Просмотрсодержимого документа
Показательные уравнения
Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным. Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение ах=b (a>0, а1).
Решение показательного уравнения вида af(x)=ag(x) (a>0, а1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).
Следствие. Пусть a>0, а1. Если степени с основанием а равны, то их показатели равны, т.е. если as=at, то s=t.
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию
Этот способ основан на свойстве степеней: если две степени равны и их основания равны, то равны и их показатели.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. ; ; х=4.
Ответ: 4
Пример 2. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ:
Задание 1. Решите уравнение…
| 1) =125 | 2) = | 3) 27х= | 4) = ‑2 | 5) =625 |
| 6) = | 7) 6х=1296 | 8) =8 | 9) = | 10) = ‑2,5 |
Пример 3. Решите уравнение 
.
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 
или 
.
Решая квадратное уравнение, находим х1=2, х2=4. Эти числа являются корнями исходного показательного уравнения.
Ответ: 2; 4
Задание 2. Решите уравнение…
1)  |
2)  |
3)  |
4)  |
5)  |
6)  |
7)  |
8) | 9) |
| 10) |
Пример 4. Решите уравнение 102х ‑ 5=100.
Решение. 102х ‑ 5=100; 102х ‑ 5=102; 2х ‑ 5=2; отсюда х=3,5.
Ответ: 3,5
Пример 5. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Задание 3. Решите уравнение…
| 1) 35 – 2х=81 | 2) 48+5х=1 | 3) 32 –х=27 | 4) 4х2+х=16 | 5) 2х+2=128 |
| 6) 2х+1=16 | 7) 2х – 1=32 | 8) 3х2 –х=1 | 9) 9 –х=27 | 10) 4 –х=16 |
Пример 6. Решите уравнение .
Решение. Уравнение решается приведением левой и правой частей к степеням с равными основаниями. 16=2421/2=24,5.
Из уравнения 2х2‑6х‑2,5=24,5 получаем х2‑6х ‑2,5=4,5, откуда х= ‑1 и х=7.
Ответ: ‑ 1; 7
Пример 7. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ:
Пример 8. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ:
Задание 4. Решите уравнение…
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 9. Решите уравнение .
- Решение. Приведем обе части уравнения к одному основанию:
- ; ; ;
- ; ; x= ‑ 2.
- Ответ: ‑ 2
Пример 10. Найдите корень уравнения .
Решение. Перейдем к одному основанию степени: .
Ответ: 2
Пример 11. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 3: .
Ответ: 1
Задание 5. Решите уравнение…
| 1) | 2) | 3) = | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) = |
Пример 12. Решите уравнение .
Решение. Воспользуемся свойством степени:
; ; . Отсюда х=2.
Ответ: 2
Задание 6. Решите уравнение…
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 13. Решите уравнение .
Решение. ; ; ; 2x=3; x=.
Ответ:
Пример 14. Найдите корень уравнения .
Решение. Приведем обе части уравнения к основанию 2: .
Ответ:
Пример 15. Найдите корень уравнения .
Решение. Преобразуем правую часть уравнения: .
- Получаем уравнение
- Ответ:
- Задание 7. Решите уравнение…
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 16. Решите уравнение .
Решение. По определению корня имеем: .
- Приведем обе части уравнения к одному основанию:
- ; .
- ; 9(x – 1)=4(2 – x); 9x – 9=8 – 4x; 13x=17; x=.
- Ответ:
- Задание 8. Решите уравнение…
| 1) = | 2) =4 | 3) = | 4) =27 |
| 5) = | 6) (= | 7) = | 8) 16 ‑1=2x |
| 9) (= | 10) 8 ‑1=2x/2 |
Пример 17. Решите уравнение .
- Решение. ; ; |x+1|=2
-
- Ответ: 1; ‑ 3
- Задание 9. Решите уравнение…
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 18. Решите уравнение .
Решение. ; ; 1=x – 2; x=3.
