назвали кратер на Луне, и он стал одним из величайших людей Австрии того времени. Но мы все еще помним его здесь, в Оксфорде, и счастливы, что великий ученый Шрёдингер сюда приезжал.

Есть и другая точка зрения: темная материя может существовать не в виде отдельных частиц, а в форме волны, проходящей через Вселенную. В зависимости от того, какова плотность этой волны, получается какое-то количество темной материи. Некоторые ученые исследуют такую возможность.

Мои исследования связаны с квантовой химией, то есть решением уравнений Шрёдингера для атомов и молекул, в особенности для химических реакций. Так что он мой научный герой. Как президент колледжа Магдалины, я работаю в том же кабинете, где Шрёдингер услышал, что он получил Нобелевскую премию. Для меня это непередаваемые ощущения.

Источник: https://postnauka.ru/video/99266

Стационарное уравнение Шредингера

Определение 1

Основное уравнение квантовой механики было предложено Э. Шредингером в $1926$ г. Его значение в квантовой физике аналогично значению уравнению движения И. Ньютона.

Уравнение Шредингера не выводится, оно постулируется. Его истинность доказывается тем, что полученные с его помощью результаты хорошо согласуются с экспериментами, проводимыми в рамках атомной и ядерной физики.

Уравнение Шредингера можно представить в следующем виде:

[-frac{hbar }{i}frac{partial Psi}{partial t}=-frac{{hbar }^2}{2m} riangle Psi+Uleft(x,y,z,t
ight)Psileft(1
ight),]

где $hbar =frac{h}{2}=1,05cdot {10}^{-34}Джcdot с $- постоянная Планка, $m$ — масса частицы, $Uleft(x,y,z,t
ight)$- потенциальная энергия частицы в силовом поле в котором перемещается частица, $ riangle =frac{partial^2}{partial x^2}+frac{partial^2}{partial y^2}+frac{partial^2}{partial z^2}$ — оператор Лапласа, $Psi=Psi(x,y,z,t)$ — волновая функция частицы, $i=sqrt{-1}$ — мнимая единица.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Уравнение (1) является справедливым для любой частицы, которая движется со скоростью много меньшей скорости света ($vll c, где c $— скорость света в вакууме). Уравнение Шредингера дополняют условиями, которые накладываются на волновую функцию $Psi (x,y,z,t)$:

1. Данная функция должна быть конечной, непрерывной и однозначной.

2. Производные от этой функции ($frac{partial Psi}{partial x}, frac{partial Psi}{partial y},frac{partial Psi}{partial z},frac{partial Psi}{partial t}$) должны быть непрерывны.

3. Функция ${left|Psi
   ight|}^2$ должна быть интегрируемой, что означает, интеграл $iiintlimits^{infty }_{-infty }{{left|Psi
   ight|}^2dxdydz}$ должен быть конечным. В самом простом случае данное условие сводится к условию нормировки вероятностей. Это условие связано с тем, что физическим смыслом обладает не сама волновая функция, а ${left|Psi
   ight|}^2$.

Значение вышеперечисленных условий в том, что с их помощью не решая уравнения Шредингера, только изучая возможные решения, можно делать ряд важных выводов об энергии и других параметрах рассматриваемой частицы.

Уравнение (1) называют временн$acute{ы}$м уравнением Шредингера, так как оно содержит производную от волновой функции по времени.

Для большого числа явлений, которые происходят в микромире можно использовать стационарную волновую функцию (независящую от времени) и соответственно стационарное уравнение Шредингера. Такое уравнение имеет смысл для задач, в которых потенциальная энергия не зависит от времени ($U=Uleft(x,y,z
ight)$).

• Решение уравнения (1) найдем в виде:
• Подставим выражение (2) в уравнение Шредингера (1), получим:
• Разделим обе части выражения (3) на произведение функций $varphi Psi$, имеем:

В уравнении (4) левая часть — функция только координат, правая — только времени. Равенство возможно только в случае, если обе части уравнения равны некоторой постоянной. Обозначим ее $-E$ и запишем:

Уравнение (6) называют стационарным уравнением Шредингера. Оно является важным уравнением в квантовой механике и играет основную роль в атомной физике. Функции $Psi$, которые удовлетворяют уравнению Шредингера при известной U, называют собственными функциями. Величины $E$ при которых существуют решения уравнения Шредингера (6) называют собственными значениями.

