Интеграл от числа, формула и примеры

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

• Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
• Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается.

Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b, далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a).

Полученное число и будет определённым интегралом..

При a = b по определению принимается

1. Пример 1. Вычислить определённый интеграл
2. Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

• Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной
• (при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

1. Пример 2. Вычислить определённый интеграл
2. Решение. Используя формулу

получим

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

• Пример 3. Найти определённый интеграл
• .
• Правильное решение и ответ.

1. Пример 4. Найти определённый интеграл
2. .
3. Правильное решение и ответ.

Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

• На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов
• и

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

                    (41)       

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

            (42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

1. то
2.                   (43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

                 (44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

   (45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

             (46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

• Пример 5. Вычислить определённый интеграл
• Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

1. Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная.

   Рассмотрим определённый интеграл

2.                 (47)
3. где
4. ,

а через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей.

При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

•                        (48)
• Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим
• так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина.

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

1. При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du.

   Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

2. Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

   Записав эту разность кратко в виде

3. получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:
4.            (49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x, dv = dx; тогда du = (1/x)dx, v = x. По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

• Пример 7. Найти определённый интеграл
• .
• Правильное решение и ответ.

1. Пример 8. Найти определённый интеграл
2. .
3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

• Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть
• где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной
• то в соответствии с формулой (16) можно записать
• В этом выражении
• первообразная функция для
• В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции, равна
• Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т.е.

1. Тогда
2. Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть
3. поскольку F(x) – первообразная для f(x).
4. Итак,
5.            (50)
6. Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл
7. после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

• и

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

1. Пример 9. Вычислить определённый интеграл
2. Решение. Произведём замену переменной, полагая
3. Тогда dt = 2x dx, откуда x dx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:
4. Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4и x = 5в уравнение
5. даёт
6. а
7. Используя теперь формулу (50), получим
8. После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

• Пример 10. Найти определённый интеграл
• .
• Правильное решение и ответ.

1. Пример 11. Найти определённый интеграл
2. .
3. Правильное решение и ответ.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Интеграл

Начало темы «Интеграл»

Найти неопределённый интеграл: начала начал, примеры решений Метод замены переменной в неопределённом интеграле Интегрирование подведением под знак дифференциала Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование тригонометрических функций

Продолжение темы «Интеграл»

Площадь плоской фигуры с помощью интеграла Объём тела вращения с помощью интеграла Вычисление двойных интегралов Длина дуги кривой с помощью интеграла Площадь поверхности вращения с помощью интеграла Определение работы силы с помощью интеграла

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/integral4.html

Нескучные интегралы

Некоторые из вас, вероятно, видали на просторах сети эту задачку: какое число продолжает следующий ряд? Предлагался такой очевидный правильный ответ: Для тех, кому неочевидно, как он получен, предлагалось объяснение. Пусть (ну и 1 при x = 0, хотя неважно). Тогда каждый член ряда — это значение следующего интеграла в цепочке: Пока всё идёт хорошо, но тут внезапно: В принципе, этого достаточно, чтобы повеселить друзей-математиков, но мне захотелось узнать, как вообще считаются такие интегралы и почему получается такой смешной результат. Если кому-то ещё охота тряхнуть стариной и вспомнить матан с функаном, прошу читать дальше.

