Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

  • Треугольники.
  • Основные понятия.
  • Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
  • Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.
  • Сумма углов треугольника равна 180º.
Любая сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности. a – b < c < a + b

Высота треугольника.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины  к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Свойства высоты треугольника:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула сахарозы в химии

Оценим за полчаса!
1) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (рис.4). 2) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. 3) В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:

1) Биссектриса внутреннего угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (рис.6). 2) Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник (рис.7). 3) Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник – равнобедренный (рис.8).

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Медиана треугольника.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

  1. Длину медианы можно вычислить по формуле:
  2.                                                                       2b2 + 2c2 – a2                                                             ma2 = ——————                                                                                 4
  3. где ma – медиана, проведенная к стороне а.
  4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
  5.                                                                                       c                                                                             mc = —                                                                                       2
  6. где mc – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

  • Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине
  • Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
  • Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

  1. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
  2. Две другие стороны называются катетами.
  3. Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
  4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В. 

  • Рис.14а
  • Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
  • Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).

Свойства равностороннего треугольника:

  1. 1) все углы равны 60º;
  2. 2) медианы, биссектрисы и высоты совпадают;
  3. 3) медианы, биссектрисы и высоты соединяют вершины с серединами противолежащих сторон.

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет  a больше катета b в √3 раз (рис.15а). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): mc =  с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d).
  • Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
  • Признаки равенства треугольников.
  • Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Неравенство треугольника.
  • В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
  • Теорема Пифагора.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
  • c2 = a2 + b2.
  • Площадь треугольника.
  • 1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
  •          ah S = ——          2
  • 2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:
  •        1 S = — AB · AC · sin A         2
  • Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а).

1) В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. 2) Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника (рис.16b). 3) Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра:                                                                                 S                                                                 r = ———————                                                                          (a + b + c) : 2

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a).

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 2) Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника (рис.17b). 3) У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис.15d). 4) Сторона любого вписанного треугольника равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.  Обозначается так: sin x.

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначается так: cos x.

Тангенс острого угла x – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначается так: tg x.

Котангенс острого угла x – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Обозначается так: ctg x.

  1. Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
  2. Правила:
  3. Катет, противолежащий углу x, равен произведению гипотенузы на sin x:
  4. b = c · sin x
  5. Катет, прилежащий к углу x, равен произведению гипотенузы на cos x:
  6. a = c · cos x
  7. Катет, противоположный углу x, равен произведению второго катета на tg x:
  8. b = a · tg x
  9. Катет, прилежащий к углу x, равен произведению второго катета на ctg x:
  10. a = b · ctg x.
  11. Для любого острого угла x:
  12. sin (90° – x) = cos x
  13. cos (90° – x) = sin x

Источник: http://test1.czl23.ru/plugins/content/content.php?content.338

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

На этом уроке мы продолжим рассмотрение элементов треугольника – медиан, биссектрис и высот треугольника. Вначале дадим определение медианы треугольника и рассмотрим три медианы треугольника.

Дадим определение биссектрисы треугольника и рассмотрим три биссектрисы треугольника. Дадим определение высоты треугольника и рассмотрим высоты в произвольном треугольнике и в тупом треугольнике.

Далее решим ряд задач с использованием этих элементов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 1. Медианы треугольника

  • А, В, С – вершины треугольника.
  •  – середины сторон треугольника. 
  •   – медианы треугольника.

У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 2. Биссектрисы треугольника

C, D, E – вершины треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 3. Высоты остроугольного треугольника

А, В, С – вершины треугольника. 

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 4. Высоты тупоугольного треугольника

Перпендикуляр, опущенный с вершины С на прямую ВА, это перпендикуляр , который является высотой треугольника.  – это перпендикуляр, опущенный с вершины В на прямую СА, которая содержит сторону АС.  – это вторая высота треугольника. – третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.

Пример 1: Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

1.  Докажите, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

  1. Дано: BD = CD, AD = ED.
  2. Доказать: ∆ABD = ∆ECD.
  3. Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

  • треугольник ABD = треугольнику ECD по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
  • Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .
  • Найти: ∠АСЕ.
  • Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник ABD = треугольнику ECD. Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

  1. Ответ: ∠ACE = .
  2. Пример 2: треугольник АВС =  треугольнику .
  3. Доказать: медианы ВМ и  равны.
  4. Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Рис.7. Чертеж к примеру 2

1 способ:

Отсюда следует, что треугольник АВМ = треугольнику . А из равенства треугольников следует, что ВМ = , что и требовалось доказать.

