При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
- Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
- a2 — b2 = (a — b)(a + b)
Квадрат суммы
- Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
- Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 x 100 x 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544 - Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!!!
(a + b)2 не равно a2 + b2
Квадрат разности
- Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
- (a — b)2 = a2 — 2ab + b2
- Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
- (a — b)2 = (b — a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок: - (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 = b2 — 2ab + a2 = (b — a)2
Куб суммы
- Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт a3.
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!!!
(a + b)3 не равно a3 + b3
Куб разности
- Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
- (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a3стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.
(a — b)3 = + a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
Сумма кубов (Не путать с кубом суммы!)
- Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
- a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2)
- Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
a2- ab + b2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)
- Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
- a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.
Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.
Разложим, например, :
В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце – куб второго числа. А вот что посередине – запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго – увеличивается – несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).
Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они – коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее — ага, уже треугольник получается:
Первая строка, с одной единичкой – нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:
- Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:
- Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:
- Ну а знаки запомнить еще проще: первый – такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму – значит, плюс, разность – значит, минус), а дальше знаки чередуются!
Вот такая это полезная штука – треугольник Паскаля. Пользуйтесь!
Источник: http://ychitelll.ucoz.ru/index/formuly_sokrashhennogo_umnozhenija/0-102
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов
ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями),решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: ((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать. Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Пример. Раскрыть скобки: ((x+5)^2) Решение:
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.
Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.
Решение:
| ((1+5x)^2-12x-1= ) | Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы… |
| (=1+10x+25x^2-12x-1=) | …и приведем подобные слагаемые. |
| (=25x^2-2x) | Готово. |
Ответ: (25x^2-2x).
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.
Решение:
| ((368)^2+2·368·132+(132)^2=) | Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2) |
| (=(368+132)^2=) | Вот теперь вычислять гораздо приятнее! |
| (=(500)^2=250 000.) | Готово. |
Ответ: (250 000).
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).
Решение:
| ((2a-3)^2-4(a^2-a)=) | Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки. |
| (=4a^2-12a+9-4a^2+4a=) | Теперь приведем подобные слагаемые. |
| (=-8a+9=) | Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений. |
| (=-8·frac{17}{8}+9=-17+9=8) | Пишем ответ. |
Ответ: (8).
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Получили формулу:
Разность квадратов (a^2-b^2=(a+b)(a-b))
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.
Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).
Решение:
| (frac{x^2-9}{x-3})(=) | Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой. |
| (=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x+3)(x-3)}{x-3})(=) | Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки. |
| (=x+3) | Готов ответ. |
Ответ: (x+3).
Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6). Решение:
| (25x^4-m^{10} t^6) | Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n). |
| (=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=) | Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3). |
| (=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )) | Готов ответ. |
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}) . Решение:
| (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3})(=) | На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности). |
| (frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3})(=) |
|
| (frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3})(=) | Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате. |
| (frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3})(=) | Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок. |
| (frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3})(=) | И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель. |
| (x-2y-3) | Готов ответ. |
Скачать статью
Источник: http://cos-cos.ru/math/140/
Семь формул сокращённого (краткого) умножения: упрощение выражений, примеры задач с решением
Как выглядит список формул
Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:
a⁴ b⁴ = (a — b)(a + b)(a² + b²).
Все равенства имеют пару (сумма — разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится.
Остальные равенства легко запоминаются:
Разница между квадратом суммы и разности заключается в знаке перед удвоенным произведением величин.- В случае с суммой и разностью кубов в (a ± b) знак совпадает со знаком (a3±b3). Второй сомножитель — так называемый неполный квадрат, поскольку он напоминает квадратный трёхчлен, возникающий после раскрытия скобок в квадрате суммы или разности. Здесь в ситуации с суммой появляется знак минуса перед ab, в противном случае знак заменяется на +.
- В кубе суммы все знаки положительные, в случае с разностью появляются минусы перед 3a²b и b³.
Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b: это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.