Ответ: 3
Задание 10. Решите уравнение…
| 1) | 2) |
| 3) | 4) |
| 5) | 6) |
| 7) | 8) |
| 9) | 10) |
- Решение показательных уравнений разложением на множители
- Этот способ используется в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.
- Причем, если a>1, выносится степень с меньшим показателем; если 00, b0, являются однородными.
- Путем деления обеих частей таких уравнений на они сводятся к квадратным уравнениям вида .
- Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
- .
- Разделим обе части полученного уравнения на :
- Корни этого уравнения t1=1, t2=.
- Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: .
- Ответ: 0; ‑ 1
- Задание 15. Решите уравнение…
- Метод почленного деления
- Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями на одну из степеней.
- При этом удобнее делить на степень с большим показателем.
- Получаем: ; ; ; .
- Ответ:
- Задание 17. Решите уравнение…
- Решение. Поскольку и при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 2:
- ; .
- Далее раскроем скобки и выразим х: х+1=(2 – х), откуда х+х=2 – 1, x=.
- Ответ:
- Задание 18. Решите уравнение…
- При этом, если f(x)=0, то h(x)N и y(x)N; если f(x)0, получим +у=4, т.е. y2‑4y+1=0. у1=2+, у2=2 ‑ , тогда =2+ или =2 ‑ .
- Отсюда х1=2, х2= ‑ 2.
- Ответ: 2; ‑ 2
- Задание 22. Решите уравнение…
1) 2) 3) 4) 5) 6) + 7) 8) 9) Пример 38. Вычислите , если .
- Решение. ==
- ==
- =.
- Ответ:
- Задание 23. Вычислите…
1) , если 2) , если 3) , если 4) , если 5) , если Пример 39. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение. Преобразуем исходное уравнение:
. Разделим обе части уравнения на и получим уравнение .
- С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку :
- Получим число: .
- Ответ: ;
Пример 40. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение. .
- Заданному промежутку принадлежат числа ; .
- Ответ: ; ; .
Пример 41. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение. Пусть тогда исходное уравнение запишется в виде ; , ; .
- ; .
- ; .
- С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку:
- Получим числа: и .
- Ответ: ; ;
Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/pokazatelnye-uravneniya-85757.html
Показательные уравнения. Решение показательных уравнений: алгоритм, методы решения, примеры
Закрепим теорию практикой, то есть, рассмотрим примеры решения показательных уравнений. На них мы разберем все основные нюансы, возникающие при использовании того или иного метода решения показательных уравнений.
Начнем с примеров решения простейших показательных уравнений. В первом примере главный интерес представляют рассуждения, обосновывающие отсутствие корней у простейших показательных уравнений с отрицательными числами в правых частях.
Пример
- Решите уравнения:
- а) 2x=−7
- б)
- в)
Смотреть решение
Во втором примере показано, как оформлять решение простейших показательных уравнений с нулями в правых частях.
Пример
- Решите уравнения:
- а) (0,7)x=0
- б)
Смотреть решение
Вот пример решения простейших показательных уравнений, в обеих частях которых находятся степени с одинаковыми основаниями.
Пример
- Решите показательные уравнения:
- а)
- б)
- в)
- г)
Смотреть решение
Простейшие показательные уравнения в следующем примере требуют изначального приведения уравнения к виду ax=ac.
Пример
- Решите уравнения:
- а) 7x=1
- б)
- в)
- г)
Смотреть решение
Следующие простейшие показательные уравнения имеют положительное число в правой части и решаются через логарифм.
