Методы решения интегралов, формулы и примеры

Срок выполнения	от 1 дня
Цена	от 50 руб./задача
Предоплата	50 %
Кто будет выполнять?	преподаватель или аспирант

УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Интеграл: что это?

Интеграл является одним из важнейших понятий математики. Понятие «интеграл» возникло в связи со следующими потребностями:

• отыскание функции по ее производной (например, нахождение функции пути по известной функции скорости);
• измерение различных характеристик объектов (например, площади плоской фигуры и т.д.).

Различают несколько видов интегралов: неопределенный, определенный и несобственный интегралы.

Интеграл: как вычислить?

Для вычисления большинства интегралов достаточно помнить таблицу интегралов, а также знать основные правила интегрирования. Основная часть таблицы, которая используется наиболее часто, содержит порядка 15 формул, правил интегрирования тоже не так много. Но если уж совсем плохо запоминается, то найти таблицу и правила можно в любом учебнике, в котором рассматривается данная тема.
 

Вычисление интеграла состоит из нескольких этапов:

1. приведение подынтегральной функции к сумме табличных функций;
2. разложение интеграла на сумму табличных интегралов;
3. вычисление каждого интеграла по отдельности;
4. формирование окончательного решения.

 
Это только поначалу кажется сложным, однако при наличии некоторого опыта по вычислению интегралов каждая пара этапов (1 и 2; 3 и 4) интуитивно объединяются в один этап.
 
При вычислении определенных интегралов основной является формула Ньютона-Лейбница, которую обязательно (!) нужно запомнить:
 

Между производной и неопределенным интегралом существует взаимосвязь, которую можно выразить следующими равенствами:
 

Следовательно, при умении находить производную функции всегда можно проверить правильность вычисления интеграла.
 

Приложение интеграла к решению задач

Область применения интегралов достаточно широка. Очень часто интегралы используются при решении задач по геометрии, биологии, механике, экономике и т.д.
В зависимости от того, какая задача решается, требуется вычислить либо определенный, либо неопределенный интеграл.

• Самая простейшая задача на интегралы формулируется следующим образом: вычислить неопределенный (определенный) интеграл.
•  
  Пример. Вычислить определенный интеграл
   
• Как правило, решение задач с интегралами выполняется с использованием некоторой формулы, будь то формула вычисления площади плоской фигуры, длины дуги или какая-то другая формула. Поэтому решение любой задачи с интегралами можно выполнить в три этапа:

• выбор формулы;
• определение пределов интегрирования (если используется определенный интеграл);
• непосредственное вычисление интеграла.

Приложение интеграла к решению задач в геометрии

Основными формулами при решении задач с интегралами по геометрии являются:
 

— длина дуги — объем тела вращения — площадь плоской фигуры

Пример. Вычислить объем тела вращения, образованного вращением кривой y = x2 вокруг оси ОХ, x ∈ [0, 2].
 

Решение. На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. В рассматриваемой задаче все сказано в условии «вычислить объем тела вращения». Следовательно, используем формулу .

Переходим ко второму этапу решения задачи. Пределы интегрирования также заданы условием задачи (x ∈ [0, 2]), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу.
 

На третьем этапе необходимо вычислить полученный интеграл, который, кстати, является табличным интегралом.
 

 

Приложение интеграла к решению задач в механике

Основными формулами при решении задач с интегралами по механике являются:
 

— работа переменной силы — путь, пройденный телом — статистический момент — координата х центра тяжести

Пример. Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с). Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения.
 

Решение. На первом этапе определяется необходимая для решения задачи формула. Из условия задачи видно, что используется формула

1. Пределы интегрирования также заданы условием задачи (t1 = 0 — время начала движения; t2 = 2 — время завершения движения), следовательно, остается только подставить все необходимое в формулу и вычислить полученный интеграл.
    
2. Примечание: при вычислении интеграл был приведен к сумме табличных интегралов.
    