Начинает сказка сказываться

Для начала отдельно посмотрим на первый интеграл: Некоторое время назад я подумал: «Эй, я ещё не совсем забыл матан! Дайте-ка я возьму этот интеграл как неопределённый, а потом подставлю пределы. Наверняка пару раз по частям, и дело в шляпе. Вот сейчас на бумажке всё решу без посторонней помощи». Хочу предостеречь вас: не повторяйте моей ошибки. Вас ждёт бессонная ночь, а потом вы заглянете в справочник и узнаете, что неопределённый интеграл не берётся в элементарных функциях. Для него даже специальную функцию ввели. Однако с данными конкретными пределами взять интеграл можно разными способами. Мы пойдём путём, который требует минимум базовых знаний (самое суровое — то же интегрирование по частям). Для начала сделаем внезапную замену: Вы спросите: откуда вообще это взялось и зачем нам ещё один интеграл, мало что ли? Спокойно, так надо (знакомые со свойствами преобразования Лапласа весело ухмыляются). Подставим замену в исходную формулу и поменяем порядок интегрирования: Внутри получился почти классический интеграл по dx, которым всех пугали у нас в физматшколе. Его можно взять и как неопределённый, дважды использовав формулу интегрирования по частям. Тогда справа получится какая-то муть и ещё раз тот же самый интеграл, домноженный на что-то, и в результате можно будет решить уравнение относительно этого интеграла и получить ответ, а потом подставить пределы. Кому интересно, проделайте это сами, а я лениво запишу готовый результат: Ну а теперь совсем всё просто: это табличный интеграл из средней школы, который равен арктангенсу. В бесконечности пи-пополам, в нуле — ноль, вот мы и получили ответ.

Интеграл, кстати, настолько хорош, что у него есть своё имя — интеграл Дирихле. По ссылке вы можете найти другие способы взять его.

Скоро сказка сказывается, а не скоро дело делается

Для следующего путешествия нам понадобятся четыре вещи: прямоугольная функция, косинусное преобразование Фурье, свёртка и теорема Парсеваля. Сперва скажу пару слов об этих замечательных штуках.

Прямоугольная функция — это у нас будет такая ступенька вокруг нуля:

Значение 1/2 в точках разрыва нужно в основном для соблюдения свойств преобразования Фурье, в целом для нашей задачи оно непринципиально.

Косинусное преобразование Фурье. Для простоты мы немного отступим от математической точности и сформулируем грубовато. Для достаточно хорошей чётной функции f(x) выполняются такие соотношения:

Функция и называется косинусным преобразованием Фурье (FCT) от f(x) (её ещё называют образом f). То есть, косинусное преобразование от косинусного преобразования даёт снова исходную функцию f(x)!

Людям, знакомым с обработкой сигналов, хорошо известно, что FCT от прямоугольной функции — это . Это легко доказать, пользуясь вышеприведёнными формулами и школьными знаниями.

Так как прямоугольная функция за пределами промежутка [-a, a] равна нулю, то можно просто интегрировать cos(xt) dt по этому промежутку, тут простая замена переменной и табличный интеграл.

Приведённое выше свойство говорит, что FCT от — это прямоугольная функция.

Свёртка — это ещё одна прекрасная штука, без которой не обходится обработка сигналов. Для двух функций f1(x) и f2(x) можно определить функцию-свёртку (обозначается звёздочкой) вот так:

У свёртки есть прекрасное свойство, за которое её любят: преобразование Фурье превращает её в умножение, а умножение — в свёртку. Если точнее, косинусное преобразование произведения двух хороших чётных функций есть свёртка их образов, делённая на корень из двух пи: .

Теорема Парсеваля — это очень крутое утверждение о равенстве энергии сигнала и его спектра, которое записывают по-разному в разных целях. Нам потребуется такая версия: для чётных и достаточно хороших функций .

Доселева Макар огороды копал, а нынече Макар в воеводы попал

Возьмём второй интеграл из нашей чудесной последовательности.

Как многие уже догадались, мы воспользуемся теоремой Парсеваля и заменим множители на их FCT-образы:

• Чтобы дальше было проще, обозначим эту ступеньку под интегралом как F1(x) и нарисуем её график:

Первая прямоугольная функция под интегралом равна единице для аргументов меньше единицы и нулю для аргументов больше единицы.

Поэтому ничто нам не мешает убрать её из интеграла, откорректировав пределы интегрирования: Под интегралом осталась ступенька высотой 3 и шириной 1/3. Такой интеграл возьмёт даже третьеклассник: надо всего лишь умножить 3 и 1/3. От интеграла остаётся единица, и мы имеем искомое пи-пополам! Таким образом мы почти честно взяли второй интеграл из ряда.

