Производная арккосинуса, формула и примеры

Содержание

Производная арккосинуса считается одним из основных понятий тригонометрии. Посредством применения формулы для нахождения данной величины, можно быстро преобразовать выражения, построить соответствующие графики.

Полная таблица производных от обратных тригонометрических функций выглядит так:

Формула нахождения производной арккосинуса

Производная арккосинуса представляет собой дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе квадратный корень из разности единицы и аргумента во второй степени. Перед всем выражением ставится знак «минус».

На математическом языке запись дифференцирования имеет следующий вид:

Производная арккосинуса равна производной арксинуса, взятой со знаком минус. В этом случае выражение примет вид:

Теория по производным тригонометрических функций преподаётся в школах, а также в высших учебных заведениях для студентов. На эту тему существует немало задач. О них пойдёт речь далее.

Примеры решения задач

Задача №1

Найти производную функции y = arccos√x.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой, представленной выше, учитывая, что это производная сложной функции:

Для получения правильного ответа, необходимо сначала найти производную арккосинуса, а затем домножить на производную корня из x:

Таким образом, получаем конечный результат:

Задача №2

Вычислить производную функции:

Данный пример аналогичен предыдущему, потому решение будет выглядеть следующим образом

Окончательный ответ:

Таким образом в данной статье мы рассмотрели основные правила нахождения производной арккосинуса.

Источник: https://nauka.club/matematika/proizvodnaya-arkkosinusa.html

Таблица производных arctg. Вывод производной арккосинуса

Главная » Упражнения » Таблица производных arctg. Вывод производной арккосинуса

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома.

Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка».

Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день.

За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом.

Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ

Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали.

Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.

В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.

Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.

) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.

Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Алексей:

Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!

Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных.

Правила дифференцирования

(k⋅
f(x))′=k⋅ f ′(x).
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
(f(x)⋅
g(x))′=f′(x)⋅
g(x)+f(x)⋅
g′(x).
Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅
ux′.
Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.
Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).
Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t).
Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈
(a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).
Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.

Советуем сохранить ссылку, так как эта таблица может понадобиться еще много раз.

Представлен вывод производных первого порядка арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x
:
y = arcsin x
.
— 1 до + 1 :
.

— π/2 до + π/2 :

. Функция арксинус является обратной к функции синус:

x = sin y
.

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:(1)
.

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:. Здесь .
, где . Подставим в формулу (1):

(2)
.

Здесь

y = arcsin x
;

x = sin y
.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x
. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда. Подставим в формулу (2):

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то(3)
. Здесь . Продифференцируем это уравнение по переменной x
. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:

(4)
.

Производную правой части находим из таблицы производных :.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции :. Здесь . Поскольку , то . Поэтому. Тогда

.
Подставим в (4):. Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом :. Отсюда

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:y = arccos x
.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от — 1 до + 1 :
.

Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π :
x = cos y
.
Применим формулу производной обратной функции:(1)
.

. Функция арккосинус является обратной к функции косинус:

Производная косинуса нам известна:. Здесь . Поменяем местами обозначения переменных x и y
. Тогда, где . Подставим в формулу (1):

(5)
.

Здесь

y = arccos x
;

x = cos y
.

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x
. Поскольку , то . Тогда. Подставим в формулу (5):

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:.

При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке.

Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .

Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :

Следует
заметить, что под знаком предела
получается выражение ,
которое не являетсянеопределенностью
ноль делить на ноль, так как в числителе
находится не бесконечно малая величина,
а именно ноль. Другими словами, приращение
постоянной функции всегда равно нулю.

Таким
образом, производная
постоянной функции
равна
нулю на всей области определения
.

Производная степенной функции

Формула
производной степенной функции имеет
вид ,
где показатель степени p
–
любое действительное число.

Докажем
сначала формулу для натурального
показателя степени, то есть, для p
= 1, 2, 3, …

Этим
доказана формула производной степенной
функции для натурального показателя.

Производная показательной функции

Вывод
формулы производной приведем на основе
определения:

Пришли
к неопределенности. Для ее раскрытия
введем новую переменную ,
причем при .
Тогда .
В последнем переходе мы использовали
формулу перехода к новому основанию
логарифма.

Производная логарифмической функции

Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:

Производные тригонометрических функций

Для
вывода формул производных тригонометрических
функций нам придется вспомнить некоторые
формулы тригонометрии, а также первый
замечательный предел.

Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким
образом, производная функции sin
x
есть cos
x
.
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно,
производная функции cos
x
есть –sin
x
.
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).

Производные гиперболических функций

Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции

Чтобы
при изложении не было путаницы, давайте
обозначать в нижнем индексе аргумент
функции, по которому выполняется
дифференцирование, то есть, —
это производная функции f(x)
по x
.

Теперь
сформулируем правило
нахождения производной обратной функции.

Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем .
В другой записи .

Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим .

Давайте
проверим справедливость этих формул.

Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма (здесь y
–
функция, а x
—
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, и взаимно
обратные функции.

Из таблицы
производных видим,
что и .

Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:

Вычисление производной
— одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:

Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:

5´ = 0

Пояснение
: Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной
равна единице x´ = 1

Пояснение
: При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с
Пример: (3x)´ = 3 (2x)´ = 2

Пояснение
:

В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х
) ее значение (y) растет в с
раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с
.

Откуда следует, что (cx + b)» = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю
равна частному этой переменной к ее модулю |x|»
= x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение
: Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени
равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу (x c)»= cx c-1
, при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0 Пример: (x 2)» = 2x (x 3)» = 3x 2
Для запоминания формулы
:
6. Производная дроби
1/х (1/х)» = — 1 / x 2
Пример: Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень (1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2
7. Производная дроби
с переменной произвольной степени
в знаменателе (1 / x c)» =
— c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)» = — 2 / x 3
8. Производная корня
(производная переменной под квадратным корнем) (√x)» = 1 / (2√x)
или 1/2 х -1/2 Пример: (√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)» = 1 / (n n √x n-1)

Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

Источник: https://uformat.ru/exercises/tablica-proizvodnyh-arctg-vyvod-proizvodnoi-arkkosinusa-proizvodnye-prostyh/

Arcsin sinx производная. Вывод производных арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′

Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.

Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:(1)
(ln x)′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a
:
(2)
(log a x)′ = .

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x
, которая является логарифмом по основанию :
. Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x
. По определению, производная является следующим пределом:

(3)
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:А)
Свойства логарифма .

Нам понадобятся следующие формулы:(4)
;
(5)
;
(6)
;
Б)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:(7)
.

Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.

В)
Значение второго замечательного предела:

(8)
.

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение. Для этого применим свойства (4) и (5)..

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):.
И, наконец, применим свойство (6):.
Логарифм по основанию e
называется натуральным логарифмом
. Он обозначается так:
.
Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

. Тогда ;

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a
:
. Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда

(1)
.

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:(9)
.
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции
:. В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:. Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:. Поскольку , то. Тогда.

Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции
. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то. Дифференцируем это уравнение по переменной x
:

(10)
.

Производная от икса равна единице:. Применяем правило дифференцирования сложной функции :. Здесь . Подставим в (10):. Отсюда

Пример

Найти производные от ln 2x,
ln 3x
и ln nx
.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx

. Затем подставим n = 2 и n = 3
. И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x
и ln 3x

.

Итак, ищем производную от функцииy = ln nx

. Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:

1)
Функции , зависящей от переменной : ;

2)
Функции , зависящей от переменной : . Тогда исходная функция составлена из функций и :

Найдем производную от функции по переменной x:. Найдем производную от функции по переменной :
. Применяем формулу производной сложной функции ..

Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:(11)
. Мы видим, что производная не зависит от n
. Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:. — это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:

Ответ

; ; .

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции — натурального логарифма от модуля x
:
(12)
.

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:. Ее производная определяется по формуле (1):

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:, где . Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна. Тогда

.
Объединяем эти два случая в одну формулу:.
Соответственно, для логарифма по основанию a
, имеем:.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию. Мы нашли ее производную первого порядка:

(13)
.

Найдем производную второго порядка:. Найдем производную третьего порядка:. Найдем производную четвертого порядка:

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:(14)
.
Докажем это методом математической индукции.

Доказательство

Подставим в формулу (14) значение n = 1:.

Поскольку , то при n = 1 , формула (14) справедлива.

Предположим, что формула (14) выполняется при n = k
. Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1 .

Действительно, при n = k имеем:. Дифференцируем по переменной x
:
. Итак, мы получили:.

Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1 . Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1 .

Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n
.

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a
, нужно выразить его через натуральный логарифм:. Применяя формулу (14), находим n-ю производную: