Формула тейлора для разложения функции

Если функция дифференцируема N+1 раз в некоторой окрестности точки , то для всякой точки справедлива Формула Тейлора

Или, записав несколько членов в развернутом виде,

+ (7.4)

. Здесь — Остаточный член в формуле Тейлора порядка N. При этом ,где — бесконечно малая функция при и , вид которой зависит от функции F и точки . В форме Пеано , где . При формула (7.4) называется Формулой Маклорена.

Пример 18. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

. Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке(2,-1):
. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.#

Пример 19. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,, ; ,

, . По формуле (7.4) имеем , где . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить приближенно:

50. . 51. . 52. . 53. .

54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания
R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок L=1 дм. Найти приближенно объем
материала, затраченного на изготовление стакана.

55. В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, R=10см, высота H=30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, R – на 3 мм и H уменьшить на 1мм.

• 56 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:
• А) в точке ; б) в точке ;
• В) в точке (2,1,3); г) в точке (2,2,1);
• Д) в точках пересечения с осью Oz.

57. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности в точке (1,1, p/4) c осями координат.
Найти экстремумы функций 2-х переменных:

58. .

59. .

60. .
61. .

62. .

63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в
области .

64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
.

65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в круге .

66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H.

67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

68. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1).

69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию .

70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию .

71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию , определяемую уравнением , если .

Источник: http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/matematicheskii-analiz/12-formula-teilora-dlia-funktcii-2-kh-peremennykh

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Изложен метод решения пределов, используя разложение функций в ряд Тейлора. Приводятся применяемые в этом методе свойства о малого и разложения элементарных функций в ряд Маклорена. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞ – ∞, один в степени бесконечность и 0/0.

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов. 1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x, стремящейся к нулю.

Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной. 2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0. При этом выполняем разложение до такой степени xn, которая необходима для устранения неопределенности.

Остальные члены включаем в o(xn).

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n, до которого мы будем проводить разложение.

Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .

Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, . ; ; , если ; ; ; ; , где ; , где c ≠ 0 – постоянная; .

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию: , где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

; ; , где ; ; ; , где – числа Бернулли: ,   ; ; ; ; ; ; ; ; , ; ; .

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора. ⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора. .

Решение

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого выполняем преобразования. .

Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число.

Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

. Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:

.

Оставляем только линейный член.

.

. Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Ответ

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Решение

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем. .

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда .

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора: . .

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем: .

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора. .

Решение

Это неопределенность вида 0/0. Используем следующие разложения функций в окрестности точки : ; ; .

Раскладываем с точностью до квадратичных членов: ; . Делим числитель и знаменатель на и находим предел: .

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора. .

Решение

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0. Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑: (П4.1)   . В разложении экспоненты, заменим x на –x: (П4.

2)   . Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t: (П4.

3)   .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование: . Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем: . Подставляем в предел: . Мы снова получили неопределенность вида 0/0.

Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность: .

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в . ; ; ; . Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на : .

Подставляем в исходную функцию. . Находим предел.

• .
• Ответ
• .

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора. .

Решение

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Начнем со знаменателя. Используем свойства о малого ⇑ и разложения синуса и тангенса ⇑. ; ; .

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование. . Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑. ; ; ; ; ; ; Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем первый логарифм. ; ; ; .

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при . , где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до . Применим разложение синуса ⇑: . Заменим x на : . Тогда ; ; Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что . ; .

Находим разложение числителя. ; ; .

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел. ; .

Ответ

Использованная литература: Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/ryad-tejlora/

Понимание реальности и ряды Тейлора

?

Category: Недавно размышлял на тему того, как наш ум изобретает способы для описания Вселенной. Ещё когда я учился в школе, родилась интересная аналогия. Итак, начну издалека…

В математическом анализе есть такое понятие — ряд Тейлора. С помощью этого ряда любую функцию f(x) можно представить в виде суммы бесконечного числа простых одночленов с различными степенями и коэффициентами (a + bx + cx2+ dx3 + … + Nxn + …). Например, можно разложить в ряд Тейлора экспоненту (ex), синус (sin x) и косинус (cos x) :

Восклицательный знак (!) в этих формулах обозначает факториал — произведение всех чисел от единицы до заданного числа включительно. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

В принципе, каждую функцию f(x), имеющую производные любого порядка (f '(x), f ''(x), f '''(x), … f(n)(x)…

, проиводная функции — это, грубо говоря, функция, описывающая скорость изменения данной функции в зависимости от x) в некоторой окрестности точки a, можно разложить в ряд Тейлора в этой окрестности точки a.