- В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение:
- (a — b)³ = (a — b)(a — b)(a — b) = (a² ab — ab + b²)(a — b) = a³ a²b — a²b + ab² a²b + ab² + ab² b³ = a³ 3a²b + 3ab² b³.
В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.
Применение ФСУ для решения уравнений
- К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени:
- x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
- В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители).
Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:
- (x + 1)³ = 0.
- Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1.
Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ 6x² + 9x >, 0.
В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x. После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.
Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.
- ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора:
- 703² 203² = (703 + 203)(703 — 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.
Примеры задач для 7−8 класса
- В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.
- Задача 1. Упростить выражение:
- (m + 3)² + (3m + 1)(3m — 1) — 2m (5m + 3).
Решение.
В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые.
Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы),
- (3m + 1)(3m — 1) = 9m² 1 (разность квадратов),
- В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
- Подставим полученные результаты в исходное выражение:
- (m² + 6m + 9) + (9m² 1) — (10m² + 6m).
- С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
- m² + 6m + 9 + 9m² 1 — 10m² 6m = 8.
- Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:
- k⁵ + 4k⁴ + 4k³ 4k² 4k = k³.
Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.
- k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
- Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4):
- k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
- Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:
- k³(k² + 4k + 4) — k (k² + 4k + 4) = 0.
- Снова необходимо вынести общий множитель:
- (k³ k)(k² + 4k + 4) = 0.
- Из первого полученного сомножителя можно вынести k. По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)²:
- k (k² 1)(k + 2)² = 0.
- Использование формулы разности квадратов:
- k (k — 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
- Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:
- k = 0,
- k — 1 = 0, k = 1,
- k + 1 = 0, k = -1,
- (k + 2)² = 0, k = -2.
На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.
Источник: https://tvercult.ru/nauka/formulyi-sokrashhyonnogo-umnozheniya-fsu-tablitsa-i-primenenie
Формулы сокращенного умножения:степень суммы и степень разности
| Справочник по математике | Алгебра | Формулы сокращенного умножения |
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:
| (x + y)2 = (x + y)(x + y) ,(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,(x + y)4 = (x + y)3(x + y) |
и т.д.
Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.
Таблица 1. – Степень суммы
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень)суммы | (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы | (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы | (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы | (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы | (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … | … |
| Квадрат (вторая степень) суммы(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) суммы(x + y)3 == x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 |
| Четвертая степень суммы(x + y)4 = x4 + 4x3y ++ 6x2y2 + 4xy3 + y4 |
| Пятая степень суммы(x + y)5 = x5 + 5x4y ++ 10x3y2 ++ 10x2y3 ++ 5xy4 + y5 |
| Шестая степень суммы(x + y)6 = x6 + 6x5y ++ 15x4y2 ++ 20x3y3 ++ 15x2y4 + 6xy5 + y6 |
| … |
- Общая формула для вычисления суммы
- (x + y)n
- с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.
Степень разности
Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):
Таблица 2. – Степень разности
| Название формулы | Формула |
| Квадрат (вторая степень)разности | (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности | (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности | (x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности | (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности | (x – y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … | … |
| Квадрат (вторая степень) разности(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 |
| Куб (третья степень) разности(x – y)3 == x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 |
| Четвертая степень разности(x – y)4 = x4 – 4x3y ++ 6x2y2 – 4xy3 + y4 |
| Пятая степень разности(x – y)5 = x5 – 5x4y ++ 10x3y2 –– 10x2y3 ++ 5xy4– y5 |
| Шестая степень разности(x – y)6 = x6 – 6x5y ++ 15x4y2 –– 20x3y3 ++ 15x2y4 – 6xy5 + y6 |
| … |
Квадрат многочлена
Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:
Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».
Куб трехчлена
- Следующая формула называется «Куб трехчлена»:
- (x + y + z)3 == x3 + y3 + z3 + 3x2y ++ 3x2z + 3xy2 ++ 3xz2 ++ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .
- Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/brief1.htm
Формулы сокращенного умножения
Для того что бы упростить алгебраические многочлены, существуют формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много и они легко запоминаются, а запомнить их нужно. Обозначения которые используются в формулах, могут принимать любой вид (число или многочлен).
Первая формула сокращенного умножения называется разность квадратов. Она заключается в том что из квадрата одного числа отнимается квадрат второго числа равен величине разности данных чисел, а также их произведению.
а2 — b2 = (а — b)(a + b)
- Разберем для наглядности:
- 222 — 42 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9а2 — 4b2c2 = (3a — 2bc)(3a + 2bc)
Вторая формула о сумме квадратов. Звучит она как, сумма двух величин в квадрате равняется квадрату первой величины к ней прибавляется двойное произведение первой величины умноженное на вторую, к ним прибавляется квадрат второй величины.
(а + b)2 = a2 +2ab + b2
- Благодаря данной формуле, становится намного проще вычислять квадрат от большого числа, без использования вычислительной техники.
- Так к примеру: квадрат от 112 будет равен
1) В начале разберем 112 на числа квадраты которых нам знакомы
112 = 100 + 12
2) Вписываем полученное в скобки возведенные в квадрат - 1122 = (100+12)2
- 1122 = (100+12)2 = 1002 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
3) Применяя формулу, получаем:
Третья формула это квадрат разности. Которая гласит о том, что две вычитаемые друг друга величины в квадрате равняются, тому что, от первой величины в квадрате отнимаем двойное произведение первой величины умноженное на вторую, прибавляя к ним квадрат второй величины.
(а +b)2 = а2 — 2аb + b2
где (а — b)2 равняется (b — а)2. В доказательство чему, (а-b)2 = а2-2аb+b2 = b2-2аb + а2 = (b-а)2
Четвертая формула сокращенного умножения называется куб суммы. Которая звучит как: две слагаемые величины в кубе равны кубу 1 величины прибавляется тройное произведение 1 величины в квадрате умноженное на 2-ую величину, к ним прибавляется тройное произведение 1 величины умноженной на квадрат 2 величины, плюс вторая величина в кубе.
(а+b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3
Пятая, как вы уже поняли называется куб разности. Которая находит разности между величинами, как от первого обозначения в кубе отнимаем тройное произведение первого обозначения в квадрате умноженное на второе, к ним прибавляется тройное произведение первого обозначения умноженной на квадрат второго обозначения, минус второе обозначение в кубе.
(а-b)3 = а3 — 3а2b + 3аb2 — b3
Шестая называется — сумма кубов. Сумма кубов равняется произведению двух слагаемых величин, умноженных на неполный квадрат разности, так как в середине нет удвоенного значения.
а3 + b3 = (а+b)(а2-аb+b2)
По другому можно сказать сумму кубов можно назвать произведение в двух скобках.
Седьмая и заключительная, называется разность кубов (ее легко перепутать с формулой куба разности, но это разные вещи). Разность кубов равняется произведению от разности двух величин, умноженных на неполный квадрат суммы, так как в середине нет удвоенного значения.
а3 — b3 = (а-b)(а2+аb+b2)
И так формул сокращенного умножения всего 7, они похожи друг на друга и легко запоминаются, единственно важно не путаться в знаках. Они так же рассчитаны на то, что их можно использовать в обратном порядке и в учебниках собрано довольно много таких заданий. Будьте внимательны и все у вас получится.
Если у вас появились вопросы по формулам, обязательно пишите их в х. Будем рады ответить вам!
Если Вы находитесь в декретном отпуске, но хотите зарабатывать деньги. Просто перейдите по ссылке Интернет бизнес с Орифлейм. Там все очень подробно написано и показано. Будет интересно!
