Дифференциал функции: основные понятия и определения

      

Главная Репетиторы Учебные материалы Контакты

Главная > Учебные материалы > Математика:  Дифференциал 1.Понятие дифференциала. 2.Свойства дифференциала. 3.Дифференциал сложной функции. 4.Приближенные вычисления с помощью дифференциала. 9 10 11 12 13 14 15 16 17    Допустим функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окресности точки xϵX, т.е. существует производная y'. Согласно теореме о связи бесконечно малых величин с пределами функции запишем: из рисунка 1 видно, что угол β равен сумме двух углов: ϕ и γ. tg ϕ = f'(x) в точке М, tg β — tg ϕ = а(∆x) представляет собой бесконечно малую величину, зависящую от ∆x.    ∆y/∆x = f'(x) + а(∆x)    где а(∆x) — бесконечно малая величина при ∆х →0, откуда    ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x     dy =f'(x) ∆x или dy = f'(x) dx  из формулы можно увидеть, что приращение функции ∆y состоит из двух слагаемых: линейного относительно ∆x и нелинейного. Таким образом, дифференциалом функции называется главная, линейная часть приращения функции относительно ∆x, равная произведению производной на приращение независимой переменной.    Допустим задана функция y = f(x). Возьмем произвольную точку М(x,y). Дадим переменной x приращение ∆x. Тогда функция получит приращение ∆y = f(x+∆x) — f(x). (см.рис. 1). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке М, которая образует угол ϕ с положительным направлением оси Ох, т.е f'(x) = tg ϕ. Из прямоугольного треугольника МAB AB = MB · tg ϕ = ∆x tg ϕ = f' (x)∆x т.е. dy = AB. Можно сказать что, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆x. Рис 1. Геометрический смысл дифференциала.    Дифференциал имеет следующие свойства.    1. dc=0    2. d(cu)= c du    3. d(u+v)=du+dv          5. d(u/v) = (v du — u dv) / v²    4. d(uv)=v du + u dv          Дифференциал функции dy = f'(x) dx. Рассмотрим функцию y = f(u), где f(u) является сложной функцией, т.е. y = f(g(x)). Если функции y = f(u) и u = g(x) — дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна:    dy = f'(x) dx = f'(u) · u'dx = f'(u) du.    т.е. dy = f'(u) du    Из формулы ∆y = f'(x)∆x + а(∆x)∆x можно увидеть, что приращение функции приблизительно равно ее дифференциалу, т.к. величина а(∆x)∆x бесконечно малая. Именно поэтому, при достаточно малых значениях ∆x можно считать, что ∆y≈ dy т.е. f(x+∆x)≈f(x)+f '(x)∆x. Данная формула тем точнее, чем меньше значение ∆x. Это приближенное равенство можно применить в приближенных вычислениях. Пример: 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Math Task
СЕРВИС	КОНТАКТЫ
ГлавнаяMath Task — это сайт репетиторов. На сайте можно также найти различный учебный материал, который поможет подготовиться к экзаменам.	Тел.: 8 (916) 203-47-68
Поиск репетитораНа сайте можно найти репетитора и получить контактную информацию без регистрации, используя удобный поисковый сервис.	mt@mathtask.ru
Учебные материалыРазличный учебный материал для подготовки к экзаменам.
КонтактыКонтактная информация и отправка сообщений.
© 2013 — 2020 www.mathtask.ru	Карта сайта

Источник: http://www.mathtask.ru/0005-differential.php

Понятие дифференциала функции одной переменной и его геометрический смысл

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так: или или же

Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях?

Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

О разных формах записи дифференциала Дифференциал функции в точке x и обозначают или Следовательно, (1) или (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной. Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а — наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.Дифференциал функции можно записать в другой форме: (3)

или (4)

30. Свойства дифференциала.

• Свойства дифференциала
• Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
• (С – постоянная величина) (5)
• (6) (7)
• (8) (9)
• Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .
• Применение дифференциала в приближенных вычислениях
• Установленное во втором параграфе приближенное равенство
• или (10)
• позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
• Запишем приближенное равенство более подробно. Так как
• а то или
• (11)
• Абсолютная и относительная погрешности приближенных вычислений

Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением: (12)

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

(13) Если точное число неизвестно, то (14)

31. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство ∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Источник: https://cyberpedia.su/18x1f4f.html

Лекция 18. Дифференциал функции. Дифференциал сложной функции

Понятие дифференциала

Дифференциалом dy функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на приращение независимой

переменной , т.е. .

