Интеграл показательной функции, формула и примеры

• Урок-лекция алгебра 11 класс
• Применение формул дифференцирования и интегрирования показательной и логарифмической функций
• Дифференцирование показательной функции:

Про­ком­мен­ти­ру­ем фор­му­лу .

Чтобы найти про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции, надо саму по­ка­за­тель­ную функ­цию умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм ее ос­но­ва­ния. Итак, мы умеем на­хо­дить про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции с любым до­пу­сти­мым ос­но­ва­ни­ем .

Если мы это умеем де­лать, зна­чит, мы умеем ре­шать все стан­дарт­ные за­да­чи на про­из­вод­ную. Пример 1. Дано:Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке Ре­ше­ние. У нас есть ме­то­ди­ка. Дей­ству­ем по ней. Най­дем про­из­вод­ную в любой точке.

То есть про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :

1. Те­перь оста­лось под­ста­вить
2. Ответ:
3. Пример 2. Дано:Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке
4. Ре­ше­ние. Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :
5. Под­ста­вим
6. Ответ:

Интегрирование показательной функции

Далее нам сле­ду­ет на­учить­ся ин­те­гри­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию. Рас­смот­рим фор­му­лу  про­из­воль­ная по­сто­ян­ная. По­че­му? По опре­де­ле­нию. Про­из­вод­ная пра­вой части долж­на быть равна . Про­ве­ря­ем: .

Те­перь вме­сто  под ин­те­гра­лом , при любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии

.

Про­ве­рим эту фор­му­лу. То есть возь­мем про­из­вод­ную пра­вой части и до­ка­жем, что она равна функ­ ции под ин­те­гра­лом.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию. Зна­чит, мы умеем ре­шать стан­дарт­ные за­да­чи на пер­во­об­раз­ную этой функ­ции. Вот одна из стан­дарт­ных задач:

Пример 3 Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Ре­ше­ние.

Речи идет о такой пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции: рис. 1.

Рис. 1. Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции

По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:

Ответ:

Дифференцирование логарифмической функции

Мы рас­смот­ре­ли диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние по­ка­за­тель­ной функ­ции. Те­перь рас­смот­рим диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

• Дано:
• До­ка­зать: При любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии  спра­вед­ли­ва фор­му­ла
• До­ка­за­тель­ство: Будем ис­поль­зо­вать фор­му­лу
• Вспом­ним, как можно и нужно пе­ре­хо­дить к но­во­му ос­но­ва­нию :
• Так вот, в нашем слу­чае .
• Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пример 4 Дано: Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция

Найти: Ре­ше­ние. Ре­ше­ние на­хо­дим по стан­дарт­ной ме­то­ди­ке. Пер­вое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в любой точке :

1. Вто­рое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в за­дан­ной точке :
2. Ответ:
3. Осо­бен­но­сти фор­му­лы:  в зна­ме­на­те­ле в пер­вой сте­пе­ни.
4. До­ка­за­тель­ство:

Интегрирование функции

• Рас­кры­ва­ем мо­дуль как по­ло­же­но, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:
• Под мо­ду­лем стоит по­ло­жи­тель­ное число
• Про­из­вод­ная пра­вой части:
• Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся фор­му­ла во вто­ром слу­чае: Под мо­ду­лем стоит от­ри­ца­тель­ное число
• Про­из­вод­ная пра­вой части:
• Фор­му­ла до­ка­за­на.
• Рас­смот­рим одну из ти­по­вых задач на до­ка­зан­ную фор­му­лу.

Пример 5

Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

. Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке по­ка­за­на ис­ко­мая пло­щадь:

Рис. 2. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

1. По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:
2. Ответ:
3. До­маш­нее за­да­ние

1. Найти про­из­вод­ную функ­ции в кон­крет­ной точке;

2. Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми ;

Источник: https://infourok.ru/razrabotka-urokalekcii-po-algebre-na-temu-primenenie-formul-differencirovaniya-i-inregrirovaniya-2570858.html

Интегралы от показательных функций

Перейти к контенту

• Интеграл от показательной функции (largeint
  ormalsize = largefrac
• ormalsize + C,;;a > 0.)
• (largeint
  ormalsize >dx> = largefrac>
  ormalsizeleft(
  ight) + C,;;a
• e 0.)
• Интеграл от натурального логарифма (largeint
• ormalsize = xln x — x + C)

Главные интегралы, которые должен знать каждый студент

Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.

Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!

