Доказательство подобия треугольников

Доказательство подобия треугольников

  • Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.
  • Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2
    , показанных на рисунке, записывается следующим образом:
  • ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2
  • Два треугольника являются подобными если:
  • 1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
    ∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2
  • 2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
    $frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}$
  • 3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
    углы между этими сторонами равны:
    $frac{B_1A_1}{B_2A_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ и $angle A_1 = angle A_2$
    или $frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ и $angle B_1 = angle B_2$
    или
  • $frac{B_1C_1}{B_2C_2}=frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

$frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

  1. 2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);
  2. 3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Читайте также:  Молярная масса золота (au), формула и примеры

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Практические задачи с подобными треугольниками

  • Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
    Доказательство подобия треугольников
  • Решение:
    Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:
  • $frac{PQ}{AB}=frac{6}{2}=3$
    $frac{QR}{CB}=frac{12}{4}=3$
    $frac{PR}{AC}=frac{15}{5}=3$
  • Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.
    Доказательство подобия треугольников
  • Решение:
    ∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)
  • Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
    $frac{AB}{PQ}=frac{BC}{QR}=frac{AC}{PR}$
  • $frac{BC}{QR}=frac{6}{12}=frac{AB}{PQ}=frac{4}{PQ} Rightarrow PQ=frac{4 imes12}{6} = 8$ и
    $frac{BC}{QR}=frac{6}{12}=frac{AC}{PR}=frac{7}{PR} Rightarrow PR=frac{7 imes12}{6} = 14$
  • Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
    Доказательство подобия треугольников
  • Решение:
  • ∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.
  • $frac{BC}{DE} = frac{3}{6} = frac{AB}{AD} = frac{AB}{AB + BD} = frac{AB}{AB + 4} = frac{1}{2} Rightarrow 2 imes AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$
  • Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
    Доказательство подобия треугольников

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

  1. AB || DE, CD || AC и BC || EC
    ∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC
  2. Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.
  3. Следовательно:
    $frac{DE}{AB} = frac{7}{11} = frac{CD}{CA} = frac{15}{CA} Rightarrow CA = frac{15 imes 11}{7} = 23.57$

x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке.

Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Доказательство подобия треугольников

Читайте также:  Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

  • Решение:
  • Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.
  • Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE
    являются подобными. Следовательно,
  • $frac{DE}{BC} = frac{3}{9} = frac{AD}{AB} = frac{8}{AB} Rightarrow AB = frac{8 imes 9}{3} = 24 м$
    x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м
  • Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.
  • А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:
  • $AE = sqrt{AD^2 + DE^2} = sqrt{8^2 + 3^2} = 8.54 м$

Аналогично, $AC = sqrt{AB^2 + BC^2} = sqrt{24^2 + 9^2} = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Доказательство подобия треугольников

Решение:

Доказательство подобия треугольников

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac{AB}{DE} = frac{BC}{CD} = frac{AC}{CE}$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

$BC = frac{AB imes CD}{DE} = frac{15 imes 4.41}{5} = 13.23 км$
$CE = frac{AC imes CD}{BC} = frac{13.13 imes 4.41}{13.23} = 4.38 км$

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/podobnye-treugolniki.html

Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Доказательство подобия треугольников

Оглавление:

  • Как доказать, что треугольники равны
  • 3 признака равенства треугольников
  • Доказательство подобия треугольников

Тема треугольников одна из основных важных и больших тем школьной программы в геометрии 7−9 классов. Усвоив её хорошо, возможно решать очень сложные задачи. При этом можно изначально рассматривать совершенно другую геометрическую фигуру, а затем разделить её для удобства на подходящие треугольные части.

Как доказать, что треугольники равны

Доказательство подобия треугольниковДля работы над доказательством равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 нужно хорошо усвоить признаки равенства фигур и уметь ими пользоваться. Перед изучением признаков необходимо научиться определять равенство сторон и углов простейших многоугольников.

Чтобы доказать, что углы треугольников равны, помогут следующие варианты:

  1. ∠ α = ∠ β исходя из построения фигур.
  2. Дано в условии задания.
  3. При двух параллельных прямых и наличии секущей могут образоваться как внутренние накрест лежащие, так и соответственные ∠ α = ∠ β.
  4. Прибавляя (вычитая) к (из) ∠ α = ∠ β равные углы.
  5. Всегда сходны вертикальные ∠ α и ∠ β
  6. Общий ∠ α, одновременно принадлежащий ∆ MNK и ∆ MNH .
  7. Биссектриса делит ∠ α на два равнозначных.
  8. Смежный с ∠ 90° — угол, равный исходному.
  9. Смежные равным углам равны.
  10. Высота образует два смежных ∠ 90° .
  11. В равнобедренном ∆ MNK при основании ∠ α = ∠ β.
  12. В равных ∆ MNK и ∆ SDH соответствующие ∠ α = ∠ β.
  13. Доказанное ранее равенство ∆ MNK и ∆ SDH .

