Свойства смежных углов, с примерами

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Определение угла

Определение 1

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Уравнение эйнштейна для фотоэффекта

Оценим за полчаса!

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.

Свойства смежных углов, с примерами

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Свойства смежных углов, с примерами

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Свойства смежных углов, с примерами

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Свойства смежных углов, с примерами

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.

Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Свойства смежных углов, с примерами

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

Свойства смежных углов, с примерами

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Свойства смежных углов, с примерами

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение смежных и вертикальных углов

Определение 6

Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Свойства смежных углов, с примерами

Определение 7

Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

Свойства смежных углов, с примерами

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Свойства смежных углов, с примерами

Сравнение углов

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус.

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи «°», тогда один градус – 1° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Читайте также:  Как научиться читать чертежи

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают «'», а секунды «''». Имеет место обозначение:

1°=60'=3600'', 1'=(160)°, 1'=60'', 1''=(160)'=(13600)° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17°3'59'' .

Определение 11

Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17°3'59'' . Запись имеет еще один вид 17+360+593600=172393600.

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠AOB и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠AOB=110° , которая читается «Угол АОВ равен 110градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0,180], а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0,90), а тупой – (90,180). Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так:∠AOB=∠AOC+∠DOB=45°+30°+60°=135° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны.

Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол АОВ и СОD – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов АОВ и ВОС, СОD и ВОС считают смежными.

В таком случает равенство∠AOB+∠BOC=180° вместе с ∠COD+∠BOC=180° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠AOB=∠COD . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы ОА и ОВ. По определению данный треугольник AOB является равносторонним, значит длина дуги AB равна длинам радиусов ОВ и ОА.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Обозначение углов на чертеже

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/geometricheskaja-figura-ugol/

Виды углов

  • Смежные углы
  • Вертикальные углы

Каждый угол, в зависимости от его величины, имеет своё название:

Вид угла Размер в градусах Пример
Острый Меньше 90° Свойства смежных углов, с примерами
Прямой Равен 90°.На чертеже прямой угол, обычно обозначают символом , проведённым от одной стороны угла до другой. Свойства смежных углов, с примерами
Тупой Больше 90°, но меньше 180° Свойства смежных углов, с примерами
Развёрнутый Равен 180°Развёрнутый угол равен сумме двух прямых углов, а прямой угол составляет половину развёрнутого угла. Свойства смежных углов, с примерами
Выпуклый Больше 180°, но меньше 360° Свойства смежных углов, с примерами
Полный Равен 360° Свойства смежных углов, с примерами

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют прямую линию:

Свойства смежных углов, с примерами

Углы MOP и PON смежные, так как луч OP – общая сторона, а две другие стороны – OM и ON составляют прямую.

Общая сторона смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат две другие стороны, только в том случае, когда смежные углы не равны между собой. Если смежные углы равны, то их общая сторона будет перпендикуляром.

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла дополняют до прямых линий стороны другого угла:

Свойства смежных углов, с примерами

  • Углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 – вертикальные.
  • Вертикальные углы равны.
  • Докажем, что вертикальные углы равны:

Сумма ∠1 и ∠2 составляет развёрнутый угол. И сумма ∠3 и ∠2 составляет развёрнутый угол. Значит, эти две суммы равны:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

В этом равенстве слева и справа есть по одинаковому слагаемому – ∠2. Равенство не нарушится, если это слагаемое в левой и в правой части опустить. Тогда мы получаем:

∠1 = ∠3.

Источник: https://naobumium.info/planimetriya/ugol3.php

Смежные углы

Что такое смежные углы? Какие у них свойства?

Определение.

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона — общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

Свойства смежных углов, с примерами

  • ∠1 и ∠2 — смежные углы
  • Сколько смежных углов образуется при пересечении двух прямых?
  • При пересечении двух прямых образуется четыре пары смежных углов:

Свойства смежных углов, с примерами

  1. ∠1 и ∠2, ∠3 и ∠4,
  2. ∠1 и ∠3,  ∠2 и ∠4
  3. Но, так как ∠1 =∠4,  ∠2=∠3 (как вертикальные), то достаточно рассмотреть только одну из этих пар.
  4. Свойство смежных углов.
  5. Сумма смежных углов равна 180º.
  6. Задачи.