Пример
- Решите уравнения:
- а) 5x=7
- б)
Смотреть решение
Теперь сосредоточимся на решении показательных уравнений методом уравнивания показателей. В первом примере внимание сосредоточим на самом методе.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Для решения следующего показательного уравнения методом уравнивания показателей достаточно вспомнить, что число можно рассматривать как степень этого числа с показателем 1.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Для закрепления метода уравнивания показателей предлагаем рассмотреть еще один пример решения показательного уравнения.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Дальше на примерах разберем, как проводится решение показательных уравнений методом разложения на множители.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Часто перед применением метода разложения на множители требуется провести некоторые преобразования показательного уравнения, чтобы получить произведение в левой части уравнения и нуль в правой части. Решим такой пример.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Теперь разберем на примерах, как проводится решение показательных уравнений методом введения новой переменной. Начнем с решения показательного уравнения, в записи которого переменная фигурирует только в составе одинаковых выражений.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Метод введения новой переменной используется и для решения показательных уравнений, переменная в которых находится в составе степеней с противоположными показателями. Вот пример решения такого показательного уравнения.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Есть и другие типичные показательные уравнения, решающиеся методом введения новой переменной. Вот характерные примеры с решениями.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Пример
Решите уравнение 25x+9·5x−10=0
Смотреть решение
Пример
Решите уравнение (10x)2+9·10x·2x−10·(2x)2=0
Смотреть решение
Решение многих показательных уравнений упирается в проведение преобразований. Для показательных уравнений наиболее характерны преобразования, базирующиеся на свойствах степеней и на связи корней со степенями. В статье «Решение показательных уравнений через преобразования» Вы найдете массу соответствующих примеров с решениями.
Некоторые показательные уравнения в результате проведения преобразований могут сводиться к числовым равенствам. В статье «Решение показательных уравнений, сводящихся к числовым равенствам» дан принцип их решения. Решение двух показательных уравнений, первое из которых сводится к неверному числовому равенству, а второе – к верному, приведем здесь.
Пример
- Решите показательные уравнения:
- а)
- б)
Смотреть решение
Показательные уравнения, в левой части которых находится некоторая дробь, а в правой – число 0, на области допустимых значений для этих уравнений заменяются уравнениями «числитель равен нулю». Вот примеры решения характерных показательных уравнений из статьи «Решение показательных уравнений дробь равна нулю».
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Пример
- Решите уравнения:
- а)
- б)
Смотреть решение
Переходим к примерам решения показательных уравнений h(f(x))=h(g(x)) методом освобождения от внешней функции h.
Главная сложность при их решении, обычно, заключается в том, чтобы разглядеть соответствующую структуру уравнения и обосновать, что внешняя функция принимает каждое свое значение по одному разу.
За более полной информацией обращайтесь к материалу «Решение показательных уравнений методом освобождения от внешней функции», а вот соответствующий пример с решением.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Стоит привести пример решения показательного уравнения методом логарифмирования.
Обычно методом логарифмирования решают показательные уравнения, части которого представляют собой степени, произведения или частные степеней, возможно, с числовыми коэффициентами.
Дополнительный материал по теме есть в статье «Решение показательных уравнений методом логарифмирования». Сейчас приведем типовое решение показательного уравнения методом логарифмирования.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Иногда получить решение показательного уравнения позволяет ОДЗ. Это касается случаев, когда ОДЗ состоит из нескольких чисел или является пустым множеством. Подробнее об этом написано в статье «Решение показательных уравнений через ОДЗ». Здесь же нас интересует пример решения характерного показательного уравнения.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Остается рассмотреть примеры решения показательных уравнений каждым из направлений функционально-графического метода – графическим методом, через возрастание-убывание и методом оценки.
К решению показательных уравнений графическим методом обычно прибегают тогда, когда не видно других более простых методов решения и довольно легко построить графики функций, отвечающих частям уравнения. Этим условиям удовлетворяет показательное уравнение в следующем примере.
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Решение показательных уравнений через возрастание-убывание обычно проводится тогда, когда очевиден или легко подбирается корень показательного уравнения и при этом очевидно или легко обосновывается, что одна из функций, отвечающих частям уравнения, возрастает, а другая – убывает. Вот соответствующий пример с типовым решением.
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Наконец, приведем примеры решения показательных уравнений методом оценки. За теорией обращайтесь к статье «Решение показательных уравнений методом оценки».
