Числовая последовательность и ее предел

Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут  либо по-иному: когда , это означает, что при достаточно больших  , .

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Более точно, если у нас есть предел и его  – окрестность (рис. 1), то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки .

Числовая последовательность и ее предел

Рис. 1.Члены последовательности находятся в -окрестности точки

Пример 1

Последовательность . Предел этой последовательности , это означает, что при достаточно больших , все  находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.

Вот последовательность  и два предела (рис. 2).

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Молярная масса толуола (c7h8), формула и примеры

Оценим за полчаса!

Числовая последовательность и ее предел

Рис. 2.Последовательность  и два предела

Что значит ? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки , что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.

А что значит ? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки . Но возможно ли это? Между  и  есть некое расстояние (рис. 3).

Числовая последовательность и ее предел

Рис. 3. Расстояние между  и

Выберем , -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.

Определение: число  называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , , содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).

Числовая последовательность и ее предел

Рис. 4.

Число  может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.

Если последовательность сходится, то:

  1. только к одному пределу;
  2. она ограничена.

Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Числовая последовательность и ее предел

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Вейерштрасса

Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом . Значит, к числу  либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса (рис. 5).

Даны две последовательности и ,  и . Последовательности сходящиеся.

  1.  – новая последовательность, ее предел Числовая последовательность и ее предел. Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
  2. Числовая последовательность и ее предел. Этот предел равен произведению , то есть произведению этих пределов.
  3. . Предел этой последовательности, то есть предел частного равен , где .

Числовая последовательность и ее предел, где  постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.

Пример 1

Числовая последовательность и ее предел

Пример 2

Числовая последовательность и ее предел

  • Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.
  • Перейдем к следующей задаче.

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом: .

Второй член геометрической прогрессии , где – знаменатель прогрессии, третий член  и т.д.

  1.  – определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.
  2. Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы: .
  3. Рассмотрим последовательность частичных сумм.
  4. .

Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.

  • Бесконечная убывающая прогрессия
  • Если последовательность  стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма  то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.
  • , чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение: , если .

Пусть , тогда , ,  и т.д. Понятно, что с ростом  дробь уменьшается, естественно предположить, что . Тогда становится понятно, что последовательность  убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.

  1. .
  2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
  3. Если знаменатель  геометрической прогрессии  удовлетворяет неравенству , то сумма  прогрессии вычисляется по формуле: .
  4. Докажем эту формулу.

Доказательство: вспомним, что  – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель  от  не зависит. От  зависит . Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов: .

  • Формула доказана.
  • Пример
  • Найти сумму геометрической прогресси:.
  •  ; .
  • Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию:  .
  • Ответ: .
  • Обсудим задачу.

, значит, . Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок  длиной в единицу (рис. 6). первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемое  это половина оставшегося отрезка, третье слагаемое половина оставшегося отрезка и т.д.

Рис. 6.Отрезок

В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.

Рис. 7. Бегун и черепаха

В точке  – бегун, в точке  – черепаха, расстояние , скорость бегуна . Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке (рис. 7).

Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки . Но черепаха  впереди, а бегун сзади.

Рис. 9. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку , нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.

Рис. 10. Положение бегуна в точке  и положение черепахи

  1. Вывод
  2. Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.
  3. Список литературы
  1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
  2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
  4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
  5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
  6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
  7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
  8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

Рекомендованное домашнее задание

  1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если , .
  2. Определить знаменатель  и сумму геометрической прогрессии если , .
  3. Найти сумму геометрической прогрессии , если .

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет:

  1. Интернет-портал 5klass.net (Источник).
  2. Интернет-портал Mathematics-repetition.com (Источник).
  3. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/proizvodnaya/summa-beskonechnoy-geometricheskoy-progressii

Правила вычисления пределов числовой последовательности

Задачи на нахождение пределов числовых последовательностей при движении номера их общего члена до бесконечности занимают важное место в высшей математике и могут многое рассказать об их сходимости.

