Свойства неравенств, с примерами

  • Неравенством с одной переменной х называют соотношения вида:
  • 1)
  • 2) (3.21)
  • 3)
  • 4)
  • Где – некоторые выражения, зависящие от переменной Х, при условии, что ставится задача нахождения всех тех значений при которых эти неравенства верны.
  • Неравенства 1) и 2) называются Строгими, а 3) и 4) – Нестрогими.

Решением неравенств типа (3.21) называют такое значение переменной Х, при котором оно обращается в верное числовое неравенство.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  1. Решить Неравенство – значит найти множество всех его решений или доказать, что неравенство решений не имеет.
  2. Два неравенства называются Равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
  3. Свойства равносильности неравенств:
  4. 1) неравенства и – равносильны;
  5. 2) неравенства и – равносильны;
  6. 3) если то неравенства и – равносильны;
  7. 4) если то и – равносильны;

Свойства неравенств, с примерами Свойства неравенств, с примерами

7) неравенство

(3.22)

Свойства неравенств, с примерами

Равносильно неравенству

Свойства неравенств, с примерами

Аналогичные свойства имеют место для всех остальных неравенств.

Неравенство вида

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула хлорида натрия в химии

Оценим за полчаса!

Свойства неравенств, с примерами

Где называется линейным неравенством.

Неравенство вида Свойства неравенств, с примерами называется Квадратным Неравенством.

В основе решения квадратного неравенства лежит графический метод. В зависимости от знака коэффициента А И дискриминанта D возможен один из шести случаев расположения графика функций (табл. 3.1).

Т а б л и ц а 3.1

А D
D > 0 X1, X2 – корни D = 0 X0 – корень D < 0 Нет корней
A > 0 Свойства неравенств, с примерамиСвойства неравенств, с примерами
A < 0 Свойства неравенств, с примерами

Решение квадратного неравенства находят по расположению соответствующего графика функции относительно оси Ox.

Неравенство

Свойства неравенств, с примерами

Где – многочлен степени называется Неравенством высшей степени.

Основной метод решения неравенств типа (3.24) – Метод интервалов. Он состоит в следующем:

1. Многочлен необходимо разложить на множители. Допустим, получено неравенство

Где Квадратный трехчлен имеет

2. Коэффициент А и квадратный трехчлен следует «отбросить» (поделить на них). Если или то знак неравенства при этом изменяется на противоположный.

  • Допустим, что приходим к неравенству вида
  • (3.25)
  • Где корни расположены в порядке возрастания.

3. Корни наносят на числовую ось. Справа от самого большого корня ставят знак «+» над промежутком, далее идет чередование знаков.

4. Необходимо нарисовать кривую знаков.

5. Штрихуют те промежутки, которые отвечают смыслу неравенства (т. е. для неравенства (3.25) это множество тех значений Х, для которых кривая знаков находится под осью Ох).

6. Записывают ответ в виде промежутка, объединения промежутков (если их несколько) или множества из отдельных точек.

  1. Если в результате преобразований неравенство приняло вид
  2. Где И расположены в порядке возрастания, то для решения используют Обобщенный метод интервалов, который состоит в следующем:

1. Корни наносят на числовую ось.

2. Справа от самого большого корня ставят над промежутком знак «+»:

А) если – нечетное число, то при «переходе» через корень Знак изменится на противоположный (т. е. следующий промежуток отметим знаком «–»);

Б) если – Четное число, то при «переходе» через корень Знак не изменится;

В) аналогично при «переходе» через остальные корни.

3. Необходимо нарисовать кривую знаков.

4. Штрихуют те промежутки, которые соответствуют смыслу неравенства.

5. Ответ записывают в виде промежутка, объединения промежутков (если их несколько) или множества из отдельных точек.

  • Метод интервалов – частный случай обобщенного метода интервалов.
  • Неравенство типа
  • (3.26)
  • Где – некоторые многочлены, называется Дробно-рациональным неравенством.

Его запись (3.26) называется Стандартным видом дробно-рационального неравенства.

