Дифференциал неявной функции, теория и примеры

Содержание

Теорема 1.

Пусть:

2) Для выполнено условие (т. е. на верхней и нижней стороне прямоугольника функция принимает значения различных знаков).

Тогда существует единственная функция неявная функция , определяемая условием (1) () , непрерывная на интервале.
Неявная функция наглядно показывается пересечением поверхности и плоскости
Теорема 2.
Пусть:
1) функция дифференцируема в некоторой окрестности точки
.
2) Пусть частная производная — непрерывная в точке .
3) Пусть, .
(угадали “одну точку из решения”).

При этом производная неявной функции вычисляется по следующей формуле:

Точка принадлежит графику функции и производная не равна нулю.
Замечание (о порядке вычисления производной):
В формуле (3) сначала формально вычисляются производные , и лишь затем подставляется .
Пример 1

Доказать, что и найти ,

Докажем, что существует (предполагаем, что ).

Отсюда следует, что по теореме 1 существует единственная неявная функция.
В контексте теоремы 1 прямоугольник превращается в бесконечную плоскость.
Очевидно, что является дифференцируемой на всей области определения.
Так как — непрерывная функция и если , то

, т. е. выполнены условия теоремы 2.

из этого следует
Полученное соотношение позволяет вычислять значение производной в данной точке по уже известному значению самой функции в данной точке.
Формулы для вычисления производной в данной точке позволяют только (но и это не мало) по указанному значению функции в данной точке посчитать значения производных разных порядков в данной точке.
Руководство:
Вторая производная от неявной функции вычисляется как производная от первой производной.
При условии, что вычисляется на неявной функции.
В результате производная любого порядка должна зависеть только от значения в точке.
Пример 2
Найти
(1)
Два способа :
1 – стандартный способ (смотри предыдущий пример)
2 – существует неявная функция в выражении (1); тогда (1) превращается в тождество и его можно дифференцировать по X:
(2)
Если то
Для нахождения второй производной, еще раз продифференцируем соотношение (2):
учитывая, что получим
.
Можно восстановить функцию по формуле Тейлора, зная

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lektcii-po-matematicheskomu-analizu-popov-2-sem/2-2-teorema-o-sushchestvovanii-i-differentciruemosti-neiavnoi-funktcii-i-nekotorye-ee-primeneniia

Производная функции, заданной неявно

Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения (1) . И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем . Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле: (2) .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной : . Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения (3) : . Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то (4) ; .

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения: (4) . При этом и являются сложными функциями от переменной : ; . Зависимость определяет уравнение (1): (1) .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4). По формуле производной сложной функции имеем: ; . По формуле производной произведения: . По формуле производной суммы: .

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то (5) . Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка : . Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением: (П1) .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2): (2) .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид . . Отсюда .

Находим производную по , считая постоянной. ; ; ; .

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной. ; ; ; .

По формуле (2) находим: .

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим : . Умножим числитель и знаменатель на : .

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции: . Применяем формулу производной дроби: ; . Применяем формулу производной сложной функции: . Дифференцируем исходное уравнение (П1).

(П1) ;

; . Умножаем на и группируем члены. ; .

Подставим (из уравнения (П1)): . Умножим на : .

Ответ

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П2.1) .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от : ; . Применяем формулу производной сложной функции.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1): ; . Из исходного уравнения (П2.1) следует, что . Подставим : . Раскрываем скобки и группируем члены:

;

(П2.2) . Находим производную первого порядка:

(П2.3) .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2). ; ; ; . Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):

Умножим на : ; . Отсюда находим производную второго порядка.

Ответ

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения: (П3.1) .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от . ; ; ; ; ; ; (П3.2) ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной . ; ; ; ; ; (П3.3) .

Дифференцируем уравнение (П3.3). ; ; ; ; ; (П3.4) .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при . ; ; .

Ответ

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/neyavnoy-funktsii/

Производная неявной функции

Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:

Дифференцированием обеих частей уравнения
С помощью использования готовой формулы $ y' = — frac{F'_x}{F'_y} $

Как найти?

Способ 1

Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $.

Стоит обратить внимание, что производная $ y' $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)'_x = 2yy' $.

После нахождения производной необходимо выразить $ y' $ из полученного уравнения и разместить $ y' $ в левой части.

Способ 2

Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.

Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.

Примеры решений

Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.