Пример
Решите уравнение
Смотреть решение
Пример
Решите показательное уравнение
Смотреть решение
Источник: http://www.cleverstudents.ru/equations/exponential_equations.html
Решение показательных уравнений
Алгебра
Показательные уравнения – это уравнения вида
- где
- x -неизвестный показатель степени,
- a и b– некоторые числа.
- Примеры показательного уравнения:
- уже не будут являться показательными.
- Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:
- Пример 1. Найдите корень уравнения:
- Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем
-
- Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.
Преобразуем левую часть уравнения:
Далее используем свойство степени
- Преобразуем правую часть уравнения:
- Используем свойство степени
- Ответ: 4,5.
- Пример 2. Решите неравенство:
- Разделим обе части уравнения на
- Замена:
- Обратная замена:
- Число обращается в 1, если его показатель равен 0
- Ответ: x=0.
- Пример 3.
- Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:
- Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:
- Замена:
- Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:
– подходит, т.к. равенство выполняется. – подходит, т.к. равенство выполняется. – подходит, т.к. равенство выполняется. – не подходит, т.к. равенство не выполняется.
- Обратная замена:
- 1)
- Число обращается в 1, если его показатель равен 0
- 2)
Не подходит, т.к.
- 3)
- Логарифмируем обе части по основанию 2:
Правая часть равна 1, т.к.
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
- Отсюда:
- Пример 4.
- Решите уравнение:
- Замена: , тогда
- Обратная замена:
- 1 уравнение:
- если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то
- 2 уравнение:
- Логарифмируем обе части по основанию 2:
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Левая часть равна 2x, т.к.
- Отсюда:
- Пример 5.
- Решите уравнение:
- Преобразуем левую часть:
- Перемножаем степени по формуле:
- Упростим: по формуле:
- Представим в виде :
- Замена:
- Переведём дробь в неправильную:
- Вычисляем корень из дискриминанта:
a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
- Обратная замена:
- Приводим к общему основанию:
- Если
- Ответ: x=20.
- Пример 6.
- Решите уравнение:
О.Д.З.
- Преобразуем левую часть по формуле:
- Замена:
- Вычисляем корень из дискриминанта:
a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
- Приводим к общему основанию:
- Если
- Возводим в квадрат обе части:
- Ответ: x=9.
- Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич
- Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
Источник: http://www.teslalab.ru/articles/algebra/46/
Урок 22. показательные уравнения. системы показательных уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс — Российская электронная школа
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №22. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- простейшие показательные уравнения;
- решение показательных уравнений: замена переменной, разложение на множители;
- однородные показательные уравнения;
- графический метод решения показательных уравнений;
- системы показательных уравнений и их решение.
- Глоссарий по теме
- Уравнения вида ,
называются простейшими показательными уравнениями. - Теорема — основа метода замены переменной
Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:
Здесь f и g функции вида: ,
коэффициенты.Основная и дополнительная:
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 216—220, 223-230.
Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики — 4-е изд. — М.: Просвещение, 1995. — 288 с.: ил. — ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.
Открытые электронные ресурсы:
https://ege.sdamgia.ru/ — решу ЕГЭ образовательный портал
http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов
http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Рассмотрим показательные уравнения.
Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.
Уравнения вида ,
называются простейшими показательными уравнениями.Так как множество значений показательной функции — множество положительных чисел, то при уравнение решений не имеет.
Теперь рассмотрим случай b>0.
Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0
Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5627/conspect/
Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?
Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени
- Примеры:
- (4^x=32) (5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8)
- ((sqrt{7})^{2x+2}-50cdot(sqrt{7})^{x}+7=0)
При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду (a^{f(x)}=a^{g(x)}), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть: (a^{f(x)}=a^{g(x)}) (⇔) (f(x)=g(x))
Например: (2^{x+1}=2^2) (⇔) (x+1=2)
Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода: — число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым; — степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.