Интеграл от константы

Интегрирование степенной функции

1. В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
2. ∫ x d x = x 2 2 + C (2) ∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3) ∫ 1 x d x = 2 x + C (4) ∫ 1 x d x = ln | x | + C (5) ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
3. ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) (7)

Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций

Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.

∫ e x d x = e x + C (8) ∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 ) (9) ∫ s h x d x = c h x + C (10)

∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базовые интегралы от тригонометрических функций

Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен «минус косинусу», а вот интеграл от cosx равен «просто синусу»:

∫ sin x d x = − cos x + C (12) ∫ cos x d x = sin x + C (13) ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям

Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) — частный случай (19).

  Что такое хот спот на виндовс 10

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16) ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 ) (17) ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 ) (19)

Более сложные интегралы

Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20) ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C (21) ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 ) (22) ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 ) (23)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 ) (24)

Общие правила интегрирования

• 1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x (25)
• 2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x (26)
• 3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f ( x ) d x = C ∫ f ( x ) d x (27)
• Легко заметить, что свойство (26) — это просто комбинация свойств (25) и (27).
• 4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f ( A x + B ) d x = 1 A F ( A x + B ) + C ( A ≠ 0 ) (28)

Здесь F(x) — первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.

Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:

∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? ∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? (30)

Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ «борьбы» с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже «школьные» формулы алгебры или тригонометрии.

Простой пример на вычисление неопределенного интеграла

1. Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
2. Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)).

   Выражение преобразуется к виду

3. 3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1.

Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:

• 3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
• После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
• x 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
• Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.

Сводная таблица интегралов

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 )

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 )

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 )

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 )

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 )

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 )

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 )

  Технология cool n quiet

Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Дано:

Доказать: При любом допустимом основании а

Вспомним основное логарифмическое тождество.

С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной функции:

1. Что и требовалось доказать.
2. Прокомментируем формулу
3. Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию умножить на натуральный логарифм ее основания.

Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым основанием . Если мы это умеем делать, значит, мы умеем решать все стандартные задачи на производную.

Пример 1

Дано:

Найти: Производную в конкретной точке

У нас есть методика. Действуем по ней. Найдем производную в любой точке. То есть продифференцируем

• Теперь осталось подставить
• Ответ:
• Аналогично решается вторая задача:

Пример 2

1. Дано:
2. Найти: Производную в конкретной точке
3. Решение. Продифференцируем
4. Подставим
5. Ответ:

Интегрирование показательной функции

Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию.

Рассмотрим формулу произвольная постоянная.

Почему? По определению.

Производная правой части должна быть равна Теперь вместо

Проверим эту формулу. То есть возьмем производную правой части и докажем, что она равна функции под интегралом.

  Как обрезать ролик с ютуба

Что и требовалось доказать.

Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач:

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Речи идет о такой площади криволинейной трапеции: рис. 1.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

• По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:
• Ответ:

Дифференцирование логарифмической функции

Мы рассмотрели дифференцирование показательной функции. Теперь рассмотрим дифференцирование логарифмической функции. А именно докажем формулу:

1. При любом допустимом основании справедлива формула
2. Будем использовать формулу
3. Вспомним, как можно и нужно переходить к новому основанию :
4. Так вот, в нашем случае .
5. Что и требовалось доказать.
6. Мы умеем находить производную логарифмической функции при любом допустимом основании :
7. Следовательно, мы умеем решать стандартные задачи с использованием этой формулы. Вот одна из этих задач:

Пример 4

• Дано: Логарифмическая функция
• Найти:
• Решение находим по стандартной методике.
• Первое действие. Находим производную в любой точке :
• Второе действие. Находим производную в заданной точке :
• Ответ:
• Докажем или проверим следующую важную формулу:
• Особенности формулы: в знаменателе в первой степени.

Интегрирование функции

1. Раскрываем модуль как положено, рассматриваем два случая:
2. Под модулем стоит положительное число
3. Производная правой части:
4. Аналогично доказывается формула во втором случае:
5. Под модулем стоит отрицательное число
6. Производная правой части:
7. Рассмотрим одну из типовых задач на доказанную формулу.

Пример 5

• Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
• .
• На рисунке показана искомая площадь:

Рис. 2. Площадь фигуры, ограниченной линиями

1. По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:
2. Ответ:

Итак, мы научились дифференцировать логарифмическую и показательную функции. На следующем уроке мы перейдем к изучению теории равносильности уравнений.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

• Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
• Рекомендованное домашнее задание

Источник: https://playsguide.ru/integraly-ot-pokazatelnyh-funkcij

Интегральная показательная функция

Полученный результат

• В данной статье речь пойдет об интегральной показательной функции, из семейства специальных функций.
• Область применения её достаточна специфична, но как говорят в народе, она тем не менее широко известна в узких кругах.
• Используется в основном в теории вероятности, статистике, теории игр и для решение некоторых дифференциальных уравнений.
• Есть обобщенная формула 

Есть формула разложения функции в ряд при n=1

Есть реккурентная формула, при которой можно узнать результат при других значениях n

где n=2,3,4,5….