Дифференциал независимой переменной , по определению, равен приращению независимой переменной . Поэтому (1)

т.е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной.

Операция нахождения дифференциала так же, как и операция нахождения производной, называется дифференцированием.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Перепишем формулу в виде: , где -приращение функции, — дифференциал функции, при . Тогда , т. е. приближенное значение приращения функции совпадает и её дифференциалом.

При достаточно малом приближённое равенство обладает достаточно высокой степенью точности. Отсюда находим: или . Перепишем последнее равенство, используя определение дифференциала: .

• Это соотношение часто используется в приближенных вычислениях.
• Геометрический смысл дифференциала
• Для выяснения геометрического смысла дифференциала к графику функции в точке М(х,у) проведём касательную МТ, обозначив через φ её угол наклона к положительному направлению оси ОХ.

Так как , то . Поэтому из треугольника MLN следует, что дифференциал dy есть приращение ординаты касательной, соответствующее приращению аргумента .

Замечая, что , т.е. что дифференциал независимой переменной равен её приращению, получаем .

Таким образом , дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал (или приращение) независимой переменной. Т. о. , т.е. производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

Дифференциал сложной функции

Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент её был независимой переменной. Иначе говоря, форма записи дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков

Производная функции есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается , то есть . Производная n – го порядка называется производная от производной — го порядка: . Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/56569.html

Теорема о производной обратной функции (Лекция №6)

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).
2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: .
3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

1. y = xa – степенная функция с произвольным показателем.

• ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
• Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).
• Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Примеры.

2. .

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .

   а).

   б) .

6. .
7. .

   .

8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .

Примеры.

1. . Найти y'(–1).

1. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ И ПРОИЗВОДНОЙ
2. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 Î [a; b] определяется равенством
3. .
4. Следовательно, по свойству предела
5. Умножая все члены полученного равенства на Δx, получим:
6. Δy = f '(x0)·Δx + a·Δx.

Итак, бесконечно малое приращение Δy дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ≠ 0) главная часть приращения, линейная относительно Δx, а второе – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δx. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·Δx называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение Δx аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=Δx. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением Δx. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции Δy = f(x+Δx) – f(x) можно представить в виде Δy = A·Δx + α, где α – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

• Действительно, имеем , и так как при Δx→0, то .
• Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
• Примеры. Найти дифференциалы функций:

1. .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую.

Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.

Дадим независимой переменной x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy = NM1. Значениям x+Δx и y+Δy на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+Δx; y+Δy).

Из ΔMNT находим NT=MN·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δx, то NT = f '(x)·Δx. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·Δx, поэтому dy = NT.

1. Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.
2. ТЕОРЕМА ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
3. Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

• .
• Следовательно, по определению
• , но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.
• Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy.

1. Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим
2. .
3. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y=f(x) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда

Примеры.

1. y = x2 – 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δy), когда x изменяется от 3 до 3,01.
   • Имеем Δy≈dy=f'(x)·Δx.
   • f'(x)=2x – 2 ,f'(3)=4, Δx=0,01.
   • Поэтому Δy ≈ 4·0,01 = 0,04.
2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.
   1. Пусть x0= 16. Тогда Δx = x – x0= 17 – 16 = 1, ,
   2. .
   3. Таким образом, .
3. Вычислить ln 0,99.

   Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

   Положим x0 = 1. Тогда Δx = – 0,01, f(x0)=0.

   , f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ≈ 0 – 0,01 = – 0,01.

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).

• Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y(n) или f(n)(x): y(n) = (y(n-1))'.
• Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.
• Примеры.

1. Найти производную четвертого порядка функции y= ln x.

   .

2. .
3. Найти производную n-го порядка функции y = ekx.

   y'= k·ekx, y''= k2·ekx, y''' = k3·ekx, …,y(n) =kn·ekx.

4. Найти производную n-го порядка функции y = sin x.

   Имеем

   Выясним механический смысл второй производной. (Механический смысл первой производной – скорость).

   Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону s=s(t), где s – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость vэтого движения есть v= s'(t) = v(t), т.е. тоже некоторая функция времени.

   В момент времени t скорость имеет значение v=v(t). Рассмотрим другой момент времени t+Δt. Ему соответствует значение скорости v1 = v(t+Δt).

   Следовательно, приращению времени Δt соответствует приращение скорости Δv= v1 – v = v(t + Δt) – v(t).