Пример 1

Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y — 1 $

Решение

Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения:
$$ (3x^2y^2 -5x)'_x = (3y — 1)'_x $$
Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций:
$$ (3x^2)'_x y^2 + 3x^2 (y^2)'_x — (5x)'_x = (3y)'_x — (1)'_x $$
$$ 6x y^2 + 3x^2 2yy' — 5 = 3y' $$
Далее выражаем y' из уравнения:
$$ 6x y^2 — 5 = 3y' — 6x^2 yy' $$
$$ 6x y^2 — 5 = y'(3-6x^2 y) $$
$$ y' = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y' = frac{6x y^2 — 5}{3 — 6x^2y } $$

Пример 2

Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $

Решение

Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $
Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $:
$$ F'_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} cdot 7 — 20x^4 $$
$$ F'_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4 $$
Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $:
$$ F'_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} cdot (-4) — 8y^3 $$
$$ F'_y = 15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3 $$
Подставляем теперь в формулу $ y' = -frac{F'_y}{F'_x} $ и получаем:
$$ y' = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$

Ответ

$$ y' = -frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} — 20x^4}{15x^4 y^4 — 4e^{7x-4y} — 8y^3} $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/proizvodnaya-neyavnoj-funkcii.html

Дифференцирование неявной функции

F(x,y,
f (х, у)) ==0
(yсчитаем постоянным)
F(x,y,
f (х, у)) ==0
(xсчитаем постоянным)
Откуда и
Пример: Найти частные производные
функцииZзаданной
уравнением.
Здесь F(x,y,z)=;
;
;
.
По формулам приведенным выше имеем:
и

Пусть функция двух переменных Z= f(x;
у) задана в некоторой окрестности т. М
(x,y).
Рассмотрим некоторое направление,
определяемое единичным вектором,
где

iHFM/img-xq7tTg.png» width=»118″>
(см. рис.).

На прямой, проходящей по этому направлению
через т. М возьмем т. М1()
так, что длинаотрезкаMM1 равна
.

Приращение функцииf(M)
определяется соотношением,
гдесвязаны соотношениями.
Предел отношения

png» width=»33″>прибудет называться производной функциив точкепо направлению

png» width=»17″>и обозначаться.

=
Если функция Zдифференцируема
в точке,
то ее приращение в этой точке с учетом
соотношений дляможет быть записано в следующей форме.
поделив обе части на

Рассмотрим функцию трех переменных дифференцируемой в некоторой точке.

Градиентом этой функции в точке М называется вектор, координаты
которого равны соответственно частным
производнымв этой точке.

Для обозначения градиента
используют символ.=

png» width=»92″>.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (),
то производная по направлению для случая
функции трех переменных записывается
в виде

png» width=»304″>,
т.е.имеет формулу скалярного произведения
векторови.

Перепишем последнюю формулу в следующем
виде:

,
где- угол между вектороми

png» width=»48″>.
Поскольку,
то отсюда следует, что производная
функции по направлению принимаетmaxзначение при=0,
т.е.

когда направление векторовисовпадают. При этом.Т.е.

,
на самом деле градиент функции
характеризует направление и величину
максимальной скорости возрастания этой
функции в точке.

Понятия max,min,
экстремума функции двух переменных
аналогичны соответствующим понятиям
функции одной переменной. Пусть функция
Z= f(x; у) определена в
некоторой областиDи т.
Мпринадлежит к этой области.

Точка Мназывается точкойmaxфункции Z= f(x; у), если
существует такая δ-окрестность точки

png» width=»60″>,
что для каждой точки из этой окрестности
выполняется неравенство.
Аналогичным образом определяется и
точкаmin, только знак
неравенства при этом изменится

png» width=»128″>.
Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом
(минимумом). Максимум и минимум функции
называются экстремумами.

Теорема:(Необходимые условия
экстремума). Если в точке Мдифференцируемая функция Z= f(x;
у) имеет экстремум, то ее частные
производные в этой точке равны нулю:,.

Доказательство: зафиксировав одну
из переменныхxилиy,
ревратим Z= f(x; у) в функцию
одной переменной, для экстремума которой
вышеописанные условия должны выполняться.
Геометрически равенстваи

png» width=»97″>означают, что в точке экстремума функции
Z= f(x; у), касательная
плоскость к поверхности, изображающую
функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY,
т.к. уравнение касательной плоскости
естьZ=Z0.
Точка, в которой частные производные
первого порядка функции Z= f(x;
у) равны нулю, т.е.

png» width=»45″>,,
называются стационарной точкой функции.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных
не существует. НапримерZ=|-

png» width=»60″>|
имеетmaxв точкеO(0,0),
но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых
хотя бы одна частная производная не
существует, называются критическими
точками. В критических точках функция
может иметь экстремум, а может и не
иметь.

