Интеграл котангенса, формула и примеры

На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все примеры будут разобраны подробно, доступно и понятно.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны хорошо ориентироваться в простейших интегралах, а также владеть некоторыми приемами интегрирования. Ознакомиться с этими материалами можно на лекциях Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

А сейчас нам потребуются Таблица интегралов, Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все методические пособия можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Рекомендую всё распечатать. Особо заостряю внимание на тригонометрических формулах, они должны быть перед глазами– без этого эффективность работы заметно снизится.

Но сначала о том, каких интегралов в данной статье нет. Здесь не найдется интегралов вида , Интеграл котангенса, формула и примеры – косинус, синус, умноженный на какой-нибудь многочлен (реже что-нибудь с тангенсом или котангенсом). Такие интегралы интегрируются по частям, и для изучения метода посетите урок Интегрирование по частям. Примеры решений. Также здесь не найдется интегралов с «арками» – арктангенсом, арксинусом и др., они тоже чаще всего интегрируются по частям.

  • При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов, в том числе:
  • — использование тригонометрических формул;
  • — понижение степени подынтегральной функции (частный случай п.1);
  • — метод замены переменной;

— универсальная тригонометрическая подстановка(частный случай п.3).

  1. Следует отметить, что данное разделение весьма условно, поскольку очень часто все вышеперечисленные правила используются одновременно в одном примере.
  2. Пример 1
  3. Найти неопределенный интеграл.

Интеграл котангенса, формула и примеры

Сначала полное решение, потом комментарии.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Аксиомы планиметрии и следствия из них

Оценим за полчаса!

Интеграл котангенса, формула и примеры

Используем формулу:

Интеграл котангенса, формула и примеры Интеграл котангенса, формула и примеры Интеграл котангенса, формула и примеры

  • (2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
  • Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что:
  • Косинус – это четная функция, то есть
  • Интеграл котангенса, формула и примеры , — минус исчезает без всяких последствий.
  • В рассматриваемом примере: Интеграл котангенса, формула и примеры .
  • Синус – функция нечетная:
  • , – здесь минус, наоборот, не пропадает, а выносится.

(3) Под интегралами у нас сложные функции (косинусы не просто от x, а от сложного аргумента). Это простейшие из сложных функций, интегралы от них удобнее найти методом подведения под знак дифференциала.

  1. (4) Используем табличную формулу , единственное отличие в том, что вместо «икса» у нас сложное выражение.
  2. Готово.
  3. Пример 2
  4. Найти неопределенный интеграл
  5. .
  6. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
  7. Пример 3
  8. Найти неопределенный интеграл
  9. .
  10. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.
  11. (1) Используем тригонометрическую формулу .
  • (2) Подводим функцию под знак дифференциала.
  • (3) Используем табличный интеграл .
  • Пример 4
  • Найти неопределенный интеграл
  • .
  • Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
  • Пример 5
  • Найти неопределенный интеграл
  • .
  • Сначала решение:
  • (1) Используем формулу
  • .
  • (2) Используем основное тригонометрическое тождество , из которого следует, что .
  • (3) Почленно делим числитель на знаменатель.
  • (4) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
  • (5) Интегрируем с помощью таблицы.
  • Пример 6
  • Найти неопределенный интеграл
  • .
  • Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

Также существуют интегралы от тангенсов и котангенсов, которые находятся в более высоких степенях.Интегралы от тангенса (котангенса) в четвертой и пятой степенях можно раздобыть на странице Сложные интегралы.

Источник: https://megaobuchalka.ru/1/34156.html

Интеграл котангенса в квадрате

Автор Константин Фёдоров задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи

Какой интеграл у ctg^2x (котангенс в квадрате х) ? и получил лучший ответ

Ответ от Марина Васильевна[гуру]Поскольку ctg ²x=1/sin²x-1, то INT(ctg ²xdx)=INT(1/sin²x)-1)dx)=INT(dx/sin ²x)-INT(dx)= -ctgx-x+C. INT-интеграл.