Для этих функций ряд Тейлора абсолютно тождественен самой функции. Это весьма приятный факт, ведь такое случается далеко не всегда даже в мире идеальных математических моделей. Что уж говорить о реальном мире…

А в реальном мире нам приходится сталкиваться с множеством весьма прагматичных задач. Например, нам нужно посчитать ту же экспоненту или синус для различных значений аргумента x.

Для чего? Экспонента очень хорошо описывает рост популяции микроорганизмов в насыщенной кормом среде, синус и косинус дают прекрасное описание волновых процессов… А все это очень пригодится, когда мы будем строить космические корабли и изобретать вакцины…

Конечно, сейчас посчитать экспонету и прочие функции может любой инженерный калькулятор. Но нас, в данном случае, больше интересует сам алгоритм подсчёта, а не его результат.

Предположим, что мы на необитаемом острове. У нас в руках есть маленькая веточка и ещё огромный песчаный пляж под ногами. И вот нам вздумалось посчитать экспоненту для нескольких чисел. Мы умеем складывать, вычитать и умножать в столбик. Ну ещё делить уголком. И все эти расчёты можем чертить на песке. Для начала, надо бы определить степень допустимой погрешности при расчётах.

Т.е., сколько знаков после запятой нас интересует. Очевидно, что АБСОЛЮТНОЙ точности для всех расчётов мы не добьёмся никогда. Ведь подсчитывая экспоненту, мы будем иметь дело с иррациональными трансцендентными числами, десятичная записть которых БЕСКОНЕЧНА и не имеет никаких явных циклических закономерностей (как в периодических дробях рациональных чисел, например).

Но для практических целей нам такое излишество и ни к чему. Пять, шесть знаков после запятой — этого бывает более, чем достаточно, когда речь идёт о проектировке сложного технического устройства. А обычно и того меньше.Как же мы будем считать? Вот тут-то на помощь и приходит ряд Тейлора.

Мы можем взять из него первые несколько членов, удовлетворяющих заданной степени точности, а остальные члены, что за пределами допустимой погрешности, отбросить нафиг.

Точность наших решений зависит от двух факторов: 1) от количества членов ряда, которые мы берём в расчёт; 2) от расстояния (разности) между числом, для которого мы считаем экспоненту, и числом a, в окрестности которого формируется ряд. Очевидно, что чем больше членов ряда мы запишем, тем точнее будет решение.

Это, пожалуй, единственный случай, когда мы определим значение этой функции с абсолютной точностью. Но стоит нам чуть-чуть отклониться от нуля, скажем на 0,01, как мы теряем точность уже во втором знаке после запятой. При x = 0,01 экспонента принимает значение 1,010050… Теперь нам уже необходим второй член ряда Тейлора: ex = 1 + x = 1 + 0.01.

Видно, что теперь первые два члена ряда дают точность аж до 4-го знака после запятой. Отклонимся ещё немного в сторону от «безопасной» зоны. При x = 0,1 экспонента равна 1,105171… Тут первые два члена ряда (1 + 0,1 = 1,1) годятся уже лишь до второго знака. А при x = 0,5 они уже вообще никуда не годятся. Включаем третий член: ex = 1 + x + x2/2.

Тогда для x = 0,5 мы получаем 1 + 0,5 + (0,5·0,5)/2 = 1,625 (e0,5 = 1,648721…). Маловато будет. Четвёртый: ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 = 1 + 0,5 + (0,5·0,5)/2 + (0,5·0,5·0,5)/6 = 1,6458(3). Уже лучше! Пятый: ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 = 1,6484375… Опа! Уже почти дошли до третьего знака. Шестой: ex = 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120 = 1,648698… Уже держим 4 знака!

Можно с уверенностью сказать, что в интервале от нуля до 0,5 экспонента — это 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120 с точностью до четырёх знаков после запятой. Ведь подставив в этот многочлен любой x, от нуля до 0,5, мы получим довольно точное значение экспоненты, если, конечно, четыре знака нас удовлетворят.

