Пределы тригонометрических функций, примеры решений

Подготовка к ЕГЭ по математике

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Эксперимент

Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.

Теория

Конспект урока

Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Физические и химические свойства аренов

Оценим за полчаса!

Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т.е.

мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.

На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.

Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:

— область определения и область значений, т.к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;

— периодичность всех тригонометрических функций, т.к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.

  • Рассмотрим функцию:
  • Основные свойства этой функции:
  • 1) Область определения ;

Пределы тригонометрических функций, примеры решений Пределы тригонометрических функций, примеры решений

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

Пределы тригонометрических функций, примеры решений Пределы тригонометрических функций, примеры решений

  1. Теперь рассмотрим функцию:
  2. Основные свойства этой функции:
  3. 1) Область определения ;

Пределы тригонометрических функций, примеры решений Пределы тригонометрических функций, примеры решений

4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;

5) Функция периодична с периодом .

Пределы тригонометрических функций, примеры решений Пределы тригонометрических функций, примеры решений

  • Перейдем к функции:
  • Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;

2) Область значений , т.е. значения тангенса не ограничены;

Пределы тригонометрических функций, примеры решений

4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;

5) Функция периодична с периодом 

Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д.

Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на  вдоль оси абсцисс.

Пределы тригонометрических функций, примеры решений

  1. И завершаем рассмотрением функции:
  2. Основные свойства этой функции:

1) Область определения  кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что  не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;

2) Область значений , т.е. значения котангенса не ограничены;

  • 3) Функция нечетная ;
  • 4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
  • 5) Функция периодична с периодом 

Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т.е.  и т.д.

Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает.

Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т.к. функция имеет период, равный .

  1. Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
  2. У них период равен . И о функциях:
  3. У них период равен .

Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.

Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.

Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике.

Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.

 

Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:

Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут  и т.п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.

Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т.к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.

  • Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:
  • 1)
  • 2)
  • 3)
  • 4)
Читайте также:  Производная арккосинуса, формула и примеры

Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует. 

Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо  по очереди все целые числа.

  1. Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.
  2. Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:
  3.  и
  4. .

К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.

Например, решением уравнения  является . Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.

  • Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:
  • 1) Простейшие, например, ;
  • 2) Частные случаи простейших уравнений, например, ;
  • 3) Уравнения со сложным аргументом, например, ;
  • 4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя, например, ;
  • 5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций, например, ;
  • 6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены, например, ;
  • 7) Однородные уравнения, например, ;
  • 8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций, например, . Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;
  • А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.
  • Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.
  • Наиболее часто встречаются системы следующих типов:
  • 1) В которых одно из уравнений степенное, например, ;
  • 2) Системы из простейших тригонометрических уравнений, например, .

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.

В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.

Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений.

  1. Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:
  2.  и
  3. имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.

Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .

Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.

Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла  попадаем в первую изображенную точку, т.е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?

Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т.к.

мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение .

Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.

  • Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:
  • , , , …и выписать формулу для всех корней:

Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.

  1. Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.
  2. Полезные ссылки:
  3. 1)  Алгебра 9 класс: «Функция y=sinx, её свойства и график» 
  4. 2)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cosx. Её свойства и график» 
  5. 3)  Алгебра 9 класс: «Функция y=cos t, её свойства и график» 
  6. 4)  Алгебра 9 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи» 
  7. 5)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx» 
  8. 6)  Алгебра 9 класс: «Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx» 
  9. 7)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, ее основные свойства и график» 
  10. 8)  Алгебра 10 класс: «Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи» 
  11. 9)  Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её основные свойства и график» 
  12. 10) Алгебра 10 класс: «Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи» 
  13. 11) Алгебра 10 класс: «Периодичность функций y=sin t, y=cos t» 
  14. 12) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)» 
  15. 13) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)» 
  16. 14) Алгебра 10 класс: «Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения» 
  17. 15) Алгебра 10 класс: «График гармонического колебания» 
  18. 16) Алгебра 10 класс: «Функция y=tgx, ее свойства и график» 
  19. 17) Алгебра 10 класс: «Функция y=сtgx, ее свойства и график» 
  20. 18) Алгебра 10 класс: «Первые представления о решении тригонометрических уравнений» 
  21. 19) Алгебра 10 класс: «Простейшие тригонометрические уравнения» 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-10-trigonometricheskie-funktsii-trigonometricheskie-uravneniya-i-ih-sistemy-teoriya

