Волновое уравнение в физике

Уравнение типа (2.2), описывающее колебания различных упругих сред, называется волновым уравнением. Запишем его формально в виде:

(2.16)

или

(2.16')

Введем теперь вместо (x, t) новые переменные:

(2.17)

Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:

Отсюда следует, что уравнение (2.16) в новых переменных записывается в виде:

(2.18)

• Поскольку производная по  равна нулю,  
• не зависит от этой переменной и, следовательно, является некоторой функцией w только от переменной :

(2.19)

Интегрируем теперь это уравнение:

(2.20)

Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной , которую мы обозначим как . Второе слагаемое — постоянная интегрирования. Она не зависит от , являясь, стало быть, функцией только переменной :

Мы получили, что решение волнового уравнения имеет вид:

Подставляя сюда выражения (2.17), мы возвращаемся к прежним переменным (x, t):

(2.21)

Функции f1 и f2 — совершенно произвольны и должны быть определены из начальных и граничных условий.

Обсудим физический смысл полученных решений. Ограничимся сначала первым слагаемым. Пусть

В момент времени t = 0 функция f1(x) задает распределение смещений (профиль струны, деформацию твердого тела, распределение давления или частиц в газе и т. д.):

Предположим, например, что это распределение имеет максимум в точке  (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Движение волнового пакета f1(x – vt)

Такое распределение называют обычно волновым пакетом. В момент t максимум функции  по-прежнему будет в точке, в которой аргумент  равен , но теперь (в момент времени ) аргумент равен , таким образом:  или . Другими словами, за время от 0 до  волновой пакет сдвинется вправо на расстояние vt, так что максимум теперь придется на точку

Нетрудно сообразить, что форму свою волновой пакет при этом перемещении не изменит.

Мы видим, что начальное распределение движется вправо со скоростью . Аналогично, второе слагаемое, , описывает движение волнового пакета налево с той же скоростью . Общее решение (2.21) является суперпозицией двух этих решений.

В свою очередь, любой волновой пакет может быть представлен как суперпозиция гармонических функций. Отсюда — особая роль решений волнового уравнения вида:

(2.22)

Это решение описывает монохроматическую волну, распространяющуюся направо со скоростью

(2.23)

Действительно, выражение (2.22) можно представить в виде

что является одной из бесчисленных возможностей конкретного воплощения функции f(x–vt) в (2.21). Величина   – это циклическая частота колебаний, а k называется волновым числом.

Пусть наблюдатель находится в точке  и следит за колебаниями среды в этой точке. Он обнаружит, что колебательное движение происходит по закону

(2.24)

Наблюдатель в другой точке также обнаружит гармонические колебания с той же частотой, но с другой начальной фазой  . Чем правее точка наблюдения, тем большее запаздывание по фазе имеют там колебания. Соответственно, выражение

1. описывает монохроматическую волну, распространяющуюся налево.
2. Проведем теперь другой мысленный опыт: «сфотографируем» нашу волну в какой-то данный момент времени  (в случае колеблющейся струны для этого даже не нужно изощренных приборов). На снимке мы увидим периодическую пространственную структуру:

(2.25)

Эта структура имеет максимумы смещений (рис. 2.7) в точках с координатами хп, определяемыми из условия

Рис. 2.7. Смещение точек среды в момент времени t (сплошная кривая) и (пунктирная кривая).

• Период повторения  тех же смещений в пространстве есть расстояние между ближайшими максимумами:
• Получаем в итоге:

(2.26)

Величина   называется длиной волны.

Длина волны — это минимальное расстояние между двумя точками волны,  в которых колебания совершаются в одинаковой фазе.

Точнее, фазы колебаний в двух точках, отстоящих друг от друга на , отличаются на , что, учитывая периодичность синуса и косинуса, то же самое, что и равенство фаз. Напомним, что такие колебания чаще всего называют просто: синфазные колебания.

Если «сфотографировать» волну в близкий момент времени , то на снимке вся пространственная структура сдвинется как целое на расстояние . Скорость v называется фазовой скоростью волны, так как с такой скоростью движутся максимумы, минимумы и вообще все точки с данным значением фазы.

Фазовая скорость волны — это скорость, с которой  перемещаются точки волны, колеблющиеся в одинаковой фазе.

Если в общем случае фазу волны в точке с радиус-вектором  в момент времени  обозначить  и ввести поверхность постоянной фазы, во всех точках которой фаза имеет одно и то же постоянное значение

,

то фазовую скорость волны можно определить так: фазовая скорость волны есть скорость точки поверхности постоянной фазы.

Это скорость точки, принадлежащей поверхности постоянной фазы, сама эта поверхность не стационарна — её точки перемещаются.