1) Даны два смежных угла. Один на 42 градуса больше другого. Найти эти углы.

Свойства смежных углов, с примерами

  • Дано:
  • ∠AOC и ∠BOC — смежные,
  • ∠AOC на 42º  больше, чем ∠BOC
  • Найти: ∠AOC и ∠BOC.
  • Решение:

Пусть ∠BOC=хº, тогда ∠AOC= х+42º. Так как сумма смежных углов равна 180º, то ∠BOC+∠AOC=180º.

  1. Имеем уравнение:
  2. х+х+42=180
  3. 2х=180-42
  4. 2x=138
  5. x=69
  6. Значит, ∠BOC= 69º, ∠AOC=69+42=111º.
  7. Ответ: 69º и 111º.
  8. 2) Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:5.

Свойства смежных углов, с примерами

  • Дано:
  • ∠1 и ∠2 — смежные,
  • ∠1 : ∠2= 4:5
  • Найти:∠1 и ∠2
  • Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠2 =4kº , ∠1=5kº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠1 +∠2=180º.

  1. Имеем уравнение:
  2. 4k+5k=180
  3. 9k=180
  4. k=20
  5. Значит, смежные углы равны 4∙20=80º и 5∙20=100º.
  6. Ответ: 80º и 100º.

3) Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти эти углы.

Свойства смежных углов, с примерами

  • Дано: AB и CD — прямые, O — точка их пересечения,
  • ∠AOD  в 5 раз больше, чем ∠BOD
  • Найти: ∠AOD, ∠BOD
  • Решение:

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы. Так как вертикальные углы равны между собой, то углы∠AOD и ∠BOD —  смежные. Пусть ∠BOD=xº, тогда ∠AOD=5xº. Так как сумма смежных углов равна 180º, ∠AOD +∠BOD=180º.

  1. Имеем уравнение:
  2. x+5x=180
  3. 6x=180
  4. x=30
  5. Значит, ∠BOD=30º, ∠AOD=5∙30=150º.
  6. Ответ: 30º и 150º.
  7. Могут ли смежные углы быть равными?

Да. Если смежные углы равны между собой, то, так как сумма смежных углов равна 180º, каждый из них равен половине суммы, то есть 90º.

Вывод:

угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Могут ли два смежных угла быть тупыми? Острыми?

Нет. Так как градусная мера тупого угла больше 90º, то сумма двух тупых углов больше 180º. А сумма смежных углов равна 180º.

Градусная мера острого угла меньше 90º. Значит, сумма двух острых углов меньше 180º.

Таким образом, в паре смежных углов один — тупой, другой — острый (или оба прямые).

Источник: http://www.treugolniki.ru/smezhnye-ugly/

Какие углы называются смежными (определение смежных углов)

Не каждый из нас помнит, какие углы называются смежными, и для того, чтобы не ударить в грязь лицом вспомним определение смежных углов.

Определение смежных углов

Смежными называются два угла с общей вершиной и одной общей стороной, причем две другие стороны этих углов лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180 градусов. Например, для угла в 115 градусов смежным будет угол в 65 градусов.

На следующем рисунке угол АОВ является смежным углу ВОС, их сумма составляет 180 градусов. Сторона ВО у них общая. Стороны АОВ и ВОС лежат на прямой линии и образуют развернутый угол АОС.

Свойства смежных углов, с примерами

Свойства (тригонометрические соотношения):

  1. Синусы смежных углов равны.
  2. Косинусы и тангенсы также равны, но отличаются знаками (один из косинусов(или тангенсов) положительный «+», а второй отрицательный «–»).

Теорема о смежных углах

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Доказательство теоремы:

Углы а1b и a2b на следующем рисунке являются смежными. Луч b проходит между сторонами а1 и a2 развернутого угла. Сумма углов а1b и a2b таким образом равна развернутому углу, который равен 180 градусам.