Основная суть в нахождении таких границ заключается в выделении из числителя и знаменателя крупнейшего слагаемого или множителя. После этого числитель и знаменатель делят на это значение и получают конечный результат.

Читайте также:  Давление под искривленной поверхностью жидкости

Рассмотрим задачи из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика».

  • ————————————
  • Пример 1.
  • Найти пределы.
  • 1) (4. 285)

2) (4. 291)

Числовая последовательность и ее предел

3) (4. 293)

Числовая последовательность и ее предел

4) (4. 295)

Числовая последовательность и ее предел

5) (4. 298)

Числовая последовательность и ее предел

6) (4. 301)

Числовая последовательность и ее предел

7) (4. 302)

Числовая последовательность и ее предел

8) (4. 304)

9) (4. 307)

Решение.

1) Из числителя и знаменателя выделяем множитель который вносит наибольший вклад и сокращаем на него

Числовая последовательность и ее предел

  1. 2) Выделяем множители содержащие третью степень и сокращаем на них
  2. 3) Разбиваем данный пример на сумму двух границ
  3. 4) В такого типа примерах нужно вынести в знаменателе из-под корня множитель в наибольшей степени
  4. 5) В этом примере и подобных нужно найти слагаемое с максимальным степенью

В числителе переменная находится в степенях и . Переменная в знаменателе находится в степенях и . Поскольку наибольший степень знаменателя является большим от степени числителя то знаменатель растет быстрее за числитель. В таком случае граница

Если бы было наоборот, то предел был бы равен бесконечности (). В случае одинаковых показателей переменной, числитель и знаменатель сокращаем на нее и получаем константу.

  • 6) Границы с факториалами занимают особое место среди числовых последовательностей. При их нахождении числитель и знаменатель раскладывают до наибольшего общего факториала
  • Граница равна нулю, так как степень знаменателя больше от числителя .
  • 7) Как и в предыдущем примере раскладываем до наибольшего общего факториала

8) К примерам в которых переменная выступает в качестве показателя надо относиться с особым вниманием. Незнание закономерностей поведения степенных функций часто приводит к ошибкам в решении. В данном примере растет значительно быстрее поэтому его выделяем как самый множитель

  1. 9) Величины и стремятся к нулю при . На основе этого вычисляем предел

Подобных примеров можно найти немало и решения большинства из них заключается в нахождении доминирующего множителя. Если он в числителе то граница направляется к бесконечности, в знаменателе — к нулю. И только когда и там и там можно сократить на этот множитель дробь и получить предел в виде константы.

————————————

Посмотреть материалы:

Источник: https://yukhym.com/ru/vychislenie-predelov/pravila-vychisleniya-predelov-chislovoj-posledovatelnosti.html

Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Числовая последовательность и ее предел

Приводятся формулировки основных теорем и свойств числовых последовательностей, имеющих предел. Содержится определение последовательности и ее предела. Рассмотрены арифметические действия с последовательностями, свойства, связанные с неравенствами, критерии сходимости, свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Числовая последовательность {xn} – это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число . Число называют n-м членом или элементом последовательности.

Более подробно см. страницу   Определение числовой последовательности >>>. Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех действительных n. Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′: . Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i, для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′: .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство . Предел последовательности обозначается так:

.

Или     при   .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом: .

ε — окрестность точки a – это открытый интервал (a – ε, a + ε). Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел . Также говорят, что последовательность сходится к a. Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n, что . . Это означает, что можно выбрать такую ε — окрестностью точки a, за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Более подробно материал изложен на странице Определение предела последовательности >>>.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a, за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

  • Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
  • Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C: , то эта последовательность имеет предел, равный числу C.
  • Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.
  • Доказательства основных свойств приведены на странице Основные свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда ; ; ; ,   если . В случае частного предполагается, что для всех n.

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице Арифметические свойства конечных пределов последовательностей >>>.