Пример. Тело движется с ускорением 2 м/с2. Найти в общем виде функции, задающие изменение скорости и пройденный путь.
 

Решение. На первом этапе определяется используемая для решения задачи формула. Взаимосвязь между ускорением и скоростью аналогична взаимосвязи между скоростью и путем. Для определения зависимости пути от времени используется формула Для определения же зависимости скорости от времени формула .

• В рассматриваемой задаче нет дополнительных условий, поэтому применяется неопределенный интеграл и пределы интегрирования не нужны.
  Следовательно, решение задачи сводится к последовательному вычислению двух неопределенных интегралов:
   

Заключение

Как правило, задачи с интегралами в школьном курсе математики и даже в университете имеют вполне стандартную формулировку, а их решение сводится к выбору формулы, определению пределов интегрирования и вычислению составленного интеграла.
 

Учите теорию и решайте задачи! И помните, что мы всегда готовы помочь Вам.

Источник: https://Reshatel.org/reshenie-zadach/reshenie-zadach-s-integralami/

Методы решения неопределенных интегралов

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных
преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования
и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл $int 2^{3 x-1} d x$

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

• $int 2^{3 x-1} d x=int 2^{3 x} cdot 2^{-1} d x=frac{1}{2} intleft(2^{3}
  ight)^{x} d x=$
• $=frac{1}{2} int 8^{x} d x=frac{8^{x}}{2 ln 8}+C$
• Ответ. $int 2^{3 x-1} d x=frac{8^{x}}{2 ln 8}+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

2. Внесение под знак дифференциала

В формуле неопределенного интеграла величина $d x$ означает, что
берется дифференциал от переменной $x$. Можно использовать некоторые
свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла.
Для этого используется формула

$y^{prime}(x) d x=d y(x)$

Если нужная функция $y(x)$ отсутствует, иногда ее
можно образовать путем алгебраических преобразований.

Пример

Задание. Внесением под дифференциал найти неопределенный интеграл $int cos (2 x) d x$

Решение. Внесем 2$x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

1. $int cos (2 x) d x=int cos (2 x) cdot frac{1}{2} cdot 2 cdot d x=int cos (2 x) cdot frac{1}{2} cdot d(2 x)=$
2. $=frac{1}{2} int cos (2 x) d(2 x)=frac{1}{2} int d(sin 2 x)=frac{1}{2} sin 2 x+C$
3. Ответ. $int cos (2 x) d x=frac{1}{2} sin 2 x+C$

В общем виде справедливо равенство:

$int f(y(x)) cdot y^{prime}(x) d x=int f(y(x)) d(y(x))$

Пример

Задание. Найти интеграл $int frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Внесем $3-5 x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

• $int frac{d x}{3-5 x}=int frac{-frac{1}{5} d(-5 x)}{3-5 x}=$
• $=-frac{1}{5} int frac{d(3-5 x)}{3-5 x}=-frac{1}{5} ln |3-5 x|+C$
• Ответ. $int frac{d x}{3-5 x}=-frac{1}{5} ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

3. Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть $x=phi(t)$, где функция $phi(t)$ имеет непрерывную
производную $phi^{prime}(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие.
Тогда справедливо равенство

$int f(x) d x=int f(phi(t)) cdot phi^{prime}(t) cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно
надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $int frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$=-frac{1}{5} ln |t|+C=-frac{1}{5} ln |3-5 x|+C$

Ответ. $int frac{d x}{3-5 x}=-frac{1}{5} ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$int u d v=u v-int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства
будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях,
когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $int x cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$=x sin x+cos x+C$

Ответ. $int x cos x d x=x sin x+cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.

Вы поняли, как решать? Нет?

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_9_4.php

Методическое пособие для студента: «Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Методы вычисления»

ГБПОУ СПО ККПТП

Методическое пособие для студента:

«Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

• Методы вычисления»
• (В данном пособии излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач)
• Подготовила преподаватель математики

Чамина Л.М.

