Производные, примеры решений

Какой задачник по высшей математике (математическому анализу) вы используете? Пожалуйста, проголосуйте за свой сборник в этой теме (регистрация не требуется).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Все примеры этого раздела опираются на таблицу производных и теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:

Пусть 1) функция $u=varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}'=varphi'(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=varphi (x_0)$ производную $y_{u}'=f'(u)$. Тогда сложная функция $y=fleft(varphi (x)
ight)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $varphi (x)$:

$$ left( f(varphi (x))
ight)'=f_{u}'left(varphi (x_0)
ight)cdot varphi'(x_0) $$

или, в более короткой записи: $y_{x}'=y_{u}'cdot u_{x}'$.

В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y'$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y'$ пишут $y'_x$.

В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Интеграл обратной пропорциональности

Оценим за полчаса!

Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.

  • Пример №1
  • Найти производную функции $y=e^{cos x}$.
  • Решение

Нам нужно найти производную сложной функции $y'$. Так как $y=e^{cos x}$, то $y'=left(e^{cos x}
ight)'$. Чтобы найти производную $left(e^{cos x}
ight)'$ используем формулу №6 из таблицы производных. Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $cos x$ вместо $u$:

Производные, примеры решений

Итак,

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)' ag {1.1}$$

Теперь нужно найти значение выражения $(cos x)'$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(cos x)'=-sin xcdot x'$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x') ag {1.2} $$

Так как $x'=1$, то продолжим равенство (1.2):

$$ y'=left( e^{cos x}
ight)'=e^{cos x}cdot (cos x)'= e^{cos x}cdot (-sin xcdot x')=e^{cos x}cdot (-sin xcdot 1)=-sin xcdot e^{cos x} ag {1.3} $$

Итак, из равенства (1.3) имеем: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, – как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.

  1. Ответ: $y'=-sin xcdot e^{cos x}$.
  2. Пример №2
  3. Найти производную функции $y=9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)$.
  4. Решение

Нам необходимо вычислить производную $y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)' ag {2.1} $$

Теперь обратимся к выражению $left(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'$.

Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $left(left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{12}
ight)'$.

Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. В эту формулу подставим $u=arctg(4cdot ln x)$ и $alpha=12$:

Производные, примеры решений

Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'= 108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))' ag {2.2} $$

Примечание: показатьскрыть

В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(arctg ; u)'=frac{1}{1+u^2}cdot u'$ вместо формулы $left(u^alpha
ight)'=alphacdot u^{alpha-1}cdot u'$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции.

Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $arctg^{12}(4cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4cdot 5^x$.

Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $arctg(4cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $arctg^{12}(4cdot 5^x)$. Последнее действие, — т.е. возведение в степень 12, — и будет внешней функцией.

И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).

  • Теперь нужно найти $(arctg(4cdot ln x))'$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4cdot ln x$:
  • Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4cdot ln x)^2=4^2cdot (ln x)^2=16cdot ln^2 x$.
  • Равенство (2.2) теперь станет таким:

$$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ (arctg(4cdot ln x))'=frac{1}{1+(4cdot ln x)^2}cdot (4cdot ln x)'=frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' $$ $$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)' ag {2.3} $$

Осталось найти $(4cdot ln x)'$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4cdot ln x)'=4cdot (ln x)'$.

Для того, чтобы найти $(ln x)'$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(ln x)'=frac{1}{x}cdot x'=frac{1}{x}cdot 1=frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:

$$ y'=left(9cdot arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=9cdotleft(arctg^{12}(4cdot ln x)
ight)'=\ =108cdotleft(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot (arctg(4cdot ln x))'=108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot (4cdot ln x)'=\ =108cdot left(arctg(4cdot ln x)
ight)^{11}cdot frac{1}{1+16cdot ln^2 x}cdot 4cdot frac{1}{x}=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}. $$

Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, – как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.