  1. Основными методами решения данных неравенств являются:
  2. — метод интервалов (или обобщенный метод интервалов);
  3. — метод замены переменной.
  4. При решении строгих неравенств типа (3.26) вначале их записывают в виде
  5. А затем используют метод интервалов или обобщенный метод интервалов.
  6. Решение нестрогих неравенств
  7. Сводится к решению системы
  8. В любом случае, при изображении нулей знаменателя на числовой оси, точки, представляющие их, выкалываются.
  9. Неравенства вида называются Двойными неравенствами, они равносильны системе:
  10. Решением системы неравенств называют такие значения переменной, при которых Каждое из заданных неравенств обращается в верное числовое неравенство.
  11. При Решении совокупности неравенств полученные решения каждого неравенства объединяются.
  12. З а м е ч а н и е. Решать неравенство вида

По основному свойству пропорции нельзя, так как в общем случае выражения являются знакопеременными. Вначале их следует привести к стандартному виду (3.26).

  • Пример 1. Решить неравенство
  • Решение. Данное неравенство равносильно неравенству:
  • Преобразуем его разложив на множители:

Используем обобщенный метод интервалов (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Заметим, что – двукратный корень, при переходе через данное значение знак не меняется. Поскольку неравенство нестрогое, в качестве решения подходят также те значения, при которых многочлен обращается в 0, т. е.

  1. Получаем ответ
  2. Пример 2. Решить неравенство
  3. Решение. ОДЗ:
  4. С учетом ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:

Методом интервалов решаем последнее неравенство (рис. 3.5), учитывая ОДЗ.

Рис. 3.5

  • Получаем решение
  • Пример 3. Найти наибольшее решение системы неравенств
  • Решение. Заданная система равносильна системе:

Решением (рис. 3.6) является промежуток: Наибольшее значение на данном промежутке

Рис. 3.6

  1. Пример 4. Решить совокупность неравенств
  2. Решение. Решим каждое неравенство заданной совокупности отдельно:
  3. Приходим к неравенству

Используя метод интервалов (рис. 3.7), получаем

Рис. 3.7

Решаем второе неравенство заданной совокупности. Находим корни квадратного трехчлена, разлагаем на множители и получаем

Используя метод интервалов (рис. 3.8), имеем:

Рис. 3.8

Объединяя полученные решения двух неравенств совокупности (рис. 3.9), приходим к ответу:

Рис. 3.9

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/algebraicheskie-uravneniia-i-neravenstva-funktcii-logarifmy/23-algebraicheskie-neravenstva-s-odnoi-peremennoi

Презентация по математике "Числовые неравенства и их свойства" (8 класс)

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Презентация по математике «Числовые неравенства и их свойства» (8 класс)

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Свойства неравенств, с примерами

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Числовые неравенства Алгебра 8 класс Подготовила: учитель математики МКОУ Шунгенская СОШ Мозголина Н.В.

2 слайд Описание слайда:

1.Какое из чисел больше: положительное или отрицательное? 2. Как можно сравнить рациональные числа с помощью координатной прямой? 3. Какое из двух положительных чисел больше? 4. Какое из двух отрицательных чисел больше?

3 слайд Описание слайда:

Алгебраические выражения содержащие знак > или < называются числовыми неравенствами. 6 > — 8 12 < 25

4 слайд Описание слайда:

Число а меньше числа b, если их разность а — b – отрицательное число. а > в, если а — в > 0 а < в, если а – в < 0

5 слайд
6 слайд Описание слайда:

Неравенство Как читается 15 < 19 пятнадцать меньше девятнадцати b ≤100 b меньше или равно 100 a ≥ 27 a больше или равно 27 35< 48 тридцать пять меньше сорока восьми 7> — 24 семь больше минус двадцати четырех С ≤ 35 c меньше или равно тридцати пяти

7 слайд Описание слайда:

Неравенства содержащие два знака >, Описание слайда:

Если число а больше числа в, то число в меньше числа а. Если а > в, то в < а. Пример: 15,3 > 2,71, то 2,71 < 15,3 Если правую(левую) часть неравенства поменять местами с его левой( правой)частью, то знак неравенства изменится на противоположный.