Используя (2.26) и (2.23), находим связь между характеристиками волны:

(2.27)

Здесь   — частота (в герцах) колебаний в волне.

Рис. 2.8.

Приведем численные примеры. Волна сгущений и разрежений в газе есть продольная упругая волна. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона для газового состояния, можно записать скорость звуковой волны в газе (2.8) в виде:

(2.28)

1. где М — молярная масса, т — масса молекул, а T — абсолютная температура газа. С другой стороны, среднеквадратичная скорость молекул газа также определяется его абсолютной температурой
2. откуда

(2.29)

Иными словами, скорость звука в газе по порядку величины совпадает со скоростью теплового движения молекул. Молярная масса воздуха М=29·10-3 кг/моль, показатель адиабаты . Подставляя эти значения в (2.28), находим скорость звука в воздухе при комнатной температуре (T = 20 °С = 293 К):

(2.30)

• Человеческое ухо воспринимает частоты в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. Соответствующие длины волн равны:
• для низких частот и
• — для высоких.

Для стали модуль Юнга равен Е = 20.6·1010 Н/м2, модуль сдвига G = 8·1010 Н/м2, а плотность . Соответственно, получаем из (2.14), (2.15) скорости распространения продольных и поперечных колебаний в стали :

(2.31)

Наконец, для воды роль модуля Юнга играет величина, обратная сжимаемости k=0.47·10-9 Па-1. Плотность воды кг/м3. Для скорости звука в воде получаем тогда:

(2.32)

1. Звук той же частоты будет иметь в воде и воздухе разные длины волн. Так, для  кГц получаем длину волны в воде:
2. что надо сравнить с мм в воздухе.
3. Рассмотрим несколько примеров для оценки длины звуковой волны в различных средах.

Пример 1. Для диагностики опухолей в мягких тканях применяется ультразвук с частотой  МГц. Найдем длину ультразвуковой волны в воздухе и в мягких тканях, где скорость распространения звука равна МГц = 1.5 км/с.

• Длина ультразвуковой волны в воздухе
• В мягких тканях длина ультразвуковой волны равна

Как мы увидим в дальнейшем, длина волны любого излучения накладывает естественный предел на размеры объектов, которые можно различить с его помощью. Данный пример показывает, что диагностика опухолей, размеры которых меньше миллиметра, с помощью ультразвука затруднительна.

Пример 2. Летучая мышь использует для ориентирования ультразвук с частотой кГц. Определим размеры препятствий, которые заведомо не будут замечены летучей мышью и ответим на тот же вопрос в отношении дельфинов, которые также используют эти частоты.

1. Длина волны, испускаемой летучей мышью, равна
2. Препятствия меньших размеров заведомо не могут быть замечены мышью с помощью испускаемой ультразвуковой волны.

Для дельфинов ответ иной из-за другой скорости распространения звука в воде. Скорость звука в воде 1.46 км/с. Тогда

Таким образом, летучая мышь может обнаружить насекомых, а дельфин — небольших рыбок.

Пример 3. Альпинист, спускающийся с отвесной скалы, висит на веревке длиной 30 м. Страхующий его партнер подает ему сигнал, дергая веревку. Найдем, за какое время сигнал достигнет альпиниста. Масса альпиниста 80 кг, масса одного метра веревки равна 75 г.

Так как нам дана линейная плотность веревки 7.5·10-2 кг/м и сила ее натяжения Т = тg, то по формуле (2.3) находим скорость распространения колебаний:

• Отсюда определяем время прохождения сигнала:
• Дополнительная информация

http://allphysics.ru/perelman/zvuk-volnoobraznoe-dvizhenie – Я.И. Перельман, «Занимательная физика». Звук, Волнообразное движение.

http://allphysics.ru/perelman/zvuk-i-slukh – Я.И. Перельман, «Занимательная физика». Звук и слух. Эхо.

http://etorealno.ru/2010/04/21/fizika-interesnye-fakty-2/ – Интересные факты о звуке и резонансе

http://sitefaktov.ru/index.php/home/542-ozvuke – Интересные факты о звуке

http://1interesnoe.info/2009/12/gerc-genrikh/ – Немного о Генрихе Герце

http://ligis.ru/effects/science/223/index.htm – Генерация ультразвука

http://allphysics.ru/feynman/zvyk-volnovoe-yravnenie – Фейнмановские лекции по физике. Звук. Волновое уравнение.

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/optics/data/course/2/2.2.html

4 .1. Физический смысл решения волнового уравнения аналитическими функциями комплексного пространственного переменного. Вихрь как причина образования заряда в пространстве

4 .1. Физический смысл решения волнового уравнения аналитическими функциями комплексного пространственного переменного. Вихрь как причина образования заряда в пространстве.