Кто желает сделать это совсем честно, тому придётся разобраться, что же такое хорошесть функции, и доказать, что наши функции хорошие.

Пойдём веселиться дальше и посмотрим на интеграл с тремя множителями. Чтобы применить теорему Парсеваля, мы теперь все множители со второго будем считать одним множителем: . С образом первого множителя всё уже понятно, а образ второго множителя, выражается через свёртку:

На первый взгляд жутковато. Но можно кое-чего повыносить, кое-чего посокращать и подставить нашу F1(x). Тогда получим: Внутренний интеграл — это просто прямоугольный фильтр, эдакий «блюр» для функции F1(x): мы просто для каждой точки усредняем все значения в окрестности плюс-минус одна пятая. Можно опять же избавиться от прямоугольной функции, подшаманив пределы интегрирования. И со внешним интегралом сделаем такую же процедуру. Вот что получится в итоге: Слева график функции F2(x), которая на самом деле — сглаженная F1(x). Нетрудно доказать, что после сглаживания функции по нормированному ядру её интеграл не меняется. Ну, вообще-то речь об интеграле от -∞ до +∞, но для чётной функции это верно и для интеграла от нуля. В данном случае ядром была ступенька от -1/5 до +1/5, умноженная на 5/2. Площадь под ступенькой единица, значит, ядро нормировано. Тут тоже можно сравнить с блюром в фотошопе: после применения блюра картинка в целом не становится светлее или темнее. А раз так, то интеграл F2(x) в точности равен интегралу F1(x), то есть единице, поэтому и третий интеграл равен пи-пополам!

Дальше процедура во многом похожая. Четвёртый интеграл сгруппируем так: . Сначала теорему Парсеваля, для скобок свёртку, причём мы уже умеем выразить образ внутренней скобки через F2(x). Дальше всё то же самое, что в прошлый раз, и в результате получим:

Отлично, мы теперь щёлкаем эти интегралы как орехи. Но по идее, если так и дальше пойдёт, они все до бесконечности будут равны пи-пополам? Давайте смотреть дальше. Пятый интеграл:

Вроде всё то же самое. Ладно, шестой интеграл: И здесь никаких проблем. Хорошо, берём седьмой: Ничего нового! Ладно, а восьмой? Стоп-стоп-стоп! Здесь нам не обойтись без команды CSI!

Функция протекла через единицу! Интеграл F7(x) всё ещё равен единице, но это если интегрировать от 0 до ∞. А мы-то интегрируем до единицы! До сих пор все функции были нулевыми при x больше единицы, но рано или поздно это должно было кончиться.

А как понять, когда наступает конец? Это очень просто. F1(x) была ненулевой при x

Источник: https://habr.com/post/146140/

Калькулятор онлайн.Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции)

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

• Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
• Вы можете посмотреть теорию о определенном интеграле.
• Примеры подробного решения >>

Введите подинтегральную функцию и пределы интегрирования Вычислить Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией.

Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции. Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента).

Используя геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.

Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1, x2, … xk, … xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок).

Площадь прямоугольника равна ( f(x_k) cdot Delta x_k ), где ( Delta x_k ) — длина отрезка [xk; xk+1]; естественно считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.

Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок): ( S_n = f(x_0)Delta x_0 + dots + f(x_k)Delta x_k + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} )

Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn; ( Delta x_0 ) — длина отрезка [x0; x1], ( Delta x_1 ) — длина отрезка [x1; x2], и т.д; при этом, как мы условились выше, ( Delta x_0 = dots = Delta x_{n-1} )

Итак, ( S approx S_n ), причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n. По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn): $$ S = lim_{n o infty} S_n $$

Задача 2 (о перемещении точки) По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [а; b].

Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.

1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.

2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).