Равенство нулю частных производных
является необходимым, но не достаточным
условием существования экстремума.
Например, приZ=xyточкаO(0,0) является
критической. Однако экстремума в ней
функцияZ=xyне имеет. (Т.к.

вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z

Источник: https://studfile.net/preview/5757321/page:3/

Неявная функция — Implicit function

В математике , неявное уравнение представляет собой отношение формы , где является функцией нескольких переменных (часто полином ). Например, неявное уравнение единичной окружности является .
р ( Икс 1 , …

, Икс N ) знак равно 0 { Displaystyle R (X_ {1}, ldots, X_ {п}) = 0}
р { Displaystyle R}
Икс 2 + Y 2 — 1 знак равно 0 { Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} -1 = 0}

Неявная функция является функцией , которая определяется неявно посредством неявного уравнения, сопоставляя одну из переменных (далее значения ) с другими (то аргументами ). Таким образом, неявная функция для в контексте единичной окружности определяется неявно .

Это неявное уравнение определяет как функцию только тогда , когда и рассматривается только неотрицательные (или не-положительные) значения для значений функции.
Y { Displaystyle у}
Икс 2 + е ( Икс ) 2 — 1 знак равно 0 { Displaystyle х ^ {2} + F (х) ^ {2} -1 = 0}
е { Displaystyle е}
Икс { Displaystyle х}
— 1 ≤ Икс ≤ 1 { Displaystyle -1 Leq х Leq 1}

Теорема о неявной функции обеспечивает условия , при которых некоторых виды отношений определяют неявную функцию, а именно отношения , определенные как функции индикатора от нулевого множества некоторой непрерывно дифференцируемой многофакторной функции.

Примеры

Обратные функции

Обычный типом неявной функции является обратной функцией . Не все функции имеют уникальную обратную функцию. Если г является функцией х , что имеет единственное обратное, то обратная функция г , называемую г -1 , представляет собой уникальную функцию , дающую решение уравнения

Y знак равно г ( Икс ) { Displaystyle у = г (х)}

для й в терминах у . Этот раствор затем может быть записан в виде

Икс знак равно г — 1 ( Y ) , { Displaystyle х = г ^ {- 1} (у).}

Определение как обратное неявное определение. Для некоторых функций г , можно записать в явном виде выражения замкнутой формы — например, если потом . Тем не менее, это часто не представляется возможным, или только путем введения новых обозначений (как в журнале продукт примера ниже).

г — 1 { Displaystyle г ^ {- 1}}
г { Displaystyle г}
г — 1 ( Y ) { Displaystyle г ^ {- 1} (у)}
г ( Икс ) знак равно 2 Икс — 1 , { Displaystyle г (х) = 2x-1,}
г — 1 ( Y ) знак равно 1 2 ( Y + 1 ) { Displaystyle г ^ {- 1} (у) = { tfrac {1} {2}} (у + 1)}

Интуитивно, обратная функция получается из г перестановки ролей зависимых и независимых переменных.
пример
Журнал продукт является неявной функцией , дающее решением х уравнений у — х х = 0.

Алгебраические функции

Алгебраическая функция является функцией , которая удовлетворяет полиномиальное уравнение сами коэффициенты которого являются полиномами. Например, алгебраическая функция одной переменной х дает решение для у уравнения

a N ( Икс ) Y N + a N — 1 ( Икс ) Y N — 1 + ⋯ + a 0 ( Икс ) знак равно 0 { Displaystyle а_ {п} (х) у ^ {п} + A_ {N-1} (х) у ^ {п-1} + cdots + а_ {0} (х) = 0}

где коэффициенты я ( х ) являются полиномиальными функциями х . Эта алгебраическая функция может быть записана в виде правой части уравнения решения у = F ( х ). Написано так, е является многозначной неявной функцией.