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Первый замечательный предел (примеры)

  1. Учитывая, что    и    при  x → 0, получим Пределы тригонометрических функций, примеры решений

***

  1. Докажем соотношение эквивалентности Пределы тригонометрических функций, примеры решений Действительно, Пределы тригонометрических функций, примеры решений

***

  1. Покажем, что Пределы тригонометрических функций, примеры решений Другими словами, Пределы тригонометрических функций, примеры решений Замена переменной    влечет за собой    и    при  x → 0. Тогда

***

  1. Аналогичным образом показывается, что

***

  1. Для вычисления предела отношения бесконечно малых функций    и    при  x → 0  воспользуемся тригонометрическим тождеством и заменим под знаком предела бесконечно малую функцию    эквивалентной величиной  : Это равенство означает, что

***

  1. Вычислить предел Решение. Преобразуя знаменатель дроби под знаком предела, получим

***

  1. Вычислить предел Решение. Используя тригонометрическое тождество получим

***

  1. Вычислить Решение. Поскольку    и  , то

***

  1. Вычислить Решение. Преобразуем выражение в числителе дроби: Затем преобразуем знаменатель этой же дроби: Таким образом,

***

  1. Вычислить Решение. Подстановка  t = x – 1  влечет Поскольку  x → 1, то  t → 0. Тогда    и, следовательно,

Источник: http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/Calc1-ru/2/07_e1.htm

Решение пределов с тригонометрией. Примеры с решением

Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.

Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.

Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($x o 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем.

Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи — продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией.

Поэтому перейдём сразу к ним.

Примеры с первым замечательным пределом

Пример 1

Нужно найти

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Имеем неопределённость вида $[frac{0}{0}]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пределы тригонометрических функций, примеры решений

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Пример 2

Найдём

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций

Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:

Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Найдём

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Заменим числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми из приведённой таблицы:

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/reshenie_predelov_s_trigonometriey_primery_s_resheniem/

Первый и второй замечательный предел

Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.

Формула первого замечательного предела

Следствия первого замечательного предела запишем формулами 1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.

Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x)

Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7 Пределы тригонометрических функций, примеры решений Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал. Также, если есть обратный вид функции — это также первый замечательный предел. А все потому, что замечательный предел равен единице Это же правило касается и следствий 1 замечательного предела. Поэтому если Вас спросят «Чему равен первый замечательный предел?» Вы без колебаний должны ответить, что это — единица.

Пример 2. Найти предел функции sin(6x)/tan(11x)

Решение: Для понимания конечного результата распишем функцию в виде Чтобы применить правила замечательного предела умножим и разделим на множители

  • Пример 3. Вычислить предел (1-cos(x))/x^2

Далее предел произведения функций распишем через произведение пределов Без сложных формул мы нашли предел часки тригонометрических функций. Для усвоения простых формул попробуйте придумать и найти предел на 2 и 4 формулу следствия 1 замечательного предела. Мы рассмотрим более сложные задачи. Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу При этом предел преобразится к понятному виду Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.

Пример 4. Найти предел

Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.

Пример 5. Вычислить предел

Читайте также:  План дипломной работы 2020, образец

Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.

Второй замечательный предел равен экспоненте

Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти. В вычислениях Вам понадобятся пределы — следствия второго замечательного предела: 1. 2. 3. 4.

Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени

Начнем для ознакомления с простых примеров.

Пример 6. Найти предел функции

Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути — вывода 2 формулы следствия предела.