1. Уравнение (5) можно проинтегрировать. Получим:
2. где ${varphi }_0=varphi_0left(0
   ight)$- значение $varphi (t)$ в начальный момент времени (t=0).
3. Для определения смысла величины $E$ в стационарном уравнении Шредингера уравнение (6) сравнивают с волновым уравнением:
4. где $v^2_{faz}$ — фазовая скорость волн в квадрате. Для синусоидальных волн ($S=Aleft(r
   ight)e^{-i2pi
   u (t-frac{r}{v_{faz}})}, где
   u — частота волны$):
5. уравнение (8) записывается как:
6. К волнам де Бройля, которые связаны с движущимися частицами, можно применять уравнение (9). Для длины волны де Бройля известно соотношение:
7. где $v_{faz}$- фазовая скорость волн де Бройля, $
   u $ — частота волн де Бройля. Подставим вместо $frac{
   u }{v_{faz}}$ в уравнение (10) в соответствии с (11) величину $frac{mv}{h}$, вместо $S$ волновую функцию, получим:
8. $frac{mv^2}{2}=E-U$ — кинетическая энергия частицы, где $E$ — ее полная энергия. Выражение $frac{4{pi }^2m^2v^2}{h^2}$ перепишем как:
9. Значит в уравнении (12) имеем:

Мы получили уравнение (14) тождественное со стационарным уравнением Шредингера. Рассуждения, приведенные выше, подчеркивают волновой характер уравнения Шредингера. Надо отметить, что представление полной энергии ($E$) как суммы потенциальной и кинетической энергии в квантовой механике имеет ограниченный характер.

Уравнение Шредингера находится в согласии с предположением о связи полной энергии ($E$) частицы с частотой волн де Бройля. Решение уравнения Шредингера можно записать в виде:

Так, состояние частицы в рассматриваемый момент времени можно описать периодической функцией времени, имеющей циклическую частоту ($omega =frac{E}{hbar }$), которая определена полной энергией частицы.

Пример 1

Задание: На пути электронного пучка, имеющего энергию $E$, расположен потенциальный барьер высоты $U$ ($U >E$) (рис.1). Какова относительная вероятность пребывания электрона в области $2$ на расстоянии x от границы областей $1$ и $2$ ($epsilon$)?

• Рисунок 1.
• Решение:

В задаче следует найти отношение плотности вероятности нахождения электрона в точке $x$ к плотности вероятности его нахождения на границе областей. В задаче имеется высокий потенциальный барьер бесконечной ширины.

Все падающие на барьер электроны отражаются от него, но существует вероятность, что электрон попадет в область $2$.

Для нахождения вероятности обнаружения электрона в области $2$ надо решить уравнение Шредингера вида:

[ riangle Psi+frac{2m}{{hbar }^2}left(E-U
ight)Psi=0left(1.1
ight).]

Для одномерного случая, который мы имеем для нашей задачи уравнение (1.1) примет вид:

[frac{{partial }^2Psi}{partial x^2}-frac{2m}{{hbar }^2}left(E-U
ight)Psi=0left(1.2
ight).]

Решение данного уравнения функция:

[Psileft(x
ight)=Ce^{kx}+De^{-kx}left(1.3
ight),]

где $C$ и $D$ постоянные. Однако, из (1.3) при $x o infty ,$ то$ Psi o infty $, что не допустимо, следовательно, $C=0$. Получаем:

[Psileft(x
ight)=De^{-kx}=De^{-frac{sqrt{2m(U-E)x}}{hbar }}left(1.4
ight).]

Используя (1.4) найдем плотность вероятности нахождения частицы в точке x как:

[{p=left|Psi(x)
ight|}^2=D^2e^{-frac{2sqrt{2mleft(U-E
ight)x}}{hbar }}left(1.5
ight).]

Плотность вероятности, исходя из (1.5) на границе ${p_0=left|Psi (0)
ight|}^2=D^2$. Тогда относительная вероятность ($epsilon$) равна:

[epsilon=frac{{left|Psi(x)
ight|}^2}{{left|Psi(0)
ight|}^2}=e^{-frac{2sqrt{2mleft(U-E
ight)x}}{hbar }}.]

Ответ: $epsilon=e^{-frac{2sqrt{2mleft(U-E
ight)x}}{hbar }}.$

Пример 2

1. Задание: Запишите уравнение Шредингера для электрона в водородоподобном атоме.
2. Решение:
3. Для написания необходимого уравнения следует вспомнить формулу, определяющую потенциальную энергию, которой обладает электрон в водородоподобном атоме, находящийся на орбите радиуса r:
4. Уравнение для электрона в водородоподобном атоме должно быть стационарным и его можно записать как:
5. Ответ: $ riangle Psi+frac{2m_e}{{hbar }^2}left(E+frac{Zq^2_e}{4pi {varepsilon }_0r}
   ight)=0.$

[U=-frac{Zq^2_e}{4pi {varepsilon }_0r}left(2.1
ight).]
[ riangle Psi+frac{2m_e}{{hbar }^2}left(E+frac{Zq^2_e}{4pi {varepsilon }_0r}
ight)=0.]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/predmet_i_zadachi_atomnoy_fiziki/stacionarnoe_uravnenie_shredingera/

Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

Для частиц квантового мира существуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами как частиц, так и волн — и, действительно, при рассеянии пучка электронов на дыре наблюдается дифракция, характерная для волн.