9 слайд Описание слайда:

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и тоже число, то знак неравенства не изменится. Если а < в, то а+с < в+с, с-любое 8,9 >5,37, то 8,92 +10 > 5,37+10

10 слайд Описание слайда:

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный. 7,2+3 > 8,1 7,2 > 8,1-3 7,2 > 5,1

11 слайд Описание слайда:

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. -6,2 2,3 3,1* (-2) < 2,3*(-2) - 6,2 Описание слайда:

К обеим частям неравенства 15>9 прибавьте числа 3; — 5; — 3,3; 5,4. 18 > 12 10 > 4 11, 7 > 5,7 9,6 > 3,6

Читайте также:  Формулы периметра прямоугольника

16 слайд Описание слайда:

Умножьте обе части неравенства 12 > 5 на — 5; 6; — 2, 3. -60 < -25 72 > 30 -24 < -10 36 > 15

17 слайд Описание слайда:

Разделите обе части неравенства 4 < 12 на - 2; 0,5; - 0,2; 4 -2 > -6 8 < 24 -20 > -60 1 < 3

18 слайд Описание слайда:

Решаем вместе: № № 724,725(устно) №№728(а,б), 746, 751, 755

19 слайд Описание слайда:

Домашнее задание §10 п.28, 29. №№729, 750, 752, 764 (а, г)

Скрыть

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра «Инфоурок»?

Скрыть

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/prezentaciya-po-matematike-chislovie-neravenstva-i-ih-svoystva-klass-1837605.html

Линейные неравенства. Подробная теория с примерами

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

  • Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».
  • Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.
  • Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.
  • Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!

Что такое «линейные неравенства»?

Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).

Так вот, предположим, что у Васи больше, чем   яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?

  1. Если обозначить через   количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:
  2. Дальше мы делим обе части составленного неравенства на   и получаем:
  3. Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем   яблока.
  4. Ну вот и справились с неравенством!
  5. Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.
Линейные неравенства — это неравенства вида: где   и   – любые числа, причем  ;   — неизвестная переменная.

Например:

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.».

Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».

Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.

Правила преобразования неравенств

  • Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.
  • Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.
  • Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.

В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.

ПРАВИЛО 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
  1. Например,
  2. Таким образом, можно с уверенностью сказать, что   равносильно  .
  3. Или вот такой пример:
  4. В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:
  5. Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.
ПРАВИЛО 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.

В первом примере мы остановились на  . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число  :

Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.

Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на  . Разделим обе части неравенства на  :

Делили на положительное число  , поэтому знак неравенства сохранился.

Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства   сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.

ПРАВИЛО 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак   на знак  , и наоборот; знак   на знак  , и наоборот).

Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:

  • При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
  • При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
  • Например:
  • Делим на отрицательное число  , тогда знак неравенства меняется на противоположный:
  • Заметил, знак   (меньше) заменили на знак   (больше)?
  • Или вот такой пример:
  • Делим обе части на отрицательное число  , меняя при этом знак неравенства на противоположный:
  • Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах

Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.

Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.

  1. 1.  
  2. Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:
  3. А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:

Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число   включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:

Свойства неравенств, с примерами

  • Запишем ответ:  .
  • 2.  
  • Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:
  • Неравенство у нас нестрогое, поэтому число   включается в наш промежуток:

Свойства неравенств, с примерами

Ответ:  

3.  

Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»?

Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.

Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число  . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!

  1. Неравенство нестрогое, значит,   включается в наш промежуток.
  2. Ответ:  
  3. 4.  
  4. Проводим соответствующие преобразования:
  5. Делим обе части на отрицательное число  , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:
  6. Неравенство нестрогое, поэтому   — не включается в промежуток:

Свойства неравенств, с примерами

  • Ответ:  
  • 5.  
  • Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:
  • Ответ:  

Линейные неравенства с двумя переменными

В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства  .

Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид: где  ,   и   – любые числа,  .

А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная  .

Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел  , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).

  1. Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.
  2. Давай разберем вот такой пример:
  3. Решение:
  4. Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.

Построим график уравнения  . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.

Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру,   и  . Вот, что у меня получилось:

Свойства неравенств, с примерами

Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:

Свойства неравенств, с примерами

Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.

Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак  , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:

Свойства неравенств, с примерами

Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты   и   любой точки из закрашенной области – решения неравенства.

Линейные неравенства. коротко о главном

  • Линейными неравенствами называются неравенства вида:
  • где   и   – любые числа, причем  ;   — неизвестная переменная.
  • Правила преобразования неравенств:

Правило 1.

 Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак   на знак  , и наоборот; знак  на знак  , и наоборот).