Пример 7. Найти предел функции

Решение: Имеем задания на 3 формулу следствия 2 замечательного предела. Подстановка нуля дает особенность вида 0/0. Для возведения предела под правило превратим знаменатель, чтоб при переменной был тот же коэффициент что и в логарифм Это также легко понять и выполнить на экзамене. Трудности у студентов при исчислении пределов начинаются с следующих задач.

Пример 8. Вычислить предел функции [(x+7)/(x-3)]^(x-2)

Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо «икс» подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой «погоды» не вносят — об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели — «Почему не превращаете показатель?» (Для этого примера в x-3), то скажите что «Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!». Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.

Пример 9. Найти предел

Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела

Пример 10. Найти предел функции

Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель Далее показатель запишем как степень в степени В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.

Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1)

Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования Далее без труда предел примет значение Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.

Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам — сможем помочь и Вам!

Источник: https://yukhym.com/ru/vychislenie-predelov/pervyj-i-vtoroj-zamechatelnyj-predel.html

Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций

Определение непрерывности функции  в точке  и передела функции на бесконечности  и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.

Определение 1

Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.

При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.

Пример 1

Произвести вычисление предела функции limx→5arctg35·x

Решение

Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x0=5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что

limx→5arctg35·x=arctg35·5=arctg3=π3

Ответ: π3.

Для вычисления односторонних пределов необходимо использовать значения точек границ предела. У акрксинуса и акрккосинуса  имеются такие значения x0=-1 или x0=1.

При x→+∞ или x→-∞ вычисляются пределы функции, заданные на бесконечностях.

Для упрощения выражений применяют свойства пределов:

Определение 2

  1. limx→x0(k·f(x))=k·limx→x0f(x), k является коэффициентом.
  2. limx→x0(f(x)·g(x))=limx→x0f(x)·limx→x0g(x), применяемое при получении неопределенности предела.
  3. limx→x0(f(g(x)))=flimx→x0gx,используемое для непрерывных функций, где знак функции и предельного перехода можно менять местами.

Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.

Таблица пределов функции

Для упрощения  и решения пределов используется данная таблица основных пределов.

Функция корень n-ой степени
y=xn, где n=2, 4, 6 …

  • limx→∞xn=+∞n=+∞
  • Для любых x0 из опрелеления 
  • limx→x0xn=x0n
Функция корень n-ой степени
y=xn, где n=3, 5, 7 … 
limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞
limx→x0xn=x0n
Степенная функция y=xa , a>0

  1. Для любого положительного числа a
    limx→∞xa=+∞a=+∞
  2. Если a=2, 4, 6 …, то
    limx→∞xa=-∞a=+∞
  3. Если a=1, 3, 5, …, то
    limx→∞xa=-∞a=-∞
  4. Для любых x0, из области определния
    limx→x0xa=(x0)a
Степенная функция y=xa, a

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/predely/neposredstvennoe-vychislenie-predelov-tablitsa-pre/

Вычисление пределов с тригонометрическими функциями примеры решения

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.

Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.

Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($x o 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем.

Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи – продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией.

Поэтому перейдём сразу к ним.

Примеры с первым замечательным пределом

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Имеем неопределённость вида $[frac]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций

Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:

Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут!

Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем решение пределов тригонометрических функций на конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел

и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):

(Здесь угол x выражен в радианах). Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.

чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:

Сокращаем числитель и знаменатель на x:

Так как по 1-му замечательному пределу

окончательно получаем, что

  • Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что
  • В следующем пункте пределы тригонометрических функций будем находить с помощью следствий из 1-го замечательного предела.

Источник: https://fifafaq.ru/vychislenie-predelov-s-trigonometricheskimi/

Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

  • ПР13.
    Найдите тригонометрические пределы
    простой подстановкой:
  • 1) а) ; б); в); г); д);
  • 2) а) ; б); в); г); д).
  • Пример 19.
    Легко видеть, что

png» width=»384″>

Предел помогает, если при вычислении
тригонометрических функций получается
неопределённость.
Оказывается, если при

png» width=»47″>функция,
то выполнено приближённое равенство

и все 4 функции
примерно равны собственному аргументу.
Тем самым, если аргумент ,
указанные функции являютсяэквивалентными
бесконечно малыми

(предел их соотношения равен 1).