Например:
1) (3^{x+2}=5^{8-x}) В этом показательном уравнении переход к (x+2= 8-x) невозможен, так как в основаниях разные числа 2) (7^{x}+7^{3x}=7^{2x}) Здесь переход к (x+3x=2x) также невозможен, так как слева стоит сумма. 3) (2^{5-x}=-2^{7x}) И в этом случае перейти к (5-x=7x) нельзя, ведь справа есть минус. Для привидения уравнения к виду (a^{f(x)}=a^{g(x)}) применяются свойства степеней и свойства корней.
Пример. Решить показательное уравнение (sqrt{27}·3^{x-1}={(frac{1}{3})}^{2x}) Решение:
(sqrt{27}·3^{x-1}={(frac{1}{3})}^{2x}) Мы знаем, что (27 = 3^3). С учетом этого преобразуем уравнение. (sqrt{3^3}·3^{x-1}={(frac{1}{3})}^{2x}) По свойству корня (sqrt[n]{a}=a^{frac{1}{n}}) получим, что (sqrt{3^3}=({3^3})^{frac{1}{2}}). Далее, используя свойство степени ((a^b )^c=a^{bc}), получаем ({(3^3)}^{frac{1}{2}}=3^{3 cdot frac{1}{2}}=3^{frac{3}{2}}). (3^{frac{3}{2}}cdot 3^{x-1}=(frac{1}{3})^{2x}) Также мы знаем, что (a^b·a^c=a^{b+c}). Применив это к левой части, получим: (3^{frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}). (3^{x+0,5}=(frac{1}{3})^{2x}) Теперь вспомним, что: (a^{-n}=frac{1}{a^n}). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: (frac{1}{a^n} =a^{-n}). Тогда (frac{1}{3}=frac{1}{3^1} =3^{-1}). (3^{x+0,5}=(3^{-1} )^{2x}) Применив свойство ((a^b )^c=a^{bc}) к правой части, получим: ((3^{-1} )^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}). (3^{x+0,5}=3^{-2x}) И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход. (x+0,5=-2x) Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ. Ответ: (x=-frac{1}{6}).
Пример. Решить показательное уравнение (2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160) Решение:
(2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160) Воспользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^{b+c}) в обратном направлении. (2^x cdot 2^3+2^x cdot 2^2-2^x cdot 2^1=160) Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель (2^x) … (2^x (2^3+2^2-2^1 )=160) …и вычисляем содержимое в скобке. (2^x (8+4-2)=160) (10 cdot 2^x=160) Делим на (10) обе части уравнения… (2^x=16) …и дорешиваем до ответа. ( 2^x=2^4) Ответ: (4).
Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной, расщепление уравнения и т.д.
Пример. Решить показательное уравнение (4^{x+0,5}-5·2^x+2=0) Решение:
(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0) Вновь пользуемся свойством степени (a^b cdot a^c=a^{b+c}) в обратном направлении. (4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0) Теперь вспоминаем, что (4=2^2). ((2^2 )^x·(2^2 )^{0,5}-5·2^x+2=0) - Используя свойства степени, преобразовываем: ((2^2 )^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x )^2)
- ((2^2 )^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2.)
(2·(2^x )^2-5·2^x+2=0) Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена (t=2^x). (2t^2-5t+2=0) Получили обычное квадратное уравнение. Решая его, находим корни. (t_1=2) (t_2=frac{1}{2}) Однако мы нашли значения (t), а нам нужны (x). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену. (2^x=2) (2^x=frac{1}{2}) Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени… (2^x=2^1) (2^x=2^{-1}) …и дорешиваем до ответа. ( x_1=1) ( x_2=-1) Ответ: (-1; 1).
Остается вопрос — как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом.
А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь».
То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.
- Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников: — положительное число в степени равно нулю, например, (2^x=0);
- — положительное число в степени равно отрицательному числу, например, (2^x=-4).