Свойства смежных углов, с примерами

Следствия теоремы:

  1. Если два угла равны, то углы, которые являются для них смежными, также равны.
  2. Если угол не развернутый, то он не равен 180 градусам.
  3. Угол, который является смежным прямому углу (90 градусов), также является прямым.
  4. Угол, смежный с острым углом (величина которого меньше 90 градусов), является тупым (величиной больше 90 градусов), а смежный тупому – острым.

Близкие понятия в геометрии

Когда говорят о смежных углах, как правило, заходит речь и о вертикальных углах. Вертикальными называются два угла, образованные при пересечении двух прямых, но не являющиеся прилегающими.

Теорема о вертикальных углах

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Те из них, которые не являются смежными — вертикальные. Прилегающие к ним, которые образуют прямую линию, являются смежными. Каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, таким образом вертикальные углы равны между собой.

На следующем рисунке пары углов АОВ — СОD и AOD — ВОС являются вертикальными, а углы АОВ — ВОС и AOD — COD – смежными.

Свойства смежных углов, с примерами

2 видеоурока по геометрии о смежных и вертикальных углах: определения, свойства, теоремы

Источник: https://www.chto-kak-skolko.ru/index.php/nauki/matematika/kakie-ugly-nazyvayutsya-smezhnymi-opredelenie-smezhnykh-uglov

Урок: "Смежные углы. Свойства смежных углов"

Сейтмамбетова Ильвира Алимсеитовна

  • Тема урока: Смежные углы.
  • Цели урока:
  • Образовательные: ввести понятие смежных углов;
  • научить учащихся строить смежные углы;
  • доказать теорему и следствия из нее;
  • рассмотреть разные виды углов.
  • Развивающие: развитие логического мышления;
  • Развитие геометрического воображения;
  • Воспитательные: формирование математической культуры записи решения.
  • Тип урока: усвоение новых знаний;
  • Оборудование: модель смежных углов, интерактивная доска
  • Ход урока
  • I Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)
  • II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов и решений)
  • III Актуализация опорных знаний и умений
  • Задание классу
  • Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)
  • Какой угол образуют эти лучи?
  • Какова его величина?
  • Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла
  • Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)
  • Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись ∠ 1+∠ 2=∠ AOB
  • IV Изучение нового материала
  • Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.
  • Введение понятия «смежные углы»
Читайте также:  Строение атома марганца (mn), схема и примеры

Задание классу (один учащийся работает у доски)

  1. Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

  2. Нарисуйте два угла, у которых одна сторона

первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.

  1. Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи

  1. Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,
  2. являются смежными.
  3. Формулирование определения смежных углов:
  4. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а
  5. две другие – дополнительные лучи.
  6. Устное первичное закрепление
  7. Найти на чертеже смежные углы, и выписать их
  8. а) б)
  9. Задание классу
  10. Учитель на доске строит угол.

Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?

  • Задание классу:
  • Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD, причем ∠ BCD= 35о
  • Найдите ∠ ACD.

Вариант рассуждений: ∠ ACВ развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме ∠ ACD+∠ BCD=∠ ACВ, т.е. ∠ ACD+∠ BCD=180о . следовательно, ∠ ACD=180о -∠ BCD=180о -35о =145 о .

  1. Какое свойство смежных углов можно заметить?
  2. Вывод: Сумма смежных углов равна 180о .
  3. Теорема: Сумма смежных углов равна 180о .
  4. Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы
  5. Доказать: ∠1 и ∠2=180о
  6. Доказательство:
  1. По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).

  2. ∠АСВ=180о (аксиома).

  3. Луч CD проходит между сторонами развернутого угла ( по определению). Итак, ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2=180о

Теорема доказана.

Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов.

Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора.

Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.

Следствия из теоремы:

  • Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Доказательство

Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180о-х, т.е. эти углы будут равны.