3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное значение обозначим sk ( s_k = v(t_k) Delta t_k ) 4) Найдем приближенное значение перемещения s: ( s approx S_n ) где ( S_n = s_0 + dots + s_{n-1} = v(t_0)Delta t_0 + dots + v(t_{n-1}) Delta t_{n-1} )

5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):

$$ s = lim_{n o infty} S_n $$

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

1. Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x), непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]: 1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей; 2) составляем сумму $$ S_n = f(x_0)Delta x_0 + f(x_1)Delta x_1 + dots + f(x_{n-1})Delta x_{n-1} $$
2. 3) вычисляем $$ lim_{n o infty} S_n $$
3. В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так: ( intlimits_a^b f(x) dx )
4. Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
5. Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом: ( S = intlimits_a^b f(x) dx )

здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так: ( S = intlimits_a^b v(t) dt )

• Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
• Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b v(t) dt )
• С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s выражается формулой s = s(b) — s(a). В итоге получаем: ( S = intlimits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) )
• где s(t) — первообразная для v(t).

В курсе математического анализа доказана следующая теорема. Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула ( S = intlimits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) )

1. где F(x) — первообразная для f(x).
2. Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

На практике вместо записи F(b) — F(a) используют запись ( left. F(x)
ight|_a^b ) (ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде: ( S = intlimits_a^b f(x) dx = left. F(x)
ight|_a^b )

• Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
• Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
• Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов: ( intlimits_a^b (f(x) + g(x))dx = intlimits_a^b f(x)dx + intlimits_a^b g(x)dx )
• Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: ( intlimits_a^b kf(x)dx = k intlimits_a^b f(x)dx )

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке.

Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ).

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом: ( S = S_{ABCD} = S_{aDCb} — S_{aABb} = intlimits_a^b f(x) dx — intlimits_a^b g(x) dx = )

( = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство ( g(x) leq f(x) ), вычисляется по формуле ( S = intlimits_a^b (f(x)-g(x))dx )

$$ int 0 cdot dx = C $$ $$ int 1 cdot dx = x+C $$ $$ int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} +C ;; (n
eq -1) $$ $$ int frac{1}{x} dx = ln |x| +C $$ $$ int e^x dx = e^x +C $$ $$ int a^x dx = frac{a^x}{ln a} +C ;; (a>0, ;; a
eq 1) $$ $$ int cos x dx = sin x +C $$ $$ int sin x dx = -cos x +C $$ $$ int frac{dx}{cos^2 x} = ext{tg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sin^2 x} = — ext{ctg} x +C $$ $$ int frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = ext{arcsin} x +C $$ $$ int frac{dx}{1+x^2} = ext{arctg} x +C $$ $$ int ext{ch} x dx = ext{sh} x +C $$ $$ int ext{sh} x dx = ext{ch} x +C $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/definite-integral

Примеры на решение интегралов

Навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Рассмотрим различные примеры по решению неопределённых интегралов и правила, по которым они решаются.

Структура статьи следующая: сначала даётся правило, а затем приводятся примеры его применения. Для удобства мы также вставили таблицу с простейшими интегралами.

Использование таблицы

Рисунок 1. Табличные значения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать её, достаточно лишь найти необходимые значения. Рассмотрим примеры использования простейших табличных интегралов.

Пример 1

• Найти, чему равны следующие выражения:
• a) $int x^6 dx$;
• б) $int e^x dx$;
• в) $int cos x dx$.
• Такие интегралы решать очень просто, нужно либо иметь таблицу под рукой, либо её помнить:

a) $int x^6 dx= frac{x^7}{7}+ C$. Здесь $n= 6$, соответственно, в знаменателе и в степени будет $n+1=7$.

б) $int e^x dx= e^x + C$;

в) $int cos x dx = sin x + C$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Вынесение множителя за знак интеграла и интеграл от суммы

К сожалению, очень редко интегральные выражения представляют собой лишь простые табличные формулы. Поэтому при решении интегралов как минимум стоит помнить помимо самой таблицы ещё эти два правила:

Замечание 1

1. $int (a(x) + b(x)) dx = int a(x) cdot dx + int b(x) cdot dx$, здесь $a(x)$ и $b(x)$ — некоторые многочлены.

