Уравнение параболы, формулы и примеры

Поводом для написания этой заметки стала беседа с коллегой по работе, который сделал измерения двух взаимосвязанных величин, нанес их на плоскость и заметил, что они напоминают часть параболы. Он попросил найти аппроксимацию, максимально близко располагающуюся около точек измерения.

Предположим мы сделали несколько не очень точных измерений каких-то двух, скорее всего взаимосвязанных физических величин и результаты нанесли на плоскость в виде точек. Эти результаты на плоскости напоминают какую-то кривую, возможно параболу, как же ее найти?

Решение.

Запишем уравнение параболы в виде:

А результаты изменений произвольно пронумеруем и занесем в таблицу:

Номер измерения i	Результат измерения величины x	Результат измерения величины y
1	x1	y1
2	x2	y2
…	…	…
N	xN	yN

Для удобства данные можно занести в Microsoft Excel

Файл с данным примером в формате Excel можно скачать тут: Data.xls.

Которое обозначает что сумма квадратов «несоответствия» всех точек должна быть минимальна. В этом и заключается суть Метода Наименьших Квадратов (МНК), по-английски метод называется the Method of Least Squares. Данный метод можно назвать основным для обработки статистических данных и определения корреляции.

Выберем последний путь, так как он позволяет получить наиболее точное решение при минимуме вычислительных затрат.

Из математического анализа известно, что минимум функции находится в точке, где производная этой функции равна нуля. Наша функция  зависит от трех параметров и не может быть отрицательной, так как под суммой выражение в квадрате. Найдем частные производные от  по  и приравняем каждую из них к нулю. Получим три уравнения которые должны быть решены совместно:

• Получим систему уравнений:
• Выполним преобразования:
• Введем обозначения:
• В результате система уравнений примет компактный вид:
• Эту систему уравнений можно записать в матричном виде:
• Решение системы уравнений в матричном виде имеет вид:
• На этом все аналитические выкладки заканчиваются и можно перейти к вычислениям в Microsoft Excel.

Готовый файл: LS.xls.
Подобные статьи: Как найти параметры прямой по результатам измерений?

Источник: https://www.motorjock.com/parabolic_approximation.html

Каноническое уравнение параболы

Определение 1

Парабола — это кривая, образованная геометрическим множеством точек, находящихся на одинаковом расстоянии от некой точки $F$, называемой фокусом и не лежащей ни на этой кривой, ни на прямой $d$.

То есть отношение расстояний от произвольной точки на параболе до фокуса и от этой же точки до директрисы всегда равно единице, это отношение называется эксцентриситетом.

Термин “эксцентриситет” также используется для гипербол и эллипсов.

Основные термины из канонического уравнения параболы

Точка $F$ называется фокусом параболы, а прямая $d$ — её директрисой.

Осью симметрии параболы называется прямая, проходящая через вершину параболы $O$ и её фокус $F$, так, что она образует прямой угол с директрисой $d$.

Вершиной параболы называется точка, расстояние от которой до директрисы минимальное. Эта точка делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.

Что из себя представляет каноническое уравнение параболы

Определение 2

Каноническое уравнение параболы довольно простое, его несложно запомнить и оно имеет следующий вид:

$y^2 = 2px$, где число $p$ должно быть больше нуля.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

• Число $p$ из уравнения носит название «фокальный параметр».
• Данное уравнение параболы, вернее именно эта наиболее часто применяемая в высшей математике формула, применимо в том случае, когда ось параболы совпадает с осью $OX$, то есть парабола располагается как будто на боку.
• Парабола, описанная уравнением $x^2 = 2py$ — это парабола, ось которой совпадает с осью $OY$, к таким параболам мы привыкли в школе.
• А парабола, которая имеет минус перед второй частью уравнения ($y^2 = — 2px$), развёрнута на 180° по отношению к каноничной параболе.
• Парабола является частным случаем кривой 2-ого порядка, соответственно, в общем виде уравнение для параболы выглядит точно также как для всех таких кривых и подходит для всех случаев, а не только когда парабола параллельна $OX$.
• При этом дискриминант, вычисляющийся по формуле $B^2 – 4AC$ равен нулю, а само уравнение выглядит так:
  $Ax^2 + B cdot x cdot y + Ccdot y^2 + Dcdot x + Ecdot y + F = 0$

Вывод с помощью графика канонического уравнения для параболы

1. Рисунок 1. График и вывод канонического уравнения параболы
2. Из определения, приведённого выше в данной статье, составим уравнение для параболы с верхушкой, расположенной на пересечении координатных осей.
3. Используя имеющийся график, определим по нему $x$ и $y$ точки $F$ из определения параболической кривой, данного выше, $x = frac{p}{2}$ и $y = 0$.
4. Для начала составим уравнение для прямой $d$ и запишем его: $x = — frac{p}{2}$.
5. Для произвольной точки M, лежащей на нашей кривой, согласно определению, справедливо следующее соотношение:
6. $FM$ = $ММ_d$ (1), где $М_d$ — точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c директрисой $d$.
7. Икс и игрек для этой точки равны $frac{p}{2}$ $y$ соответственно.
8. Запишем уравнение (1) в координатной форме:
9. $sqrt{(x — frac{p}{2})^2 + y^2 }= x + frac{p}{2}$
10. Теперь для того чтобы избавиться от корня необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:
11. $(x — frac{p}{2})^2 + y^2 = x^2 +px^2 + frac{p^2}{4}$
12. После упрощения получаем каноническое уравнение параболы:
    $y^2 = px$.