  • Если угол неразвернутый, то он меньше 180о

Доказательство

Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠(ab), следовательно, ∠(ab) не равен 180о . Построим луч а1, дополнительный к лучу а. По определению, углы (ab) и (а1 b) будут смежными. По теореме ∠ (ab) +∠ (а1 b)= 180о или ∠ (а1b) =180о -∠ (аb). Предположим, что угол (ab) не меньше 180о . Если , что противоречит аксиоме. Это означает, что . Значит, .

  • Угол, смежный с прямым, является прямым

Доказательство

Угол, равный , называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен . Поскольку, сумма смежных углов равна , то второй угол равен , следовательно, он прямой.Свойства смежных углов, с примерами

  • Виды углов ( учащиеся уже знают, обобщить по таблице)

V Закрепление новых знаний и умений

Решение задач

  1. Сумма двух углов равна , докажите, что они не являются смежными.

  2. Один из смежных углов, равен , найдите второй угол.

  3. Один из смежных углов на больше, чем второй. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+40)) или ( по теореме).

  • Составим и решим уравнение
  • х+(х+40)=;
  • ;
  • ;
  • ;
  • Значит, меньший из смежных углов, равен , а больший .
  • Ответ: и .
  1. Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.

  2. Один из смежных углов больше, чем второй на . Найдите эти углы.

Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.

  1. Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или ( по теореме).

  1. Составим и решим уравнение
  2. 5х=;
  3. ;
  4. ;
  5. ;
  6. Значит, меньший из смежных углов, равен , а больший .
  7. Ответ: и .
  8. VI Подведение итогов урока. Рефлексия
  9. Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)
  10. Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да, )
  11. VII Домашнее задание
  1. Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)

  2. Найти градусные меры смежных углов, если:

    1. они относятся как 7:29 (ответ );

    2. их разность равна ? (ответ );

Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.

Источник: https://infourok.ru/urok-smezhnie-ugli-svoystva-smezhnih-uglov-2531348.html

Определение смежные углы

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые имеют ту же вершину, что и начало координат. С другой стороны, рядом с ним есть прилагательное, которое определяет, что находится рядом с чем-то.

Свойства смежных углов, с примерами

Смежные углы — это те, которые разделяют одну сторону и вершину, в то время как две другие стороны являются противоположными лучами .

Это определение позволяет нам сделать вывод, что смежные углы также являются смежными или последовательными углами (поскольку они имеют одну общую сторону и одну и ту же вершину) и дополнительными углами (сумма обоих результатов составляет 180 °, то есть плоский угол ).

Важно отметить, что не все источники по этой теме соответствуют требованию, чтобы оба угла составляли в общей сложности 180 °; то есть во многих текстах по геометрии понятие смежных углов определяется как любая пара, у которой есть одна сторона и общая вершина, без необходимости их дополнения. По этой причине, прежде чем обращаться к информации по этому вопросу, необходимо определить конвенцию, на которую она отвечает, чтобы избежать противоречий или непоследовательности.

Другие свойства смежных углов состоят в том, что их косинусы имеют одинаковое значение, хотя и обратные знаки, то есть их абсолютное значение одинаково; например, если мы берем два соседних угла, один из которых составляет 120 °, а другой — 60 °, косинус первого равен косинусу второго, умноженному на -1. Грудь этих углов, с другой стороны, одинакова.

Косинус — понятие, принадлежащее тригонометрии, и относится к соотношению между соседней ногой под острым углом, который является частью прямоугольного треугольника, и его гипотенузой; Другими словами, можно сказать, что косинус угла α равен делению соседней ноги на величину гипотенузы. Следует отметить, что результат не изменяется в соответствии с характеристиками прямоугольного треугольника, а скорее является функцией угла, как указано в теореме Фалеса .

С другой стороны, это синус, функция тригонометрии, которая заключается в делении противоположной ноги на угол, заданный ее гипотенузой.

Если угол 44 ° расположен рядом с углом 136 °, с которым он разделяет одну сторону и вершину, мы можем сказать, что они являются смежными углами ( 44 ° + 136 ° = 180 ° ). Эта квалификация влияет на оба угла, не препятствуя развитию других классификаций. Угол в 44 °, помимо смежности с другим, является острым углом . Угол 136 °, с другой стороны, прилегает к этому острому углу, но в то же время это тупой угол .