  • Интеграл от синуса (largeint
  • ormalsize = – cos x + C)
  1. Интеграл от косинуса (largeint
  2. ormalsize = sin x + C)
  3. Интеграл от синуса в квадрате (largeint
  4. ormalsize = largefrac
    ormalsize – largefrac
  5. ormalsize sin + C)
  6. Интеграл от косинуса в квадрате (largeint
  7. ormalsize = largefrac
    ormalsize + largefrac
  8. ormalsize sin + C)
  9. Интеграл от синуса в кубе (largeint
    ormalsize = largefrac
    ormalsizex – cos x + C = largefrac
    ormalsizecos — largefrac
  10. ormalsize cos x + C)
  11. Интеграл от косинуса в кубе (largeint
    ormalsize = sin x – largefrac
    ormalsizex + C = largefrac
    ormalsizesin + largefrac
  12. ormalsize sin x + C)
  13. Интеграл от секанса (largeint
    ormalsize = largeint
  14. ormalsize = ln left| < an left( ight)>
  15. ight| + C)
  16. Интеграл от косеканса (largeint
    ormalsize = largeint
  17. ormalsize = ln left| < an >
  18. ight| + C)
  19. Интеграл от секанса в квадрате (largeint
    ormalsize = largeint
  20. ormalsize = an x + C)
  21. Интеграл от косеканса в квадрате (largeint
    ormalsize = largeint
  22. ormalsize = -cot x + C)
  23. Интеграл от секанса в кубе (largeint
    ormalsize = largeint
    ormalsize = largefrac
    ormalsize + largefrac
  24. ormalsizeln left| < an left( ormalsize ight)>
  25. ight| + C)
  26. Интеграл от косеканса в кубе (largeint
    ormalsize = largeint
    ormalsize = -largefrac
    ormalsize + largefrac
  27. ormalsizeln left| < an largefrac ormalsize>
  28. ight| + C)
  29. Интеграл от произведения синуса и косинуса (largeint
    ormalsize = – largefrac
  30. ormalsizecos + C)
  31. Интеграл от произведения синуса в квадрате и косинуса (largeint
    ormalsize = largefrac
  32. ormalsize x + C)
  33. Интеграл от произведения косинуса в квадрате и синуса (largeint
    ormalsize = -largefrac
  34. ormalsize x + C)
  35. Интеграл от произведения квадратов синуса и косинуса (largeint
  36. ormalsize = largefrac
    ormalsize – largefrac
  37. ormalsize sin + C)
  38. Интеграл от тангенса (largeint
    ormalsize < an x,dx>= – ln left|
  39. ight| + C)

  Альтернатива литий ионным аккумулятором

  • (largeint
    ormalsize = largefrac
  • ormalsize + C = sec x + C)
  • (largeint
    ormalsize = ln left| < an left( ight)>
  • ight| – sin x + C)
  • Интеграл от тангенса в квадрате (largeint
  • ormalsize x,dx> = an x – x + C)
  • Интеграл от котангенса (largeint
    ormalsize = ln left|
  • ight| + C)
  • (largeint
    ormalsize = – largefrac
  • ormalsize + C = – csc x + C)
  • Интеграл от котангенса в квадрате (largeint
  • ormalsize = – cot x – x + C)
  • (largeint
    ormalsize = – largefrac
  • ormalsize + ln left| < an left( ormalsize ight)>
  • ight| + C)

Интеграл котангенса, формула и примеры

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Интеграл котангенса, формула и примеры
Интеграл котангенса, формула и примеры

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу

Интеграл котангенса, формула и примеры

Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Пример 15 Найти неопределенный интеграл

Интеграл котангенса, формула и примеры

  1. (1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
  2. (2) Для одного из множителей используем формулу
  3. (3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
  4. (4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала , во втором интеграле еще раз используем формулу
  5. Интеграл котангенса, формула и примеры, в данном случае .
  6. (5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Интеграл котангенса, формула и примеры

  • Найти неопределенный интеграл
  • Это пример для самостоятельного решения.
  • Для котангенса существует аналогичная формула:

. Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций . На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций.

Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями.

