Свойства окружности описанной около треугольника

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности, при этом многоугольник называется вписанным в окружность (см. рис. 2).

Вся теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра (см. рис. 1).  – серединный перпендикуляр.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр

Теорема: серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Т.е. центр окружности, описанной около отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда все его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Рис. 2. Вписанный многоугольник

В данном случае , , ,  – четыре серединных перпендикуляра четырехугольника, должны пересечься в одной точке, точке , тогда около этого многоугольника можно описать окружность (см. рис. 2).

Не каждый многоугольник обладает таким свойством, любой треугольник этим свойством обладает.

Теорема 1: около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство: дан треугольник . Его серединные перпендикуляры , , . Серединный перпендикуляр  пересечется с серединным перпендикуляром  в некоторой точке  (см. рис. 3).

Рис. 3. Окружность, описанная вокруг треугольника

Они пересекутся, т.к.  перпендикулярен к  по определению,  перпендикулярен к , но не перпендикулярен к , так как в таком случае будет две прямые перпендикулярные к , что невозможно, значит,  и  не параллельны и обязательно пересекутся (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Рассмотрим свойства точки . Точка  принадлежит перпендикуляру , а значит, она равноудалена от его концов, , точка  лежит на втором серединном перпендикуляре , значит, она равноудалена от точек  и , .

Выясняется, что точка  равноудалена от всех трех вершин треугольника. Обозначим это расстояние за .

Точка  равноудалена от точек  и , значит, она лежит на серединном перпендикуляре  к отрезку .

Три серединных перпендикуляра пересекаются в точке .

Окружность с центром в точке  и радиусом  описана около данного треугольника.

Мы доказали, что вокруг треугольника можно описать окружность..

Давайте определим, единственная эта окружность или нет. Пусть существует другая описанная окружность с центром  и радиусом . .

Центр этой окружности, точка , должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Значит, она должна совпадать с точкой . .

Точка  должна быть удалена от точек , ,  на одинаковое расстояние, и совпадать с точкой , значит, . Таким образом, окружности совпадают.

Итак, мы доказали, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Есть параллелограмм . Около него нельзя описать окружность.

Серединные перпендикуляры  и  параллельны, они не имеют общих точек, иначе это был бы прямоугольник (см. рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Около прямоугольника можно описать окружность, и даже можно найти центр этой окружности.

Пусть  – прямоугольник. Мы знаем, что диагонали прямоугольника равны между собой, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка  равноудалена от всех вершин этого прямоугольника.  является радиусом этой окружности.  (см. рис. 6)

Рис. 6. Окружность, описанная около прямоугольника

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Допустим, есть трапеция , в которой бедра равны: .

Рис. 7. Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

Итак, мы видим, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность. Подмечаем, что сумма противоположных углов в таких четырехугольниках равна 180 градусам. Это очень важное замечание: . Оказывается, это свойство любого выпуклого четырехугольника.

• Пока мы ограничимся рассмотрением только выпуклых четырехугольников и для таких четырехугольников докажем теорему.
• Теорема 2: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Доказательство: пусть ,  (см. рис. 8). Используем теорему о вписанном в окружность угле, тогда дуга .

Дуга . В сумме они составляют всю окружность, а значит, . Делим на два и получаем: .

Еще раз повторим ход доказательства, он прост. Если угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2. Если вписанный в окружность угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2.

Справедлива обратная теорема: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Дано: .

Доказательство: опишем окружность около трех точек, например, , , . . Докажем, что точка  тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное, пусть точка  не лежит на окружности, а она лежит внутри круга, тогда продлим отрезки  и  и получим точки  и , которые лежат на окружности (cм. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Используем теорему о внутреннем угла окружности. А она говорит, что внутренний угол окружности измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается. Дан угол , который опирается на дугу  (см. рис. 10), пусть он измеряется в .

1. Угол  опирается на дугу , который измеряется в : .
2. Доказано, что .

Рис. 10. Иллюстрация к доказательству

Почему? Достаточно всего лишь провести отрезок , чтобы получить требуемое (cм. рис. 10).

По теореме о вписанном угле, .

Для треугольника , угол  – внешний, а внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Т.е. , что и говорилось.

• Вернемся к рисунку 9: точка  – внутренняя точка круга, значит,  равен половине дуг, на которые он опирается.
• Мы видим, что угол  больше, чем половина дуги .
• Угол  равен половине оставшейся дуги .
• Сложение этих углов дает: .