  1. Ответ: $y'=432cdot frac{arctg^{11}(4cdot ln x)}{xcdot (1+16cdot ln^2 x)}$.
  2. Пример №3
  3. Найти $y'$ функции $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}$.
  4. Решение

Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=sqrt[7]{sin^3(5cdot9^x)}=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}$, то:

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)' ag {3.1} $$

  • Используем формулу №2 из таблицы производных, подставив в неё $u=sin(5cdot 9^x)$ и $alpha=frac{3}{7}$:
  • Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
  • Теперь нужно найти $(sin(5cdot 9^x))'$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5cdot 9^x$:
  • Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:

$$ left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}-1} (sin(5cdot 9^x))'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))' ag {3.2} $$ $$ (sin(5cdot 9^x))'=cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' $$ $$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)' ag {3.3} $$

Осталось найти $(5cdot 9^x)'$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5cdot 9^x)'=5cdot (9^x)'$.

Для нахождения производной $(9^x)'$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'$.

Так как $x'=1$, то $(9^x)'=9^xcdot ln9cdot x'=9^xcdot ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):

$$ y'=left( left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{3}{7}}
ight)'=frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} (sin(5cdot 9^x))'=\ =frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot(5cdot 9^x)'= frac{3}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}} cos(5cdot 9^x)cdot 5cdot 9^xcdot ln9=\ =frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x. $$

Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}$ в виде $frac{1}{left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{frac{4}{7}}}=frac{1}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:

$$ y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot left( sin(5cdot 9^x)
ight)^{-frac{4}{7}}cdot cos(5cdot 9^x)cdot 9^x= frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}. $$

  1. Ответ: $y'=frac{15cdot ln 9}{7}cdot frac{cos (5cdot 9^x)cdot 9^x}{sqrt[7]{sin^4(5cdot 9^x)}}$.
  2. Пример №4
  3. Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
  4. Решение
  5. В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^alpha$. Подставляя $alpha=-1$ в формулу №2, получим:

$$(u^{-1})'=-1cdot u^{-1-1}cdot u'=-u^{-2}cdot u' ag {4.1}$$

Так как $u^{-1}=frac{1}{u}$ и $u^{-2}=frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $left( frac{1}{u}
ight)'=-frac{1}{u^2}cdot u'$. Это и есть формула №3 таблицы производных.

Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $alpha=frac{1}{2}$:

$$left(u^{frac{1}{2}}
ight)'=frac{1}{2}cdot u^{frac{1}{2}-1}cdot u'=frac{1}{2}u^{-frac{1}{2}}cdot u' ag {4.2} $$

Так как $u^{frac{1}{2}}=sqrt{u}$ и $u^{-frac{1}{2}}=frac{1}{u^{frac{1}{2}}}=frac{1}{sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:

$$ (sqrt{u})'=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{u}}cdot u'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u' $$

Полученное равенство $(sqrt{u})'=frac{1}{2sqrt{u}}cdot u'$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $alpha$.

  • Пример №5
  • Найти $y'$, если $y=arcsin 2^x$.
  • Решение
  • Нахождение производной сложной функции в данном примере запишем без подробных пояснений, которые были даны в предыдущих задачах.

Производные, примеры решений

  1. Ответ: $y'=frac{2^xln 2}{sqrt{1-2^{2x}}}$.
  2. Пример №6
  3. Найти $y'$, если $y=7cdot lnsin^3 x$.
  4. Решение

Как и в предыдущем примере, нахождение производной сложной функции укажем без подробностей. Желательно записать производную самостоятельно, лишь сверяясь с указанным ниже решением.

Производные, примеры решений

  • Ответ: $y'=21cdotctg x$.
  • Пример №7
  • Найти $y'$, если $y=frac{9}{ g^4(log_{2}(2cdotcos x))}$.
  • Решение

Производные, примеры решений Производные, примеры решений Производные, примеры решений Производные, примеры решений Производные, примеры решений Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/differ_calculus/composite_func.html

Правила вычисления производных

7 апреля 2011

  • Материалы к уроку
  • Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Производные, примеры решений

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x
2 + (2x + 3) · e

x
· sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название Функция Производная
Константа f(x) = C, C ∈ R 0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем f(x) = x

n

n · x

n − 1

Синус f(x) = sin x cos x
Косинус f(x) = cos x − sin x (минус синус)
Тангенс f(x) = tg x 1/cos2 x
Котангенс f(x) = ctg x − 1/sin2 x
Натуральный логарифм f(x) = ln x 1/x
Произвольный логарифм f(x) = log
a
x
1/(x · ln a)
Показательная функция f(x) = e

x

e

x
(ничего не изменилось)

  • Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
  • (C · f)’ = C · f ’.
  • В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
  • (2x
    3)’ = 2 · (x
    3)’ = 2 · 3x
    2 = 6x
    2.