- Давайте попробуем решить перебором. Если икс — положительное число, то с ростом икса вся степень (2^x) будет только расти:
- (x=1); (2^1=2) (x=2); (2^2=4)
- (x=3); (2^3=8).
И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки). Может быть нам поможет (x=0)? Проверяем:
(x=0); (2^0=1)
Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство (a^{-n}=frac{1}{a^n}), проверяем:
- (x=-1); (2^{-1}=frac{1}{2^1} =frac{1}{2}) (x=-2); (2^{-2}=frac{1}{2^2} =frac{1}{4})
- (x=-3); (2^{-3}=frac{1}{2^3} =frac{1}{8})
Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:
Положительное число в любой степени останется положительным числом
Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.
В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: (a^{f(x)}=b^{f(x)}), где (a) и (b) – положительные числа.
- Например:
- (7^{x}=11^{x}) (5^{x+2}=3^{x+2})
- (15^{2x-1}=(frac{1}{7})^{2x-1})
Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на (b^{f(x)}). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:
- (frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}) (=1)
- Дальше решаем с помощью свойств степени.
- Пример. Решить показательное уравнение (5^{x+7}=3^{x+7}) Решение:
(5^{x+7}=3^{x+7}) Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов). А значит мы не можем прийти к виду (a^{f(x)}=a^{g(x)}). При этом показатели одинаковы. Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на (3^{x+7}) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем). (frac{5^{x+7}}{3^{x+7}})(=)(frac{3^{x+7}}{3^{x+7}}) Теперь вспоминаем свойство ((frac{a}{b})^c=frac{a^c}{b^c}) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь. ((frac{5}{3})^{x+7})(=1) Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: (a^0=1), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно (1)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева. ((frac{5}{3})^{x+7})(=) ((frac{5}{3})^0) Вуаля! Избавляемся от оснований. (x+7=0) Пишем ответ. - Ответ: (-7).
- Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.
- Пример. Решить показательное уравнение (7^{ 2x-4}=(frac{1}{3})^{-x+2}) Решение:
(7^{ 2x-4}=(frac{1}{3})^{-x+2}) Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна (frac{1}{3})), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку. (7^{ 2(x-2)}=(frac{1}{3})^{-x+2}) Помня свойство ((a^b )^c=a^{b·c}) , преобразовываем слева: (7^{2(x-2)}=7^{2·(x-2)}=(7^2 )^{x-2}=49^{x-2}). (49^{x-2}=(frac{1}{3})^{-x+2}) Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени (a^{-n}=frac{1}{a}^n), преобразовываем справа: ((frac{1}{3})^{-x+2}=(3^{-1})^{-x+2}=3^{-1(-x+2)}=3^{x-2}) (49^{x-2}=3^{x-2}) Аллилуйя! Показатели стали одинаковы! Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа. Ответ: (2).
Смотрите также: Показательные неравенства
Скачать статью
Источник: http://cos-cos.ru/math/145/
Показательные уравнения, системы и неравенства
Основные теоретические сведения
Область допустимых значений в показательных функциях
К оглавлению…
При решении задач данной темы нужно очень хорошо помнить все свойства степеней и математических корней (в частности квадратного корня), изученные ранее. Остановимся дополнительно на некоторых свойствах степенных и показательных функций, которые относятся к их области допустимых значений (ОДЗ). Рассмотрим функцию вида:
Такая функция, строго говоря, не является ни показательной ни степенной. Тем не менее на её примере можно хорошо продемонстрировать различные возможные варианты для ОДЗ. А таких варианта есть три:
- Если f(x) > 0, то в этом случае g(x) может принимать любые значения;
- Возможен случай когда f(x) = 0 при условии, что: g(x) > 0 – обратите внимание и запомните: ноль нельзя возводить в отрицательную степень (это равносильно делению на ноль), а ноль в нулевой степени не существует. Таким образом ноль может быть только в положительной степени, при этом ноль в любой положительной степени даёт ноль;
- Ну и наконец f(x) может принимать отрицательные значения при условии, что g(x) принимает целые значения. Таким образом, отрицательные числа можно возводить только в «целые» степени.