Рассмотрим волновые уравнения, описывающие различные физические среды. Например, распространение звука в среде описывается уравнением

(4.1.)

где функция ¦ — описывающая поведение среды (воздуха)

— скорость звука

Далее, если плоская световая волна распространяется

вдоль оси x и поляризована так, что электрическое поле E направлено по оси y, то имеем

(4.2.)

где c — скорость света.

Уравнение (4.2) является следствием уравнения Максвелла. Уравнения (4.1.), (4.2.) согласно современному представлению теоретической физики, являются уравнением одномерных волн. Для их вывода используется векторная интерпретация точечного вихря. Уравнения содержат временную

координату. Эти два условия говорят о том, что в пространстве можно получить решение непосредственно из его физической сущности.

Так, решением одномерного волнового уравнения

в действительных координатах является функция

где

представляют жесткое перемещение вдоль оси x (рис. 42, рис. 43).

Рис. 42. Жесткое перемещение плоской волны по направлению действительной оси

Рис. 43. Образование крутящего момента в пространстве при отображении пространства конуса-фильтра делителей нуля

В пространстве векторная операция точечного вихря определяет функцию

от комплекса

, где ,

как функцию двух действительных функций от двух действительных переменных

В соответствии с определением производной

от этой функции по формуле (1.26.) будем иметь

.

(4.3.)

Откуда, приравняв комплексные части получим пространственный ротор. В пространстве

имеем два вектора, имеющих начало в окрестности e -туннеля. Вектора лежат

в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что образуется крутящий момент (рис. 4

3).

Из формулы (4.3) имеем систему уравнений, дающих волновое уравнение.

.

Такой подход вскрывает механизм распространения электромагнитной волны (рис. 44), образованной из двух волн электрической E и магнитной H) и существующей благодаря наличию светового e -туннеля как одна волна.

Рис.44. Пространственная электромагнитная волна в комплексной интерпретации

Таким образом, решением волнового уравнения является функция

и решение принадлежит четырехмерному пространству, а не плоскости, как считалось до настоящего времени.

Комплексные части аналитических функций, определенных в пространстве

, являются решением волнового уравнения.

В теоретической физике рассматривается волновое уравнение, определенное в четырехмерном пространстве. Например, вектор Е электрической напряженности описывается пространственным уравнениям.

.

(4.4.)

Решение этого уравнения представляется в виде суперпозиции решений одномерного уравнения. В решение входят волны, бегущие в направлении оси

x, если поле не зависит от у, x , а также от у, если поле не зависит от х и x и так далее. В общем случае решение содержит суперпозицию волн, идущих в любых направлениях пространства.

Математического аппарата для получения общего уравнения в теоретической физике не существует, поэтому его сводят к решению уравнения (4.4), вводя вместо переменных

x, у, x переменную r

.

После замены переменных в уравнении (4.4) и преобразований получим уравнение сферических волн, исходящих из

центра точечного источника.

Решением в общем случае является Функция

,

(4.5.)

описывающая первым своим членом сходящуюся волну

(рис. 45).

В решении (4.5) функция y в начале координат бесконечна. Решение физически означает, что в начале координат

располагается источник и поэтому решение не отвечает

Рис. 45. Сходящаяся волна

свободному волновому уравнению, следовательно, и начало координат не отвечает свободному волновому уравнению, Начало координат исключается из рассмотрения. Теоретическая физика в настоящее время не может объяснить этот момент.

В комплексном пространстве ситуация меняется. По аналогии с решением одномерного волнового уравнения составим решение в пространстве, которым будет функция от комплекса

,

деленная на

r.

В этом решении параметр

r уже ограничен градусом e -туннеля, ибо при

функция определяется от делителей нуля.

Это первая особенность решения, которая снимает вопрос об образовании волн в пространстве без наличия точечного источника — заряда.

Отображение, осуществляемое функцией

, позволяет определить в новых координатах, которыми будут комплексные части функции, туннель определенной уже физической природы. В окрестности этого нового туннеля комплексные части, выступающие как векторы, образуют крутящий момент (рис. 46)

Рис. 46. Образование пространственной волны

Аналитические функции, определенные в комплексном пространстве, дают решение волнового уравнения в более общем виде. Условия дифференцирования функции дают жесткие ограничения, которые представляют в принципе физический принцип суперпозиции волн.

Если дана функция

,

то действительные функции U, V, P, Q от действительных переменных

удовлетворяют системе из четырёх эллиптических:

; ;;

и системе из двух гиперболических уравнений:

; .