А так как дуги  и  в сумме составляют всю окружность, то . Значит, .

Противоречие, по условию, сумма противоположных углов равна 180 градусов. А значит, точка  не может находиться внутри окружности.

Аналогично доказывается, что точка  не может находиться вне окружности.

Задание

Докажите самостоятельно, что точка  не может находиться вне окружности. При этом используйте свойство внешнего угла окружности, он измеряется полуразностью дуг, на которые опирается. Сравните ваше доказательство с доказательством, которое будет приведено ниже в разделе: «Точка  вне окружности».

Итак, мы доказали, что точка  не может находиться внутри окружности, не может находиться вне окружности, точка  находится на окружности. Около четырехугольника можно описать окружность. Теорема доказана.

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

1. Дано:
2. ;
3. Найти: .
4. Решение
5. Сумма углов  и  равна 180 градусов, значит, по предыдущей теореме, около этого четырехугольника можно описать окружность.
6. Угол  равен 90 градусам и является вписанным, значит,  – диаметр и равен двум радиусам.
7. Ответ: .

В треугольнике  медиана  равняется половине стороны . Длина медианы  равна 1. Найти радиус описанной окружности (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

• Дано: ;  – середина
• Найти: .
• Решение

Докажем, что угол  равен 90 градусов. Есть три равных отрезка .

 обозначим , значит,  тоже .  обозначим , значит,  тоже .

Сумма всех углов – 180 градусов, значит, .

Углы  и  составляют угол , значит, он равен 90 градусов. Таким образом, мы выяснили, что наш треугольник – прямоугольный.

Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, т.е. в точке . Значит, радиус равен .

1. Ответ: .

Мы выяснили, что такое описанная около многоугольника окружность. Установили, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Выяснили, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Точка С вне окружности

Мы доказываем теорему: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Мы провели окружность через три точки , ,  и доказали, что четвертая вершина  не может находиться внутри круга.

Теперь докажем, что точка  не может находиться вне круга (см. рис. 13).

Рис. 13. Доказательство о сумме противоположных углов вписанного выпуклого четырехугольника (точка  вне круга)

Сначала вспомним свойство внешнего угла окружности: есть окружность, точка  вне окружности, проведены две секущие.

Получили угол , он опирается на дугу , на дугу  (см. рис. 14).

Рис. 14. Свойство внешнего угла окружности

• Дано:
• ,
• Доказать: .
• Доказательство

Доказательство очевидно после единственного дополнительного построения, а именно: проведем . И тогда имеем вписанный угол с вершиной , он опирается на дугу в  градусов, значит, его величина – .

1.  (по свойству вписанного угла окружности)
2. Имеем вписанный угол , он опирается на дугу в , значит, его величина равняется .
3.  (по свойству вписанного угла окружности)

Из : . То есть , откуда . Что и требовалось доказать.

Вернемся к рисунку 13: пусть  лежит вне окружности (, , ), тогда .

Но угол  равен половине дуги : . Складываем полученные неравенства: . Т.к. сумма этих дуг составляет 360 градусов, значит, . А это противоречит условию .

Итак, мы доказали, что точка  не может находиться вне окружности (, , ).

Если точка  не может находиться внутри окружности и не может находиться вне окружности, значит, она находится на окружности. Что и требовалось доказать.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет
2. Nsportal.ru (Источник).
3. Urokimatematiki.ru (Источник).
4. Festival.1september.ru (Источник).

Домашнее задание

1. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.
3. Пусть  – центр круга, описанного около треугольника . Найдите угол , если: а) ; б) .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/okruzhnost/opisannaya-okruzhnost?book_id=23

Треугольники, виды и свойства / math4school.ru

• Основные свойства
• Равенство треугольников
• Подобие треугольников
• Медианы треугольника
• Биссектрисы треугольника
• Высоты треугольника
• Серединные перпендикуляры
• Окружность, вписанная в треугольник
• Окружность, описанная около треугольника
• Расположение центра описанной окружности
• Равнобедренный треугольник
• Равносторонний треугольник
• Прямоугольный треугольник
• Вневписанные окружности
• Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде 

	Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины. Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°: Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного: Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
	Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:
	Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны: У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
	Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно  двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:
Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия: Два треугольника подобны, если: Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны. Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны: Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:
Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:
Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины: Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам: Длина биссектрисы угла А:
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны. Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. BL – биссектриса угла В; ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК:
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам: Длина высоты, проведённой к стороне а:
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней. Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков: Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Радиус описанной окружности:
Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.	Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.	Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠A = ∠C. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.
Основные формулы для равнобедренного треугольника:
Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают. Все углы равностороннего треугольника равны: ∠A = ∠В = ∠C = 60°.
Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:
Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой. Прямоугольные треугольники равны если у них равны: два катета; катет и гипотенуза; катет и прилежащий острый угол; катет и противолежащий острый угол; гипотенуза и острый угол. Подобие прямоугольных треугольников устанавливают по: одному острому углу; из пропорциональности двух катетов; из пропорциональности катета и гипотенузы. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу: Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному: Площадь прямоугольного треугольника можно определить через катеты: через катет и острый угол: через гипотенузу и острый угол:
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Радиус описанной окружности:
Радиус вписанной окружности:
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Так точка О1, центр одной из вневписанных окружностей ΔABC, лежит на пересечении биссектрисы ∠A треугольника ABC и биссектрис BО1 и CО1 внешних углов ΔABC при вершинах B и C. Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей. ΔABC является ортоцентричным в ΔО1О2О3 (точки A, B и C – основания высот в ΔО1О2О3). В ΔО1О2О3 углы равны 90°–½A, 90°–½B, 90°–½C. В ΔABC углы равны 180°–2О1, 180°–2О2, 180°–2О3. Радиус окружности, описанной около ΔО1О2О3, равен 2R, где R – радиус окружности, описанной около ΔABC. ΔABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в ΔО1О2О3. Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в ΔABC, то в ΔABC верно: для r – для R –  для S – для самих ra , rb , rс –
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: или  Следствие 1: если c2 > a2+b2, то угол γ – тупой (cos γ < 0); если c2 < a2+b2, то угол γ – острый (cos γ > 0); если c2 = a2+b2, то угол γ – прямой (cos γ = 0). Следствие 2: Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности: Теорема тангенсов (формула Региомонтана): Формулы Мольвейде:

Источник: http://math4school.ru/treugolniki.html

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника.

Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности.

На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

• Дано: произвольный АВС.
• Доказать: около АВС можно описать окружность.
• Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности.

Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника.

Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис.

3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е.

нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 3600, т.е. АDС + АВС = 3600, тогда В + D = 3600 = 1800. Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

Доказательство

1. Дано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 1800.
2. Доказать: около АВСD можно описать окружность.

3. Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е.

является описанной около четырехугольника АВСD.

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE.   (1)

Углы ВFD и FDE — вписанные.

По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE= ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD.

BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).

Итак, мы получили, что BАD + BСD1800. Но это противоречит условию BАD + BСD =1800, и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

• По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 1800, откуда С = 1800 — ( В + F).   (2)
• В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF.   (3)
• F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 1800, откуда F = 1800 — ВFD = 1800 — ВАD.  (4)
• Подставим (3) и (4) в (2), получим:
• С = 1800 — (ЕF + 1800 — ВАD) = 1800 — ЕF — 1800 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD.

А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD).

Но это противоречит условию А + С =1800, и, значит, наше предположение ошибочно, т.е.

точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3523

Описанная окружность — это… Что такое Описанная окружность?

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства

• Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
• Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника

Окружность, описанная около треугольника

• Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

• У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

• 

• 

• 

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

• 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

 — стороны треугольника,
 — угол, лежащий против стороны ,
 — площадь треугольника.
 — полупериметр треугольника.

Положение центра описанной окружности

Пусть радиус-векторы вершин треугольника,  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

При этом — длины сторон треугольника, противоположных вершинам .

Уравнение описанной окружности

Пусть координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,  — координаты центра описанной окружности. Тогда

Для точек , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.

• Теорема о трезубце: Если  — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью, а  — центр вписанной окружности то .
• Формула Эйлера: Если  — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны и соответственно, то .

Для четырехугольника

• Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.
• Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).
• Можно описать окружность около:
• У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[1]

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Для многоугольника

• Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

• Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она проектируется в центр окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

• Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[2] описанной окружности будет равен[3]:78,83

• Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[3]:21-22.