И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример – интеграл от единицы, деленной на синус:

  Clr enabled как включить

  1. Пример 17 Найти неопределенный интеграл
  2. .
  3. Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с ми к каждому шагу:
  4. (1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла
  5. .
  6. (2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на
  7. .
  8. (3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
  9. (4) Подводим функцию под знак дифференциала.
  10. (5) Берём интеграл.
  11. Пример 18 Найти неопределенный интеграл
  12. .
  13. Указание: Самым первым действием следует использовать формулу прив е дения
  14. и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.
  15. Пример 19 Найти неопределенный интеграл
  16. .

Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.

Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:

и т.п.

  • В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса
  • .
  • То есть, речь идет о замене:
  • .
  • В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
  • Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
  • Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
  • Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной .
  • Для интеграла – целое отрицательное число.
  • Для интеграла – целое отрицательное число.
  • Для интеграла – целое отрицательное число. Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
  • Пример 20 Найти неопределенный интеграл
  • .
  • Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:
  • (1) Преобразуем знаменатель.
  • (2) По известной формуле получаем .
  • (3) Преобразуем знаменатель.
  • (4) Используем формулу
  • (5) Подводим функцию под знак дифференциала.

(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но всетаки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Пример 21 Найти неопределенный интеграл

  Адаптер для блока питания

  1. .
  2. Это пример для самостоятельного решения.
  3. Пример 22 Найти неопределенный интеграл
  4. .
  5. В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
  6. Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
  7. Пример 23 Найти неопределенный интеграл
  8. .
  9. Пример 24 Найти неопределенный интеграл
  10. .

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.

  • Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
  • Интеграл от корня из дроби
  • Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
  • Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:

, где a , b , c , d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

  1. Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:
  2. .
  3. Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx . Выражаем «икс»:
  4. Теперь найдем дифференциал:
  5. Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?
  6. Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида
  7. !
  8. Формулы замены таковы:
  9. .
  10. Пример 25 Найти неопределенный интеграл
  11. .
  12. .
  13. В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:
  14. .
  15. .
  16. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:
  17. Проведем обратную замену. Если изначально
  18. ,
  19. .
  20. Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида
  21. , ,
  22. но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.
  23. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку
  24. .

и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx . Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

  • Решения и ответы:
  • Пример 2: Решение:
  • .
  • Интегрируем по частям:
  • .
  • .
  • Пример 6: Решение:
  • .
  • Интегрируем по частям:
  • Пример 8: Решение:
  • Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
  • Пример 10: Решение:
  • .
  • Пример 11: Решение:
  • Пример 12: Решение:
  • .
  • Пример 14: Решение:
  • Дважды используем рекуррентную формулу
  • Пример 16: Решение:
  • Пример 18: Решение:
  • .

Источник: https://avataria-cheat.ru/info/integral-kotangensa-v-kvadrate/

Методы интегрирования тригонометрических функций

Интеграл котангенса, формула и примеры

Представлены основные тригонометрические формулы и основные подстановки. Изложены методы интегрирования тригонометрических функций – интегрирование рациональных функций, произведение степенных функций от sin x и cos x, произведение многочлена, экспоненты и синуса или косинуса, интегрирование обратных тригонометрических функций. Затронуты нестандартные методы.

Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

sin2 a + cos2 a = 1 sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a

Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций

Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.

Подстановка t = sin x

Преобразование выполняется по формулам:

cos x dx = dt; sin x = t;   cos2 x = 1 – t2; ;  

Подстановка t = cos x

sin x dx = – dt; cos x = t;   sin2 x = 1 – t2; ;  

Подстановка t = tg x

;   ; tg x = t;   ; ;   .

Подстановка t = ctg x

;   ; ctg x = t;   ; ;   .

Подстановка t = tg (x/2)

; ; ; ;   ; ;   .

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции arcsin φ, arctg φ, и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x, нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ, u = arctg φ, и т.д.

Примеры таких интегралов: , , . Подробнее >>>

Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование: cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a). После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку . Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x

Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x, cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R(sin x, cos x). Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот. Интегралы от рациональных функций имеют вид:

.

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.   1)   Подстановка     всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.

  2)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене cos x → – cos x, то выполняется подстановка t = sin x.   3)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене sin x → – sin x, то выполняется подстановка t = cos x.

  4)   Если R(sin x, cos x) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x, и sin x → – sin x, то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x.