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Источник: https://reshit.ru/Formuly-sokrashhennogo-umnozheniya
Формулы сокращенного умножения
- Муниципальное общеобразовательное учреждение
- «Средняя общеобразовательная школа № 3г. Свирск»
- Формулы сокращенного умножения
- Выполнила ученица 7 «В » класса
- Романенко Алиса
- Проверила учитель математики
- Черниговская Татьяна Анатольевна
- г. Свирск
- 2011-2012
- Содержание
| Введение | 3 |
| Глава 1. Исторические сведения | 4 |
| Глава 2. Формулы школьного курса математики | 5 |
| Глава 3. Возведение в квадрат суммы нескольких слагаемых | 5 |
| Глава 4. Возведение многочлена в n – ую степень | 7 |
| Глава 5. Треугольник Паскаля | 8 |
| Глава 6. Применение формул сокращенного умножения для решения задач | 9 |
| Заключение | 16 |
| Список литературы | 17 |
Введение
В курсе математики 7 класса изучаются формулы сокращенного умножения, но мне показалось, что это еще не все формулы, которые рассматриваются в школьном курсе, и я задалась целью узнать о них больше, так как эти формулы помогают рационально выполнять некоторые задания.
В ходе работы мною были рассмотрены вопросы школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Часть работы посвящена формулам сокращенного умножения, которых нет в учебнике алгебры 7 класса.
Эта тема значимая в курсе математики и применяется на протяжении всего периода обучения: при умножении многочленов, упрощении алгебраических выражений, сокращении дробей, разложении на множители, решении уравнений и других.
Я хочу углубить свои знания по этой очень интересной теме.
- Тема исследования: «Формулы сокращенного умножения»
- Предмет исследования: Многочлен.
- Цель: рассмотреть вопрос о существовании других формул сокращенного умножения, которые не рассматриваются в школьной программе
- Задачи:
- Собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения.
- Рассмотреть различные способы возведения в квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых.
- Изучить способы возведения в n – ую степень алгебраической суммы двух слагаемых.
- Подобрать и прорешать задачи с применением формул сокращенного умножения.
Гипотеза исследования:
Я думаю, что, после изучения данной темы, и применения ее ение на практике, я расширю и углублю свои знания, а это будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения проблемных задач. Это поможет мне подготовиться к выпукному экзамену по математике в 9 классе, так как я смогу рационально выполнять некоторые упражнения.
Глава 1. Исторические сведения
Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/02/09/formuly-sokrashchennogo-umnozheniya
Формулы сокращённого умножения
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним. 112 = 100 + 1
- Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат. 1122 = (100 + 12)2
- Воспользуемся формулой квадрата суммы: 1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не равно (a2 + b2)
Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2 Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
- Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени «a» и увеличение степени «b». В этом можно убедиться: (a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3 не равно a3 + b3
Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение: (a2− ab + b2) Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
- Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
- Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
- Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе «Шпаргалки».
Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Ffsu%2Fshort_multiplication_formula.php
Фсу – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами
Основная задача формул сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.
Таблица с формулами сокращённого умножения
| Квадрат суммы | Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения. | |
| Квадрат разности | Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения. | |
| Куб суммы | Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе. | |
| Куб разности | Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе. | |
| Разность квадратов | Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы. | |
| Сумма кубов | Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. | |
| Разность кубов | Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. |
Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)
Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.
Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.
Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.
Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.
Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.
Доказательство ФСУ
Шаг первый.
Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: = x .
Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .
Шаг третий. Раскрываем скобки: x + x + x + x .
Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .
Шаг пятый. Упрощаем выражение: .
Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.
Примеры и решения с помощью ФСУ
Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.
Пример 1
- Задание
- Упростите выражение:
- Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.
- Решение
Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:
- x x +
- Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:
- + x x +
- В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:
Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.
Пример 2
- Задание
- Упростите выражение
- Решение
- = – x x + =
Пример 3
- Задание
- Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен
- Решение
- Здесь квадраты выражений – и
- Выражения, которые возводились в квадрат – и
- Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,
Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.
Полезные источники
- Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
- Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
- Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.
Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/formuly-sokrashhjonnogo-umnozhenija/
