Интеграл обратной пропорциональности

Табличные интегралы для занятий по математическому анализу. В помощь студентам первых курсов технических, экономических и математических ВУЗов, преподавателям и репетиторам по математике.

Неопределенных интегралы от основных функций

1. Интеграл от степенной функции

2. Интеграл от константы

3. Интеграл от синуса

4. Интеграл от косинуса

5. Интеграл от экспоненты

6. Интеграл от показательной функции

7. Интеграл от обратной пропорциональности

8.Интеграл, равный тангенсу

9. Интеграл, равный котангенсу

10. Интеграл от тангенса

• 11. Интеграл от котангенса
• 12. Интеграл, равный арксинусу
• 13. Интеграл, равный минус арккосинусу
• 14. Интеграл от секонса
• 15. Интеграл от косеконса
• 16. Интеграл, от обратной величины к разности квадратов
• 17. Полезный интеграл, сводящийся к арксинусу
• 18. Полезный интеграл, сводящийся к арктангенсу
• 19. Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму

Комментарий репетитора по математике: к табличным обычно относят простейшие интегралы, в записи которых участвуют элементарные (основные) функции математического анализа.

Табличные интегралы можно использовать для вычисления любых других интегралов (типовых или сложных) на любом этапе реализации алгоритма их нахождения.

Техника интегрирования допускает следующий план: как только вам встетился табличный интеграл — применяйте его без каких-либо доказательств или вывода.

Интегралы расположены в порядке роста уровня сложности их вывода и частоте использования в решении задач. Удачи в совершенствовании умения вычислять интегралы.

Колпаков А.Н., профессиональный репетитор по математике в Москве.Строгино, м. Щукинская.

Источник: https://ankolpakov.ru/spravochnik-repetitora-po-matematike-spisok-tablichnyx-integralov/

Пропорционально-интегрально-дифференцирующий (ПИД) регулятор

Пропорционально-интегрально-дифференцирующий (ПИД) регулятор — устройство в управляющем контуре с обратной связью.

Используется в системах автоматического управления для формирования управляющего сигнала с целью получения необходимых точности и качества переходного процесса.

ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования.

Общие сведения

Пропорциональная составляющая

Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал, противодействующий отклонению регулируемой величины от заданного значения, наблюдаемому в данный момент времени. Он тем больше, чем больше это отклонение. Если входной сигнал равен заданному значению, то выходной равен нулю.

Однако при использовании только пропорционального регулятора значение регулируемой величины никогда не стабилизируется на заданном значении.

Существует так называемая статическая ошибка, которая равна такому отклонению регулируемой величины, которое обеспечивает выходной сигнал, стабилизирующий выходную величину именно на этом значении.

Например, в регуляторе температуры выходной сигнал (мощность нагревателя) постепенно уменьшается при приближении температуры к заданной, и система стабилизируется при мощности, равной тепловым потерям. Температура не может достичь заданного значения, так как в этом случае мощность нагревателя станет равна нулю, и он начнёт остывать.

Чем больше коэффициент пропорциональности между входным и выходным сигналом (коэффициент усиления), тем меньше статическая ошибка, однако при слишком большом коэффициенте усиления при наличии задержек (запаздывания) в системе могут начаться автоколебания, а при дальнейшем увеличении коэффициента система может потерять устойчивость.

Интегрирующая составляющая

Интегрирующая составляющая пропорциональна интегралу по времени от отклонения регулируемой величины. Её используют для устранения статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку.

Если система не испытывает внешних возмущений, то через некоторое время регулируемая величина стабилизируется на заданном значении, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечиваться интегрирующей составляющей. Тем не менее, интегрирующая составляющая также может приводить к автоколебаниям при неправильном выборе её коэффициента.

Дифференцирующая составляющая

Теория

Назначение ПИД-регулятора — в поддержании заданного значения x0 некоторой величины x с помощью изменения другой величины u.

Значение x0 называется заданным значением (или уставкой, в технике), а разность e = (x0 − x) — невязкой (или ошибкой [регулирования], в технике), рассогласованием или отклонением величины от заданной.

Приведённые ниже формулы справедливы в случае линейности и стационарности системы, что редко выполняется на практике.