2 способ: совмещение треугольников АВС и . При этом точка В перейдет в точку , а точка М в точку . Значит, отрезки ВМ и  совместятся. ВМ = .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника. С этими важными элементами мы будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы рассмотрим равнобедренный треугольник и его свойства.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).

2. Прямая линия, отрезок (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. №28(а). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что периметры треугольников АВК и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + АК = 30 см.

3. Какие элементы (части) треугольника совпадут при перегибании его по биссектрисе?

4. *Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, равен сумме двух других углов. 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika?konspekt

Биссектриса угла

2 июня 2018

  • Материалы к уроку
  • Домашняя работа

  • Ответы и решения

Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.

Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.

И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)

Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Примеры углов: острый, тупой и прямой

Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $angle AOB$).

Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.

Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.

Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла

Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).

Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла

На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:

Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.

В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:

  1. Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
  2. И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.

Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:

Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.

Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $Hin l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Графическое представление расстояния от точки до прямой

Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Определяем расстояние от точки до сторон угла

Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.

Как и обещал, разобьём доказательство на две части:

1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы

Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.

Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Провели перпендикуляры к сторонам угла

Получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:

  1. $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
  2. $angle M{{H}_{1}}O=angle M{{H}_{2}}O=90{}^circ $ по построению;
  3. $angle OM{{H}_{1}}=angle OM{{H}_{2}}=90{}^circ -angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)

2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе

Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$.

Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Провели луч $OM$ внутри угла

Снова получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:

  1. Гипотенуза $OM$ — общая;
  2. Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
  3. Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.

Следовательно, треугольники $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.

В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Биссектриса разбила угол $angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных

Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)

Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.

Источник: https://www.berdov.com/docs/treugolnik/bissektrisa-ugla/

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора
Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

2) Формулы площади треугольника
Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами
Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

  • 3) Подобие треугольников
  • Свойства биссектрисы треугольника, с примерами Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
    и
  • Обозначение:
  • 4) Признаки подобия двух треугольников
  • 1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Коротко: если , то
  • 2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
  • Коротко: если и , то
  • 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
  • Коротко: если , то
  • 5) Свойства подобных треугольников
  • если , то
  • , где
  • и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
  • и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
  • и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
  • 6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
  • Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
  • 7) Свойство медиан в треугольнике.
  • Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
  • Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
  • То есть
  • Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
  • 8) Свойство биссектрис в треугольнике
    Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
  • То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

  1. 10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

    Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

  2. То есть
  3. 11) Средняя линия треугольника
  4. Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
  5. То есть и
  6. 12) Теорема синусов и теорема косинусов
  7. Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
  8. То есть
  9. Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
  10. 13) Теорема Менелая

    Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

  11. То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

  • 14) Теорема Чевы
  • Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
  • То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2010/09/30/formuly-teoremy-i-svojstva-elementov-treugolnika-spravochnik-repetitora-po-matematike/

Биссектриса треугольника: ее свойства и формула, как обозначается и какова длина

Биссектриса треугольника – распространенное геометрическое понятие, которое не вызывает особых затруднений в изучении. Владея знаниями о ее свойствах, с решением многих задач можно справиться без особого труда. Что такое биссектриса? Постараемся ознакомить читателя со всеми секретами этой математической прямой….

Contents

  • 1 Суть понятия
  • 2 Свойства
  • 3 Длина
  • 4 Частные случаи

Суть понятия

Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Биссектриса треугольника – отрезок, который берет начало из вершины фигуры, а другой конец размещен на стороне, которая расположена напротив него, при этом делит пространство на две одинаковые части.

Многие педагоги для быстрого ассоциативного запоминания учащимися математических понятий пользуются разной терминологией, которая отображена в стихах или ассоциациях. Конечно, использовать такое определение рекомендуется для детей старшего возраста.

Как обозначается эта прямая? Здесь опираемся на правила обозначения отрезков или лучей. Если речь идет об обозначении биссектрисы угла треугольной фигуры, то обычно ее записывают как отрезок, концы которого являются вершиной и точкой пересечения с противоположной вершине стороной. Причем начало обозначения записывается именно из вершины.

Внимание! Сколько биссектрис имеет треугольник? Ответ очевиден: столько же, сколько вершин, – три.