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/linejnye-neravenstva-1

Решение линейных неравенств

Решение линейных неравенств Как записать ответ неравенства

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ Название Тип знака
> больше строгий знак (число на границе не включается)
< меньше строгий знак (число на границе не включается)
больше или равно нестрогий знак (число на границе включается)
меньше или равно нестрогий знак(число на границе включается)

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно «=» используют любой знак сравнения: «>», « 0

  • Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.
  • 2x − 16 > 0 2x > 16
  • Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

    Запомните!

    При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

    • Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то знак самого неравенства остаётся прежним.
    • Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то знак самого неравенства меняется на противоположный.

    Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

              2x > 16     | (:2) 2x (:2) > 16 (:2)       x > 8         Свойства неравенств, с примерами Ответ: x > 8

    • Рассмотрим другое неравенство.
    • 9 − 3x > 0
    • Используем правило переноса.
    • 9 − 3x > 0 −3x > −9

    Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

    −3x ≥ −9                    −3x ≥ −9      | :(−3) −3x : (−3) ≤ −9 :(−3) x ≤ 3 Свойства неравенств, с примерами Ответ: x ≤ 3

    Примеры решения линейных неравенств

    • 4(x − 1) ≥ 5 + x 4x − 4 ≥ 5 + x 4x − x ≥ 5 + 4        3x ≥ 9       | (:3) 3x (:3) ≥ 9 (:3) x ≥ 3 Свойства неравенств, с примерами Ответ: x ≥ 3
    • x + 2 < 3(x + 2) − 4 x + 2 < 3x + 6 − 4 x − 3x < 6 − 4 − 2 −2x < 6 − 6−2x 0 : (−2) x > 0 Ответ: x > 0

    Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/inequalities/solution_linear_inequality.php

    Свойства числовых неравенств

    На этом уроке мы рассмотрим свойства числовых неравенств, которые обычно называют основными, т.к. они часто используются при доказательстве других свойств неравенств и при решении многих задач.

    Для начала нужно вспомнить определение неравенств:

    Число  больше числа , если разность положительное число.

    Свойства неравенств, с примерами

    Число ???? меньше числа ????, если разность  – отрицательное число.

    Свойства неравенств, с примерами

    Итак, приступим к изучению свойств числовых неравенств.

    Основные свойства числовых неравенств отражаются в следующих теоремах.

    Теорема 1: Если , то . Если , то .

    Доказательство:

    Соотношение означает, что . Тогда .

    Т.к.  .

    Соотношение означает, что . Тогда .

    Т.к.  .

    • Теорема 2: Если  и , то .
    • Доказательство:
    • Так как и , то  и .
    • Тогда .
    • Если  и , то .
    • Теорема 3: Если  и  – любое число, то .
    • Доказательство:

    Т.к. , то .

    1. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.
    Читайте также:  Физические и химические свойства солей

    Теорема 4: Если  и  – положительное число, то . Если  и  – отрицательное число, то .

    Доказательство:

    Т.к. , то .

    • Если , то  
    • Если , то
    • Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
    • Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
    • Следствие: Если  – положительные числа и , то .
    • Доказательство:
    • Разделим обе части неравенства  на .
    • Задание: сравнить значения выражений  и , зная, что  – верное числовое неравенство.
    • Итоги:

    Теорема 1: Если ????>????, то ????

    Источник: https://videouroki.net/video/27-svoistva-chislovykh-nieravienstv.html

    Основные виды неравенств и их свойства

    Свойства неравенств, с примерами

    Представлены основные виды неравенств, включая неравенства Бернулли, Коши — Буняковского, Минковского, Чебышева. Рассмотрены свойства неравенств и действия над ними. Даны основные методы решения неравенств.

    Универсальные неравенства выполняются при любых значениях входящих в них величин. Ниже перечислены основные виды универсальных неравенств.

    1)   | a ± b | ≤ |a| + |b|;   | a1 ± a2 ± … ± an | ≤ |a1| + |a2| + … + |an|. Доказательство. .

    2)   |a| + |b| ≥ | a – b | ≥ | |a| – |b| |. Доказательство. Первое неравенство доказано в пункте 1). Доказываем второе. .

    3)   Равенство имеет место только при a1 = a2 = … = an.