Выходной сигнал регулятора u определяется тремя слагаемыми:

где Кp, Кi, Кd — коэффициенты усиления пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющих регулятора соответственно.

Большинство методов настройки ПИД-регуляторов используют несколько иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегрирующая и дифференцирующая составляющие:

В дискретной реализации метода расчета выходного сигнала уравнение принимает следующую форму:

где T — время дискретизации. Используя замену

можно записать:

В программной реализации для оптимизации расчетов переходят к рекуррентной формуле:

Часто в качестве параметров ПИД-регулятора используются:

• постоянные интегрирования и дифференцирования, имеющие размерность времени

Следует учитывать, что термины используются по-разному в различных источниках и разными производителями регуляторов.

Практика применения

Теоретические методы анализа системы с ПИД-регулятором редко применяются на практике. Основная сложность практического применения — незнание характеристик объекта управления. Кроме того, существенную проблему представляют нелинейность и нестационарность системы. Практические регуляторы работают в ограниченном сверху и снизу диапазоне, поэтому в принципе нелинейны.

В этой связи получили распространение методы экспериментальной настройки регулятора, подключенного к объекту управления. Прямое использование формируемой алгоритмом управляющей величины также имеет свою специфику.

Например, при регулировке температуры часто управляют не одним, а двумя устройствами, одно из них управляет подачей горячего теплоносителя для нагрева, а другое управляет хладагентом для охлаждения. Часто рассматриваются три варианта практических регуляторов. В первом варианте, наиболее близком к теоретическому описанию, выход регулятора — непрерывная аналоговая ограниченная величина.

Во втором случае выход представляет собой поток импульсов, который может управлять шаговым двигателем. В третьем случае выходной управляющий сигнал регулятора используется для широтно-импульсной модуляции.

В современных системах автоматизации, которые, как правило, строятся на базе PLC ПИД-регуляторы реализуются либо как специализированные аппаратные модули, включаемые в состав управляющего контроллера, либо программными методами, с применением специализированных библиотек. Производители контроллеров часто разрабатывают специализированное ПО (тюнеры) для настройки коэффициентов регулятора.

Источник: https://webhamster.ru/mytetrashare/index/mtb0/1542095735g1kgs7irvh

3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Видеоурок: Обратная пропорциональность и её график

Лекция: Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Обратная пропорциональность

Когда на физике или на другом предмете говорят об обратной пропорциональности, мы понимаем это, как рост одной величины в то время, когда вторая величина уменьшается.

Функция, которая описывает обратную пропорциональность или зависимость, имеет следующий вид:

y = k/x, стоит обратить внимание на то, что коэффициент не может быть равен нулю, иначе обратная пропорциональность превратиться в линейную зависимость.

Чем больше будет значение аргумента, тем меньше будет значение функции, и наоборот.

Давайте посмотрим внимательно, где находится аргумент. Его местонахождение говорит о том, что при рассматривании данной функции, появляются некие ограничения, а именно то, что в знаменателе не может быть нуля. Именно поэтому областью определения данной функции будет множество всех значений, кроме нуля.

Отсюда следует, что функция так же не может принимать значение нуля.

График обратной функции

Для построения графика данной функции нам понадобится 5 точек для положительных «х» и «у», а также для отрицательных «х» и «у», в отличие от линейной функции.

Обратите внимание так же на то, что при положительных «х» и при положительном коэффициенте значение функции так же будет положительным числом.

Если значение «х» отрицательно, а коэффициент положительный, то функция так же будет отрицательной. Аналогичные рассуждения для отрицательного коэффициента. Отсюда можно сделать вывод, что данная функция одновременно может находиться в двух четвертях.

• Обратно пропорциональная функция является симметричной относительно биссектрисы четвертей.
• Итак, возьмем функцию у = 1/х.
• Найдем для него координаты «х» и «у», занесем все данные в таблицу.

Расставим все полученные точки на плоскости и соединим их кривыми.

1. График данной функции всегда будет стремиться к нулю по оси ОХ и по оси ОУ, но так до него и не достигнет, из-за невозможности нуля в знаменателе.
2. Как влияет коэффициент на вид графика?
3. Чем больше значение коэффициента, тем дальше график находится от начала координат.

