График логарифмической функции, с примерами

Справочник по математике Алгебра Координатная плоскость

График логарифмической функции, с примерами

  •       Определение 1. Степенной функцией называют функцию
  • y = x p ,
  • где   p   – любое действительное число, отличное от нуля.
  •      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».
  •       Графики степенных функций при различных значениях   p   представлены в следующей таблице.

Графики степенных функций

y = xГрафик логарифмической функции, с примерами График логарифмической функции, с примерами
y = x2График логарифмической функции, с примерами График логарифмической функции, с примерамиГрафик логарифмической функции, с примерами
y = x3График логарифмической функции, с примерами График логарифмической функции, с примерами
y = x4
y = x
y = x2
y = x3
y = x4

Показательные функции

  1.       Определение 2. Показательной функцией называют функцию
  2. y = a x ,
  3. где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .

    alt

    Узнай стоимость своей работы

    Бесплатная оценка заказа!

    Оценим за полчаса!
  4.      С понятиями степени с рациональным показателем и степени с иррациональным показателем можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Степень с рациональным показателем».

  5.       Графики показательных функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики показательных функций

y = 2x
y = e x
y = 2x
y = e x

Логарифмические функции

  •       Определение 3. Логарифмической функцией называют функцию
  • y = log a x ,
  • где   a   – любое положительное число, отличное от   1 .
  •      С определением и свойствами логарифмов можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Логарифмы».
  •       Графики логарифмических функций при различных значениях   a   представлены в следующей таблице.

Графики логарифмических функций

y = ln x
y = lg x
y = log 2x
y = ln x
y = lg x
y = log 2x

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/fiz/dgia.htm

Логарифмические функции — это… Что такое Логарифмические функции?

График логарифмической функции, с примерами

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логарифм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. Обозначение: . Из определения следует, что записи и ax = b равносильны.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Пример: , потому что 23 = 8.

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа logab имеет смысл при a>0, a 
e 1, b>0.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию, например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0, непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

  • Основное логарифмическое тождество:
  • График логарифмической функции, с примерами
  • График логарифмической функции, с примерами
  • График логарифмической функции, с примерами
  • (замена основания логарифма)

Натуральные логарифмы

Для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. Начнём с натурального логарифма, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что ez = w.

Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией.

Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число.

Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале ( − π,π].

Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

  • Вещественная часть логарифма определяется по формуле:
  • Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Примеры (приведено главное значение логарифма):

  • ln( − 1) = iπ

Аналогично рассматриваются комплексные логарифмы с другим основанием. Следует, однако, быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

iπ = ln( − 1) = ln(( − i)2) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. В явном виде продолжение логарифма вдоль кривой Γ, не проходящей через 0, можно осуществить по формуле (соответствующую функцию также обозначаем ln)

При этом, если Γ — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S, охватывающей точку 0:

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция — пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1, особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0.

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел.

В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной.

Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение.

В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M, где M — масштабный множитель, введенный для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке.

В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма.

Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x).

Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n. Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620).

В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки.

Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

  • Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

  • Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

  • Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
  • Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

См. также

Литература

Wikimedia Foundation. 2010.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1008776

Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Всё о Математических функциях и их графиках..

Широкое применение нашла логарифмическая функция в астрономии: Например по ней изменяется величина блеска звезд, если сравнивать характеристики блеска отмеченные глазом и с помощью приборов, то можно составить следующий график:

График логарифмической функции, с примерами Здесь по вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной — показания приборов. По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Ещё одно применение логарифмической функции можно найти, если рассматривать логарифмическую спираль.

Спираль, по определению — это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала.

Если начало спирали выбрать за полюс полярной системы координат, то математически спираль может быть представлена с помощью некоторого полярного уравнения r = f(j), где r — радиус-вектор спирали, j — угол, откладываемый на полярной оси, f(j) — некоторая монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. В случае с логарифмической спиралью точка удаляется по экспоненциальному закону ( , где a — произвольное положительное число).

График логарифмической функции, с примерами — логарифмическая спираль. Если взглянуть на форму многих галактик, то можно обнаружить, что некоторые из них имеют форму логарифмической спирали. График логарифмической функции, с примерами Галактика млечный путь — типичная спиральная галактика. Но форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и например: ракушки многих улиток График логарифмической функции, с примерами рога козлов, паутина паука , семечки подсолнуха.

В физике тоже есть немало примеров применения логарифмической функции и логарифмов. Например, подобно оценки блеска звезд в предыдущем пункте, оценивается громкость шума. Единицей громкости служит «бел», практически его десятая доля – децибел. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела и т.д.

– составляют для нашего слуха арифметическую прогрессию. Физическая сила этих шумов составляет геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Разности громкости в 1 бел соответствует отношение силы шумов 10. Это значит, что выраженная в белах громкость шума, равна десятичному логарифму его физической силы.