Алгебраические функции играют важную роль в математическом анализе и алгебраической геометрии . Простой пример алгебраической функции задаются в левой части уравнения единичной окружности:

Икс 2 + Y 2 — 1 знак равно 0. { Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} -1 = 0.}

Решение для у дает явное решение:

Y знак равно ± 1 — Икс 2 , { Displaystyle у = ч { SQRT {1-х ^ {2}}}.}

Но даже без указания этого явного решения, можно обратиться к неявному решению уравнения единичной окружности , как где е является многозначной неявной функцией.
Y знак равно е ( Икс ) , { Displaystyle у = F (X),}

Хотя явные решения могут быть найдены для уравнений, квадратичные , кубические и квартик в у , то же не в целом верна для Quintic и уравнений высших степеней, такие как

Y 5 + 2 Y 4 — 7 Y 3 + 3 Y 2 — 6 Y — Икс знак равно 0. { Displaystyle у ^ {5} + 2y ^ {4} -7y ^ {3} + 3y ^ {2} -6y-х = 0.}

Тем не менее, все еще может относиться к неявному решению у = F ( х ) с участием многозначного неявной функцией п .

Предостережения

Не каждое уравнение Р ( х , у ) = 0 следует графикам однозначной функции, то уравнение окружности , являющееся одним из ярких примеров. Другой примером является неявной функция задается й — С ( у ) = 0 , где С представляет собой кубический полином , имеющий «горб» в графике.

Таким образом, для неявной функции , чтобы быть истинная функцией (однозначная) может быть необходимо использовать только часть графика. Неявная функция может иногда быть успешно определена как истинная функция только после того, как «масштабирования» на каком — то части х Оу и «убирание» некоторые нежелательные функциональные ветвей.

Тогда уравнение , выражающее у как неявная функция от других переменного (ы) может быть записано.

Определяющее уравнение Р ( х , у ) = 0 может также иметь другие патологии. Например, уравнение х = 0 не означает функцию F ( х ) дает решения для у вообще; это вертикальная линия.

Для того , чтобы избежать проблемы , как это, различные ограничения , которые часто накладываются на допустимые сорта уравнений или на домене . Теорема о неявной функции обеспечивает единый способ обработки этих видов патологий.

Неявные дифференциация

В исчислении , метод называется неявным дифференцировка использует правило цепи дифференцироваться неявно заданные функции.

Для того, чтобы дифференцировать неявную функцию у ( х ), определенное уравнение R ( х , у ) = 0, то в общем случае невозможно , чтобы решить эту проблему явно для у , а затем дифференцируются.

Вместо этого, можно полностью дифференцировать R ( х , у ) = 0 относительно х и у , а затем решить полученное линейное уравнение для ду / дх , чтобы получить в явном виде производную по х и у .

Даже тогда , когда можно явно решить исходное уравнение, формула в результате полной дифференциации, в общем, намного проще и удобнее в использовании.

Примеры

1. Рассмотрим, например ,

Y + Икс + 5 знак равно 0. { Displaystyle у + х + 5 = 0.}

Это уравнение легко решить для г , давая

Y знак равно — Икс — 5 , { Displaystyle у = -х-5 ,,}

где правая сторона явный вид функции у ( х ). Дифференциация затем дает ду / дх = -1. В качестве альтернативы, можно полностью дифференцировать исходное уравнение:

d Y d Икс + d Икс d Икс + d d Икс ( 5 ) знак равно 0 ; { Displaystyle { гидроразрыва {ду} {дх}} + { гидроразрыва {дх} {дх}} + { гидроразрыва {d} {дх}} (5) = 0;}

d Y d Икс + 1 знак равно 0. { Displaystyle { гидроразрыва {ду} {дх}} + 1 = 0.}

Решение для д / де дает

d Y d Икс знак равно — 1 , { Displaystyle { гидроразрыва {ду} {дх}} = — 1,}

тот же ответ, полученный ранее.

2. Пример неявной функции , для которой неявно дифференциации легче , чем при использовании явного дифференцирования является функция у ( х ) определяется уравнением

Икс 4 + 2 Y 2 знак равно 8. { Displaystyle х ^ {4} + 2y ^ {2} = 8.}

Для того, чтобы дифференцировать это явно относительно х , нужно сначала получить

Y ( Икс ) знак равно ± 8 — Икс 4 2 , { Displaystyle у (х) = ч { SQRT { гидроразрыва {8-х ^ {4}} {2}}}}

а затем дифференцировать эту функцию. Это создает две производные: одна у ≥ 0 , а другой для у

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Implicit_function