А что случится, если к дроби добавить какое-то число и в знаменателе добавить слагаемое? Все просто! Произойдет сдвиг. Если к дроби прибавить число, то произойдет сдвиг по оси ОУ:

• если число отрицательное, то график сместиться на некоторое число единиц ниже по оси ОУ;
• если число положительное, то график сместиться на некоторое число единиц выше по оси ОУ.

Если в знаменателе к аргументу добавить положительное число, то график сместиться по оси ОХ влево, если добавить отрицательное — то вправо.

Итак, например, имеем график вида:

 

Получим следующий график:

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/693-332-funkciya-opisyvayuschaya-obratnuyu-proporcionalnuyu-zavisimost-ee-grafik.html

Пропорции и отношения, прямая и обратная пропорциональность

Определение: Пропорцией называется равенство двух отношений.

или .

Основное свойство пропорций

Произведение крайность членов членов пропорции равно произведению ее средних членов: если

, то

Свойства пропорций

1. Произведение крайность членов членов пропорции равно произведению ее средних членов: .
2. Каждый крайний член пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член.
3. В каждой пропорции можно поменять местами или только средние члены или крайние, или и те, и другие одновременно.

Пример нахождения пропорции в математике

Если , то

и

Производные пропорции

Если заданная пропорция , то , что называется производной пропорцией.

Наиболее часто употребляемые производные пропорции

Масштаб

Определение: Масштаб — отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на реальной местности.

Прямо пропорциональные величины

Определение: Две величины называются прямо пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значение другой увеличивается во столько же раз.

Задачи на прямо пропорциональные величины

Сторона квадрата равна 3 дм. Как изменится периметр квадрата, если его сторону увеличить в 3 раза, в 4 раза, в 5 раз?

• Сторона квадрата 3 дм, периметр 12 дм
• Сторона квадрата 9 дм, периметр 36 дм
• Сторона квадрата 12 дм, периметр 48 дм
• Сторона квадрата 15 дм, периметр 60 дм
• При увеличении стороны квадрата в 3 раза (была 3 дм, стала — 9 дм), периметр увеличился также в 3 раза (был 9 дм, стал — 36 дм).
• Аналогично, при увеличении стороны квадрата в 4 раза (была 3 дм, стала — 12 дм), периметр увеличился также в 4 раза (был 12 дм, стал — 48 дм).
• Вывод: при увеличении стороны квадрата в несколько раз, периметр увеличивается во столько же раз.
• Сторона квадрата прямо пропорциональна его периметру.

Обратно пропорциональные величины

Определение: Две величины называются обенено пропорциональными, если с увеличением значений одной из них в несколько раз значение другой уменьшается во столько же раз.

Задачи на обратно пропорциональные величины

Расстояние между двумя поселками равно 160 км. За какое время можно доехать из одного поселка в другой, если скорость 10 км/ч увеличить в 2 раза, 4 раза, в 8 раз?

1. Скорость, км/ч 10 время, ч 16
2. Скорость, км/ч 20 время, ч 8
3. Скорость, км/ч 40 время, ч 4
4. Скорость, км/ч 80 время, ч 2
5. При увеличении скорости в 2 раза (была 10 км/ч, стала — 20 км/ч), время сократился (уменьшился) в 2 раза (было 16 ч, стало — 8 ч).
6. Аналогично, при увеличении скорости в 4 раза (была 10 км/ч, стала — 40 км/ч), время сократился (уменьшился) в 4 раза (было 16 ч, стало — 4 ч).
7. Вывод: при увеличении скорости в несколько раз, время уменьшается во столько же раз.
8. Скорость обратно пропорциональна времени.
9. Числа пропорциональные числам , если — коэффициент пропорциональности.

Источник: https://cubens.com/ru/handbook/numbers-and-equestions/proportions

Методы вычисления неопределенных интегралов

Представлен обзор методов вычисления неопределенных интегралов. Рассмотрены основные методы интегрирования, которые включают в себя интегрирование суммы и разности, вынесение постоянной за знак интеграла, замену переменной, интегрирование по частям. Также рассмотрены специальные методы и приемы интегрирования дробей, корней, тригонометрических и показательных функций.

Первообразная F(x) от функции f(x) – это такая функция, производная которой равна f(x): F′(x) = f(x), x ∈ Δ, где Δ – промежуток, на котором выполняется данное уравнение.

Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом: , где C – постоянная, не зависящая от переменной x.

Основные формулы и методы интегрирования

Таблица интегралов

Конечная цель вычисления неопределенных интегралов — путем преобразований, привести заданный интеграл к выражению, содержащему простейшие или табличные интегралы. См. Таблица интегралов >>>

Правило интегрирования суммы (разности)

. Здесь и далее u, v, w – функции от переменной x.

Вынесение постоянной за знак интеграла

Пусть c – постоянная, не зависящая от x. Тогда ее можно вынести за знак интеграла:

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочленов >>>

Замена переменной

Пусть x – функция от переменной t, x = φ(t), тогда . Или наоборот, t = φ(x), .

С помощью замены переменной можно не только вычислить простые интегралы, но и упростить вычисление более сложных.

См. подробнее: Интегрирование методом замены переменной >>>

Правило интегрирования по частям

См. подробнее: Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям >>>

Интегрирование дробей (рациональных функций)

Введем обозначение. Пусть Pk(x), Qm(x), Rn(x) обозначают многочлены степеней k, m, n, соответственно, относительно переменной x.

Рассмотрим интеграл, состоящий из дроби многочленов (так называемая рациональная функция):

Если k ≥ n, то сначала нужно выделить целую часть дроби: . Интеграл от многочлена Sk-n(x) вычисляется по таблице интегралов.

См. подробнее: Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком >>>

Для этого нужно найти корни уравнения: Qn(x) = 0. Используя полученные корни, нужно представить знаменатель в виде произведения сомножителей:

Qn(x) = s (x-a)na (x-b)nb … (x2+ex+f)ne (x2+gx+k)ng … .

Здесь s – коэффициент при xn, x2 + ex + f > 0, x2 + gx + k > 0, … .

• См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>> Примеры разложения многочленов на множители >>>
• После этого разложить дробь на простейшие:
• См. подробнее: Методы разложения рациональных дробей на простейшие >>>

Интегрируя, получаем выражение, состоящее из более простых интегралов. Интегралы вида приводятся к табличным подстановкой t = x – a.

1. Рассмотрим интеграл: Преобразуем числитель:
2. .
3. ,

Подставляя в подынтегральное выражение, получаем выражение, в которое входят два интеграла: . Первый, подстановкой t = x2 + ex + f приводится к табличному. Второй, по формуле приведения: приводится к интегралу

Приведем его знаменатель к сумме квадратов: . Тогда подстановкой   , интеграл также приводится к табличному.

См. подробнее: Интегрирование простейших дробей >>> Примеры интегрирования рациональных функций >>>

Интегрирование иррациональных функций

Введем обозначение. Пусть R( u1, u2, … , un ) означает рациональную функцию от переменных u1, u2, … , un. То есть , где P, Q – многочлены от переменных u1, u2, … , un.

Дробно-линейная иррациональность

Рассмотрим интегралы вида: , где   – рациональные числа, m1, n1, …, ms, ns – целые числа. Пусть n – общий знаменатель чисел r1, …, rs. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональных функций подстановкой:

• .
• См. подробнее: Интегрирование дробно-линейной иррациональности >>>

Интегралы от дифференциальных биномов

Рассмотрим интеграл: , где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

  1)   Если p – целое. Подстановка x = t N, где N – общий знаменатель дробей m и n.   2)   Если – целое. Подстановка a x n + b = t M, где M – знаменатель числа p.   3)   Если – целое. Подстановка a + b x – n = t M, где M – знаменатель числа p.

Если ни одно из трех чисел     не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям m и p. Это можно сделать с помощью формул приведения: ; .

См. подробнее: Интегрирование дифференциального бинома >>>

Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена

Здесь мы рассматриваем интегралы вида: ,

Подстановки Эйлера

Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:  , при a > 0;  , при c > 0;  , где x1 – корень уравнения a x2 + b x + c = 0. Если это уравнение имеет действительные корни.

См. подробнее: Подстановки Эйлера >>>

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Также эти интегралы можно вычислить с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В некоторых случаях этот способ вычисления интеграла является самым простым. См. подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>

Прямые методы

В большинстве случаев, подстановки Эйлера приводят к более длинным вычислениям, чем прямые методы. С помощью прямых методов интеграл приводится к одному из перечисленных ниже видов.