Совместно система дает волновое уравнение

.

Замена переменной

на временную переменную ct дает свободное волновое уравнение

.

Решением этого уравнения будет функция

, определенная в пространстве комплексных координат

.

В этом комплексе

произведена замена переменной с базисным вектором на переменную с вектором , то есть вектор переменной повернут на угол p /2 относительно вектора j (см. рис. 46). Вследствие этого в пространстве образуется крутящий момент между плоскостью

и вектором i

y, что и приводит к образованию сферических волн.

Пример 1.

;

Функции

U, V, P, Q являются решением волнового уравнения.

Пример: 2.

.

Комплексные функции

W, R являются решением волнового уравнения.

Таким образом, пространство с e -туннелем рассматриваем как заряженное пространство, В этом смысле вихрь, идущий по вихревой траектории типа C

3, создает заряженное пространство. Заряд в виде вихревого образование включает в себя сходящуюся и расходящуюся волны.

[Следующий параграф]

Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.

1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.

1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.

18],[11] 

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com

Источник: http://www.maths.ru/4-1.html

Волны. Уравнение волны

Помимо уже рассмотренных нами движений, почти во всех областях физики встречается ещё один тип движения – волны. Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения).

Возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются волнами. Волны бывают механические и электромагнитные.

Упругие волны – это распространяющиеся возмущения упругой среды.

Совокупность всех точек, куда дошла волна в данный момент времени, образует поверхность, называемую фронтом волны.

По форме фронта волны делятся на сферические и плоские. Направление распространения фронта волны определяется перпендикуляром к фронту волны, называемым лучом. Для сферической волны лучи представляют собой радиально расходящийся пучок. Для плоской волны лучи- пучок параллельных прямых.

В любой механической волне одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространения возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение возмущения происходят в одном направлении, называется продольной(рис.7.2 а).

Волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения возмущений, называется поперечной(рис. 7.2 б).

В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной — смещения (сдвига) одних слоев среды относительно других. Продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных), а поперечные — только в твёрдых.

Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны υ понимают скорость распространения возмущения. Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твёрдых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных.

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в её источнике. Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденной волной расстояние равно произведению скорости на время её распространения. Таким образом, длина волны

λ= υТ (7. 1)

Из уравнения (7.1) следует, что частицы, отделённые друг от друга интервалом λ, колеблются в одинаковой фазе. Тогда можно дать следующее определение длины волны: длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Выведем уравнение плоской волны, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени. Пусть волна распространяется вдоль луча от источника с некоторой скоростью υ.

Источник возбуждает простые гармонические колебания, и смещение любой точки волны в любой момент времени определяетcz уравнением

S = Asinωt (7. 2)

• Это и есть уравнение плоской волны. Эта волна, характеризуется следующими параметрами:
• · S — смещение от положения равновесии точки упругой среды, до которой дошло колебание;
• · ω — циклическая частота колебаний, генерируемых источником, с которой колеблются и точки среды;
• · υ — скорость распространения волны (фазовая скорость);
• · х – расстояние до той точки среды, куда дошло колебание и смещение которой равно S;

1. · t – время отсчитываемое от начала колебаний;
2. Вводя в выражение (7. 3) длину волны λ, уравнение плоской волны можно записать так:
3. (7. 4)

где называется волновым числом (число волн, приходящихся на единицу длины).

Волновое уравнение

Уравнение плоской волны (7. 5) — одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде.

Такое уравнение называется волновым. В уравнения (7.5) входят переменные t и х, т.е. смещение периодически меняется и во времени и в пространстве S = f(x, t).

Волновое уравнение можно получить, если продифференцировать (7. 5) дважды по t:

• И дважды по х
• Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение плоской бегущей волны вдоль оси X:
• (7. 6)
• Уравнение (7.6) называют волновым, и для общего случая, когда смещение является функцией четырех переменных, оно имеет вид
• (7.7)
• , где —оператор Лапласа

§ 7.3 Энергия волны. Вектора Умова.