Каменка, 2014г.

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Основные вопросы:

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.Таблица интегралов.

1. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

1. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

2. Задания для самостоятельной работы.

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.

Основная задача дифференциального исчисления состоит в вычислении производной или дифференциала заданной функции.

Часто возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти саму функцию. Например, производная f(x) некоторой неизвестной функции F(х) задана и равна соs х, т.е.

F' (х) = f (x) = соs х.

На вопрос, чему равна сама функция F(х), легко ответить, посмотрев таблицу производных (см. табл.):

(sin х) ' = cosx, значит, F(х) = sin х.

ФункцияF(х), которая удовлетворяет условиюF'(х) = f(x), называется первообразной для заданной функции f(х).

Поэтому, если добавить к первообразной функции F(х) постоянную С, то снова будет выполняться условие [F(х) + C]' = f(x), в частности, в рассмотренном примере (sin х + С)' = соs х. Значит для функции f(x) существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную величину С, С обычно называют произвольной постоянной.

Совокупность всех первообразных F(х) + С для данной функции f (х) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом:

∫f (x)dx, т.е. ∫f (x)dx = F(х) + C; (1)

1. где f (x) — подинтегральная функция, f (x)dx – подинтегральное выражение, которое представляет собой дифференциал F(х). В нашем примере: ∫cosxdx = sinx+ C
2. В конкретных задачах многозначность ответа устраняется каким-либо дополнительным условием.
3. Например, надо найти функцию, производная которой есть х2 и значение которой равно 7 при х = 3.
4. Обратившись к таблице производных, находим, что
5. .
6. Подставив в вместо х число 3, получим:
7. и С = – 2, а .

2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

• 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
• [∫f (x)dx]' = [F(x) + C] ' = f(х); (2)
• 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
• d∫ f (x)dx = f(х) dx; (3)
• 3. Неопределенный интеграл дифференциала некоторой функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной
• ∫ dF (x) = F(х) + C, (4)
• например: ∫ d x = х + С или ∫ d ( sinx) = sinx + C.
• 4. Неопределенный интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов слагаемых
• ∫ (z(x) – u (x) + v(x)) dx = ∫z(x) dx – ∫u (x) dx + ∫v(x) dx; (5)
• 5.Постоянный множитель в подинтегральной функции можно вынести за знак неопределенного интеграла:
• (6)
• Приведем таблицу значений неопределенных интегралов, которую легко получить, используя таблицу дифференцирования.
• Таблица 1.

1. 1)
2. 6)
3. 2)
4. 7)
5. 3)
6. 8)
7. 4)
8. 9)
9. 5)

1. Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.

Часто подынтегральные функции бывают намного сложнее приведенных в табл. 1. В этом случае, чтобы найти неопределенный интеграл, нужно с помощью определенных приемов свести его к табличному виду и дальше воспользоваться таблицей интегралов. Рассмотрим два из возможных методов вычисления неопределенных интегралов.

I. Непосредственное интегрирование.

• Здесь достаточно элементарных алгебраических преобразований подинтегральной функции для того, чтобы получить табличный интеграл.
• Проиллюстрируем этот метод решением конкретных примеров:
• 1)
• Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулами (4), (5), (6) и формулой № 2 таблицы 1, тогда
• == =

2) , т.к. известно, что sin 2x = 2 sinxcosx, то

(см. формулу (6) и № 6 табл.1)

II. Метод замены переменной (метод подстановки).

В этом методе определенную часть подынтегрального выражения обозначают новой переменной. Всю последовательность действий, приводящих к решению, рассмотрим на примерах.

1. Надо вычислить интеграл .

1. Для того, чтобы получить ответ:
2. а) введем новую переменную z = 3x;
3. б) найдем ее дифференциал: dz = 3dx;
4. в) выразим dx через dz: dx = dz/3;
5. г) подставим новые значения в исходный интеграл: , используя формулу (6) получим: , это табличный интеграл;
6. д) по формуле №7 табл.1 или, возвращаясь к старой переменной,
7. .
8. Правильность ответа легко проверить, вычислив от него производную, при правильном решении она должна быть равна подинтегральной функции:
9. Приведенный порядок действий соблюдается при решении любого интеграла данным методом
10. 2.