    Доказательство. Докажем, что , где . При имеем: . Применяем метод индукции. Пусть . Тогда .

    4)   Неравенство Коши — Буняковского Равенство имеет место тогда и только тогда, когда α ak = β bk для всех k = 1, 2, …, n и некоторых α, β, |α| + |β| > 0.

    5)   Неравенство Минковского, при p ≥ 1

    Формулы выполнимых неравенств

    • Выполнимые неравенства выполняются при определенных значениях входящих в них величин.
    • 1)   Неравенство Бернулли: ; . В более общем виде:
    • ,

    где , числа одного знака и больше, чем –1: . Лемма Бернулли: . См. «Доказательства неравенств и леммы Бернулли».

    2)   при ai ≥ 0 (i = 1, 2, …, n).

    3)   Неравенство Чебышева при 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и 0 < b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn . При 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn > 0 .

    4)   Обобщенные неравенства Чебышева при 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и 0 < b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn и k натуральном . При 0 < a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an и b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn > 0 .

    Свойства неравенств

    Свойства неравенств — это набор тех правил, которые выполняются при их преобразовании. Ниже представлены свойства неравенств. Подразумевается, что исходные неравенства выполняются при значениях xi (i = 1, 2, 3, 4), принадлежащих некоторому, заранее определенному, интервалу.

    1)   При изменении порядка следования сторон, знак неравенства меняется на противоположный. Если x1 < x2, то x2 > x1. Если x1 ≤ x2, то x2 ≥ x1. Если x1 ≥ x2, то x2 ≤ x1. Если x1 > x2, то x2 < x1.

    2)   Одно равенство эквивалентно двум нестрогим неравенствам разного знака. Если x1 = x2, то x1 ≤ x2 и x1 ≥ x2. Если x1 ≤ x2 и x1 ≥ x2, то x1 = x2.

    3)   Свойство транзитивности Если x1 < x2 и x2 < x3, то x1 < x3. Если x1 < x2 и x2 ≤ x3, то x1 < x3. Если x1 ≤ x2 и x2 < x3, то x1 < x3. Если x1 ≤ x2 и x2 ≤ x3, то x1 ≤ x3.

    4)   К обеим частям неравенства можно прибавить (вычесть) одно и то же число. Если x1 < x2, то x1 + A < x2 + A. Если x1 ≤ x2, то x1 + A ≤ x2 + A. Если x1 ≥ x2, то x1 + A ≥ x2 + A. Если x1 > x2, то x1 + A > x2 + A.

    5)   Если есть два или более неравенств со знаком одного направления, то их левые и правые части можно сложить. Если x1 < x2, x3 < x4, то x1 + x3 < x2 + x4. Если x1 < x2, x3 ≤ x4, то x1 + x3 < x2 + x4. Если x1 ≤ x2, x3 < x4, то x1 + x3 < x2 + x4. Если x1 ≤ x2, x3 ≤ x4, то x1 + x3 ≤ x2 + x4. Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.

    Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при сложении получается строгое неравенство.

    6)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на положительное число. Если x1 < x2 и A > 0, то A · x1 < A · x2. Если x1 ≤ x2 и A > 0, то A · x1 ≤ A · x2. Если x1 ≥ x2 и A > 0, то A · x1 ≥ A · x2. Если x1 > x2 и A > 0, то A · x1 > A · x2.

    7)   Обе части неравенства можно умножить (разделить) на отрицательное число. При этом знак неравенства изменится на противоположный. Если x1 < x2 и A < 0, то A · x1 > A · x2. Если x1 ≤ x2 и A < 0, то A · x1 ≥ A · x2. Если x1 ≥ x2 и A < 0, то A · x1 ≤ A · x2. Если x1 > x2 и A < 0, то A · x1 < A · x2.

    8)   Если есть два или более неравенств с положительными членами, со знаком одного направления, то их левые и правые части можно умножить друг на друга. Если x1 < x2, x3 < x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4.

    Если x1 < x2, x3 ≤ x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4. Если x1 ≤ x2, x3 < x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 < x2 · x4. Если x1 ≤ x2, x3 ≤ x4, x1, x2, x3, x4 > 0 то x1 · x3 ≤ x2 · x4.

    Аналогичные выражения имеют место для знаков ≥, >.