Свойства

Кроме определения, в школьном учебнике можно найти не так уж много свойств данного геометрического понятия. Первое свойство биссектрисы треугольника, с которым знакомят школьников, – центр вписанной окружности, а второе, напрямую связанное с ним, – пропорциональность отрезков. Суть заключается в следующем:

  1. Какая бы ни была делящая прямая, на ней расположены точки, которые находятся на одинаковом расстоянии от сторон, которые составляют пространство между лучами.
  2. Для того чтобы вписать в треугольную фигуру окружность, необходимо определить точку, в которой будут пересекаться эти отрезки. Это и есть центральная точка окружности.
  3. Части стороны треугольной геометрической фигуры, на которые разбивает ее делящая прямая, находятся в пропорциональной зависимости от образующих угол сторон.

Постараемся привести в систему остальные особенности и представить дополнительные факты, которые помогут глубже познать достоинства этого геометрического понятия.

Это интересно! Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр

Длина

Одним из видов задач, которые вызывают затруднение у школьников, является нахождение длины биссектрисы угла треугольника. Первый вариант, в котором находится ее длина, содержит такие данные:

  • величина пространства между лучами, из вершины которого выходит данный отрезок,
  • длины сторон, которые образуют этот угол.

Свойства биссектрисы треугольника, с примерамиДля решения поставленной задачи используется формула, смысл которой заключается в нахождении отношения увеличенного в 2 раза произведения значений сторон, составляющих угол, на косинус его половины к сумме сторон.

Рассмотрим на определенном примере. Допустим, дана фигура АВС, в которой отрезок проведен из угла А и пересекает сторону ВС в точке К. Значение А обозначим Y. Исходя из этого, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Это интересно! Первый признак равенства треугольников: доказательство

Второй вариант задачи, в котором определяется длина биссектрисы треугольника, содержит такие данные:

  • известны значения всех сторон фигуры.

При решении задачи такого типа первоначально определяем полупериметр. Для этого необходимо сложить значения всех сторон и разделить пополам: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далее применяем вычислительную формулу, с помощью которой определялась длина данного отрезка в предыдущей задаче.

Необходимо только внести некоторые изменения в суть формулы в соответствии с новыми параметрами.

Итак, необходимо найти отношение увеличенного в два раза корня второй степени из произведения длин сторон, которые прилегают к вершине, на полупериметр и на разность полупериметра и длины противолежащей ему стороны к сумме сторон, составляющих угол. То есть АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВС))/(АВ+АС).

Внимание! Чтобы легче освоить материал, можно обратиться к имеющимся в Интернете шуточным сказкам, повествующим о приключениях этой прямой.

Частные случаи

Биссектриса прямоугольного треугольника имеет все общие свойства. Но следует отметить частный случай, который присущ только ей: при пересечении отрезков, основания которых являются вершинами острых углов прямоугольного треугольника, между лучами получается 45 град.

Биссектриса равнобедренного треугольника также имеет свои особенности:

  • Если основание этого отрезка – вершина, противолежащая основанию, то она является и высотой, и медианой.
  • Если отрезки проведены из вершин углов при основании, то их длины равны между собой.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

  • Урок геометрии, изучаем свойства биссектрисы
  • Свойства биссектрисы треугольника

Источник: https://tvercult.ru/nauka/chto-takoe-bissektrisa-treugolnika-svoystva-svyazannyie-s-otnosheniem-storon

Свойства биссектрисы треугольника

  • Слайд 1
  • Слайд 2
  • Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
  • Слайд 3
  • Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D
  • Слайд 4
  • Формулы длины биссектрисы:
  • Слайд 5
  • Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника
  • Слайд 6
  • Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис
  • Слайд 7

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ Битнер Татьяна Юрьевна Класс: 9 ОУ: МБОУ «Гимназия № 6 им. С.Ф. Вензелева »

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Слайд 8

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +( a + c ) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Слайд 9

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Слайд 10

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

  1. Слайд 11
  2. это 1 часть  OD = Ответ: OD =
  3. Слайд 12

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е.

Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Слайд 13

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7.

Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно.

Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Слайд 14

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/03/20/svoystva-bissektrisy-treugolnika

Свойства биссектрисы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса угла треугольника — луч, который исходит из вершины треугольника и делит этот угол пополам.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  • Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром треугольника.
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  • Биссектриса треугольника — это сегмент биссектрисы угла треугольника, соединяющего вершину с точкой, расположенной на противоположной стороне.
  • Свойства биссектрисы угла треугольника

    1. Биссектриса разделяет противоположную сторону на части, пропорциональные смежным сторонам:

    ( frac{C L}{L B}=frac{A C}{A B} )

    2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром круга, вписанного в этот треугольник.

    3. Биссектрисой угла является локус точек, равноудаленных от сторон этого угла.