Примеры: , , . Подробнее >>>

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегралы вида являются интегралами от рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже рассмотрены методы, основанные на специфике таких интегралов.

  • Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.
  • Если m и n – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:
  • ; ; ; .
  • Пример: . Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса

  1. Интегралы вида: ,   , где P(x) – многочлен от x, интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:
  2. ; .
  3. Примеры: , . Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса

  • Интегралы вида: ,   , где P(x) – многочлен от x, интегрируются с помощью формулы Эйлера eiax = cos ax + isin ax (где i2 = –1). Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл
  • .
  • Пример: . Подробнее >>>

Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.

Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Ниже приведены ряд нестандартных методов, которые позволяют выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.

Зависимость от (a sin x + b cos x)

Если подынтегральное выражение зависит только от a sin x + b cos x, то полезно применить формулу: , где .

Например

Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби

  1. Рассмотрим интеграл . Наиболее простой способ интегрирования заключается в разложении дроби на более простые, применяя преобразование:
  2. sin(a – b) = sin(x + a – (x + b) ) = sin(x+a) cos(x+b) – cos(x+a) sin(x+b)

Интегрирование дробей первой степени

При вычислении интеграла , удобно выделить целую часть дроби и производную знаменателя

a1sin x + b1cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .

Постоянные A и B находятся из сравнения левой и правой частей.

Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/trigonometricheskie/

Тангенс и котангенс. Формулы и определение

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Тангенс и котангенс. Формулы и определение
  • Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.
  • Определение тангенса:
  • Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)
  • Формула тангенса:
  • [ LARGE tg x = dfrac{sin x}{cos x} ]
  • Определение котангенса:
  • Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
  • Формула котангенса:
  • [ LARGE ctg x = dfrac{cos x}{sin x} ]
  • Определения для прямоугольного треугольника:
  • Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
  • Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
  • Определения для числа:
  • Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.
  • Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

  1. ( tg x = dfrac{sin x}{cos x} ), где ( x
    eq dfrac{pi}{2}+pi k )
  2. ( ctg x = dfrac{cos x}{sin x} ), где ( x
    eq pi k )
  3. Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):
I II III IV
tg x + +
ctg x + +

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.

( frac{pi}{6} ) ( frac{pi}{4} ) ( frac{pi}{3} ) ( frac{pi}{2} )
tg x ( frac{sqrt{3}}{3} ) 1 ( sqrt{3} )
ctg x ( sqrt{3} ) 1 ( frac{sqrt{3}}{3} )
  • Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:
  • Для любого допустимого значения х справедливы равенства:
  • [ tg (-x) = -tg x ]
  • [ ctg (-x) = -ctg x ]
  • Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:
  • [ tg (x+pi)= tg pi ]
  • [ ctg (x+pi)= ctg pi ]
  • Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа Интеграл котангенса, формула и примеры

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Тригонометрические функции числового аргументаОсновным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1
  • Косинус двойного угла cos2α=cos2α−sin2α
  • Что такое угол. Понятие угла: радиан, градусУглом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
  • Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс углаСинус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
  • Основные формулы тригонометрииОсновное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
  • Основные тригонометрические тождестваТригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
  • Значения тригонометрических функцийЗначения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов
  • 1 Вольт равен электрическому напряжению, вызывающему в электрической цепи постоянный ток силой 1 ампер при мощности 1 ватт.
  • Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.
  • Старинные русские меры длины, веса, объёмаСистема древнерусских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, аршин, локоть, пядь и вершок.
  • Что такое дюйм? Чему равен 1 дюйм?Дюйм — это длина, которая соответствует 2,54 сантиметра (приблизительно 25 миллиметров)
  • Сколько в ампере ватт, как перевести амперы в ватты и киловаттыМощность – это скорость расходования энергии, выраженная в отношении энергии ко времени: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Один ватт равен отношению одного джоуля (единице измерения работы) к одной секунде.
  • Что такое баррель. Чему равен 1 баррель в литрах?Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.

Источник: https://calcsbox.com/post/tangens-i-kotangens-formuly-i-opredelenie.html

Калькулятор Интегралов

Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки». Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже).

В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x».

Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Интеграл котангенса, формула и примеры

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы.

Программа содержит более чем 17000 строк кода.

Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка  решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно.

К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах.

В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5.

Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика.

Все сингулярности (например  полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

Источник: https://www.integral-calculator.ru/

Интегрирование тригонометрических функций

На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin, cos, tg, ctg. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что ∫sin xdx=-cos x+C, а ∫cos xdx=sin x+C.

Для вычисления неопределенных интегралов функций tg и ctg можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

∫tg xdx=∫sin xcos xdx=d(cos x)=-sin xdx==-∫d(cos x)cos x=-lncos x+C∫ctg xdx=∫cos xsin xdx=d(sin x)=cos xdx==∫d(sin x)sin x=lnsin x+C

Как же у нас получились формулы ∫dxsin x=ln1-cos xsin x+C и ∫dxcos x=ln1+sin xcos x+C, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

  • Используя метод подстановки, запишем:
  • ∫dxsin x=sinx=t⇒x=arcsin y⇒dx=dt1-t2=dtt1-t2
  • Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:
  • ∫dtt1-t2=1-t2=z2⇒t=1-z2⇒dt=-zdz1-z2==∫-zdzz1-z2·1-z2=∫dzz2-1=∫dz(z-1)(z+)==12∫dzz-1-12∫dzz+1=12lnz-1-12z+1+C==12lnz-1z+1+C=lnz-1z+1+C
  • Теперь производим обратную замену z=1-t2 и t = sin x:
  • ∫dxsin x=∫dtt1-t2=lnz-1z+1+C==ln1-t2-11-t2+1+C=ln1-sin2 x-11-sin2 x+1+C==lncos x-1cos x+1+C=ln(cos x-1)2sin2x+C==lncos x-1sin x+C
  • Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как ∫sinn xdx, ∫cosn xdx, ∫dxsinn x, ∫dxcosn x.

О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде ∫sinn x·cosm xdx с натуральными m и n.

Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов  ∫Pn(x)·sin (ax)dx, ∫Pn(x)·cos (ax)dx, ∫ea·x·sin (ax)dx, ∫ea·x·cos (ax)dx.

Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

Пример 1

  1. Найдите множество первообразных функции y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x).
  2. Решение
  3. Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos2x2=1+cos x2, а cos22x=1+cos 4×2. Значит,
  4. y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x)=sin (4x)+2·1+cos 4x2sin x·cos (3x)+2·1+cos x2-1·sin (3x)==sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)
  5. В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:
  6. y=sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)=sin (4x)+cos(4x)+1sin(4x)==1+cos (4x)sin (4x)
  7. У нас получилась сумма 3-х интегралов.
  8. ∫sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)dx==∫dx+cos(4x)dxsin (4x)+∫dxsin (4x)==x+14ln∫d(sin(4x))sin(4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)==14lnsin (4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)+C=x+14·lncos4x-1+C
  9. В некоторых случаях тригонометрические  функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin, cos и tg через тангенс половинного аргумента:
  10. sin x=2tgx21+tg2x2, sin x=1-tg2x21+tg2x2,  tg x=2tgx21-tg2x2
  11. Также нам нужно будет выразить дифференциал dx через тангенс половинного угла:
  12. Поскольку dtgx2=tgx2'dx=dx2cos2x2, то
  13. dx=2cos2x2dtgx2=2dtgx21cos2x2=2dtgx2cos2x2+sin2x2cos2x2=2dtgx21+tg2x2
  14. Таким образом, sin x=2z1+z2, cos x1-z21+z2, tg x2z1-z2, dx=2dz1+z2 при z=tgx2.