Свойства, связанные с неравенствами

  1. Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

  2. Если    и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу:   .
  3. Если    и    и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству  , то   .

Если и, начиная с некоторого номера, , то . В частности, если, начиная с некоторого номера, , то если , то ; если , то .

Если     и   , то   .

Пусть    и  . Если a N выполняется неравенство .

Доказательства свойств, связанных с неравенствами приведены на странице Свойства пределов последовательностей, связанные с неравенствами >>>.

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Бесконечно малая последовательность – это последовательность, предел которой равен нулю: .

  • Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
  • Для того, чтобы последовательность имела предел a, необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.
  • Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, имеющая бесконечно большой предел. То есть если для любого положительного числа существует такое натуральное число N, зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство . В этом случае пишут

.

Или     при  . Говорят, что стремится к бесконечности.

Если , начиная с некоторого номера N, то

. Если же , то .

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N, определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то .

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то .

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице Определение бесконечно большой последовательности >>>. Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Строго возрастающая последовательность – это последовательность, для всех элементов которой выполняются неравенства: .

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность: . Неубывающая последовательность: . Невозрастающая последовательность: .

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу:   . Невозрастающая последовательность ограничена сверху:   .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

  1. Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:
  2. Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .
  3. Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.
  4. Доказательство теоремы Вейерштрасса приведено на странице Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности >>>.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература: С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003. В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-posledovatelnosti/

Как вычислить пределы последовательностей? :

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Числовая последовательность и ее предел

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди.

Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность.

А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х1, х2, х3, …хn…

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

  • Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…
  • В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:
  • х1 — первый член последовательности;
  • х2 — второй член последовательности;
  • х3 — третий член;
  • хn — энный член.
  • В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:
  • Хn=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:
  • х1 = 3;
  • х2 = 6;
  • х3 = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Арифметическая прогрессия как часть последовательностей

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

  1. Задача: «Пусть а1=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»
  2. Решение: а1= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).
  3. а2= 15+4=19 — второй член прогрессии.
  4. а3=19+4=23 — третий член.
  5. а4=23+4=27 — четвёртый член.
Читайте также:  Формула силы тока

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: аn=a1+d(n–1). В данном случае а125=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой аn=(-1)n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: аn = (n+1)!

  • Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:
  • а1 = 1х2=2;
  • а2 = 1х2х3 = 6;

а3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1

Источник: https://www.syl.ru/article/243770/new_kak-vyichislit-predelyi-posledovatelnostey

Как найти предел числовой последовательности

Числовая последовательность ${x_n}$ – это правило, по которому каждому натуральному числу $n = 1,2,3,…$ устанавливается соответствующее число $x_n$, называющееся энным членом. Далее будем считать, что имеются в виду только действительные числа. Введём понятие и запишем определение.

Пределом числовой последовательности ${x_n}$ называется число $a$, такое что для любого положительного $varepsilon$ существует натуральное $N = N(varepsilon)$, при котором для всех $n > N$ выполняется неравенство $$|x_n — a| < varepsilon .$$

Обозначается он в математическом виде $$lim limits_{n o infty} x_n = a. $$ Аналогичная короткая форма записи принимает вид $$x_n o a ext{ при } n o infty. $$

Чтобы успешно вычислить предел последовательности нужно знать основные равенства:

  1. При $k > 0$ справедливо $lim_limits {n  o infty} frac{1}{n^k} = 0$
  2. При $k > 0$ справедливо $lim_limits {n  o infty} n^k = infty $
  3. При $|a|
  4. При $|a|>1$ справедливо $lim_limits {n  o infty} a^n = infty $
  5. У последовательности $-1,1,-1,1,…$, заданной как $x_n = (-1)^n$ нет предела.