Заметим, что в физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов показательная, логарифмическая функции, экспонента и логарифмы применяются очень широко, но как правило не как описание отдельного процесса или комплекса процессов, а входят в состав сложных уравнений и систем уравнений и формул, описывающих данный процесс.

  • Также широкое применение нашла логарифмическая функция и в экономике: Например капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раза, не слишком впечатляющее возрастание, если рассматривать его на небольшом промежутке времени (в несколько лет), а если рассмотреть размер этой суммы через десять, сто лет или даже более долгий срок, то увеличение будет более чем значительным.

Источник: http://fgraphiks.narod.ru/logarifmicheskaya.html

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $bin R$ по основанию $a$ ($a>0, a
e 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $fleft(x
ight)=a^x$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+infty )$.

Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+infty )$ существует обратная функция $x=f^{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+infty )$ на всю действительную ось.

Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $fleft(x
ight)=a^x$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x }, a >1$

График логарифмической функции, с примерами

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения — интервал $(0,+infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x }=0, x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $xin (1,+infty )$ и отрицательна, при $xin (0,1)$

  6. $y'=frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    [frac{1}{xlna}=0-корней нет]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция возрастает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    [-frac{1}{x^2lna}Функция выпукла на всей области определения;

  11. ${mathop{lim}_{x o 0} y }=-infty , {mathop{lim}_{x o +infty } y }=+infty , $;

  12. График функции (Рис. 1).

График логарифмической функции, с примерами

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x }, a >1$

Функция $y={{log}_a x }, 0

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения — интервал $(0,+infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x }=0, x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $xin (0,1)$ и отрицательна, при $xin (1,+infty )$

  6. $y'=frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    [frac{1}{xlna}=0-корней нет]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=-frac{1}{x^2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    [-frac{1}{x^2lna}>0]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${mathop{lim}_{x o 0} y }=+infty , {mathop{lim}_{x o +infty } y }=-infty , $;

  12. График функции (Рис. 2).

График логарифмической функции, с примерами

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x }$

  1. Область определения — интервал $(0,+infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, $2-{{log}_2 x }=0, x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

  5. Функция положительна, при $xin (0,4)$ и отрицательна, при $xin (4,+infty )$

  6. $y'=-frac{1}{xln2}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    [-frac{1}{xln2}=0-корней нет]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y^{''}=frac{1}{x^2ln2}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    [frac{1}{x^2ln2} >0]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${mathop{lim}_{x o 0} y }=+infty , {mathop{lim}_{x o +infty } y }=-infty , $;

  12. График функции:

График логарифмической функции, с примерами

Рисунок 3.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/pokazatelnaya_funkciya/logarifmicheskaya_funkciya/

Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции(11 класс)

  • Разработка урока обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме « Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции»
  • Этап урока
  • Время, мин.
  • Приёмы и методы
  • Содержание деятельности
  • Организация начала урока
  • 1
  • словесный
  • Приветствует, проверяет готовность к уроку, организует внимание
  • Подготовка учащихся: сообщение темы (проблемы). Исторический материал и связь с окружающим миром – для развития интереса к предмету
  • 5
  • Словесный, фронтальная беседа, словесно-наглядный с применением презентаций учащегося
  • Предлагает план работы на уроке.
  • Учащиеся с помощью презентации рассказывают о связи логарифмической функции с окружающим миром
  • Проверка готовности к уроку по материалу предыдущего урока (самими учащимися)
  • 5
  • Индивидуальный интерактивный тест с последующей самопроверкой
  • Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся
  • Обобщение отдельных фактов, понятий
  • Построение графика логарифмической функции путем несложных преобразований
  • 5
  • Фронтальный анализ, словесно-наглядный с применением презентаций Самостоятельная работа с проверкой
  • Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку, демонстрируя параллельный перенос с помощью презентации
  • Обобщение отдельных фактов, понятий
  • Построение графика логарифмической функции путем сложных преобразований
  • 10
  • Фронтальный анализ и обобщение
  • Самостоятельная работа с проверкой
  • Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку с помощью документ- камеры
  • Применение построений графиков при решении уравнений и неравенств
  • 12
  • Работа у доски, самостоятельная работа
  • Предъявляет задания. Организует и корректирует работу обучающихся, организует проверку
  • Подведение итогов урока. Рефлексия
  • 2
  • Словесный анализ, фронтальная
  • Задает вопросы, отвечая на которые учащиеся анализируют свою работу
  • Тема урока
  • Логарифмическая функция. Преобразования графика логарифмической функции
  • Цель урока (учебная, развивающая, воспитательная)
  • Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков сложных логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.
  • Развивающие:
  • Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций
  • Сознательного восприятия учебного материала
  • Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию
  • Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся
  • Развитие интереса к предмету

Воспитательные:

  • Воспитание познавательной активности
  • Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения
  1. Тип урока
  2. Комбинированный
  3. Основные термины и понятия для изучения
  4. Логарифм, свойства логарифма, логарифмическая функция, ее свойства
  5. Оборудование
  6. Ноутбуки персональные, документ-камера, карточки с заданиями, листы оценивания, презентации, интерактивный тест.
  7. Формы работы
  8. Фронтальная, индивидуальная.
  9. Методические приемы мотивации обучения
  10. Использование ИКТ, презентации составленные учащимися
  11. Методические приемы проверки домашнего задания
  12. Интерактивный тест
  13. Межпредметные связи
  14. Выступление ученика с демонстрацией материала по презентации «Логарифмическая функция в окружающем нас мире»
  15. Тема: Логарифм, его свойства, логарифмическая функция, ее свойства и график
  16. «В науке нет широкой столбовой дороги, и только тот достигнет ее сияющих вершин, кто, не страшась усталости, карабкается по ее каменистым тропам»
  17. (Маркс)
  18. Цели урока:
  19. Образовательные: совершенствовать навыки построения графиков логарифмических функций; уметь применять их при графическом решении уравнений и неравенств.
  20. Развивающие:
  • Развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций
  • Сознательного восприятия учебного материала
  • Развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию
  • Способствовать развитию исследовательской деятельности учащихся
  • Развитие интереса к предмету

Воспитательные:

  • Воспитание познавательной активности
  • Чувства ответственности, уверенности в себе, воспитание культуры общения
  • Ресурсы урока: Карточки с заданиями, интерактивный тест, презентации, лист оценивания.
  • Тип урока: Комбинированный
  • Форма урока: Классно-урочная
  • Форма работы: фронтальная, индивидуальная.
  • Технология: Личностно-ориентированная; информационно-коммуникативная
  • План урока:
  1. Организационный момент (сообщение темы урока, цель урока, что должны знать и уметь).

  2. Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)

  3. Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование).

  4. Изучение и закрепление нового материала

  5. Применение нового материала

  6. Подведение итогов.

Ход урока:

  1. Организационный момент (приветствие, проверка готовности учащихся к уроку).

    • Тема сегодняшнего нашего урока «Логарифмическая функция. Преобразование графика».
    • Наша цель научиться строить графики логарифмических функций с помощью преобразований и применять их в решении уравнений и неравенств.
    • Будем работать по следующему плану:
  1. Узнаем о связи логарифмической функции с окружающим миром.

  2. Проверка готовности к уроку с помощью тестирования

  3. Построение графиков логарифмической функции +самостоятельная работа

  4. Графическое решение уравнений и неравенств + самостоятельная работа

На уроке вы должны быть активными, так как ваша оценка за урок будет складываться из количества баллов набранных вами за урок. Критерии оценок посмотрите в листах оценивания.

  1. Осуществление межпредметных связей (сообщение учащегося)

  2. Обобщение ранее изученного материала. Проверка готовности к изучению материала (индивидуальное тестирование). Вопросы по тестированию есть? При рассмотрении примеров были ли у вас трудности?

  3. Изучение и закрепление нового материала

Напомните как построить график графики функций y = log 3(x), y = log 0,3(x)

Как получить графики функции y = log 3(x – 1) , y = log 0,3(x)+3. Учитель обсуждает с учащимися сделанные выводы и дает задание построить самостоятельно графики функций y = log 3(x-3), y = log 3(x)+2, y = log 3(x +4) – 2. Ученики комментируют построение и проверяют с помощью презентации.

А как построить графики следующих функций y = log 3(ǀxǀ), y =ǀlog 3(ǀxǀ)ǀ, y = ǀlog 3(ǀxǀ)ǀ

Обсуждается способ построения каждой функции, общие и отличительные черты в построении. Строятся графики на доске. Учитель предлагает учащимся самостоятельно построить графики следующих функций по выбору y = log 3(ǀx-2ǀ),, y = ǀ-log 3(ǀ-xǀ)ǀ-2. Комментируют построение и проверяют с помощью документ-камеры.

  1. Применение нового материала

Выполнение у доски №29(а), 30(б), 31(б), 47(а), 48(б). Учащиеся обсуждают, делают выводы и выполняют самостоятельно на выбор задания

(x + 3) 2= log 2(x-2), (x + 3) 2˃ log 2(x-2), (x + 3) 2≥log 2(x-2)

или -2= log 2(x-2), -2 ˃ log 2(x-2), -2≥ log 2(x-2). Комментируют решение и проверяют с помощью документ-камеры.

  1. Подведение итогов. Объявление оценок.

Источник: https://infourok.ru/logarifmicheskaya-funkciya-preobrazovaniya-grafika-logarifmicheskoy-funkcii-klass-561198.html

Ссылка на основную публикацию