Пример 2

  • Найдите неопределенный интеграл ∫dx2sin x+cos x+2.
  • Решение
  • Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.
  • 2sin x+cos x+2=22z1+z2+1-z21+z2=z2+4z+31+z2⇒dx2sin x+cos x+2=2dz1+z2z2+4z+31+z2=2dzz2+4z+3
  • Получим, что ∫dx2sin x+cos x+2=2dzz2+4z+3.
  • Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:
  • ∫dx2sin x+cos x+2=2∫2dzz2+4z+3=2∫121z+1-1z+3dz==∫dzz+1-∫Cz+3=lnz+1-lnz+3+C=lnz+1z+3+C
  • Далее производим обратную замену z=tgx2:
  • ∫dx2sin x+cos x+2=lnz+1z+3+C=lntgx2+1tgx2+3+C
  • Ответ: ∫dx2sin x+cos x+2=lntgx2+1tgx2+3+C

Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение lntgx2+1tgx2+3+C – это множество первообразных функции y=12sin x+cos x+2 только на области определения.

Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/integrirovanie-trigonometricheskih-funktsij/

Sbor_z_u_m (1) — Стр 30

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. В том примере для нахождения интеграла мы применяли тригонометрическую формулу

Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Пример 15 Найти неопределенный интеграл

  • (1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
  • (2)Для одного из множителей используем формулу
  • (3)Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
  • (4)В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала, во втором интеграле еще раз используем формулу
  • , в данном случае .
  • (5) Берём все три интеграла и получаем ответ.
  • Пример 16
  1. Найти неопределенный интеграл
  2. Это пример для самостоятельного решения.
  3. Для котангенса существует аналогичная формула:

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций.

Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями.

И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Рассмотрим еще один канонический пример — интеграл от единицы, деленной на синус:

Пример 17 Найти неопределенный интеграл

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Приведём это решение с ми к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла

(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на

  • (3)По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
  • (4)Подводим функцию под знак дифференциала.
  • (5)Берём интеграл.
  • Пример 18 Найти неопределенный интеграл

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения

и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Пример 19 Найти неопределенный интеграл

Ну, это совсем простой пример. Полные решения и ответы в конце урока.

Думаем, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью тождественных преобразований и тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса

То есть, речь идет о замене:

  1. В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.
  2. Примечание: аналогичные рассуждения можно провести и для котангенса.
  3. Существует и формальное правило для применения вышеуказанной замены:
  4. Если сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число, то интеграл можно свести к тангенсам и его производной.

Пример 20 Найти неопределенный интеграл

293

  • (1)Преобразуем знаменатель.
  • (2)По известной формуле получаем .
  • (3)Преобразуем знаменатель.
  • (4)Используем формулу
  • .
  • (5)Подводим функцию под знак дифференциала.

(6)Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но всетаки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Пример 21 Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Пример 22 Найти неопределенный интеграл

  1. В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
  2. .
  3. Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
  4. Пример 23 Найти неопределенный интеграл

Пример 24 Найти неопределенный интеграл

294

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока.

  • Переходим к заключительному пункту путешествия в мир сложных интегралов:
  • Интеграл от корня из дроби
  • Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.
  • Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:

, где a, b, c, d – числа. Считаем, что все эти числа и коэффициенты не равны нулю.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – необходимо избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить непростую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, такова:

  1. Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал dx. Выражаем «икс»:
  2. Теперь найдем дифференциал:
  3. Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Мы вывели готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида

Формулы замены таковы:

Заключительный пример:

Пример 25 Найти неопределенный интеграл

Проведем замену:

В данном примере: a =-1, b = 2, c = 3, d = 1. Тогда для dx имеем:

Таким образом:

Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально

то обратно:

Преобразуем далее:

  • .
  • Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный! Иногда встречаются интегралы вида
  • , ,
  • но это нужно быть либо слишком умным, либо попасть под раздачу.
  • Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку

и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал dx. Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

  1. Проведем замену:
  2. Интегрируем по частям:
  3. 297

Пример 3: Ответ:

Пример 4: Ответ:

Пример 6: Решение:

  • Интегрируем по частям:
  • Таким образом:
  • В результате:
  • Пример 8: Решение:
  • Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
  • Таким образом:

Пример 10: Решение:

  1. Проведем замену:
  2. Пример 11: Решение:
  3. Замена:
  4. .
  5. 299

Пример 12: Решение:

Замена:

  • Пример 14: Решение:
  • Дважды используем рекуррентную формулу
  • Пример 16: Решение:
  • Пример 18: Решение:

Источник: https://studfile.net/preview/1639768/page:30/

Ссылка на основную публикацию