Два прямых угла ( 90 ° каждый) также могут быть смежными углами. Требование всегда одно и то же: они должны делить вершину и одну сторону, а две другие стороны должны быть противоположными осями. Если мы добавим оба соседних прямых угла, результатом будет плоский угол ( 180 ° ).

Как и во многих других классификациях в области математики, концепция смежных углов может быть применена ко многим различным проблемам. Как только мы определим тип угла, перед которым мы находимся, следующим шагом будет использование надежного источника для изучения всех его известных свойств и оценки его полезности для нашего проекта.

Мы можем сказать, что не всегда два угла, необходимые для воплощения этой концепции в жизнь, присутствуют явно, но часто мы начинаем с одного и представляем другой, чтобы получить доступ к этим свойствам, если это открывает дверь новым решениям . Другими словами, мы не должны забывать, что это концепции, которые возникают из наблюдений и теоретизирования, которые позволяют нам адаптировать реальность к нашим потребностям.

Источник: https://ru.tax-definition.org/45177-adjacent-angles

Что такое смежные углы? Какими свойствами они обладают? Ответы репетиторов

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна 180 градусов.

8

Два угла ,2 стороны которых являются продолжением друг дуга , а одна общая. Их сумма равна 180.

4

Углы имеющие одну общую сторону,а две другие являются продолжением друг друга….сумма смежных углов равна 180град.

2

Углы, одна сторона которых, общая, а две другие дополнительные полупрямые называются смежными. Сумма таких углов 180 градусов. Биссектрисы этих углов образуют прямой угол. Если один из смежных углов острый, то другой — тупой.

Если один из смежных углов прямой, то и другой тоже прямой. Синусы смежных углов равны. А вот косинусы и тангенсы равны по величине, но противоположны по знаку (исключаем неопределённые углы).

Используются при изучении различных свойств треугольников, многоугольников.

2

Смежные углы — это улы, у которых одна сторона обжая, а две другие стороны являются дополнительными полупрямыми. Они обладают таким свойством: их сумма равна 180 градусов.

2

Смежные углы это такие углы,у которых одна сторона общая,а две других дополнительные лучи.Сума смежных углов 180 градусов

2

Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а вторые образуют развёрнутый угол. Зная один из смежных углов, второй всегда можно найти:180 — известный угол.

2

Смежные углы — это два угла которые получились в результате разделения внутренним лучом развернутога угла. Сума таких углов 180 градусов.

2

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони цих кутів є доповняльними півпрямими. Т. Сума суміжних кутів дорівнює 180 (градусів.) Кут суміжний з прямим є прямий кут.

1

Смежные углы — это углы, которые имеют одну общую сторону, а две другие есть дополнительными лучами друг к другу. Сумма смежных углов, равна 180 градусам.

1

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180 градусам.

1

смежные углы — это углы, которые имеют одну общую сторону, а две две другие образуют развернутый угол. сумма смежных углов равна 180 градусов

1

суміжні кути — це 2 кути, утворені в результаті поділу розгорнутого кута на два різні кути….це кути, які ніби «живуть за стіною», межують за лінією, тому і названі суміжними…..Якщо градусні міри 2 суміжних кутів додати, то отримаємо в результаті 180 градусів.

1

Смежные углы — это два угла, имеющие общую сторону и одну вершину. Сумма смежных углов всегда равно 180

1

Смежные углы = это пара углов, имеющая общую сторону и общую вершину. Другие два луча являются дополнительными. Свойства. Сумма смежных углов равна 180 (градусов). (Теорема 7 кл, геометрия) Смежные углы образуют развернутый угол. При пересечении двух прямых, образуются 4 пары смежных углов.

1

Источник: https://onlinerepetitor.net/article/chto-takoe-smezhnye-ugly-kakimi-svoystvami-oni-obladayut

Ссылка на основную публикацию