Остановимся подробнее на первом из этих свойств. Оно гласит, что положительные числа и функции можно возводить в любую степень. Существует и обратное требование: число или функция, которая возводится в рациональную степень должна быть неотрицательной. Таким образом, запись:
Означает, что выражение:
Но, опять таки, в случае равенства функции нолю всегда нужно отдельно убедиться, что степень была положительной, т.к. ноль можно возводить только в положительную степень. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать показательные уравнения и неравенства только с положительными основаниями степеней.
Однако отметим важную особенность применения такого свойства. Дело в том, что если используется запись с обозначением математического корня, то подкоренное выражение не всегда должно быть неотрицательным. Нам известно, что под корнем нечетной степени может стоять и отрицательное выражение. Таким образом, в записи вида:
Подкоренное выражение может принимать любые значения. Но вот в казалось бы равнозначной записи следующего вида:
Подкоренное выражение опять должно быть неотрицательным:
Отметим также еще одно важное свойство появляющееся при применении обозначения математического корня. Итак, если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:
Рекомендации к решению показательных уравнений и систем
К оглавлению…
Рассмотрим показательные уравнения у которых основания всех степеней, это положительные числа не равные единице. В этом случае показатели степеней могут принимать все возможные значения, и при этом такие уравнения имеют смысл.
В простейших случаях такие показательные уравнения алгебраическими преобразованиями можно свести к двум видам уравнений. Первый из них, это случай когда левую и правую часть уравнения можно свести к одинаковому основанию.
В этом случае преобразованное уравнение будет выглядеть так:
А его решение ищется переходом к следующему рациональному уравнению:
Второй стандартный вид показательных уравнений это когда обе стороны уравнения можно привести к одинаковому показателю степени, но разным основаниям:
Единственным возможным решением такого уравнения является:
При решении показательных уравнений, которые нельзя свести к одному из представленных выше уравнений, также активно применяется метод замены переменных. Как обычно, применяя этот метод нужно помнить, что после введения замены уравнение должно упроститься и больше не содержать старой неизвестной. Также нужно не забывать выполнять обратную замену переменных.
- Отдельно остановимся на алгоритме решения очень распространённых однородных показательных уравнений. Однородные уравнения в общем случае имеют вид:
- Здесь А, В и С – числа, не равные нулю, а f(x) и g(x) – некоторые показательные функции. Однородные уравнения решают так: разделим всё уравнение на g2(x) и получим:
- Производим замену переменных:
- И решаем квадратное уравнение:
- Получив корни этого уравнения не забываем выполнить обратную замену, а также проверить итоговые корни на соответствие ОДЗ, если таковое имело место быть.
Иногда при решении показательных уравнений приходится также использовать графический метод.
Данный метод состоит в том, чтобы как можно более точно построить на одной координатной плоскости графики функций, которые стоят в левой и правой частях уравнения, а затем найти координаты точек их пересечения по чертежу. Полученные таким образом корни обязательно нужно проверить подстановкой в первоначальное уравнение.
При решении систем показательных уравнений зачастую нужно стараться сначала в каждом из уравнений системы перейти от показательного уравнения к обычному рациональному.
Для этого приводят каждое из показательных уравнений к одинаковому показателю степени или к одинаковому основанию и переходят к рациональным уравнениям как показано выше. Затем нужно решать систему рациональных уравнений одним из изученных ранее методов (обычно подстановкой).
Если по такому алгоритму действовать не получается, то нужно пытаться применить сразу к системе показательных уравнений метод деления, замены переменных или ещё какой-нибудь метод.