I тип

1. Интеграл вида: , где Pn(x) – многочлен степени n.
2. Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество: Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai.
3. См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

II тип

Интеграл вида: , где Pm(x) – многочлен степени m.

Подстановкой   t = (x – α)–1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n, то у дроби     следует выделить целую часть.

См. подробнее: Вычисление интегралов от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

III тип

• Третий и наиболее сложный тип: .
• Здесь нужно сделать подстановку: . После чего интеграл примет вид:
• .

Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы коэффициенты при t обратились в нуль: B = 0,   B1 = 0. Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:

;

, которые интегрируются, соответственно подстановками:

z 2 = A1t 2 + C1;

y 2 = A1 + C1 t –2.

См. подробнее: Вычисление интегралов от двучлена дробь степень от трехчлена квадратный корень из квадратного трехчлена >>>

Общий случай

Самый общий интеграл вида: , сводится к интегралам трех предыдущих типов. Для этого достаточно, уничтожая иррациональность в знаменателе, преобразовать подынтегральную функцию к виду:

φ(x) + ψ(x)y,

где φ(x), ψ(x) – рациональные функции от x, . Далее, , где ω(x) – рациональная дробь. В последнем интеграле рациональную дробь ω(x) можно преобразовать выделением целой части и разложением на простейшие дроби. После этого получаются интегралы трех рассмотренных типов. См. подробнее: Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена >>>

Интегрирование трансцендентных (тригонометрических и показательных) функций

Заранее отметим, что те методы, которые применимы для тригонометрических функций, также применимы и для гиперболических функций. По этой причине мы не будем рассматривать интегрирование гиперболических функций отдельно.

См. подробнее: Методы интегрирования тригонометрических функций >>>

Интегрирование рациональных тригонометрических функций от cos x и sin x

Рассмотрим интегралы от тригонометрических функций вида: , где R – рациональная функция. Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, которые следует преобразовать через синусы и косинусы.

При интегрировании таких функций полезно иметь в виду три правила:   1)   если R( cos x, sin x ) умножается на   –1 от перемены знака перед одной из величин cos x или sin x, то полезно другую из них обозначить через t.

  2)   если R( cos x, sin x ) не меняется от перемены знака одновременно перед cos x и sin x, то полезно положить tg x = t или ctg x = t.   3)   подстановка     во всех случаях приводит к интегралу от рациональной дроби.

См. подробнее: Интегрирование рациональных тригонометрических функций >>>

Произведение степенных функций от cos x и sin x

1. Рассмотрим интегралы вида:
2. Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

3. Если m и n – целые числа, то интегралы вычисляются интегрированием по частям. При этом получаются следующие формулы приведения:
4. ; ; ; .
5. См.

   подробнее: Интегрирование произведения степенных функций от sin x и cos x >>>

Интегрирование по частям

Интегралы, содержащие логарифм или обратные тригонометрические функции: ln φ, arcsin φ, arctg φ, и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x, нередко интегрируются по частям, полагая u = ln φ, u = arcsin φ, u = arctg φ, и т.д. Подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции >>>

Также по частям находятся интегралы вида: ,   ,   , где P(x) – многочлен от x. См. подробнее: Примеры решения интегралов по частям, содержащих произведение многочлена на sin x, cos x или ex >>>

Применение формулы Эйлера

Если подынтегральное выражение линейно относительно одной из функций cos ax или sin ax, то удобно применить формулу Эйлера: eiax = cos ax + isin ax (где i2 = –1), заменив эту функцию на e iax и выделив действительную (при замене cos ax ) или мнимую часть (при замене sin ax ) из полученного результата.