При вычислении интеграла использовалась формула №4 табл.1.

3.

При вычислении этого интеграла использовалась формула №2 табл.1.

4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

• А
• x=b
• x = a
• B
• y
• x
• Рис.1
• Криволинейная трапеция

К понятию определенного интеграла приводят ряд прикладных задач. Рассмотрим одну из них. Пусть требуется найти площадь S плоской фигуры аАBb (рис.

1), ограниченной графиком функции y = f(x) и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией.

1. Не проводя промежуточных вычислений, приведем окончательный результат:
2. (7)
3. Стоящее справа в данной формуле выражение называется определенным интегралом функции y = f(x) на участке [a, b], здесь а – нижний предел интегрирования (наименьшее значение x), b — верхний предел интегрирования (наибольшее значение x).
4. Вычисление определенного интеграла проводится с помощью формулы Ньютона — Лейбница:
5. (8)
6. Из нее следует, что для получения значения определенного интеграла необходимо:
7. а) пользуясь теми же правилами и формулами, которые применимы для нахождения неопределенного интеграла, найти первообразную функцию для заданной подинтегральной функции; рядом с ней обычно проводится вертикальная линия и записываются пределы интегрирования – ставится знак двойной подстановки;
8. б) вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования и от полученного результата отнять ее значение при нижнем пределе интегрирования;
9. в) полученная разность и будет значением интеграла – значением искомой площади в соответствующих единицах при решении задач о вычислении этой величины.
10. В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл всегда есть конкретное число, значение которого зависит от вида функции f(x) и значений верхнего и нижнего пределов интегрирования.
11. Примеры:

1. Вычислить площадь между участком синусоиды и осью x для интервала (0, π):

• 2)
• Уже говорилось, что определенный интеграл применяется не только для вычисления площадей.
• Рассмотрим один из возможных примеров:

Скорость выброса крови из сердца за время систолы описывается некоторой функцией v = v(t). Период сердечного сокращения T = 1c, время систолы Т = 0,4с. Определим минутный объем выбрасываемой крови Vмин для двух случаев:

1. а) скорость выброса постоянна и составляет v = 200мл /с (например, при работе искусственного клапана);
2. б) скорость выброса изменяется во времени по следующему закону: , что в определенном приближении соответствует реальной ситуации.
3. Решение:

а) Поскольку v = v0 = const, то объем крови , выбрасываемый за 1 систолу, равен v0 ·Т. За минуту происходит 60 систол (Т = 1с), следовательно, Vмин. =

• = 60 ·v0 ·Т = 4800 мл;
• б) Выброс крови за одну систолу определяется интегралом:
• Выброс крови за минуту:

5. Задания для самостоятельной работы.

1. 1)
2. 3)
3. 5)
4. 10)
5. 2)
6. 4)
7. 6)
8. 7)
9. 8)
10. 9)

• Задания для практической работы
• 1)
• 3)
• 5)
• 2)
• 4)
• 6)
• 7)
• 8)
• 9)
• Вариант 1
• Вариант 2
• 1)
• 3)
• 5)
• 2)
• 4)
• 6)
• 7)
• 8)
• 9)
• Вариант 3
• 1)
• 3)
• 5)
• 2)
• 4)
• 6)
• 7)
• 8)
• 9)
• 1)
• 3)
• 5)
• 2)
• 4)
• 6)
• 7)
• 8)
• 9)
• Вариант 4
• Литература.

1. Гроссман С., Тернер Дж. Математика ,М: Высшая школа, 1983, 383стр.

2. Баврин И.И. Краткий курс высшей математики, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.

Источник: https://infourok.ru/material.html?mid=35222