Поэтому мы можем говорить не о траекториях квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в определенной точке в определенный момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Часто частица движется через силовое поле, которое не зависит от времени. Для этого случая стационарное уравнение Шредингера записывается:

Следовательно, с вероятностью можно найти функцию в конечном объеме:

Так как функция psi является вероятностью, она может быть не меньше нуля и не превосходить ее. Полная вероятность нахождения частицы в бесконечном объеме является условием нормировки:

Стационарное уравнение Шредингера имеет много решений, но решение должно учитывать граничные условия и выбирать только собственные решения — те, которые имеют физический смысл. Такие решения существуют только для индивидуальных значений энергии частиц E, которые образуют дискретный энергетический спектр частицы.

• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задача

Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: — расстояние между электроном и ядром, а — первый боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрона, скорее всего, есть?

Решение

1. 1) Выражая объем через радиус ядра, находим вероятность того, что электрон находится на некотором расстоянии от ядра:
2. 2) Вероятность того, что электрон находится в элементарном «кольце» dr:
3. 3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, мы найдем экстремум из последнего выражения:
4. Решив это уравнение, получим r = a — наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром.

Ответ

• r = a — с наибольшей вероятностью ядро расположено на расстоянии от первого боровского радиуса от ядра.
• ПРИМЕР 2

Задача

Найти уровни энергии частиц в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Решение.

Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы — л. Мы подсчитываем энергию со дна ямы и описываем ее как функцию:

1. Стационарное уравнение Шредингера
2. Запишем одномерное стационарное уравнение Шредингера:

Рассмотрим граничные условия. Поскольку мы считаем, что частица не может проникнуть за стены, она находится вне ямы . На границе скважины psi-функция также равна нулю: . В яме потенциальная энергия U = 0.

• Тогда уравнение Шредингера, записанное для ямы, будет упрощено:
• В форме это DU гармонического осциллятора:
• Общее решение для этого выражения:
• Подставим в последнюю формулу
• Заменить условие на границе:
• Поскольку мы заменили , то энергия квантовой частицы:
• Энергия частицы квантуется — она принимает только дискретные значения.

Ответ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/stacionarnoe-uravnenie-shredingera/

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — это… Что такое Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера?

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где  — постоянная Планка,  — масса частицы,  — потенциальная энергия,  — полная энергия,  — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала

где  — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения , с граничными условиями и .

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности.

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция x. В одномерном случае, если волновая функция при , то показатель степени в соответствии с выражением

должен удовлетворять неравенству

Интегрирование уравнения в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

из которого в пределе следует

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (), то условие принимает вид

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения , с граничными условиями и не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения .

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение принимает особенно простой вид

Для этого уравнения решением является суперпозиция плоских волн

Здесь энергия может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Константы и определяются из условия нормировки.

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения с потенциальной энергией , которая равна нулю в интервале и становится бесконечной в точках и . На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с . Граничные условия , для волновой функции запишутся в виде

Ищем решения в виде . С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии

и собственных функций с учётом нормировки

Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках , а именно, заменяя вторую производную по формуле

где  — шаг дискретизации,  — номер узла сетки, получим

где  — значение потенциальной энергии на узлах сетки. Пусть некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение можно записать в безразмерном виде

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов .

Программный код[источник не указан 761 день]

Используя уравнение в конечных разностях запишем дискретный аналог для уравнения с нулевым потенциалом

Следующий программный код (Matlab) предназначен для решения уравнения с нулевой потенциальной энергией и граничными условиями , .

clear;

%Размер матрицы
N=400;
%Число собственных значений
Roots=3;
%правая граница
a=10;
%Шаг дискретизации
step=a/(N+1);
%Сетка
s=step:step:a-step;
%% Потенциальная энергия
%% Вариант 1 — «большая яма»
v=0*s;
%%Вариант 2 — 1/r потенциал
%v=1./linspace(-a,a,numel(s));
%v=-abs(v)*10;
%%Вариант 3 — «вложенная потенциальная яма»
%v=abs(linspace(-a,a,numel(s)))

Источник: https://biograf.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/47118