Есть формула по которой можно определить значения неполной гаммы функции через формулу

Непрерывные цепи 

Наиболее интересной особенностью при вычислениях  интегральной показательной функции является формула  разложения в непрерывную дробь.

Эта формула однозначно и с высокой точностью определяет значение функции при всех n и z, в том числе и на  комплексной плоскости, кроме  одного случая, когда действительная часть комплексного числа z является  отрицательным числом ИЛИ когда модуль z меньше 1. В этом случае, результат не будет верным, и хотя порядок цифр совпадет, все таки погрешность достаточно велика, что бы использовать результат в дальнейших вычислениях.

Можно конечно использовать в этих случаях  разложение в ряд, как альтернативный способ, но я пока поищу другой способ.

Первоначальное значение  можно получить, решив квадратное уравнение

значение N для приемлемой точности можно брать больше 30, но никто не ограничивает Вас поставить и значение 700 или 1000, для высокой точности.

Бот вычисляет значение функции при всех действительных и комплексных значениях, без ограничений.  Просьба самим учитывать что при  отрицательной действительной части комплексного числа z  получаем неверное  значение.

Рассмотрим примеры:

Полученный результат

Полученный результат

1. Сравнивая со справочниками и профессиональными математическими программами, мы видим что точность практически 100%.
2. Теперь примеры где результат неправильный.
3. А теперь покажем как рассчитывается при вышеуказанных пограничных условиях.

Полученный результат

На самом деле правильный ответ

-882.633010-536.16514i

Еще раз просьба учитывать  этот нюанс. Возможно в дальнейшем автор бота, доработает его, что бы правильные вычисления были на всей комплексной плоскости.

Если есть какие то пожелания, пишите!

Удачных расчетов!

Источник: https://abakbot.ru/online-16/358-ei

Интегральное определение логарифмической функции

Выведем, исходя из этого определения, свойства логарифмической функции.

а) Логарифмическая функция определена для всех положительных значений . В самом деле, функция непрерывна при , а потому в силу теоремы о существовании определенного интеграла интеграл существует при всех .

б) Логарифмическая функция дифференцируема, и ее производная в любой точке равна

В самом деле, функция непрерывна при , а потому в силу теоремы о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом имеем:

Поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, то логарифмическая функция непрерывна при .

в) Логарифмическая функция строго возрастает при . В самом деле, если , то , т. е. производная функции положительна. Следовательно, эта функция строго возрастает.

г) Так как и логарифмическая функция строго возрастает, то при и при .

д) Если и , то выполняется равенство

(1)

В самом деле, имеем: .

Сделаем во втором интеграле подстановку . Когда меняется от до , переменная изменяется от 1 до . Поэтому . Значит,

(2)

Методом математической индукции можно доказать справедливость равенства (1) для любого конечного множества положительных чисел

(2)

е) Если и , то выполняется равенство

(3)

В самом деле, из равенства (1) следует, что откуда без труда получается требуемое равенство (3).

ж) Если и — натуральное число, то

(4)

Это легко следует из равенства (2).

з) Логарифмическая функция стремится к , когда , и к , когда

(5)

В самом деле, возьмем любое число . Тогда . Поскольку при , то

, а , то .

Из непрерывности логарифмической функции и равенств (5) следует, что множество ее значений совпадает с множеством всех действительных чисел. В частности, найдется значение аргумента, при котором эта функция равна единице. Обозначим это значение буквой е. Таким образом, теперь число е определяется равенством .

и) Справедливо равенство . В самом деле, в силу непрерывности функции имеем:

, но .

Так как , то

Значит, и , то есть .

При описанном выше построении теории логарифмической функции мы определяем показательную функцию как обратную логарифмической (существование обратной функции следует из того, что функция строго возрастает и непрерывна на промежутке . Свойства показательной функции при этом выводятся из соответствующих свойств логарифмической функции.

Наконец, определим степень с любым показателем , положив при .

Из свойств логарифмической и показательной функций следует, что при и имеем:

Поэтому . Это показывает, что данное определение степени совпадает с обычным.

Источник: http://MathHelpPlanet.com/static.php?p=integralnoe-opredelenie-logarifmicheskoi-funktsii