    4. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

    5. В регулярном треугольнике биссектриса является медианной и высотой.

    1. Примеры решения проблем
    2. ПРИМЕР 1
  • Задача.

    В треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( AB=5 mathrm{см} ) мы провели биссектрису ( mathrm{AL} ), которая разделила сторону ( mathrm{BC} ) на сегменты ( B L=3 mathrm{см} ) и ( mathrm{LC}=6 mathrm{см} ). Найдите сторону ( mathrm{AC} ).

  • Решение
    • Биссектриса ( mathrm{AL} ) делит противоположную сторону на части, пропорциональные смежным сторонам:
    • ( frac{L C}{B L}=frac{A C}{A B} )
    • Если мы заменим данные из условия проблемы на последнее равенство, получим следующую пропорцию
    • ( frac{6}{3}=frac{A C}{5} )
    • отсюда
    • ( A C=frac{6 cdot 5}{3}=10 mathrm{см} )
  • Ответ
    1. ( A C=10 mathrm{смв} )
    2. ПРИМЕР 2
  • Задача

    В треугольнике ( mathrm{ABC} ), в котором ( angle A=50^{circ} ) , биссектрисы углов ( B ) и ( C ) пересекаются в точке ( O ). Найдите угол ( mathrm{BOC} ).

  • Решение.

    Сумма углов в любом треугольнике равна ( 180^{circ} ) , что означает

    ( angle B+angle C=180^{circ}-angle A=130^{circ} )

    • Рассмотрим треугольник ( mathrm{BOC} ). Поскольку ( BK ) и ( mathrm{CL} ) являются биссектрисами углов ( B ) и ( C ),
    • ( angle O B C+angle O C B=frac{130^{circ}}{2}=75^{circ} )
    • Отсюда следует, что ( angle B O C=180^{circ}-75^{circ}=105^{circ} ) .
  • Ответ

    ( angle B O C=105^{circ} )

    1. Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

      Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/svojstva-bissektrisi-treugolnika/

      Биссектриса — это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств

      Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком термине, как БИССЕКТРИСА.

      Это понятие широко применяется в геометрии. И каждый школьник в России знакомится с ним уже в 5 классе. А после эта величина часто используется для решения различных задач.

      Биссектриса — это..

      Итак,

      Биссектриса – это луч, который выходит из вершины треугольника и делит ее ровно на две части.

      Также под биссектрисой принято понимать и длину отрезка (что это?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на противоположной от этой вершины стороне.

      Есть еще понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольника) пополам:

      Само понятие БИССЕКТРИСА пришло к нам из латинского языка. И название это весьма говорящее. Оно состоит из двух слов – «bi» означает «двойное, пара», а «sectio» можно дословно перевести, как «разрезать, поделить».

      Вот и получается, что само слово БИССЕКТРИСА – это «разрезание пополам», что собственно и отражается в определении термина, который мы только что привели.

      А сейчас задачка на закрепление материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком изображена биссектриса. Подумали? Правильно, на втором.

      На первом луч, выходящий из угла АОВ, явно не делит его пополам. На втором это соотношение углов более очевидно, а потому можно предположить, что луч ОД является БИССЕКТРИСОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов это утверждать сложно.

      Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортир. Это такой инструмент в виде полусферы из металла или пластмассы. Вот как он выглядит:

      Хотя есть еще вот такие варианты:

      Наверняка у каждого такие были в школе. И пользоваться ими весьма просто. Надо только ровненько совместить основание транспортира (прямоугольная линейка) с основанием треугольника, а после на полусфере отметить значение, которое соответствует размеру угла.

      И точно по такой же схеме можно поступить наоборот – имея транспортир, начертить угол необходимого размера. Чаще всего – от 0 до 180 градусов. Но на втором рисунке у нас транспортир, который помогает начертить градусы от 0 до 360.

      Количество биссектрис в треугольнике

      Но вернемся к нашей главной теме. И ответим на вопрос – сколько БИССЕКТРИС есть в треугольнике?

      Ответ в общем-то логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник – три угла. А соответственно, и биссектрис в нем будет тоже три – по одной на каждую вершину.

      Снова посмотрим на наши рисунки. В данном случае наглядно видно, что у треугольника АВС (именно так в геометрии обозначается эта фигура – по наименованию ее вершин) три БИССЕКТРИСЫ. Это отрезки AD, BE и CF.