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
2 + sin x; g(x) = x
4 + 2x
2 − 3.

  1. Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
  2. f ’(x) = (x
    2 + sin x)’ = (x
    2)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;
  3. Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
  4. g ’(x) = (x
    4 + 2x
    2 − 3)’ = (x
    4 + 2x
    2 + (−3))’ = (x
    4)’ + (2x
    2)’ + (−3)’ = 4x
    3 + 4x + 0 = 4x · (x
    2 + 1).
  5. Ответ: f ’(x) = 2x + cos x; g ’(x) = 4x · (x
    2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike»>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
3 · cos x; g(x) = (x
2 + 7x − 7) · e

x
.

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x
3 · cos x)’ = (x
3)’ · cos x + x
3 · (cos x)’ = 3x
2 · cos x + x
3 · (− sin x) = x
2 · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x
2 + 7x − 7) · e

x
)’ = (x
2 + 7x − 7)’ · e

x
+ (x
2 + 7x − 7) · (e

x
)’ = (2x + 7) · e

x
+ (x
2 + 7x − 7) · e

x
= e

x
· (2x + 7 + x
2 + 7x −7) = (x
2 + 9x) · e

x
= x(x + 9) · e

x
.

Ответ:
f ’(x) = x
2 · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e

x
.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Производные, примеры решений

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g
2? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

Производные, примеры решений

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

Производные, примеры решений Производные, примеры решений

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Производные, примеры решений

Ответ:

Производные, примеры решений

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x
2 + ln x. Получится f(x) = sin (x
2 + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e
2x + 3; g(x) = sin (x
2 + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e

x
. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e

t
. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e

t
)’ · t ’ = e

t
· t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = e

t
· t ’ = e
2x + 3 · (2x + 3)’ = e
2x + 3 · 2 = 2 · e
2x + 3

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x
2 + ln x = t. Имеем:

  • g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’
  • Обратная замена: t = x
    2 + ln x. Тогда:
  • g ’(x) = cos (x
    2 + ln x) · (x
    2 + ln x)’ = cos (x
    2 + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3;
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x
2 + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x

n
)’ = n · x

n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x
0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Производные, примеры решений

  1. Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
  2. f(x) = (x
    2 + 8x − 7)0,5.
  3. Теперь делаем замену: пусть x
    2 + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:
  4. f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t
    0,5)’ · t ’ = 0,5 · t
    −0,5 · t ’.
  5. Делаем обратную замену: t = x
    2 + 8x − 7. Имеем:
  6. f ’(x) = 0,5 · (x
    2 + 8x − 7)−0,5 · (x
    2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x
    2 + 8x − 7)−0,5.
  7. Наконец, возвращаемся к корням:

Производные, примеры решений

Ответ:

Источник: https://www.berdov.com/docs/fluxion/rules/

Примеры вычисления производных

Справочник по математике Элементы математического анализа Производная функции
  •       Пример 1. Найти производную функции
  • y = cos 2x
  •       Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = cos (kx + b)   в случае, когда   k = 2,   b = 0,   получим
  • (cos 2x)' = – 2sin 2x .
  •       Замечание. Очень часто школьники, а также и студенты, при решении примера 1 пишут:
  • (cos 2x)' = – sin 2x .

      Это ошибка !!!

  1.       Перепишем верный ответ еще раз:
  2. (cos 2x)' = – 2sin 2x .
  3.       Приведем также верные ответы в похожих примерах:
(sin 3x)' = 3cos 3x ,
Производные, примеры решений,
Производные, примеры решений
Производные, примеры решений
Производные, примеры решений
  •       Пример 2. Найти производную функции
  • y = sin3x
  •       Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = ( f (x)) c   в случае, когда   f (x) = sin x ,   а   c = 3,   получим

Производные, примеры решенийПроизводные, примеры решений

  1.       Пример 3. Найти производную функции
  2. y = (3x – 7)5 .
  3.       Решение. Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   k = 3,   b = – 7,   а   c = 5,   получим
  4. y' = 15(3x – 7)4 .