Это интересно: Как найти периметр треугольника.

3 признака равенства треугольников

Доказательство равенства ∆ ABC и ∆A1B1C1 очень удобно производить, опираясь на основные признаки тождественности этих простейших многоугольников. Существует три таких признака. Они являются очень важными при решении многих геометрических задач. Стоит рассмотреть каждый.

  • I признак. Две стороны и угол между ними ∆ ABC соответственно = двум сторонам и углу ∆ A1B1C1 , следовательно, треугольники равны.
  • II признак. Сторона и два прилежащих к ней угла ∆ ABC соответственно = стороне и двум углам ∆ A1B1C1 , =&gt, треугольники равны.
  • III признак. Если все стороны ∆ ABC соответственно = сторонам ∆ A1B1C1 , то имеющиеся треугольники равны.

Перечисленные выше признаки являются теоремами и доказываются методом наложения одной фигуры на другую, соединения вершин соответственных углов и начала лучей.

Доказательства равенства треугольников в 7 классе описаны в очень доступной форме, но сложны в изучении школьниками на практике, так как содержат большое количество элементов, обозначенных заглавными латинскими буквами.

Это не совсем привычно для многих учеников на момент начала изучения предмета. Подростки путаются в названиях сторон, лучей, углов.

Доказательство подобия треугольников

Доказательство подобия треугольниковЧуть позже появляется ещё одна важная тема «Подобие треугольников». Само определение «подобие» в геометрии означает схожесть формы при различии размеров. Для примера можно взять два квадрата, первый со стороной 4 см, а второй 10 см. Эти виды четырёхугольников будут похожи и, одновременно, иметь отличие, поскольку второй будет больше, причём каждая сторона увеличена в одинаковое количество раз.

В рассмотрении темы подобия также приводятся 3 признака:

  • Первый о двух соответственно равных углах двух рассматриваемых треугольных фигур.
  • Второй об угле и образующих его сторонах ∆ MNK , которые равны соответственным элементам ∆ SDH .
  • Третий указывает на пропорциональность всех соответственных сторон двух нужных фигур.

Нужно знать! Что такое горизонталь?

Как же доказать, что треугольники подобны? Достаточно воспользоваться одним из выше перечисленных признаков и грамотно описать весь процесс доказательства задания.

Тема подобия ∆ MNK и ∆ SDH проще воспринимается школьниками исходя из того, что к моменту её изучения ученики уже свободно пользуются обозначениями элементов в геометрических построениях, не путаются в огромном количестве названий и умеют читать чертежи.

Завершая прохождение обширной темы треугольных геометрических фигур, учащиеся уже в совершенстве должны знать, как доказать равенство ∆ MNK = ∆ SDH по двум сторонам, установить равны два треугольника или нет. Учитывая, что многоугольник, имеющий ровно три угла — это одна из важнейших геометрических фигур, к усвоению материала следует подойти серьёзно, уделяя особое внимание даже мелким фактам теории.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/kak-ustanovit-i-dokazat-chto-treugolniki-ravnyi

Первый признак подобия треугольников

Для доказательства данной теоремы нам необходимо доказать, что углы данных треугольников соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Доказательство

  • Дано: АВС и А1В1С1, А = А1, В = В1
  • Доказать: АВСА1В1С1
  • Доказательство:

Доказательство подобия треугольников

По теореме о сумме углов треугольника А +В +С = 1800 и А1 +В1 +С1 = 1800, другими словами, С = 1800 — А —В  и С1 = 1800 — А1 —В1, и, значит,  С = С1. Таким образом,углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А1В1С1.

  1. Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Так как А = А1 и С = С1, то,
  2. Так как А = А1 и В = В1, то

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А1В1С1. Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Пропорциональные отрезки
  • Определение подобных треугольников
  • Отношение площадей подобных треугольников
  • Второй признак подобия треугольников
  • Третий признак подобия треугольников
  • Средняя линия треугольника
  • Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  • Практические приложения подобия треугольников
  • О подобии произвольных фигур
  • Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
  • Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
  • Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 622, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 670, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 850, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 871, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 887, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 1117, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1219, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3496

Признаки подобия треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

 Треугольники подобны, если  хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в  другом треугольнике.

Доказательство

Если даны два треугольника: ABC и А1В1С1, где ∠A=∠A1 , и ∠B=∠B1. Тогда получается, что ∠C и ∠C1  также равны между собой. Давайте докажем, подобие △ABC и △A1B1C1.

Если отложить на стороне ВА отрезок ВА2, который будет равен отрезку A1B1 , и затем, провести прямую через точку А2, которая будет параллельна прямой АС. То эта прямая будет пресекать  отрезок ВС в точке, которую назовем С2 .