2. $int k cdot dx = k cdot int dx$, здесь $k$ — некоторый коэффициент-константа.

Пример 2

1. Осуществите нахождение значений следующих выражений:
2. a) $int 5x + 7x^2$;
3. б) $int (2x^2 + 1)^3 dx$.
4. a) $int 5x + 7x^2= 5int x dx + 7int x^2 dx = frac{5 cdot x^2}{2} + frac{7 cdot x^3}{3} + C $.
5. Здесь пользуемся формулой интеграла суммы, а затем выносим пятёрку и семёрку за знак интеграла, в конечном итоге получаем сумму дробей.
6. б) $int (2x^2 + 1)^3 dx = int (8x^6 + 12 x^4 + 6x^2 + 1) dx = 8int x^6 dx + 12 int x^4 dx+ 6 int x^2 dx + int dx = frac{8x^7}{7} + frac{12 x^5}{5} + 2x^3 + C$
7. Здесь сначала необходимо возвести в куб всё выражение, а затем осуществить то же, что и в предыдущем примере — воспользоваться формулой для интеграла суммы и вынести постоянные коэффициенты за знак интеграла.

Интегрирование с использованием замены переменной

Этот способ подразумевает использование правила $int f(x) dx = int f(φ(t)) cdot φ’(t)cdot dt$. Сразу после вычисления подынтегрального значения переходят от введённой новой переменной $t$ к старой переменной $x$.

Пример 3

• Найти следующие интегралы:
• a) $e^{frac{x}{5}}$;
• б) $int x cdot sqrt{x-7} dx$.
• а) В этом примере мы имеем дело с интегралом от e, табличное значение для которого довольно простое.

Итак, произведём замену. Пусть $x=5t$, тогда $dx = 5dt$.

1. Подставим это в наше выражение:
2. $e^{frac{x}{5}}=5 int e^t dt = 5e^t + C = 5e^{frac{x}{5}}$.
3. б) Здесь для замены возьмём $x-7=t$, тогда $x=t^2 + 7$, а $dx=2t cdot dt$:
4. $int x cdot sqrt{x-7} dx = int (t^2 + 7) cdot t cdot 2t cdot dt = 2 int (t^4+7t^2) dt = 2 int t^4 dt + 14 int t^2 dt = 2 cdot frac{x^5}{5} + 14 cdot frac{t^3}{3} + C = frac25 (x-7)^{5/2} + frac{14}{3}(x-7)^{3/2} + C$.

Занесение под дифференциал

Здесь в основе используется закономерность $f’(u)du=d(f(u))$. Смысл данного действия в том, что под буквой $d$ нужно получить новое значение, равное не $du$, а $d(f(u))$ и затем проинтегрировать.

Пример 4

• Воспользуйтесь выше обозначенным методом и найдите следующие интегралы:
• a) $frac{dx}{x+5}$;
• б) $(2x-3)^9 dx$.
• а) $frac {dx}{x+5} = int frac{d(x+5)}{x+5} = ln|x+5| + C$
• б) $(2x-3)^9 dx = frac12 int (2x – 3)^9 d(2x-3) = frac12 cdot frac{(2x-3)^{10}}{10} + C = frac{(2x-3)^{10}}{20} + C$
• В примере а) под дифференциал заносится $(x+5)$ и так как при $x$ нет никаких коэффициентов, то и выносить перед интегралом ничего не нужно. В примере же
• б) необходимо после занесения под знак дифференциала выражения $(2x – 3)$ для соблюдения равенства перед интегралом дописать $frac12$.