Производные, примеры решений

      Пример 4 . Найти производную функции

Производные, примеры решений

  •       Решение. Поскольку
  • ,
  • то исходную функцию можно переписать в виде
  •       Воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = ( f (x)) c   в случае, когда
  • ,
  • а   c = 8,   получим

Ответ:

  1.       Пример 5 . Найти производную функции
  2.       Решение. Воcпользовавшись правилом 5 для вычисления производной частного двух функций и формулой для производной сложной функции   y = arccos (kx + b)   в случае, когда   k = 3,   b = 0,   получим
  • Ответ:
  •       Пример 6. Найти производную функции
  •       Решение. Воcпользовавшись правилом 4 для вычисления производной произведения двух функций, формулой для производной сложной функции   y = arctg (kx + b)   в случае, когда   k = 5,   b = 0, и формулой для производной сложной функции   y = akx + b   в случае, когда   a = 3,   k = 2,   b = 0,   получим

.

Ответ:

  1.       Пример 7 . Найти производную функции
  2.       Решение. Поскольку
  3. то, воcпользовавшись формулой для производной сложной функции   y = e f (x)   в случае, когда   , и формулой для производной сложной функции   y = (kx + b)c   в случае, когда   с = – 1,   k = 7,   b = – 1,  получим

Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/derivative_calculation.htm

Как найти производную по определению?

Составить отношение и вычислить предел .

Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу Производные, примеры решений . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:

Пример 1

Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.

Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции: Производные, примеры решений

Производные, примеры решений

  • Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
  • Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
  • Итак, .
  • Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:
  • Ответ: по определению производной:
  • Готово.
  • В который раз порадуемся логарифмам:
  • Пример 2
  • Найти производную функции , пользуясь определением производной

Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .

Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.

Тогда соответствующее приращение функции:

Найдём производную:

Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».

  1. Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
  2. (1) Используем свойство логарифма .
  3. (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
  4. (3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .
  5. Ответ: по определению производной:
  6. Или сокращённо:
  7. Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
  8. Пример 3
  9. Найти производную по определению

В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).

  • Пример 3:Решение: рассмотрим некоторую точку, принадлежащую области определения функции. Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции: Найдём производную в точке: Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции, то и Ответ: по определению производной
  • Пример 4
  • Найти производную по определению

А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.

Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .

Пример 4:Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение. Тогда соответствующее приращение функции: Найдём производную: Используем замечательный предел Ответ: по определению

Пример 5

Найти производную функции , используя определение производной

Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение .

Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить .

Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки.

Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить. Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.

  1. Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
  2. Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
  3. В итоге:
  4. Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .
  5. Ответ: по определению.
  6. В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы:
  7. Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
  8. Пример 6
  9. Найти производную функции по определению производной
  10. Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:

Пример 6:Решение: рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции: Вычислим производную: Таким образом: Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и Ответ: по определению.

  • Вернёмся к стилю №2:
  • Пример 7
  • Пользуясь определением, найти производную функции
  • Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
  • Решение: рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
  • Найдём производную: (1) Используем тригонометрическую формулу .
  • (2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
  • (3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.

(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .

(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.

Ответ: по определению

Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».

  1. Пример 8
  2. Пользуясь определением, найти производную функции
  3. Пример 8:Решение: рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение и составим приращение функции: Найдём производную: Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел: Ответ: по определению
  4. Разберём более редкую версию задачи:
  5. Пример 9
  6. Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
  7. Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
  8. Вычислим ответ стандартным способом:
  9. Решение: с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.
  10. Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции: Вычислим производную в точке:
  11. Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу:
  12. Ответ: по определению производной в точке.

Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.

  • Пример 10
  • Используя определение, найти производную функции в точке
  • Пример 10:Решение: Зададим приращение в точке. Тогда приращение функции: Вычислим производную в точке: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: Ответ: по определению производной в точкеЗаключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
  • Пример 11
  • Будет ли дифференцируема функция в точке ?
  • Решение: очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке , но будет ли она там дифференцируема?
  • Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков:
  • 1) Находим левостороннюю производную в данной точке: .
  • 2) Находим правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные конечны и совпадают: , то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным), то функция не дифференцируема в точке .

Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику (см. Пример 5 урока Уравнение нормали).