Таким способом удобно находить интегралы вида ,   , где P(x) – многочлен от x. См. подробнее: Интегрирование произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса >>>

Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/

Интегральная обратных функций — Integral of inverse functions

В математике , интегралы от обратных функций могут быть вычислены с помощью формулы, выражающей первообразные обратной о наличии непрерывной и обратимой функции , с точки зрения и первообразная . Эта формула была опубликована в 1905 году Чарльз Андж Лайзант .
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
е { Displaystyle е}

Формулировка теоремы

Пусть и два интервалов из . Предположим , что непрерывная и обратимая функция, и пусть обозначим ее инверсию . Тогда и имеют первообразные, и если есть первообразная , возможные первообразные являются:
я 1 { Displaystyle I_ {1}}
я 2 { Displaystyle I_ {2}}
р { Displaystyle mathbb {R}}
е : я 1 → я 2 { Displaystyle F: I_ {1} к I_ {2}}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
я 2 → я 1 { Displaystyle I_ {2} к I_ {1}}
е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
F { Displaystyle F}
е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}

∫ е — 1 ( Y ) d Y знак равно Y е — 1 ( Y ) — F ∘ е — 1 ( Y ) + С , { Displaystyle Int F ^ {- 1} (у) , ду = YF ^ {- 1} (у) -F CIRC е ^ {- 1} (у) + С,}

где произвольное действительное число.
С { Displaystyle C}

В 1905 статье Laisant дала три доказательства. Во- первых, при дополнительном условии , что является дифференцируемой , можно дифференцировать выше формулу, которая сразу же завершает доказательство.

Его второе доказательство было геометрическим.

Если и , то теорема может быть записана: е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
е ( a ) знак равно с { Displaystyle F (A) = C}
е ( б ) знак равно d { Displaystyle F (B) = D}

∫ с d е — 1 ( Y ) d Y + ∫ a б е ( Икс ) d Икс знак равно б d — a с , { Displaystyle Int _ {C} ^ {d} е ^ {- 1} (у) , DY + Int _ {а} ^ {Ь} Р (х) , дх = шд-ас.}

На рисунке справа это доказательство без слов этой формулы. Laisant не обсуждает гипотезы , необходимые , чтобы сделать это доказательство строгим, но это может быть сделано явно с помощью интеграла Дарба (или теоремы Фубини , если демонстрация на основе интеграла Лебега требуется). Третье доказательство Laisant использует дополнительную гипотезу , что дифференцируема.

Начиная с , один умножает и объединяет обе стороны. Правая часть вычисляется с помощью интегрирования по частям , чтобы быть , и формула следующим образом .

е { Displaystyle е}
е — 1 ( е ( Икс ) ) знак равно Икс { Displaystyle е ^ {- 1} (F (X)) = х}
е ' ( Икс ) { Displaystyle Р '(х)}
Икс е ( Икс ) — ∫ е ( Икс ) d Икс { Displaystyle XF (х) — TextStyle Int F (X) , дх}

Тем не менее, можно показать , что эта теорема справедлива , даже если и не дифференцируема: достаточно, например, использовать интеграл Стилтьеса в предыдущем рассуждении.

е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}

Кроме того , можно проверить , что для каждого в производной функции равно . Другими словами:
Y { Displaystyle у}
я 2 { Displaystyle I_ {2}}
Y → Y е — 1 ( Y ) — F ( е — 1 ( Y ) ) { Displaystyle у к YF ^ {- 1} (у) -F (F ^ {- 1} (у))}
е — 1 ( Y ) { Displaystyle е ^ {- 1} (у)}

∀ Икс ∈ я 1 Ит час → 0 ( Икс + час ) е ( Икс + час ) — Икс е ( Икс ) — ( F ( Икс + час ) — F ( Икс ) ) е ( Икс + час ) — е ( Икс ) знак равно Икс , { Displaystyle FORALL х в I_ {1} четырехъядерных Нт _ {ч к 0} { гидроразрыва {(х + Н) Р (х + Н) -xf (х) — слева (Р (х + Н) -F (х) справа)} {F (х +) -f (х)}} = х.}

Для этого достаточно применить теорему среднего значения для между и , принимая во внимание , что монотонность.
F { Displaystyle F}
Икс { Displaystyle х}
Икс + час { Displaystyle х +}
е { Displaystyle е}

Примеры

1. Предположим , что , следовательно , формула выше , дает сразу е ( Икс ) знак равно ехр ⁡ ( Икс ) { Displaystyle F (X) = ехр (х)}
   е — 1 ( Y ) знак равно пер ⁡ ( Y ) , { Displaystyle е ^ {- 1} (у) = п (у).}
   ∫ пер ⁡ ( Y ) d Y знак равно Y пер ⁡ ( Y ) — Y + С , { Displaystyle четырехъядерной Int п (у) , д = у п (у) -y + С.