Интегрирование по частям

Данное правило по сути является обратным к предыдущему:

$int d(u cdot v) = int u cdot dv + int v cdot du$ или в другой форме — $int u dv = u cdot v — int v cdot du$

Этот метод позволяет не вычислять интеграл $int u cdot dv$, а ограничиться вычислением интеграла $ int v cdot du$. Используя это правило, исходное выражение для проведения интегрирования разбивается на два множителя, причём к первому затем применяется дифференцирование, а ко второму — интегрирование.

Пример 5

1. Чему равно выражение $int x^5 ln x$?
2. Пусть $ln x= u$, a $dv=x^4dx$, следовательно, $du=frac{dx}{x}, v=frac{1}{6} x^6$.
3. Подставляем всё и получаем:
4. $int x^5 ln x dx = frac{1}{6} x^6 ln x — frac{1}{6} int x^5 dx = frac{1}{6} x^6 ln x — frac{1}{36} x^6 + c$.

Интегралы от тригонометрических функций

Для того чтобы осуществить вычисление интеграла от подынтегрального выражения, содержащего тригонометрические функции, используется универсальная подстановка $mathrm{tg} frac{x}{2}= t$, например, в этом случае $sin x$ приобретает следующий вид: $sin x = frac{2mathrm{tg}frac{x}{2}} {1 + mathrm{tg}^2 frac{x}{2}} = frac{2t}{1+t^2}$.

Пример 6

• Чему равен интеграл $int frac{dx}{3+sin x + cos x}$?
• Воспользуемся подстановкой:
• $mathrm{tg} frac{x}{2}= t$, в этом случае $dx= frac{2dt}{1+t^2}, sin x = frac{2t}{1+t^2}$, а $cos x = frac{1-t^2}{1+t^2}$.
• Получаем:
• $int frac{dx}{3+sin x + cos x} = int frac{2dt}{(1+t^2)(3+frac{2t}{1+t^2} + frac{1-t^2}{1+t^2})}= int frac{dt}{t^2+t+2}= intfrac{d(t+frac12)}{(t+frac12)^2 + frac{7}{4}} = frac{2}{sqrt{7}} mathrm{arctg} frac{t+frac12}{sqrt{7}/2} + C = frac{2}{sqrt{7}} cdot mathrm{arctg} frac{1+2mathrm{tg}frac{x}{2}}{sqrt7} + C$.

Интегрирование выражений, содержащих иррациональности с возможностью выделить полный квадрат

1. К данным интегралам относятся интегралы, подходящие под следующие формулы:
2. $int frac{dx}{sqrt{ax^2 + bx + c}}; int sqrt{ax^2 + bx + c}dx$ и $int frac{mx+n}{sqrt{ax^2+bx+c}}dx$.
3. Для того чтобы их решить, под знаком корня выделяют полный квадрат:
4. $ax^2 + bx + c = a(x^2 + frac{b}{a} cdot x + frac{c}{a} = a cdot ((x+frac{b}{2a})^2 + frac{4ac-b^2}{4a^2}$.
5. После этого можно сделать замену $x+frac{b}{2a}=t$, в результате чего данный тип интегралов можно свести к табличным или их сумме.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/primery_na_reshenie_integralov/

прикладная математика

     Простейшие правила интегрирования

     Теорема I (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

$$int (u+v+…+w)dx=int udx+int vdx+…+int wdx,$$

(1)

где (u+v+…+w) — функции независимой переменной (x).
     Равенства, в обеих частях котрых стоят неопределенные интегралы, означают, чтолевая и правая их части являются совокупностями первообразных от одной и той же функции. Следовательно, для проверки таких равенств достаточно убедиться, что производные обеих частей равны между собой.

     Производная левой части равенства (1) по обпределению интеграла равна (u+v+…+w). применяя к правой части правило дифференцирования суммы, опять получим $$[int udx+int vdx+…+int wdx]'=(int udx)'+(int vdx)'+…+(int wdx)'=u+v+…+w.$$
Теорема доказана.