См. также

• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Теорема Султановского

Примечания

1. ↑ Теорема Птолемея
2. ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
3. ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/12203

Треугольник и окружность — урок. Геометрия, 8 класс

Page 2

1.	Треугольники, вписанные в окружность Сложность: лёгкое
2.	Треугольник, описанный около окружности Сложность: лёгкое
3.	Четырёхугольник, описанный около окружности Сложность: лёгкое
4.	Треугольник, вписанный в окружность Сложность: среднее
5.	Диаметр окружности, который является стороной вписанного треугольника Сложность: среднее
6.	Углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность Сложность: среднее
7.	Стороны прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, радиус окружности Сложность: среднее
8.	Углы треугольника, описанного около окружности Сложность: среднее
9.	Треугольник, описанный около окружности, центральные углы Сложность: среднее
10.	Углы прямоугольного треугольника, описанного около окружности, центральные углы Сложность: среднее
11.	Углы треугольника, описанного около окружности, даны градусные меры дуг Сложность: среднее
12.	Медиана в прямоугольном треугольнике Сложность: среднее
13.	Окружность, описанная и вписанная в прямоугольный треугольник Сложность: среднее
14.	Окружность, описанная и вписанная в треугольник Сложность: среднее
15.	Углы трапеции, вписанной в окружность Сложность: лёгкое
16.	Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, градусные меры дуг Сложность: среднее
17.	Площадь трапеции, вписанной в окружность Сложность: среднее
18.	Сторона и тупой угол ромба, описанного около окружности Сложность: среднее
19.	Радиус окружности, вписанной в трапецию Сложность: среднее
20.	Сторона трапеции, описанной около окружности Сложность: среднее
21.	Площадь трапеции, описанной около окружности Сложность: среднее
22.	Окружность и равнобедренный треугольник Сложность: среднее
23.	Площадь ромба, описанного около окружности Сложность: сложное
24.	Радиус и площадь круга, вписанного в ромб Сложность: сложное
25.	Вопросы по треугольникам и окружностям Сложность: сложное

Page 3

Page 4

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/vpisannaia-i-opisannaia-okruzhnosti-9244/re-44ec2b8e-dc52-456f-a0dc-69a012de326f

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник- описанным около этой окружности. 

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром вписанной окружности (точка $О$) является точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

$OD$ – это радиус $(r)$ вписанной окружности

$r={2S_{ABC}}/{a+b+c}$ 

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам 

• В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.
• $r={h}/{3}$
• В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
• $r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ катет и гипотенуза соответственно равны $8$ и $10$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. Решение:
2. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:
3. $r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
4. Нам неизвестен один из катетов, найдем его по теореме Пифагора:
5. $a^2+b^2=c^2$
6. $8^2+b^2=10^2$
7. $64+b^2=100$
8. $b^2=100-64$
9. $b^2=36$
10. $b=6$
11. Теперь подставим все величины в формулу нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
12. $r={6+8-10}/{2}={4}/{2}=2$
13. Ответ: $2$

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. 

$АВ+CD=BC+AD$

В трапеции и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, радиус вписанной окружности равен половине высоты. 

$r={h}/{2}$

В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны. 

• $r={a}/{2}$
• Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.
• $S={P∙r}/{2}$
• Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $(О)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1. $ОА$ — радиус описанной окружности $(R)$
2. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.
3. $R={2h}/{3}$
4. Центр описанной окружности может находиться в различных положениях относительно треугольника:

1. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

2. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

• $R={c}/{2}$
• Радиус описанной окружности можно найти как:
• $R={a}/{2sin⁡A}={b}/{2sin⁡B}={c}/{2sin⁡C};$
• $R={a∙b∙c}/{4S}$, где $S$ — это площадь заданного треугольника.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность. 

1. $∠В+∠D=180°$
2. $∠A+∠C=180°$
3. В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.
4. $R={d}/{2}$
5. Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
6. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
7. Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:
8. $АВ=an$ — сторона правильного многоугольника
9. $R$ — радиус описанной окружности
10. $r$ — радиус вписанной окружности
11. $n$ — количество сторон и углов
12. $a_n=2∙R∙sin{180°}/{n};$
13. $r=R∙cos{180°}/{n};$
14. $a_n=2∙r∙tg{180°}/{n}.$
15. Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается 

$∠B={∪AmC}/{2}$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него.

$∠B={∪BmC}/{2}$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/vpisannaya_opisannaya_okrugnost_zadanie7