    Если в исходных неравенствах имеются знаки не строгих неравенств и хотя бы одно строгое неравенство ( но все знаки имеют одинаковое направление ), то при умножении получается строгое неравенство.

    9)   Пусть f(x) — монотонно возрастающая функция. То есть при любых x1 > x2, f(x1) > f(x2). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства не изменится. Если x1 < x2, то f(x1) < f(x2). Если x1 ≤ x2, то f(x1) ≤ f(x2). Если x1 ≥ x2, то f(x1) ≥ f(x2). Если x1 > x2, то f(x1) > f(x2).

    10)   Пусть f(x) — монотонно убывающая функция, То есть при любых x1 > x2, f(x1) < f(x2). Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный. Если x1 < x2, то f(x1) > f(x2). Если x1 ≤ x2, то f(x1) ≥ f(x2). Если x1 ≥ x2, то f(x1) ≤ f(x2). Если x1 > x2, то f(x1) < f(x2).

    Методы решения неравенств

    Решение неравенств методом интервалов

    Метод интервалов применим, если в неравенство входит одна переменная, которую обозначим как x, и оно имеет вид: f(x) > 0 где f(x) — непрерывная функция, имеющая конечное число точек разрывов. Знак неравенства может быть любым: >, ≥, 0, то выбираем интервалы с знаком „+“.

    Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы. Если неравенство имеет вид: f(x) ≥ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0. То есть часть интервалов, возможно, будут иметь закрытые границы (граница принадлежит интервалу).

    другая часть может иметь открытые границы (граница не принадлежит интервалу). Аналогично, если неравенство имеет вид: f(x) < 0, то выбираем интервалы с знаком „–“. Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.

    Если неравенство имеет вид: f(x) ≤ 0, то к решению добавляем точки, в которых f(x) = 0.

    Решение неравенств, применяя их свойства

    Этот метод применим для неравенств любой сложности. Он состоит в том, чтобы, применяя свойства (представленные выше), привести неравенства к более простому виду и получить решение. Вполне возможно, что при этом получится не одно, а система неравенств. Это универсальный метод. Он применим для любых неравенств.

    Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

    Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/neravenstva/

    Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

    В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

    Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

    Общи сведения о неравенствах

    Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, , . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
    Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя — тройными и т.д. Например:
    a(x) > b(x),
    a(x) < b(x),

    a(x) b(x).
    a(x) < c(x) < b(x) - двойное неравенство. Неравенства, содержащие знак > или < , называются строгими, а неравенства, содержащие

    или — нестрогими.

    Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
    «Решить неравенство» означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств. Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
    Свойства неравенств, с примерами +
    Ответ будет следующим: x (3; +).
    Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
    Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
    x 2
    — +
    Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.

    Ответ будет следующим: x [2; +).

    Свойства неравенств

    Выделяют три основных свойства неравенств:

    1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.
    2. Пример: Зх + 5 > х2 равносильно Зх — х2 + 5 > 0, при этом x2 был перенесен с противоположным знаком.

    3. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.
    4. Пример:
      9х — 3 > 12х2 равносильно 3х — 1 > 4х2, при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

    5. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.
    6. Пример: -2х2 — Зх + 1 < 0 равносильно 2х2 + Зх - 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

    Решение систем неравенств

    Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом: Пример.

    • Требуется решить следующую систему неравенств
    • Решение:
    • Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: x (1; +).

    Решение линейных неравенств

    Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
    Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .

    Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
    Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е.

    неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и a0
    Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x2 < m и x2 > m
    Множество решений неравенства x2 < m:

    1. при m< 0 нет чисел, которые в квадрате дают отрицательное число (т.е. нет решений)
    2. при m>0 x (-; ), т.е. — < x < или m:

      1. при mR (т.е. x — любое действительное число);
      2. при m>0 x (-; — ) (; +), т.е. — < x < - и < x < + или > .
      1. Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
        ax2 + bx + c > 0
        в неравенство
      2. (x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

      Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

      Решение неравенств методом интервалов

      Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 (,) свести к решению уравнения h(x) = 0.
      Данный метод заключается в следующем:

      1. Находится ОДЗ неравенства.
      2. Неравенство приводится к виду h(x) > 0(

      Источник: https://reshit.ru/Reshenie-neravenstv

    Ссылка на основную публикацию