1. При распространении в среде плоской волны
2. (7.8)
3. происходит перенос энергии. Мысленно выделим элементарный объем ∆V, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех его точках можно считать одинаковыми и равными соответственно
4. и (7.9)
5. Выделенный объём обладает кинетической энергией
6. (7.10)
7. m=ρ∆V — масса вещества в объеме ∆V, ρ — плотность среды].
8. (7.11)
9. Подставляя в (7.10) значение , получаем
10. (7.12)
11. Максимумы кинетической энергии приходятся на те точки среды, которые проходят положения равновесия в данный момент времени (S = 0), в эти моменты времени колебательное движение точек среды характеризуется наибольшей скоростью.
12. Рассматриваемый объем ∆V обладает также потенциальной энергией упругой деформации
13. [Е — модуль Юнга; — относительное удлинение или сжатие].
14. Учитывая формулу (7.8) и выражение для производной, находим, что потенциальная энергия равна
15. (7.13)

Анализ выражений (7.12) и (7.13) показывает, что максимумы потенциальной и кинетической энергий совпадают. Следует отметить, что это является характерной особенностью бегущих волн. Чтобы определить полную энергию объема ∆V, нужно взять сумму потенциальной и кинетической энергий:

• (7.14)
• Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии:
• (7.15)

Из выражения (7.15) следует, что плотность энергии является функцией координаты х, т. е. в различных точках пространства она имеет различные значения. Максимального значения плотность энергии достигает в тех точках пространства, где смещение равно нулю (S = 0). Средняя плотность энергии в каждой точке среды равна

1. (7.16)
2. так как среднее значение
3. Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии, которая доставляется от источника колебаний в различные области среды.

Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называют вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова).

Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 19554;

Источник: https://poznayka.org/s48013t1.html

Трехмерное неоднородное волновое уравнение

• Рассмотрим трехмерное неоднородное волновое уравнение
• (28)
• и будем искать его решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям

1. Чтобы решить поставленную задачу нужно решить однородное уравнение
2. (30)
3. но с ненулевой начальной скоростью, равной внешней силе из уравнения (28) в некоторый момент времени τ : :

При этом τ становится параметром задачи. Иными словами воздействие внешней силы на объект заменяется на сообщение точкам объекта соответствующей скорости в некоторый

Теперь для решения задачи можно воспользоваться формулой (12) из §1, заменив в ней t на , тогда получим

• ,(33)
• является решением неоднородного уравнения (28) при нулевых начальных условиях (29). Действительно, из формулы (33) находим
• (34)
• Дифференцируя теперь выражение (33) по времени, получим
• ,(35)

причем внеинтегральный член при равен нулю в силу первого начального условия (31), т.е.

1. (36)
2. Дифференцируя ещё раз по t, будем иметь
3. , (37)

причем здесь внеинтегральный член при в силу первого начального условия (31) равен , т.е.

• (38)
• Поскольку функция v удовлетворяет уравнению (30), то (38) можно переписать следующим образом
• ,
• а в силу (33) входящий в это выражение интеграл есть Δu. В итоге получим
• ,

т.е. функция u удовлетворяет исходному уравнению (28). При этом начальные условия (29) также выполнены в силу (33) и (36).

1. Подставив в формулу (34) вместо функции её выражение (32), получим
2. Затем, если введем вместо τ новую переменную интегрирования , то получим
3. Вводя новые координаты
4. И учитывая, что , получим
5. ,
6. и выражение для окончательно запишется в виде
7. (39)
8. где Dat – шар радиуса at с центром в точке (x, y, z).
9. Выражение (39) называют запаздывающим потенциалом, так как при выполнения интегрирования функция g берется не в рассматриваемый момент времени t, а в момент, наступивший раньше на промежуток времени r/a, необходимый для того, чтобы возмущение, распространяясь со скоростью a от точки (ξ, η, ζ ), дошло до точки (x, y, z ).
10. Аналогичным образом мы можем получить решение для двухмерного волнового уравнения
11. (40)
12. с нулевыми начальными данными
13. (41)
14. Это решение имеет вид
15. (42)
16. где
17. Точечный источник

Предположим, что свободный член в уравнении (28) отличен от нуля только в небольшой сфере D с центром в начале координат.

Тогда при стремлении радиуса этой сферы ε к нулю и при синхронном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения для точечного источника, который начинает действовать с момента по заданной зависимости от времени f (x, y, z, t).

• Положим для определенности, что внутри сферы
• , (43)
• считая по-прежнему
• при

Обратимся теперь к формуле (39) и будем считать, что , при этом, очевидно, что достаточно произвести интегрирование по шару Dε. При ε → 0 величина r будет равна расстоянию от начала координат до точки (x, y, z), т.е. , и мы получим, учитывая (43), что

(44)

Ясно, что при , так как при область интегрирования в интеграле (39) не содержит внутри себя шара Dε при достаточно малых ε.

Отметим, что при любом выборе функции ω(t) функция (44) удовлетворяет уравнению (28) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся радиально со скоростью а от начала координат.