   }

2. Аналогичным образом , и е ( Икс ) знак равно соз ⁡ ( Икс ) { Displaystyle F (X) = соз (х)}
   е — 1 ( Y ) знак равно агссоз ⁡ ( Y ) , { Displaystyle е ^ {- 1} (у) = агссоз (у),}
   ∫ агссоз ⁡ ( Y ) d Y знак равно Y агссоз ⁡ ( Y ) — грех ⁡ ( агссоз ⁡ ( Y ) ) + С , { Displaystyle четырехъядерных Int ArcCos (у) , Dy = у агссоз (у) — sin ( ArcCos (у)) + C}.

3. С и е ( Икс ) знак равно загар ⁡ ( Икс ) { Displaystyle F (X) = тангенс (х)}
   е — 1 ( Y ) знак равно агс ⁡ ( Y ) , { Displaystyle е ^ {- 1} (у) = агс (у),}
   ∫ агс ⁡ ( Y ) d Y знак равно Y агс ⁡ ( Y ) + пер ⁡ | соз ⁡ ( агс ⁡ ( Y ) ) | + С , { Displaystyle четырехъядерных int агс (у) , ау = у агс (у) + пер | соз ( агс (у)) |. + C}

история

По- видимому, эта теорема интеграции была обнаружена впервые в 1905 году Чарльз Андж Лайзант , который «едва мог поверить , что эта теорема является новым», и выразил надежду на его использование будет отныне распространяться среди студентов и преподавателей.

Этот результат был опубликован в 1912 году независимо друг от друга итальянского инженера, Альберто Caprilli, в качестве озаглавленного небольшого литературного или музыкального произведения «Нуов formole d'integrazione». Он был заново открыт в 1955 году Паркер, и ряд математиков следующего за ним.

Тем не менее, все они предполагают , что е или е -1 является дифференцируемой .

Общая версия теоремы , свободной от этого дополнительного предположения, был предложен Майкл Спивак в 1965 году, в качестве упражнения в Исчисление и достаточно полное доказательство , следуя той же схеме была опубликована Эриком Ключа в 1994 году доказательство опирается на Само определение интеграла Дарба , и состоит в том, показывающих , что верхние суммы Дарба от функции F в соответствии с 1-1 нижними суммами Дарба ф -1 . В 2013 годе Майкл Bensimhoun, оценивая , что общая теорема была еще недостаточно известна, дал еще два доказательства: Второе доказательство, основанный на интеграле Стилтьесы и его формула интегрирования по частям и от гомеоморфных изменений переменных , является наиболее подходящей для установить более сложные формулы.

Обобщение голоморфных функций

Доказанная теорема обобщается очевидным образом голоморфных функций: Пусть и два открытых и односвязные множества , и предположим , что это биголоморфизм .

Тогда и имеют первообразные, и если есть первообразная , общая первообразная является
U { Displaystyle U}
В { Displaystyle V}
С { Displaystyle mathbb {C}}
е : U → В { Displaystyle F: U к V}
е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}
F { Displaystyle F}
е { Displaystyle е}
е — 1 { Displaystyle е ^ {- 1}}

г ( Z ) знак равно Z е — 1 ( Z ) — F ∘ е — 1 ( Z ) + С , { Displaystyle (г) = Zf ^ {- 1} (г) -F CIRC ф ^ {- 1} (г) + C.}

Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, то доказательство немедленное сложной дифференциации.

Рекомендации

• неравенство Юнга для продуктов

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Integral_of_inverse_functions

Неопределенный интеграл. Онлайн калькулятор с примерами

Неопределенный интеграл онлайн

В школе говорят, интеграл – это значок ∫, а вычисление интеграла, то есть процесс интегрирования, – это операция обратная дифференцированию. Согласитесь скучно!

• Разумеется, у школьников возникает резонный вопрос: а нафиг он нам нужен?
• Но если бы учитель уделил несколько минут на вводную про интегралы, такой вопрос всё равно бы возник, но уже не у всех!
• Вводная к интегралам

В далеком 17 веке были на тот момент нерешенные насущные проблемы, а именно изучались закономерности движения тел. Много трудов было проделано Ньютоном, чтобы понять, как вычисляется скорость тела в любой момент времени. Но чем дальше, тем оказалось интереснее.