Парабола, описываемая с помощью квадратичной функции

• Уравнение, описывающее параболу с верхушкой, расположенной где угодно на графике и необязательно совпадающей с пересечением осей координат, выглядит так:
• $y = ax^2 + bx + c$.
• Чтобы вычислить $x$ и $y$ для вершины такой параболы, необходимо воспользоваться следующими формулами:
• $x_A = — frac{b}{2a}$
• $y_A = — frac{D}{4a}$, где $D = b^2 – 4ac$.

Пример 1

Пример составления классического уравнения параболы

Задача. Зная расположение фокусной точки, составить каноническое уравнение параболы. Координаты точки фокуса $F$ $(4; 0)$.

Так как мы рассматриваем параболу, график которой задан каноническим уравнением, то её вершина $O$ находится на пересечении осей икс и игрек, следовательно расстояние от фокуса до вершины равно $frac{1}{2}$ фокального параметра $frac{p}{2} = 4$. Путём нехитрых вычислений получим, что сам фокальный параметр $p = 8$.

После подстановки значения $p$ в каноническую форму уравнения, наше уравнение примет вид $y^2 = 16x$.

Как составить уравнение параболы по имеющемуся графику

Пример 2

1. Рисунок 2. Каноническое уравнение для параболы график и пример для решения
2. Для начала необходимо выбрать точку $М$, принадлежащую графику нашей функции, и, опустив из неё перпендикуляры на оси $OX$ и $OY$, записать её икс и игрек, в нашем случае точка $M$ это $(2;2)$.
3. Теперь нужно подставить полученные для этой точки $x$ и $y$ в каноническое уравнение параболы $y^2 = px$, получаем:
4. $2^2 = 2 cdot 2p$
5. Сократив, получаем следующее уравнение параболы $y^2 = 2 cdot x$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/parabola/kanonicheskoe_uravnenie_paraboly/

Вывод уравнения параболы

Введем
прямоугольную систему координат, где
.
Пусть осьпроходит через фокусFпараболы
и перпендикулярен директрисе, а ось

png»>проходит посередине между фокусом и
директрисой. Обозначим черезрасстояние между фокусом и директрисой.
Тогдаа уравнение директрисы.

Число–
называетсяфокальным
параметромпараболы.
Пусть
–
текущая точка параболы. Пусть

png»>–
фокальный радиус точки
гиперболы.–расстояние
от точки до
директрисы. Тогда

8FiQ/img-aRqyeh.png»>(чертеж
27.)

Чертеж
27.

Отсюда:

Исследование свойств параболы

1)
Вершина параболы:

Уравнению
(15) удовлетворяют числа и,
следовательно, парабола проходит через
начало координат.[1.c.109-110]

2)
Симметрия параболы:

Пусть
принадлежит параболе, т.е.верное
равенство. Точка

png»>симметрична точкеотносительно оси,
следовательно, парабола симметрична
относительно оси абсцисс. [1.С.

110]

Определение
4.2. Эксцентриситетом
параболы называется число ,
равное единице.

,
так как по определению параболы
.[1.С.110-111]

4)
Касательная параболы:

,
где (чертеж
28.)

Чертеж
28.

Изображение
параболы

• Построим параболу с вершиной в точке и.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как

   png»>, проводимтакую, что, и директрису параболы.

   Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность пересекает прямую

   8FiQ/img-Ckjxdk.png»>в точкахи. Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точки

   png»>и.(чертеж 29.)

M1

M2

Чертеж
29.

1. С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное
уравнение имеет вид: .
Для построения линии второго порядка
в программеMathcad
приводим уравнение к виду: .(чертеж
30.)

Чертеж
30.

• Построим параболу с вершиной в точке и.

a)
Построение без использования ИКТ: Для
построения параболы задаем прямоугольную
систему координат с центром в точке О
и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ
фокус ,так
как

png»>,
проводимтакую, что,
и директрису параболы.

Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность
пересекает прямую

8FiQ/img-qh2_KD.png»>в точкахи.
Строим параболу так, чтобы она проходила
через начало координат и через точки

png»>и.(чертеж
31.)

M1

M2

Чертеж
31.

b)С
использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное
уравнение имеет вид: .
Для построения линии второго порядка
в программеMathcad
приводим уравнение к виду: .(чертеж
32.)

• Чертеж
  32.
• Чтобы
  обобщить работу по теории линий второго
  порядка в элементарной математике и
  для удобства использования информации
  о линиях при решении задач, заключим
  все данные о линиях второго порядка в
  таблицу № 1.
• Таблица
  №1.

Линии второго порядка в элементарной математике

Название линии 2-го порядка	Окружность	Эллипс	Гипербола	Парабола
Характеристические свойства
Уравнение линии
Эксцентриситет
Уравнение касательной в точке (x;y)
Фокус
Диаметры линий

1. Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка

Процесс
информатизации, охвативший сегодня все
стороны жизни современного общества,
имеет несколько приоритетных направлений,
к которым, безусловно, следует отнести
информатизацию образования. Она является
первоосновой глобальной рационализации
интеллектуальной деятельности человека
за счет использования
информационно-коммуникационных
технологий (ИКТ).

Середина
90-х годов прошлого века и до сегодняшнего
дня, характеризуется массовостью и
доступностью персональных компьютеров
в России, широким использованием
телекоммуникаций, что позволяет внедрять
разрабатываемые информационные
технологии обучения в образовательный
процесс, совершенствуя и модернизируя
его, улучшая качество знаний, повышая
мотивацию к обучению, максимально
используя принцип индивидуализации
обучения. Информационные технологии
обучения являются необходимым инструментом
на данном этапе информатизации
образования.

Информационные
технологии не только облегчают доступ
к информации и открывают возможности
вариативности учебной деятельности,
ее индивидуализации и дифференциации,
но и позволяют по-новому организовать
взаимодействие всех субъектов обучения,
построить образовательную систему, в
которой ученик был бы активным и
равноправным участником образовательной
деятельности.

Поэтому, для
успешного и целенаправленного
использования в учебном процессе средств
информационных технологий, преподаватели
должны знать общее описание принципов
функционирования и дидактические
возможности программно- прикладных
средств, а затем, исходя из своего опыта
и рекомендаций, «встраивать» их в
учебный процесс.

1. Изучение
   математики в настоящее время сопряжено
   с целым рядом особенностей и трудностей
   развития школьного образования в нашей
   стране.
2. Появился
   так называемый кризис математического
   образования. Причины его состоят в
   следующем:
3. —
   в изменении приоритетов в обществе и в
   науке, то есть в настоящее время идет
   рост приоритета гуманитарных наук;
4. —
   в сокращении количества уроков математики
   в школе;
5. —
   в оторванности содержания математического
   образования от жизни;
6. —
   в малом воздействии на чувства и эмоции
   учащихся.

Сегодня
остается открытым вопрос: «Как же
наиболее эффективно использовать
потенциальные возможности современных
информационных и коммуникационных
технологий при обучении школьников, в
том числе, при обучении математике?».

Компьютер
– отличный помощник в изучении такой
темы, как “Квадратичная функция”,
потому что, используя специальные
программы можно строить графики различных
функций, исследовать функцию, легко
определить координаты точек пересечения,
вычислить площади замкнутых фигур и
т.

д. Например, на уроке алгебры в 9-м
классе, посвящённом преобразованию
графика (растяжения, сжатия, переносы
координатных осей) можно увидеть лишь
застывший результат построения, а на
экране монитора прослеживается вся
динамика последовательных действий
учителя и ученика.

Компьютер,
как ни одно техническое средство, точно,
наглядно и увлекательно открывает перед
учеником идеальные математические
модели, т.е. то, к чему должен стремиться
ребенок в своих практических действиях.

Сколько
трудностей приходится испытывать
учителю математики для того, чтобы
убедить учеников в том, что касательная
к графику квадратичной функции в точке
касания практически сливается с графиком
функции.

На компьютере этот факт
продемонстрировать очень просто-
достаточно сузить интервал по оси Ох и
обнаружить, что в очень маленькой
окрестности точки касания график функции
и касательная совпадают. Все эти действия
происходят на глазах у учеников.

Этот
пример дает толчок к активным размышлениям
на уроке. Использование компьютера
возможно как в ходе объяснения нового
материала на уроке, так и на этапе
контроля.

Разумная
интеграция математики и компьютерных
технологий позволит богаче и глубже
взглянуть на процесс решения задачи,
ход осмысления математических
закономерностей.

Кроме того, компьютер
поможет сформировать графическую,
математическую и мыслительную культуру
учеников, а также с помощью компьютера
можно подготовить дидактические
материалы: карточки, листы опроса, тесты
и др.

При этом давать возможность ребятам
самостоятельно разрабатывать тесты по
теме, в ходе чего развивается интерес
и творческий подход.

Таким
образом, есть необходимость в применении
по возможности компьютера на уроках
математики более широко, чем есть.

Использование информационных технологий
будет способствовать повышению качества
знаний, расширит горизонты изучения
квадратичной функции, а значит, поможет
найти новые перспективы для поддержания
интереса учащихся к предмету и к теме,
а значит и к лучшему, более внимательному
отношению к нему.

Сегодня современные
информационные технологии становятся
важнейшим инструментом модернизации
школы в целом – от управления до
воспитания и обеспечения доступности
образования.

Источник: https://studfile.net/preview/1722141/page:5/