1. В случае уравнения (40) мы должны, так же как и выше, считать, что
2. при ,
3. а вместо (43) написать
4. ,
5. где Сε – круг с центром в начале координат радиуса ε.
6. Обращаясь к формуле (42) и переходя к пределу при ε → 0, получим решение для точечного источника на плоскости
7. (45)
8. где и

Источник: https://cyberpedia.su/9x14e4a.html

Волновое уравнение в физике

Волновой процесс может иметь самую разнообразную природу: в виде волн распространяются свет и звуковое поле, волновую природу имеют колебания вероятности и механические движения таких объектов, как струна.

Электромагнитные волны используются в быту (сотовая связь, радиотехника, СВЧ-печи), в медицине (рентгеновские аппараты), в промышленности и науке (электромагнитные системы управления, лазеры и даже гамма-телескопы).

Волновой процесс отличается от колебательного тем, что изменяющаяся величина перемещается, «оторвавшись» от своего источника. Обычно при волновом движении переносится только энергия, однако в отдельных случаях (излучение газа в вакуум, процессы горения) имеет место и перенос массы.

Волновое дифференциальное уравнение

• Описывать волны сложно: для них не всегда можно выделить даже общие свойства. Движение волны описывается с помощью волнового дифференциального уравнения:
•    
• В этом уравнении u – величина, которая изменяется, v – скорость волны, x, y, z и t – пространственная и временная координата.

Решение волнового уравнения

Решение этого уравнение может оказаться весьма сложным. Поэтому на практике часто используют его частное решение – уравнение плоской волны. Это волна с фронтом в виде бесконечной плоскости, движущаяся перпендикулярно своему фронту.

В природе плоских волн не существует, однако эту модель удобно использовать для расчётов. А излучение лазера или зеркальной антенны с достаточной точностью можно считать плоским.

1. Уравнение плоской волны гармоническое и выглядит вот так:
2.    
3. Здесь А – изменяющаяся величина, А0 – ее амплитуда, – начальная фаза колебаний. Волновое число k можно рассчитать, зная длину волны :
4. Циклическая частота связана со скоростью фронта :
5. А скорость фронта волны, в свою очередь, связана с частотой:
6. Чтобы математически описать распространение звука, работу антенны или лампы накаливания, удобно использовать уравнение сферической волны:
7.    
8. Здесь r – радиус (симметричная координата), а — амплитуда сферической волны.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/volnovoe-uravnenie/

Волновое уравнение

Определение 1

В том случае если волна распространяется в однородной среде, то ее движение в общем случае описывают волновым уравнением (дифференциальным уравнением в частных производных):

[frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}=v^2left(frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial x^2}+frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial y^2}+frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial z^2}
ight)left(1
ight)]

или

[ riangle overrightarrow{s}=frac{1}{v^2}frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}left(2
ight),]

где $v$ — фазовая скорость волны $ riangle =frac{{partial }^2}{partial x^2}+frac{{partial }^2}{partial y^2}+frac{{partial }^2}{partial z^2}$ — оператор Лапласа. Решением уравнения (1,2) служит уравнение любой волны, данные уравнения удовлетворяют, например, и плоская и сферическая волны.

Если плоская волна распространяется вдоль оси $X$, то уравнение (1) представляется как:

Примечание 1

Если физическая величина распространяется как волна, то она обязательно удовлетворяет волновому уравнению. Справедливо обратное утверждение: если какая — либо величина подчиняется волновому уравнению, то она распространяется как волна. Скорость распространения волны будет равна квадратному корню из коэффициента, который стоит при сумме пространственных производных (в данном виде записи).

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Волновое уравнение играет очень большую роль в физике.

Решение волнового уравнения для плоской волны

• Запишем общее решение уравнения (2), для световой волны, распространяющейся в вакууме в случае, если s скалярная функция зависит только от одной из декартовых переменных, например $z$, то есть $s=s(z,t)$, что означает, функция $s$ имеет постоянное значение в точках плоскости, которая перпендикулярна $оси Z$. Волновое уравнение (1) в этом случае примет вид:
• где скорость распространения света в вакууме равна $c$.
• Общим решением уравнения (4) при заданных условиях будет выражение:

где $s_1left(z+ct
ight)$- функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в отрицательном направлении по отношению к направлению $оси Z$, $s_2left(z-ct
ight)$ — функция описывающая волну произвольной формы, которая перемещается со скоростью $c$ в положительном направлении по отношению к направлению $оси Z$. Надо отметить, что в процессе движения значения $s_1$ и $s_2$ в любой точке волны и ее форма волны неизменны.

Получается, что волна, которую описывает суперпозиция двух волн (в соответствии с формулой (5)). Причем эти составляющие волны движутся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В самом простом случае получается стоячая волна. В общем случае необходимо рассматривать сложное электромагнитное поле.