      На чертежах БИССЕКТРИСЫ обозначатся следующим образом. Видите одинарные выгнутые черточки между отрезками АС /AL1 и АВ/AL1? Так обозначаются углы. А то, что они оба обозначены одинаковыми черточками, говорит о том, что углы равны. А значит, отрезок AL1 является БИССЕКТРИСОЙ.

      То же самое относится и к углам между АВ/DL2 и ВС/BL2. Они обозначены одинаковыми двойными черточками. А значит, отрезок BL2 – биссектриса. А углы АС/CL3 и ВС/CL3 обозначены тройными черточками. Соответственно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.

      Пересечение биссектрис треугольника

      Как можно было заметить по приведенным выше рисункам, у биссектрис треугольника есть одно важное свойство. А именно:

      Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром!

      Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает никаких исключений. Другими словами, вот такого быть не может:

      Если вы видите такую картину, то перед вами точно не БИССЕКТРИСЫ. Во всяком случае, минимум один отрезок таковой не является. А может и все три.

      А есть еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.

      Центр пересечения биссектрис в треугольнике является центром окружности, который списан в эту фигуру.

      Это свойство биссектрис на самом деле не только выглядит интересно на чертежах. Оно часто помогает в решение сложных задач.

      Свойство основания биссектрисы

      У каждой БИССЕКТРИСЫ есть основание. Так называют точку пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.

      И с этим основанием связана одна весьма интересная теорема. Она гласит, что

      Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точкой основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух прилежащих сторон.

      Звучит несколько тяжеловато, но на деле выглядит весьма просто. Отношение отрезков на основании биссектрисы – это ВК/КС. А отношение прилежащих сторон – это АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит вот так:

      ВК/КС = АВ/АС

      Интересно, что для данной теоремы будет справедливо и другое утверждение:

      ВК/АВ = КС/АС

      Ну, как часто бывает в математике – это правило работает и в обратном направлении. То есть, если вы знаете длины все сторон и их соотношения равны, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА, А соответственно, будет проще рассчитать размер угла треугольника.

      Биссектриса равнобедренного треугольника

      Для начала напомним, что такое равнобедренный треугольник.

      Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть имеет равные «бедра»).

      Так вот в таком треугольнике БИССЕКТРИСА имеет весьма интересные свойства.

      Она одновременно является еще и медианой (что это?), и высотой.

      Эти понятия нам также знакомы по школьному курсу. Но если кто забыл, мы обязательно напомним:

      1. Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.
      2. Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.

      А в равностороннем треугольнике или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны) все три биссектрисы являются высотами и медианами. И плюс ко всему, их длины равны.

      Источник: https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/bissektrisa-chto-ehto-takoe-svojstva-bissektrisy-ugla-treugolnika.html

      Биссектрисы треугольника

      Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла, который соединяет вершину треугольника с точкой противоположной стороны. На Рис.1 АВ — биссектриса треугольника АСD (соединяет вершину А с точкой В, лежащей на стороне СD).

      Любой треугольник имеет три биссектрисы. На Рис.2, АВ, СК, DМ  — биссектрисы треугольника АСD.

      Биссектриса АВ соединяет вершину А с точкой В, лежащей на стороне СD ( САВ = ВАD); биссектриса СК соединяет вершину С с точкой К, лежащей на стороне AD ( АСК = КСD); биссектриса DM соединяет вершину D с точкой M, лежащей на стороне AC ( СDM = MDA). 

      Замечательное свойство биссектрис треугольника: в любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. На Рис.2 биссектрисы треугольника АDС пересекаются в точке О.

      Поделись с друзьями в социальных сетях:

      Советуем посмотреть:

      • Треугольник
      • Равенство треугольников
      • Первый признак равенства треугольников
      • Перпендикуляр к прямой
      • Медианы треугольника
      • Высоты треугольника
      • Равнобедренный треугольник
      • Свойства равнобедренного треугольника
      • Второй признак равенства треугольников
      • Третий признак равенства треугольников
      • Окружность
      • Построения циркулем и линейкой
      • Треугольники

      Правило встречается в следующих упражнениях:

      1. 7 класс
      2. Задание 133, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      3. Задание 191, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      4. Задание 265, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      5. Задание 334, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      6. Задание 341, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      7. Задание 347, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      8. Задание 16, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      9. Задание 894, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      10. Задание 900, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      11. Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
      • © budu5.com, 2020
      • Пользовательское соглашение
      • Copyright
      • Нашли ошибку?
      • Связаться с нами

      Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3317

      Ссылка на основную публикацию