Допустим, мы знаем закон изменения скорости тела – это некая функция. Тогда площадь фигуры, ограниченная этой кривой и осью координат, будет равна пройденному пути. Вычисляя неопределенный интеграл от функции, мы как раз находим общий закон движения.

В этом заключается один из физических смыслов интеграла.

Как вы уже поняли, геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции. Соответственно с помощью кратного интеграла вычисляется объем тела.

Решение интегралов

Лейбниц и Ньютон заложили основы дифференциального и интегрального исчисления. В последующие десятилетия было много великих открытий, связанных с вычислением интегралов.

Поскольку подынтегральная функция может принимать различные виды, естественно это привело к разделению интегралов на свои типы, а главное были отрыты многочисленные методы решения интегралов.

Но не все так безоблачно. На практике часто происходит так, что в аналитическом виде вычислить интегралы невозможно, то есть используя какой-либо известный метод.

Конечно, получить аналитическое решение это здорово, но, с другой стороны, главное ведь вычислить точное значение интеграла. В этом случае интегралы решаются численными методами.

Калькулятор решения интегралов

Теперь самое интересное. Еще каких-то 15 лет назад школьник и помыслить не мог, что под рукой будут такие калькуляторы интегралов, как, например, наш. Это безусловно облегчает процесс обучения. Можно проверять свои решения, находить допущенные ошибки и лучше усваивать образовательный курс.

И тут в который раз повторяем, калькулятор решения интегралов – это только ваш безотказный помощник, к которому можете обратиться в любое время. Но никак не подмена вашей головы. Старайтесь самостоятельно решать задачи, только так можно развивать мышление, а компьютер будет в помощь.

Источник: https://math24.biz/integral

Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов,
содержащих иррациональные функции.

и сделать подстановку х +b/2a=t.
При этом первые два интеграла приводятся
к табличным, а третий — к сумме двух
табличных интегралов.

Пример 33.1. Найти интегралы

Cдeлаем
подстановку x+1/4=t,
x=t-1/4,dx=dt.
Тогда

Пример 33.2. Найти интеграл

Решение: Так как
6-2х-х^2=-(х^2+2х-6)=-((х+1)^2-7)=7-(х+1)^2, то подстановка
имеет вид х+1=t, х=t-1,
dx=dt. Тогда

где Qn-1(x) —
многочлен степени n-1 с
неопpедeлeнными
коэффициентами, l — также
неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты
находятся из тождества, получаемого
дифференцированием обеих частей
равенства (33.1):

после чего необходимо приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях
неизвестной х.

Пример 33.3. Найти интеграл

Решение: По формуле (33.1) имеем:

Дифференцируя это равенство, получаем:

Сравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях х:

Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2.
Следовательно,

33.2. Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа где а, b, с, d
— действительные числа, a,b,…

,d,g
— натуральные числа, сводятся к интегралам
от рациональной функции путем подстановки

png» width=»92″>
где К — наименьшее общee
кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки
следует, что
и

Пример 33.4. Найти интеграл

Решение: Наименьшее общee
кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть
6.

Пример 33.5. Указать подстановку для
нахождения интегралов:

33.3. Тригонометрическая подстановка

Пример 33.6. Найти интеграл

Решение: Положим х=2 sint, dx=2
costdt,
t=arcsin
х/2. Тогда

33.4. Интегралы типа

Здесь подынтегральная функция есть
рациональная функция относительно х
иВыделив
под радикалом полный квадрат и сделав
подстановку

png» width=»78″>,
интегралы указанного типа приводятся
к интегралам уже pасcмoтpeннoгo
типа, т. е. к интегралам типа

png» width=»298″>Эти
интегралы можно вычислить с помощью
соответствующих тригонометрических
подстановок.

Пример 33.7. Найти интеграл

Решение: Так как х^2+2х-4=(х+1)^2-5, то х+1=t,
x=t-1, dx=dt.
ПоэтомуПоложим

Тогда

Источник: https://studfile.net/preview/7159530/page:14/