Так же потребуется выучить основные свойства пределов последовательности:

  • Сумма $lim_limits{n o infty} (a_n+b_n) = lim_limits{n o infty} a_n + lim_limits{n o infty} b_n = a+b $
  • Разность $lim_limits{n o infty} (a_n-b_n) = lim_limits{n o infty} a_n — lim_limits{n o infty} b_n = a-b $
  • Произведение $lim_limits{n o infty} (a_n cdot b_n) = lim_limits{n o infty} a_n cdot lim_limits{n o infty} b_n = a cdot b $
  • Частное $lim_limits{n o infty} frac{a_n}{b_n} = frac{lim_limits {n o infty} a_n}{lim_limits{n o infty} b_n} = frac{a}{b} $, если $lim_limits{n o infty} b_n
    eq 0 $
  • Непрерывная функция $lim_limits{n o infty} f(a_n) = f (lim_limits{n o infty} a_n) = f(a) $.
Пример 1
Найти предел последовательности $lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}}$.
Решение
Подставляем бесконечность в дробь вместо $n$ и получаем неопределенность вида $frac{infty}{infty}$. Чтобы от неё избавиться нужно вынести из числителя и знаменателя член с наивысшей степенью. Но прежде воспользуемся свойствами степеней для упрощения выражений.

  • $$lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = lim_limits{n o infty} frac{9 cdot 3^n + 2 cdot 4^n}{5+16 cdot 4^n} = $$
  • Видим, что самые большие слагаемые содержат $4^n$, поэтому именно их выносим за скобки, не забывая за соответствующие множители перед ними.
  • $$ = lim_limits{n o infty} frac{2 cdot 4^n( frac{9}{2} cdot (frac{3}{4})^n + 1)}{16 cdot 4^n (frac{5}{16} cdot frac{1}{4^n} +1)} = $$

Воспользовавшись первым равенством из теории замечаем, что $(frac{3}{4})^n = 0$ и $frac{1}{4^n} = 0$ при $n o infty$. Не забываем сократить дробь на $4^n$ и получаем окончательный ответ. $$ = frac{2 cdot (0 + 1)}{16 cdot (0 + 1)} = frac{2}{16} = frac{1}{8} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ lim_limits{n o infty} frac{3^{n+2}+2^{2n+1}}{5+4^{n+2}} = frac{1}{8} $$
Пример 2
Вычислить предел последовательности $lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} $.
Решение
Выносим из каждой скобки $n$ не забывая про квадрат. А далее выполним сокращение числителя и знаменателя на $n^2$.

  1. $$lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = lim_limits{n o infty} frac{n^2(frac{5}{n}-1)^2 + n^2(frac{5}{n}+1)^2}{n^2(frac{5}{n}-1)^2-n^2(frac{5}{n}+1)^2} = $$ $$ = lim_limits{n o infty} frac{(frac{5}{n}-1)^2 + (frac{5}{n}+1)^2}{(frac{5}{n}-1)^2-(frac{5}{n}+1)^2} = frac{(0-1)^2 + (0+1)^2}{(0-1)^2-(0+1)^2} = $$
  2. Нули в скобках появились из-за первого правила, согласно которому $lim_limits{n o infty} frac{1}{n^k} = 0$ при $k>0$.
  3. $$ = frac{1+1}{1-1} = frac{2}{0} = infty $$
  4. Обратим внимание на то, что число в числителе деленное на ноль в знаменателе даёт бесконечность. 
Ответ
$$lim_limits{n o infty} frac{(5-n)^2+(5+n)^2}{(5-n)^2-(5+n)^2} = infty$$
Пример 3
Найти предел числовой последовательности $lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n$.
Решение
Подставим бесконечность вместо $n$ и получим неопределенность. $$lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = infty — infty $$ Для устранения такой неопределенности нужно избавиться от иррациональности, то есть от корней. Сделаем это с помощью умножения и одновременного деления на сопряженное выражение. Оно отличается только противоположным знаком.