   Отношение называется средним ускорением за промежуток времени Δt.

   Ускорением в данный момент времени t называется предел среднего ускорения при Δt→0:

   .

   Таким образом, ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Но как мы уже видели, скорость есть производная пути s по времени t: v = s'. Учитывая это, имеем:

   a = v'(t) = (s')' = s''(t),

   т.е. ускорение прямолинейного движения точки равно 2-й производной пути по времени

   a = S''(t).

Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture06/lecture06.html

Дифференциал функции

Если
функция
дифференцируема в точке,то её
приращение можно представить в виде
суммы двух слагаемых

.
Эти слагаемые являются бесконечно
малыми функциями при .

Первое слагаемое
линейно относительно ,второе является
бесконечно малой более высокого порядка,
чем

png» width=»28″>.Действительно,

• Таким образом второе слагаемое
  при быстрее стремится к нулю и при нахождении
  приращения функцииглавную роль играет первое слагаемоеили (так как).
• Определение.
  Главная часть
  приращения функции
  
  в точке ,
  линейная относительно,называется
  дифференциалом функции
  в этой точке
  и обозначается dy или df(x)
• . (2)
• Таким
  образом, можно сделать вывод: дифференциал
  независимой переменной совпадает с её
  приращением, то есть .
• Соотношение
  (2) теперь принимает вид
• (3)
• Замечание.
  Формулу (3) для краткости часто записывают
  в виде
• (4)

Геометрический смысл дифференциала

Рис.2

Рассмотрим
график дифференцируемой функции .
Точкиипринадлежат графику функции.

В точкеМ
проведена
касательная К
к графику
функции, угол которой с положительным
направлением оси обозначим через.

Проведем прямыеMN параллельно
оси Ox и параллельно осиOy.
Приращение функции равно длине отрезка
.
Из прямоугольного треугольника

Q4d2/img-yjde73.png» width=»44″>, в котором,
получим

Изложенные выше
рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал
функции

в точке изображается приращением ординаты
касательной к графику этой функции в
соответствующей её точке.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим
формулу (4)

Разделим
обе части этого равенства на dx
, тогда

1. Таким
   образом, производная
   функции равна отношению её дифференциала
   к дифференциалу независимой переменной.
2. Часто
   это отношение рассматривается просто как символ,
   обозначающий производную функцииу по аргументу х.
3. Удобными
   обозначениями производной также
   являются:
4. , и так далее.
5. Употребляются также записи
6. , ,
7. особенно
   удобные, когда берется производная от
   сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного

• Так
  как дифференциал получается из производной
  умножением её на дифференциал независимой
  переменной, то, зная производные основных
  элементарных функций, а также правила
  для отыскания производных, можно прийти
  к аналогичным правилам для отыскания
  дифференциалов.
• 10.
  Дифференциал
  постоянной равен нулю
• .
• 20.
  Дифференциал
  алгебраической суммы конечного числа
  дифференцируемых функций равен
  алгебраической сумме дифференциалов
  этих функций

30.

Дифференциал
произведения двух дифференцируемых
функций равен сумме произведений первой
функции на дифференциал второй и второй
функции на дифференциал первой

Следствие.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
дифференциала

.

Пример.
Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную
функцию в виде

тогда
получим

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование

1. Определение.
   Функция

   png» width=»59″>называется заданной параметрически,
   если обе переменныех
   и у
   определяются
   каждая в отдельности как однозначные
   функции от одной и той же вспомогательной
   переменной – параметра t:

2. png»>

3. где t изменяется в пределах .

Замечание.
Параметрическое задание функций широко
применяется в теоретической механике,
где параметр t обозначает
время, а уравнения

png» width=»24″>представляют собой законы изменения
проекций движущейся точкина осии.

Замечание.
Приведем параметрические уравнения
окружности и эллипса.

• а)
  Окружность с центром в начале координат
  и радиусом rимеет
  параметрические уравнения:
• где .
• б)
  Запишем параметрические уравнения для
  эллипса:

1. где
   .
2. Исключив
   параметр t из
   параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим
   уравнениям.
3. Теорема.
   Если функция у от аргумента х задана
   параметрически уравнениями ,
   гдеидифференцируемые поt
   функции и ,
   то
4. .

Пример.
Найти производную функции у
от х ,
заданной параметрическими уравнениями.

Источник: https://studfile.net/preview/2824756/page:2/