Рекомендации к решению показательных неравенств
К оглавлению…
Простейшие показательные неравенства с положительными основаниями не равными единице решаются примерно также как и аналогичные уравнения. Сначала их нужно постараться привести к одинаковому основанию степени, т.е. получить неравенство вида:
После чего нужно перейти к рациональному неравенству, учитывая, что этот переход должен быть выполнен следующим образом: если основание степени больше единицы, то знак неравенства менять не нужно, а если основание степени меньше единицы, то нужно поменять знак неравенства на противоположный (это значит поменять «меньше» на «больше» или наоборот). При этом знаки минус на плюс, в обход ранее изученных правил нигде менять не нужно. Запишем математически то, что получим в результате выполнения такого перехода:
Далее необходимо решить стандартное рациональное неравенство с учетом всех тонкостей этой процедуры.
Главное помнить, что знак неравенства меняется также и при делении всего неравенства на отрицательное число, либо на выражение принимающее на всей числовой оси отрицательные значения.
В этом контексте, также полезно обратить внимание на очевидный факт: положительное число в любой степени остаётся положительным. А так как мы рассматриваем показательные неравенства только с положительными основаниями, то все степени в таких неравенствах всегда положительны.
Более сложные показательные неравенства могут также решаться с помощью замены переменных. Они также могут быть однородными, в этом случае в показательном неравенстве будет применяться стандартная для однородных уравнений замена, только с её помощью нужно будет решать неравенство.
Если показательное неравенство не может быть сведено к рациональному или решено с помощью замены, то в этом случае нужно применять обобщенный метод интервалов, который состоит в следующем:
- Определите ОДЗ;
- Преобразуйте неравенство так, чтобы в правой части был ноль (в левой части, если это возможно, приведите к общему знаменателю, разложите на множители и т.д.);
- Найдите все корни числителя и знаменателя и нанесите их на числовую ось, причём, если неравенство нестрогое, закрасьте корни числителя, ну а корни знаменателя в любом случае оставьте выколотыми точками;
- Найдите знак всего выражения на каждом из интервалов, подставляя в преобразованное неравенство число из данного интервала. При этом уже больше нельзя никаким образом чередовать знаки переходя через точки на оси. Определять знак выражения на каждом интервале нужно именно подстановкой значения из интервала в это выражение, и так для каждого интервала. Больше никак нельзя (в этом то и состоит, по большому счету, отличие обобщенного метода интервалов от обычного);
- Найдите пересечение ОДЗ и удовлетворяющих неравенству промежутков, при этом не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь).
В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка.
Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/pokazatelnye
Пример 27. Решите уравнение .
. Пусть Тогда .
| 1) | 2) |
| 3) | 4) |
| 5) | 6) |
| 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 28. Решите уравнение 9х+6х=24х.
Решение. Разделим обе части уравнения на 4х≠0, получим +=2, +‑2=0. Обозначим =у, у>0, получим у2+у ‑2=0; y1= ‑2; у2=1. ‑2 не удовлетворяет условию у>0. Имеем =1. х=0.
Ответ: 0
Задание 16. Решите уравнение…
| 1) | 2) |
| 3) | 4) |
| 5) | 6) |
| 7) | 8) |
Логарифмирование
Уравнения вида af(x)=bg(x) (a>0, a≠1, b>0, b≠1), где f(x) и g(x) – элементарные функции, решаются логарифмированием обеих частей.
Уравнения вида , где a>0, a1 имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: . Тогда .
Пример 29. Решить уравнение .
Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 3.
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Пример 30. Решите уравнение ; Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .
Решение. Умножим обе части уравнения на положительное выражение , получим:, откуда и .
, , значит, указанному промежутку принадлежит только корень .
Ответ: 0,5; 2 и 2; 0,5
Пример 31. Решите уравнение .
| 1) | 2) | 3) | 4) |
| 5) | 6) | 7) | 8) |
| 9) | 10) |
Показательно-степенные уравнения
Уравнения вида (переменная в основании и в показателе степени) называются показательно-степенными.
Уравнения этого вида не являются ни показательными, ни степенными. Их корнями являются решения системы: , а также те значения х, для которых f(x)=1 (если при этих значениях определены функции y(x) и h(x)), и те значения х, для которых f(x)0.