! Примечание: таким образом, между вопросами «Будет ли дифференцируема функция в точке?» и «Существует ли производная в точке?» есть разница!

  1. Всё очень просто!
  2. 1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола , поэтому приращение функции равно: И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:
  3. 2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:
  4. Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:
  5. 3) Односторонние производные конечны и различны:
  6. Ответ: функция не дифференцируема в точке .
  7. Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.

Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s6579t6.html

Примеры решения производных с ответами

Алгоритм решения производных

ТеоремаПроизводная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Примеры решений производных

Пример 1

Задача

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

Ответ

Пример 2

Задание

  • Решение
  • Обозначим , где . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
  • Ответ

Пример 3

  1. Задача
  2. Найти производную функции при .
  3. Решение

. .

Ответ

.

Пример 4

  • Задача
  • Найти производную функции .
  • Решение
  • . После приведения подобных членов получаем:
  • .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/primery-resheniya-proizvodnyh/

Калькулятор онлайн. Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции Найти производную функции f(x) Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Игра «iChart»Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»

Определение. Пусть функция ( y = f(x) ) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку ( x_0 ). Дадим аргументу приращение ( Delta x ) такое, чтобы не выйти из этого интервала.

Найдем соответствующее приращение функции ( Delta y ) (при переходе от точки ( x_0 ) к точке ( x_0 + Delta x ) ) и составим отношение ( frac{Delta y}{Delta x} ).

Если существует предел этого отношения при ( Delta x
ightarrow 0 ), то указанный предел называют производной функции ( y=f(x) ) в точке ( x_0 ) и обозначают ( f'(x_0) ).

$$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y'. Отметим, что y' = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).

  • Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной: ( k = f'(a) )
  • Поскольку ( k = tg(a) ), то верно равенство ( f'(a) = tg(a) ) .
  • А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция ( y = f(x) ) имеет производную в конкретной точке ( x ): $$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} = f'(x) $$

Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство ( frac{Delta y}{Delta x} approx f'(x) ), т.е. ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ).

Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.

Например, для функции ( y = x^2 ) справедливо приближенное равенство ( Delta y approx 2x cdot Delta x ). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

1. Зафиксировать значение ( x ), найти ( f(x) ) 2. Дать аргументу ( x ) приращение ( Delta x ), перейти в новую точку ( x+ Delta x ), найти ( f(x+ Delta x) ) 3. Найти приращение функции: ( Delta y = f(x + Delta x) — f(x) ) 4. Составить отношение ( frac{Delta y}{Delta x} ) 5. Вычислить $$ lim_{Delta x o 0} frac{Delta y}{Delta x} $$

Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство ( Delta y approx f'(x) cdot Delta x ). Если в этом равенстве ( Delta x ) устремить к нулю, то и ( Delta y ) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция ( y=sqrt[3]{x} ) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и ( f'(0) )

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями.

Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования: $$ C'=0 $$ $$ x'=1 $$ $$ ( f+g)'=f'+g' $$ $$ (fg)'=f'g + fg' $$ $$ (Cf)'=Cf' $$ $$ left(frac{f}{g}
ight) ' = frac{f'g-fg'}{g^2} $$ $$ left(frac{C}{g}
ight) ' = -frac{Cg'}{g^2} $$ Производная сложной функции: $$ f'_x(g(x)) = f'_g cdot g'_x $$

$$ left( frac{1}{x}
ight) ' = -frac{1}{x^2} $$ $$ ( sqrt{x} ) ' = frac{1}{2sqrt{x}} $$ $$ left( x^a
ight) ' = a x^{a-1} $$ $$ left( a^x
ight) ' = a^x cdot ln a $$ $$ left( e^x
ight) ' = e^x $$ $$ ( ln x )' = frac{1}{x} $$ $$ ( log_a x )' = frac{1}{xln a} $$ $$ ( sin x )' = cos x $$ $$ ( cos x )' = -sin x $$ $$ ( ext{tg} x )' = frac{1}{cos^2 x} $$ $$ ( ext{ctg} x )' = -frac{1}{sin^2 x} $$ $$ ( arcsin x )' = frac{1}{sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( arccos x )' = frac{-1}{sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( ext{arctg} x )' = frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( ext{arcctg} x )' = frac{-1}{1+x^2} $$

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/derivative

Ссылка на основную публикацию