Волновое уравнение и система уравнений Максвелла

1. Волновые уравнения для колебаний векторов напряженности электрического поля и вектора магнитной индукции магнитного поля легко получить из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

   Запишем систему уравнений Максвелла для вещества, в котором нет свободных зарядов и токов проводимости:

2. Применим операцию $rot$ к уравнению (7):
3. В выражении (10) можно изменить порядок дифференцирования в правой части выражения, так как пространственные координаты и время — независимые переменные, следовательно, имеем:
4. Примем во внимание то, уравнение (6), заменим $rotoverrightarrow{B}$ в выражении (11) на правую часть формулы (6), имеем:
5. Зная, что $rotrotoverrightarrow{E}=graddivoverrightarrow{E}-{
   abla }^2overrightarrow{E}$, и используя $divoverrightarrow{E}=0$, получаем:
6. Аналогично можно получить волновое уравнение для вектора магнитной индукции. Оно имеет вид:
7. В выражениях (13) и (14) фазовая скорость распространения волны $(v)$ равна:

Пример 1

Задание: Получите общее решение волнового уравнения $frac{{partial }^2s}{partial z^2}-frac{1}{c^2}frac{{partial }^2s}{partial t^2}=0(1.1)$ плоской световой волны.

• Решение:
• Введем независимые переменные вида для функции $s$:
• В таком случае частная производная $frac{partial s}{partial z}$ равна:
• Частная производная $frac{partial s}{partial t}$ равна:

[xi =z-ct, eta =z+ctleft(1.2
ight).]
[frac{partial s}{partial z}=frac{partial s}{partial xi}frac{partial xi}{partial z}+frac{partial s}{partial eta }frac{partial eta }{partial z}=frac{partial s}{partial xi}+frac{partial s}{partial eta }left(1.3
ight).]
[frac{partial s}{partial t}=frac{partial s}{partial xi}frac{partial xi}{partial t}+frac{partial s}{partial eta}frac{partial eta}{partial t}=-cfrac{partial s}{partial xi}+cfrac{partial s}{partial eta} o frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=-frac{partial s}{partial xi}+frac{partial s}{partial eta}left(1.4
ight).]

Вычтем почленно выражение (1.4) из выражения (1.3), имеем:

[frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=2frac{partial s}{partial xi}left(1.5
ight).]

Почленное сложение выражений (1.4) и (1.3) дает:

[frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}=2frac{partial s}{partial eta }left(1.6
ight).]

Найдем произведение левых частей выражений (1.5) и (1.6) и учтем результаты, записанные в правых частях этих выражений:

[left(frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}
ight)left(frac{partial s}{partial z}-frac{1}{c}frac{partial s}{partial t}
ight)=frac{{partial }^2s}{partial z^2}-frac{1}{с^2}frac{{partial }^2s}{partial t^2}=4frac{partial }{partial xi }frac{partial s}{partial eta }=0left(1.7
ight).]

Если проинтегрировать выражение (1.7) по $xi $, то получим функцию, которая не зависит от этой переменной, и может зависеть только от $eta $, что значит, что она является произвольной функцией $Psi(eta )$. В этом случае уравнение (1.7) примет вид:

[frac{partial s}{partial eta }=Psi left(eta
ight)left(1.8
ight).]

Проведем интегрирование (1.8) по $eta $ имеем:

[s=int{Psi left(eta
ight)d} eta=s_1left(eta
ight)+s_2left(xi
ight)left(1.9
ight),]

где $s_1left(з
ight)$ — первообразная, $s_2left(xi
ight)$- постоянная интегрирования. Причем, функции $s_1$ и $s_2$ — произвольные. Учитывая выражения (1.2), общее решение уравнения (1.1) можно записать как:

[sleft(z,t
ight)=s_1left(z+ct
ight)+s_2left(z-ct
ight).]

Ответ: $sleft(z,t
ight)=s_1left(z+ct
ight)+s_2left(z-ct
ight).$

Пример 2

1. Задание: Определите из волнового уравнения, чему равна фазовая скорость распространения плоской световой волны.
2. Решение:
3. Сравнивая волновое уравнение, например, для вектора напряженности, полученное из уравнений Максвелла:
4. с волновым уравнением:
5. позволяет сделать вывод о том, что скорость распространения волны $(v)$ равна:

[{
abla }^2overrightarrow{E}-varepsilon {varepsilon }_0mu {mu }_0frac{{partial }^2overrightarrow{E}}{partial t^2}=0(2.1)]
[ riangle overrightarrow{s}=frac{1}{v^2}frac{{partial }^2overrightarrow{s}}{partial t^2}(2.2)]
[v=frac{1}{sqrt{{mu varepsilon mu }_0{varepsilon }_0}}=frac{1}{sqrt{{mu }_0{varepsilon }_0}}frac{1}{sqrt{mu varepsilon }}=frac{с}{sqrt{mu varepsilon }}.]