Если захочется побольше, то придётся прибавлять новые и новые члены ряда Тейлора. А теперь пусть x = 5. Тогда 1 + x + x2/2 + x3/6 + x4/24 + x5/120 = 91,41(6). А e5 = 148,413159…

Какое чудовищное несоответствие РЕАЛЬНОЙ экспоненте! Стоило только отойти достаточно далеко от привычной области расчётов, как результат начинает отличаться чуть ли ни в разы!Ладно, хватит уже пережёвывать прописные истины. Людям, хотя бы поверхностно знакомым с численными методами, всё и так предельно ясно. А остальные разберутся сами, если им будет интересно.

К чему я всё это начал? А вот к чему.Дело всё в том, что эти расчёты с рядами Тейлора можно спроецировать и на наше понимание реального мира. Заметьте — не на саму РЕАЛЬНОСТЬ, а на наше ПОНИМАНИЕ этой реальности. Спроецировать — значит найти похожую закономерность. Я не имею в виду Монады Лейбница.

  И на этот раз я буду использовать аллегорию — ряды Тейлора.

Представим себе, что реальный мир (Территория) — это такая Функция, типа экспоненты. Воспринять этот мир полностью (посчитать экспоненту для всех значений x с абсолютной точностью) мы не можем, в силу ограниченной вместимости нашего разума.

Но описать ограниченную область мира с определённой степенью точности нам вполне под силу (посчитать сумму несколькых первых членов ряда Тейлора на заданной окрестности точки a). Сумма первых нескольких членов ряда Тейлора — это и есть теория (Карта), описывающая данный кусок Функции (реальности, Территории). И чем больше членов ряда Тейлора мы включаем в расчёт, тем точнее наша теория описывает проблемный участок.

Эволюцию такого «ряда Тейлора» можно проследить на примере развития физической картины мира. Сначала господствовала классическая механика (скажем, первые четыре члена «ряда Тейлора»).

И эта теория работала достаточно хорошо, пока все наблюдения и эксперименты (непосредственные измерения значения Функции по точкам) находились в области макромира (в допустимой окрестности точки a). Тогда теория хорошо предсказывала результаты экспериментов (расчётные значения Функции совпадали с измеренными).

Но как только область наблюдения вышла за пределы привычной «окрестности точки a«, теория резко дала сбой (как это случилось с первыми пятью членами ряда Тейлора для экспоненты, когда мы перескочили с 0,5 на 5). Заглянув в микромир, человек обнаружил множество совершенно необъяснимых явлений.

И тут уже потребовалать новая — более общая теория — квантовая механика (первые четыре члена «ряда Тейлора» дополнились ещё двумя). Причём из квантовой механики можно вывести классическую, как частный случай (первые члены ряда никуда не делись, они просто дополнились новыми).

То же самое можно сказать и о Теории Относительности Эйнштейна.Вопрос: можно ли создать Единую Теорию Всего? Да, но чтобы её записать, потребуется бесконечное количество бумаги. Ведь ряд Тейлора бесконечен. Поэтому мы можем лишь бесконечно приближать свои знания к Истине.

И тем не менее мы питаем огромное колличество иллюзий относительно наших представлений о реальном мире.

Религии проповедуют, что именно они знают Абсолютную Истину. Многие учёные тоже грешат, цепляясь за старые парадигмы. Мы постоянно ошибаемся, когда выносим наши теории за рамки их допустимой окрестности, либо игнорируем допустимую степень точности в наших «расчётах».

Но хуже всего, когда мы принимаем представления, которые явно противоречат реальности, либо никак не соприкасаются с ней.

Источник: https://newman.livejournal.com/168590.html

Разложение функции в ряд Тейлора

Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами.

В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.

Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Источник: https://allcalc.ru/node/688

Формула Тейлора для разложения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формулой Тейлора или рядом Тейлора в окрестности точки x=a называется выражение вида

( f(x)=f(a)+frac{f^{prime}(a)}{1 !}(x-a)+frac{f^{prime prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+frac{f^{prime prime prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3}+ldots+frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+ldots= )

• ( =sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} )
• Формула Тейлора в окрестности точки x=0 называется формулой Маклорена.
• Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций:

( e^{x}=1+frac{x}{1 !}+frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{3}}{3 !}+ldots+frac{x^{n}}{n !}+ldots,|x|( sin x=frac{x}{1 !}-frac{x^{3}}{3 !}+frac{x^{5}}{5 !}-ldots+frac{(-1)^{n+1} x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}-ldots,|x|( cos x=1-frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}-frac{x^{6}}{6 !}+ldots+frac{(-1)^{n+1} x^{2 n}}{(2 n) !}-ldots,|x|( ln (1+x)=frac{x}{1}-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-ldots+frac{(-1)^{n+1} x^{n}}{n}-ldots, x in(-1 ; 1] )