Итак, треугольники А2ВС2 и А1В1С1   равны: А2В =А1В1 по построению, ∠В1 = ∠В по условию и ∠А2= ∠А1 , так как ∠А=∠А1 по условию и ∠А2 =∠А как соответственные углы.

Согласно  лемме 1 о  подобных треугольниках (прямая, которая  параллельна одной из сторон треугольника и которая пересекает  две другие его стороны, отсекает  треугольник,  который подобен данному) будем иметь: △ABC ∼ △A2BC2 , таким образом, △A1B1C1 ∼△ABC. Значит, теорема доказана. Теоремы 2 и 3 доказываются по аналогичной схеме.

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если  две  из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности  трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то  их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

  1. прямоугольные треугольники считаются подобными, если катет и гипотенуза одного из них пропорциональны катету и гипотенузе второго треугольника;
  2. подобными считаются прямоугольные треугольники, если острый угол одного из них равен острому углу второго треугольника.

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС,  длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются  признаки подобия треугольников.

Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если  в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который  подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС.

В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В — общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о  первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР.

Читайте также:  Свойства биссектрисы треугольника, с примерами

Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем:  КР / 10 = 3 / 5  то есть, КР=6

Пример 2

Пусть в треугольниках ABC и А1В1С1, ∠В = ∠В1. Стороны АВ, ВС в треугольнике ABC больше в 2,5 раза сторон A1B1, B1C1, что в  треугольнике A1B1C1. Нужно найти АС и A1C1 , при условии, что их сумма равняется 4,2 м. Решение. По условию задачи запишем:

  1. ∠B=∠B1;
  2. AB/A1B1=BC/B1C1=2,5 Следовательно, △ABC∼△А1В1С1. По второму признаку подобия треугольников.
  3. AC+A1C1=4,2м. Из подобия этих треугольников получаем следствие AC/A1C1=2,5 , или АС=2,5xА1С1 Если АС = 2,5 x А1С1, то АС + А1C1 = 2,5 x А1С1 + A1C1 = 4,2, поэтому АС = 3 (м), A1C1 = 1,2 (м).

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и  ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5

Значит, по третьему признаку, треугольники являются подобными. 

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/priznaki-podobija-treugolnikov

Подобные треугольники

  • Краевой конкурс научных  проектов школьников   в рамках  краевой  научно-практической   конференции «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани
  • ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
  • Секция: «Математика, компьютерные технологии»
  • Михайленко Яна Юрьевна
  • Россия, Краснодарский край
  • Каневской  район, ст. Каневская
  • МБОУ СОШ №6, 10 класс
  • Научный руководитель:
  • Михайленко Любовь Александровна,
  • учитель математики и физики  
  • МБОУ  СОШ №6
  •                                                                ст.  Каневской
  • ст. Каневская 2012 год
  • Михайленко Яна Юрьевна
  • Россия, Краснодарский край, Каневской район,
  •  станица Каневская МБОУ СОШ №6,10  класс
  •  Подобные треугольники
  • Научный руководитель: Михайленко Любовь Александровна,
  • учитель математики и физики МБОУ  СОШ №6
  • Аннотация
  • Представленная работа посвящена подобию треугольников.
  • Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что зная, признаки подобия можно научиться рационально  решать задачи, как по математике, так и по физике.
  • Цель исследования: выявить геометрические теоремы, свойства и показать их применение в решениях задач, связанных с треугольниками. 
  • В работе использован поисково-исследовательский метод, способствующий нахождению более простых решений предложенных заданий.
  • В работе показано:
  • — применение дополнительных построений: использование в решении задач «выносного» чертежа, то есть фрагмента, имеющегося достаточно сложного чертежа, вынесенного отдельно для специального изучения;
  • — необходимость выработки умений и навыков по решению практических задач, так как, столкнувшись с реальными подобными ситуациями, они будут нужны в жизни;
  • —  быстрота и красота решений.
  • И что еще немало важно – эти задачи связывают несколько дисциплин – алгебру, геометрию и физику и показывают насколько целостный и взаимосвязанный мир наук.
  • ОГЛАВЛЕНИЕ

  ВВЕДЕНИЕ ………………………………………….……..………..4 стр

1.Из истории подобия……………………………………………….5 стр

2.Подобные треугольники…………………………………………………..6 стр

3.Применение подобия при доказательстве теорем и задач……..7 стр

4.Применение подобия при решении задач по математике…….11 стр

5.Применение подобия при решении задач по физике………….14 стр

  ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………. 19 стр

  СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………..  20 стр

  1. Михайленко Яна Юрьевна
  2. Россия, Краснодарский край, Каневской район,
  3.  станица Каневская МБОУ СОШ №6,10  класс
  4.  Подобные треугольники
  5. Научный руководитель: Михайленко Любовь Александровна,
  6. учитель математики и физики МБОУ  СОШ №6
  7. ВВЕДЕНИЕ

Геометрия – это не просто наука о свойствах треугольников, параллелограммов, окружностей. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с самого рождения.

Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда.

Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.

Треугольник – самая простая геометрическая фигура, знакомая нам с детства. К треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего.

Эта фигура таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Один мудрец сказал: “Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление ума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная”. 

Изучая геометрию, я поняла, что тема «Подобные треугольники» является одной из самых актуальных, обширных и распространенных в математике. Много теорем, следствий рассматривает этот раздел. Умение решать задачи на применение признаков подобия широко используется в геометрии, физике, астрономии.

Поэтому цель моей работы – выявить теоремы и показать их применение и рациональное использование в решении задач.

Идея отношения и пропорции зародилась в глубокой древности. Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Особенности архитектуры, требования удобства, эстетики, техники и экономичности при возведении зданий и сооружений, вызвали возникновение и развитие понятий отношения и пропорциональности отрезков, площадей и других величин.

До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно  равные  углы  и  пропорциональные стороны». 

Задача [3]  

Греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего высоту огромного сооружения.

Фалес,– говорит предание,– избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна так же равняться длине отбрасываемой ею тени. Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.

Изменим, этот способ так, чтобы в солнечный день можно было воспользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Пусть длина шеста 1м, а его тени 1,2м. Найти высоту дерева, если ее тень 6м.

Таких красивых задач, которые решаются с применением признаков подобия, очень много.

  1. Подобные треугольники [1]  
  • Определение
  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
  • ∆А BC ~ ∆A1B1C1

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2015/03/29/podobnye-treugolniki

Доказательство признаков подобия треугольников

  • Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
  • Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.
  • Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что DF = kAC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам.
  • Найдем стороны AC и DF по теореме косинусов (квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними):
  • AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos B DF2 = DE2 + EF2 – 2 · DE · EF · cos E
  • Так как ∠B = ∠E и AB = kDE, BC = kEF, то мы можем выразить квадрат стороны DF через угол и стороны треугольника ABC:
  • DF2 = (kAB)2 + (kBC)2 – 2 · kAB · kBC · cos B
  • Вынесем k2 за скобку:
  • DF2 = k2(AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos B)
  • Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:
  • DF2 = k2AC2

Отсюда получаем, что DF = kAC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.

Второй признак подобия треугольников определяет подобие по наличию двух соответственно равных углов.

Пусть даны треугольники ABC и DEF, у которых ∠A = ∠D, ∠B = ∠E.

Если эти треугольники подобны, то их стороны будут пропорциональны друг другу, т. е. будут соблюдаться равенства AB = kDE, BC = kEF, AB = kDF.

Если в одном треугольнике два угла соответственно равны двум углам в другом треугольнике, то равными будут и третьи углы этих треугольников, т. к. сумма углов любого треугольника равна 180°.

Как известно, у подобных треугольников углы соответственно равны. Т. е. если треугольники подобны, то их углы соответственно равны.

Однако нельзя однозначно утверждать обратное: если углы соответственно равны, то треугольники подобны.

Ведь можно предположить, что существую треугольники с соответственно равными углами, но у которых стороны не пропорциональны, а значит, такие треугольники не являются подобными.

  1. Согласно теореме синусов, сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.
  2. Если диаметр описанной около треугольника ABC окружности равен d, то мы можем выразить стороны этого треугольника так:
  3. AB = d sin C, BC = d sin A, AC = d sin B
  4. Если диаметр описанной около треугольника DEF окружности равен d1, то получим:
  5. DE = d1 sin F, EF = d1 sin D, DF = d1 sin E
  6. Так как углы A, B и C соответственно равны углам D, E и F, то мы можем заменить одни на другие. Сделаем это для сторон треугольника DEF:
  7. DE = d1 sin C, EF = d1 sin A, DF = d1 sin B
  8. Найдем отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого:
  9. AB/DE = (d sin С) / (d1 sin С) = d/d1 BC/EF = (d sin A) / (d1 sin A) = d/d1 AC/DF = (d sin B) / (d1 sin B) = d/d1

То есть все три отношения равны одному и тому же значению (d/d1), а значит, равны между собой; т. е.

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Таким образом, стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. Значит, треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Нередко выделяют третий признак подобия треугольников: если все стороны одного треугольника соответственно пропорциональны сторонам другого, то такие треугольники подобны. Однако само определение подобных треугольников нередко ограничивается именно этим признаком, а равенство углов подобных треугольников доказывается в виде теоремы (Углы подобных треугольников).

plustilino © 2019. All Rights Reserved

Источник: https://scienceland.info/geometry8/triangles-similarity-sign

Ссылка на основную публикацию