Но здесь требуется отметить, что понятие скорости электромагнитной волны имеет определенный смысл только с волнами простой конфигурации, под такие волны подходит, например категория плоских волн. Так $v$ не будет являться скоростью распространения волны в случае производного решения волнового уравнения, в состав которых входят, например, стоячие волны.

Ответ: $v=frac{с}{sqrt{mu varepsilon }}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/optika/volnovoe_uravnenie/

Физика Б1.Б8

Механика– это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение – это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

         Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

         Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А.

Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.

) их движение описывается законами квантовой механики.

Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил.

Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

         В механике для описания  движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

         Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

         Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

         Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

         Любое движение рассматривается в пространстве и времени.

В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса.

Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Источник: https://moodle.kstu.ru/mod/book/view.php?id=31032&chapterid=7280

Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных.

, (4) где(5)-оператор Лапласа, v — фазовая скорость.

Cоответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (6) удовлетворяет уравнение (1).

Частота, период, длина волны

Длина волны- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.Так как

png» width=»73″>,тоили

png» width=»93″>.

Свойства волн

Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами.

Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).

Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например,волны на водепри достаточно большой скоростиветра, дующего над водной гладью.

Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волнв кристаллическом твёрдом теле могут генерироватьсязвуковыеволны.

Как правило, волны способны удалиться сколь угодно далеко от генератора колебаний. По этому причине иногда волнами называют «колебание, оторвавшееся от излучателя». Исключение составляют так называемые температурные волны, амплитуда которых экспоненциально спадает при удалении от излучателя.

Распространение. Большинство волн, по своей природе, являются не настоящими новыми физическими сущностями, а лишь условным названием для определённого вида коллективного движения.

Так, если в объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты.Звук— это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. Т.е.

большинство волн — это колебания некоторойсреды. Вне этой среды волны данного типа (например, звук в вакууме) не существуют.

Имеются, однако, волны, которые являются не «рябью» какой-либо иной среды, а представляют собой именно новые физические сущности.

Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.

Распространение волн — это, как правило, равномерный процесс, т.е. волны обычно распространяются с некоторой определённой скоростью(которая, конечно же, может зависеть от многих параметров).

При распространении в некоторой средеамплитудаволны может затухать, что связано сдиссипативнымипроцессами внутри среды, сквозь которую проходят волны. В случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны могут, наоборот, усиливаться (пример: генерациялазерного излучения).

Взаимодействие с телами и границами раздела. Наиболее «спокойным» образом волна распространяется в однородной, однотипной среде. Если же на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело, или граница раздела двух сред, то это приводит к нарушению нормального распространения волны. Результат этого нарушения часто проявляется в виде следующих явлений:

• отражение
• преломление
• рассеяние
• дифракция
• Разумеется, конкретный вид законов, описывающих эти процессы, зависит от типа волны.

Пространственные размеры волны. Когда говорят опространственном размере волны, то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой.

Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны.

Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т.д.).

Некоторые виды волн, в частности, солитоны, являются ограниченными волнами по построению.

Волна ограниченного размера называется волновым пакетом, или цугом волн. В теории, волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени.

Поляризация. В каждой точке любой волны можно ввести некоторойвекторное поле. Так, если волна есть колебание некоторой среды, то этим вектором будет векторскоростичастицы этой среды в данной точке; если это электромагнитная волна, то этим вектором будетэлектрическое полеи т.д.

Направление этого вектора задаёт поляризацию волны. Если этот вектор параллелен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется вдоль направления движения), то волна называетсяпродольной. Если вектор перпендикулярен направлению движения волны (т.е.

Поперечность или продольность волны определяется её природой. Так, например, плоские электромагнитные и гравитационные волны поперечны, звуковая волна в газе — продольна, а упругие волны в твёрдом теле могут быть как продольными, так и поперечными.

Фазовая когерентность.Когерентностьволны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, т.е. разность фаз между двумя точками не зависит от времени.

Отсутствие когерентности, следовательно, это ситуация, когда разность фаз между двумя точками не константа, а почти случайно «скачет» со временем (сбои фаз).

Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (т.е. нескорелированных) излучателей.

Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временнойипространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн вволноводахмогут иметь местофазовые сингулярности. В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемаявторая периодичность.

Источник: https://studfile.net/preview/864109/page:7/