  • $$lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = lim_limits{n o infty} frac{(sqrt{n^2+2n}-n)(sqrt{n^2+2n}+n)}{sqrt{n^2+2n}+n} = $$
  • Теперь благодаря формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ сворачиваем выражение в числителе.
  • $$ = lim_limits {n o infty} frac{n^2 + 2n — n^2}{sqrt{n^2+2n}+n} = lim_limits {n o infty} frac{2n}{sqrt{n^2+2n}+n} = $$

Если в лоб подставим вместо $n$ бесконечность, то найти решение не получится. Вылезет неопределенность $frac{infty}{infty}$. Чтобы этого не допустить вынесем старшую степень из знаменателя и сократим на $n$. $$ = lim_limits{n o infty} frac{2n}{n(sqrt{1+frac{2}{n}}+1)} = frac{2}{sqrt{1+0}+1} = 1$$

Ответ
$$ lim_limits{n o infty} sqrt{n^2+2n}-n = 1 $$

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/predel-posledovatelnosti.html

Урок 7. предел последовательности — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс — Российская электронная школа

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №7. Предел последовательности.

  • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
  • 1) определение предела последовательности;
  • 2) основные свойства пределов;
  • 3) виды неопределенностей и способы их устранения;
  • 4) правила вычисления пределов функции на бесконечности.
  • Глоссарий по теме
  • Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.
  • Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)
  • Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Последовательность ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

Число b называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а2, …, числу n – число аn и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а1, а2,…,аn или (аn), где а1, а2,…,аn – члены последовательности.

Занумерованный ряд чисел а1, а2,…, аn,…называется числовой последовательность.

Способы задания последовательностей.

Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

Например, формула аn=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

Например, рекуррентное соотношение an=an-1+2 вместе с уравнением a1=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

  1. Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.
  2. Свойства числовой последовательности.
  3. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2n -1,… — возрастающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а1, а2,…,аn .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (yn) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16,…, —п2 , … ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (уn) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, …, п2, … ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (уп) и (хп).

(уn):1,3, 5,7,9, …,2n-1,…; (xn):

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (уп) и рис. 2 для (хп)). Замечаем, что члены второй последовательности (хn) как бы « сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (уп) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (хn) сходится, а последовательность (уп) расходится.

  • Рисунок 1
  • Рисунок 2

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

Пусть а — точка прямой, а r — положительное число. Интервал (а — r, а + r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

  1. Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02
  2. a-r ˂ a ˂ a+r
  3. Рисунок 3

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».

  • Число b называется пределом последовательности (yn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
  • Пишут либо так: (читают: уп стремится к b или уп сходится к b), либо так:
  • (читают: предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).
  • Правила вычисления пределов последовательности
  • Пример 1: Дана последовательность
  • — Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?
  • Докажем, что
  • Рисунок 4

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство . Если, например r=0.

001,то в качестве n0 можно взять 1001, поскольку ; если , то в качестве n0 можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности yn с номером n0 , т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0.

Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

  1. Пример 2: Найти предел последовательности
  2. Здесь последовательность сходится к 0: или
  3. Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

А что будет с последовательностью , если ? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,22,23,…,2n,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если , то последовательность расходится.

  • Например:
  • Правила вычисления пределов:
  • если
  • Виды неопределенностей.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

  1. Основные виды неопределенностей:  
  2. Раскрытие неопределенностей
  3. Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
  • упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
  • если предел при раскрытии неопределенностей существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
  • Разбор решения заданий тренировочного модуля
  • Пример 1.
  • Вычислите предел и выберите верный ответ из представленных:
  •  Решение:
  • При прямой подстановке, получается неопределенность:
  • Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел:
  • Ответ:
  • Пример 2.
  • Найти предел
  • В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:
  • Максимальная степень в числителе: 3
  • Максимальная степень в знаменателе: 4

наибольшее значение, в данном случае четверку.Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности  делим числитель и знаменатель на х4.

Разделим числитель и знаменатель на х4:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/4921/conspect/

Ссылка на основную публикацию