( (1+x)^{alpha}=1+frac{alpha}{1 !} x+frac{alpha(alpha-1)}{2 !} x^{2}+frac{alpha(alpha-1)(alpha-2)}{3 !} x^{3}+ldots+frac{alpha(alpha-1) ldots(alpha-n+1) x^{n}}{n !}+ldots,|x|( operatorname{arctg} x=x-frac{x^{3}}{3}+frac{x^{5}}{5}-frac{x^{7}}{7}+cdots+frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{2 n-1}-cdots,|x| leq 1 )

( frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+cdots+x^{n}+cdots,|x|( frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-cdots+(-1)^{n} x^{n}+cdots,|x|( operatorname{sh} x=x+frac{x^{3}}{3 !}+frac{x^{5}}{5 !}+ldots+frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+ldots,|x|( operatorname{ch} x=1+frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{4}}{4 !}+ldots+frac{x^{2 n}}{(2 n)}+ldots,|x|( ln frac{1+x}{1-x}=2left(x+frac{x^{3}}{3}+frac{x^{5}}{5}+ldots+frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+ldots
ight),|x|( frac{1}{(1-x)^{2}}=1+2 x+3 x^{2}+cdots+(n+1) x^{n}+cdots,|x|ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить приближенно ( ln 7 ) , записав четыре первых члена его разложения в ряд Маклорена.

Решение

1. Для вычисления используем разложение
2. ( ln frac{1+x}{1-x}=2left(x+frac{x^{3}}{3}+frac{x^{5}}{5}+ldots+frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}
   ight),|x|Из равенства ( 7=frac{1+x}{1-x} ) находим ( mathbf{X} ) :
3. ( x=frac{3}{4} )
4. Таким образом,
5. ( ln 7=ln frac{1+frac{3}{4}}{1-frac{3}{4}}=2 cdotleft(frac{3}{4}+frac{left(frac{3}{4}
   ight)^{3}}{3}+frac{left(frac{3}{4}
   ight)^{5}}{5}+frac{left(frac{3}{4}
   ight)^{7}}{7}+ldots
   ight) approx )
6. ( approx 1,5+0,28125+0,094922+0,038138=1,91431 )

Ответ

• ( ln 7 approx 1,91431 )
• ПРИМЕР 2

Задание

Найти первые три слагаемых разложения в ряд Тейлора в окрестности точки ( x=0 ) решения дифференциального уравнения ( y^{prime}=x+2, y(0)=-1 ) .

Решение

Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид:

( y(x)=y(0)+frac{y^{prime}(0)}{1 !} cdot x+frac{y^{prime prime}(0)}{2 !} cdot x^{2} )

1. Первое слагаемое ( y(0) ) задано по условию.
2. Производная функции в точке ( x=0 )
3. ( y^{prime}(0)=0+2=2 )
4. Найдем вторую производную функции:
5. ( y^{prime prime}=left(y^{prime}
   ight)^{prime}=(x+2)^{prime}=1+0=1 )
6. Тогда
7. ( y^{prime prime}(0)=1 )
8. Итак, искомое разложение

( y(x)=-1+frac{2}{1 !} cdot x+frac{1}{2 !} cdot x^{2}=-1+2 x+frac{x^{2}}{2} )

Ответ

( y(x)=-1+2 x+frac{x^{2}}{2} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/formula-tejlora-dlya-razlozheniya-funkcii/

69. Формула Тейлора. Разложение функции по формуле Тейлора

Пусть
функция y=
f(x) задана
на (a,
b) и x  (a,
b).

 Поставим
следующую задачу: найти многочлен P(x),
значения которого в окрестности
точки x0 приближенно
совпадали бы со значениями функции f(x) в
соответствующих точках.

Тогда можно
будет считать, что f(x)≈P(x) и
задачу вычисления значенийf(x) в
окрестности точки x0 можно
заменить более легкой задачей вычисления
значений P(x).