Так, ,,
поскольку.
Как применить это при вычислении
пределов, показано в примерах.

  1. ПР14.
    Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно
    малых величин:
  2. 1) ; б); в); г); д);
  3. 2) ; б); в); г); д).
  4. Пример 20.
    Если заменить функции собственным
    аргументом, то
  • ПР15.
    Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно
    малых и тождества:
  • 1) а) ; б); в); г);
  • 2) а) ; б); в); г).
  • Пример 21.

Пример 22.

(учли, что по смыслу
задачи ,
иначене существует).

При переходе к
эквивалентным бесконечно малым следует
проявлять осторожность, когда присутствует
разность или сумма функций, тем более,
если после упрощений получается 0 в
числителе или знаменателе:

Второй замечательный предел

Предел
применяют для раскрытия неопределённостей
вида

png» width=»33″>,
связанных с показательными функциями.
Равносильное
свойство:

png» width=»167″>

Однако, как при
вычислении любого предела, начинать
следует с подстановки предельной точки.
Если вместо точки указана бесконечность,
пытаются упростить пример, найдя предел
основания, степени и т.п. И только при
возникновении неопределённости применяют
замечательный предел.

Схема применения
2-го замечательного предела

Пусть при оказалось, что,
а.
Тогда.

Считаем, что ,
гдепри.
Тогда

  1. Поскольку ,
    то.
  2. Найдём предел ,
    и если он равен числуA,
    то весь предел равен .
  3. ПР16.
    Найдите пределы простой подстановкой:
  4. 1) а) ; б); в); г);
  5. 2) а) ; б); в); г).

Пример 23.
.

  • ПР17.
    Найдите пределы, воспользовавшись
    свойствами показательной функции ,
    а именно – её значениями при,
    когдаили:
  • 1) а) ; б); в); г);
  • 2) а) ; б); в); г).
  • В задании 2 в каждом
    примере получаются 2 ответа – в зависимости
    от знака бесконечности.

Пояснение. Если
,
тои.
Если

png» width=»56″>,
тои.
Призависимость

png» width=»63″>не является функцией (точнее, это функция,
разрывная в каждой действительной
точке).

Пример 24.
Видно, что

Тогда, поскольку
при величинаобращается в 0,

Пример 25.
Находим

Основание ,
а в этом случае.
Поэтому

Пример 26.
Здесь

Но функция – это то же, что.
А эта функция стремится к 0 при

QUp9/img-ssU21V.png» width=»54″>и обращается впри.
Тогда

png» width=»152″>.

  1. ПР18.
    При помощи 2-го замечательного предела
    раскройте неопределённость ,
    когда аргумент стремится к бесконечности:
  2. 1) а) б); в); г);
  3. 2) а) б); в); г);
  4. 3)а)
    ; б); в); г);
  5. 4) а) ; б); в); г);
  6. 5) а) ; б); в); г).

Пример 27.
.

Пример 28.Найдём
.
Представим основание так:

Но .Поэтому .

  • ПР19.
    При помощи 2-го замечательного предела
    раскройте неопределённость ,
    когда аргумент стремится к 0:
  • 1) а) ; б); в); г);
  • 2) а) ; б); в); г).
  • Пример 29.
    Преобразовав степень, получаем
  1. ПР20.
    Найдите пределы
  2. 1) а) ; б); в); г);
  3. 2) а) ; б); в); г).

Пример 30.
Найдём .
Здесь

и тогда

В степени присутствует
,
но,
поэтому

Пример 31.
Найдём .
Представив,
получаем, что.

Ответ:
.

Источник: https://studfile.net/preview/2956363/page:3/

Ссылка на основную публикацию