     Теорема II (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла $$int cf(x)dx=cint f(x)dx,$$ где (c) — константа.
     Действительно, производные обеих частей равенства равны $$(int cf(x)dx)'=cf(x);$$ $$(cint f(x)dx)'=c(int f(x)dx)'=cf(x),$$ что и требовалось доказать.

     Пример. $$int (2 sinx-3cos x)dx=2int sinxdx-3int cosxdx=-2cosx-3sinx+C.$$ Хотя каждое промежуточное интегрирование дает произвольное постоянное слагаемое, в окончательном результате указывается только одно слагаемое, так как сумма произвольных постоянных будет также произвольной постоянной.

     Теорема III (об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если $$int f(x)dx=F(x)+C, то   и int f(u)du=F(u)+C,$$ где (u=varphi (x)) — любая дифференцируемая функция от (x).

     Доказательство. Из того, что (int f(x)dx=F(x)+C), следует (F'(x)=f(x)).
     Возьмем теперь функцию (F(u)=F[varphi (x)]); для ее дифференциала в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции имеем $$dF(u)=F'(u)du=f(u)du.$$
Отсюда $$int f(u)du=int dF(u)=F(u)+C.$$
     Это правило очень важно.

Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией ее.

     Нужно стараться так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид подынтегрального выражения известного нам интеграла, например, одного из интегралов основной таблицы.

     Пример. Возьмем интеграл (int 2xe^{x^{2}}dx). Замечая, что (2xdx) есть не что иное, как дифференциал (d(x^{2})), перепишем интеграл так: $$int 2xe^{x^{2}}dx=int e^{x^{2}}d(x^{2)}=int e^{u}du,$$ где положено (u=x^{2}). Последний интеграл, согласно формуле основной таблицы интегралов и теореме III, равен (e^{u}+C), значит, $$int 2xe^{x^{2}}dx=e^{x^{2}}+C.$$

• Нравится | +29

• 2012-11-01 • Просмотров [ 17177 ]

Источник: http://primat.org/publ/spravochnye_materialy/1/37-1-0-686

Определенный интеграл (стр. 1 из 5)

• Определенный интеграл
• Содержание
• Лекция 1. Определенный интеграл
• 1. Понятие определенного интеграла
• 2. Геометрический смысл определенного интеграла
• 3. Основные свойства определенного интеграла
• 4. Формула Ньютона–Лейбница
• 5. Замена переменной в определенном интеграле
• 6. Интегрирование по частям

Лекция 2. Применение определенных интегралов.

несобственные интегралы

1. 1. Площадь криволинейной трапеции
2. 2. Объем тела вращения
3. 3. Длина дуги плоской кривой
4. 4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
5. 5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
6. Литература
7. Лекция 1. Определенный интеграл
8. 1. Понятие определенного интеграла
9. Пусть функция
10. 1) разобьем отрезок

определена на отрезке , . Выполним следующие операции: точками на n частичных отрезков ;

2) в каждом из частичных отрезков

, выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3) найдем произведения

, где – длина частичного отрезка , ;

4) составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма

представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5) найдем предел интегральной суммы, когда

.

• Рис. 1
• Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка
• Таким образом,

на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . .

1. В этом случае функция
2. Теорема 1. Если функция
3. 2. Геометрический смысл определенного интеграла
4. Пусть на отрезке

называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования. непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке. задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = aи x = b(рис. 2).

• Рис. 2
• Определенный интеграл
• 3. Основные свойства определенного интеграла
• 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
• 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
• 3. Если
• 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
• 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
• 6. Если функция

от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох. . , то, по определению, полагаем . интегрируема на и , то .

7. ( теорема о среднем). Если функция

непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

4. Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

1. Теорема 2. Если функция
2. которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность
3. где символ
4. Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
5. Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную

непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула: , (2) принято записывать следующим образом: , называется знаком двойной подстановки. . для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Источник: https://mirznanii.com/a/315545/opredelennyy-integral