Пусть
искомый многочлен имеет степень n
P(x) = Pn(x).
Будем искать его в виде

(1)

Для
того чтобы этот многочлен был «близок»
к функции f(x) потребуем
выполнения следующих равенств:

Пусть
функция y=
f(x) имеет
производные до n-ого порядка. Найдем
коэффициенты многочленаPn(x)
исходя из условия равенства производных.

Введем
обозначение n!
= 1·2·3…n,
0! = 1, 1! = 1.

• Подставим
  в (1) x = x0 и
  найдем ,
  но с другой стороны.
  Поэтому
• Далее
  найдем производную и
  вычислимСледовательно,.
• Учитывая
  третье условие и то, что

получим ,
т.е..

Далее .
Значит,,
т.е..

Обозначим и
назовем эту разностьn-ым
остаточным членом функции f(x) в
точке x0.
Отсюда и,
следовательно,если
остаточный член будет мал.

Оказывается,
что если x  (a, b)
при всех x  (a, b)
существует производная f (n+1)(x),
то для произвольной точки x  (a,
b) существует
точка, лежащая между x0 и x такая,
что остаток можно представить в виде:

1. Это
   так называемая формула
   Лагранжа для
   остаточного члена.
2. Формула
3.  где
   x  (x0, x)
   называется формулой
   Тейлора.
4. Если
   в этой формуле положить x0 =
   0, то она запишется в виде

где
x  ( x0, x).
Этот частный случай формулы Тейлора
называют формулой
МакЛорена.

.

РАЗЛОЖЕНИЕ
ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Рассмотрим функцию f(x)=ex. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким
образом, получаем

• Используя
  эту формулу и придавая x различные
  значения, мы сможем вычислить значение ex.
• Например,
  при x=1,
  ограничиваясь n=8,
  получим формулу, позволяющую найти
  приближенное значение числа e:
•  причем
  остаток 
• Отметим,
  что для любого x  R остаточный
  член 

Действительно,
так как ξ  (0; x),
то величина eξ ограничена
при фиксированном x.
При x>
0 eξ 

Источник: https://studfile.net/preview/2732377/page:36/

Ряд Маклорена

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Понятие суммы степенного ряда

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд  сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: 

На уроке мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда  в его области сходимости  является некоторая функция :

• Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд  будет расходиться.
• Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:
• Область сходимости ряда: 
• (По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
• Теперь вспоминаем школьный график синуса :

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд  сходится к функции . Используя признак Даламбера , легко проверить, что ряд  сходится при любом «икс»:  (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»?  По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда  и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду.

А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда:  и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение.

И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд  сходится к функции  при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса: Область сходимости ряда: 

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена   совпадает с графиком арктангенса  только на отрезке  (т.е. в области сходимости ряда):

1. Вне отрезка  разложение арктангенса в ряд  расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность.
2. Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:
3. – найти сумму ряда (функцию) по известному разложению; – разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём.

Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция  в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:

Примечания: надстрочный индекс  в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .

Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора  по степеням .

• Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции: Как оно получилось? По формуле Маклорена:

Рассмотрим функцию , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д.  Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

1. И так далее….
2. Совершенно очевидно, что 
3. Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!
4. Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).
5. Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

• ! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням  
• Решение незамысловато, главное, быть внимательным.
• Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:
• .
• В данном случае :
• Раскрываем наверху скобки:
• Теперь умножаем обе части на «икс»:
• В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении  (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например,  – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение  на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда: 

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде ,  или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , ,  и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

1. В таблице находим похожее разложение:
2. Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:
3. Таким образом,  и: Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .  В данном случае :

Знак «минус» испаряется, кроме того, квадрат и так неотрицателен, поэтому надобность вмодуле отпадает:

Как исследовать ряд на концах найденного интервала? В данном случае… никак! Значения ,  не входят в область определения функции  и равенство  теряет смысл. А даже если их и подставить в правую часть, то получатся расходящиеся числовые ряды.

Поэтому безо всяких исследований сразу записываем область сходимости ряда:

Но так бывает далеко не всегда:

Простейшее разложение из учебника  сходится ещё в одной точке: . Здесь значение  тоже вне игры, а вот при  сумма получившегося знакочередующегося ряда  в точности равна .

• Интересно отметить, что разложение в ряд такого логарифма:
•  – сходится уже на обоих концах интервала:  (при подстановках ,  получается тот же самый сходящийся ряд )
• Таким образом, с логарифмами нужно работать осмотрительно!

УДАЧИ!!!

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/ryad_maklorena_120006.html