Свойства треугольников, формулы и примеры

Треугольник

Треугольник— это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.

• В дальнейшем используются следующие обозначения:
• a ,b, c — длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;
•  — полупериметр треугольника ABC;
• Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b c, b +c a, a + c b
• Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда: если c² a² + b² , то треугольник остроугольный; если, c² = a² +b², то треугольник прямоугольный; если c² a² +b² , то треугольник тупоугольный.

Теорема. Сумма углов треугольника равна : .

Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Высота— это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: , .

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника.

Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.

1. Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: , .
2. Биссектриса треугольника
3. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части.
4. Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.
5. Теоремы:
6.  Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.
7.  Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: .
8.  Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: .

•  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: 
• Медиана треугольника
• Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.
• Теоремы:
•  Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: .
•  Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
•  Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: .
•  Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: .
•  Длина медианы, проведенной к стороне  равна: .
• Признаки равенства треугольников

Признаки равенства и подобия треугольников

Теорема (первый признак равенства треугольников).Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Признаки подобия треугольников
2. Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где  — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

• Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .
• Равносторонний треугольник и его свойства
• Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .
• Теоремы:

• Все углы равностороннего треугольника равны : .
• Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны :.
• Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности: .
• Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: .
• Площадь равностороннего треугольника: .

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник— треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

Теоремы:

• Углы при основании равны: .
• Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой: .
• Площадь равнобедренного треугольника: .

1. Прямоугольный треугольник и его свойства
2. Теорема Пифагора: .
3. Решение прямоугольного треугольника:
4. ;
5. ;
6. .
7. Теоремы:

 Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

•  Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .
•  Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику
•  Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .

 Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .

1.  Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .
2.  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:  или вычисляется по любой из формул для вычисления площади произвольного треугольника.
3.  Площадь треугольника равна: . 
4.  Площадь треугольника равна: . 
5.  Формула Герона: . 
6.  Площадь треугольника равна: . 
7.  Площадь треугольника равна: . 
8. Если в треугольнике одну из сторон изменить в  раз, а другую в  раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в  раз. 
9. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Формулы для вычисления площади треугольника

Источник: https://urokidoma.org/courses/matiematika-2016/lesson/trieughol-nik-vidy-trieughol-nikov-i-ikh-svoistva/

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника  называют те углы  между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

 

Свойства сферических треу­гольников

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°.

Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°.

В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

•   тремя сторонами,
•   тремя углами,
•   двумя сторонами и заключенным между ними углом,
•   стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Случай	Даны	Формулы для вычисления	Условия существования решения
1	Три стороны а, Ь, с	А, В, С из (8) и циклической перестановки	Сумма двух сторон должна быть больше третьей
2	Три угла А, В, С	а, Ь, с из (8) и циклической перестановки	Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол
3	Две стороны и заключенный между ними угол b, с, А	из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4)
4	Два угла и заключенная между ними сторона В, С, а	из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол Ь, с, В	С из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В ≤ sin b. Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; A + B — 180° и а + b — 180° также должны быть одного знака
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона В, С, b	с из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С ≤ sin В. Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак; A + В — 180° и а + Ь — 180° также должны быть одного знака

Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р.

Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вы­числять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п.

2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

	теорема синусов	(1)
	теорема косинусов для сторон	(2)
	теорема косинусов для углов	(3)
	аналогии Непера	(4)
	аналогии Деламбра и Гаусса	(5)
формулы половинных углов	(6)
(7)
(8)
уравнение Люилье	(9)
Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции	(10)
	Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе­рических треугольников можно использовать эти формулы:	(11)
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой

Источник: https://infotables.ru/matematika/41-geometriya/526-sfericheskie-treugolniki-reshenie-i-formuly-tablitsa

Теория и задачи по треугольникам (Часть Ⅰ)

Неопубликованная запись

• Равенство и подобие треугольников. 
• Медиана, биссектриса, высота. 
• Свойства треугольников. 
• Площадь треугольников.
• Кругом одна геометрия — круг друзей, квадрат врагов, треугольник любящих.
• Ю. Татаркин

Давай на чистоту: геометрию трудно понимать, если не знаешь определенных теорем и свойств. Я постараюсь донести до тебя понятным языком только необходимое, а ты постарайся разобраться и запомнить!

Что такое луч, прямая, отрезок, угол, треугольник объяснять не буду, иначе кто-то уснет.

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие расположены на одной прямой.

С вертикальными углами проще познакомиться на рисунке:

Такими дугами показываем равные углы ∠1 = ∠3 (одной дугой) и ∠2 = ∠4 (двумя дугами)

Теперь об углах при параллельных прямых (параллельные прямые — прямые, которые никогда не пересекутся, сколько бы их не продолжать. Лучше представить рельсы у путей на прямом участке):

Перейдем к фигурам, а именно к равенству треугольников:

1) Треугольники, у которых две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, равны между собой. 

Штрихом и двумя штрихами показывают одинаковые стороны, которые равны между собой. Аналогично равные углы показывает одинаковым количеством дуг. Крайне удобно показывать дано сразу на рисунке.

2) Треугольники, у которых два угла и сторона между ними соответственно равны двум углам и стороне между ними другого треугольника, равны между собой.

3) Треугольники, у которых три стороны соответственно равны трем сторонам другого треугольника, равны между собой.

Одинаковые треугольники — это идентичные между собой фигуры, только развернутые. У тебя же не возникает вопроса, равны ли эти телефоны? Ты смотришь на форму, модель и сразу говоришь — идентичны. Так же поступай с треугольниками, только на слово тебе никто не поверит, обязательно нужно доказать один из трех признаков, описанных выше.

А вот эти фигуры какие?

Подобные! У них одинаковая форма, но разный размер. Тогда определим признаки подобных треугольников:

1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1. Важное свойство: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k² (покажу на примере задачи №7).
2. Давай закрепим теорию в задачах.
3. Введем секретный шифр:
4. «~» означает подобие
5. «Δ» означает треугольник
6. «∠» означает угол
7. Задача №1. Дано на рисунке:

Т.к.

треугольники подобны, запишем соотношения сторон против одинаковых углов. 

• AB II DE, значит ∠A = ∠EDC и ∠B = ∠DEC
• Запишем тогда отношение сторон и выразим нужную сторону EC: 
• Ответ: 13,125
• Задача №2. Дано на рисунке:

Периметр — это сумма всех сторон. Значит, если периметр отличается в 10 раз, то и стороны тоже в 10 раз.

1. Но мы же знаем, что все стороны должны отличаться в 10 раз, тогда:
2. Ответ: 20; 40; 50.
3. Задача №3. Дано на рисунке:
4. ∠NKM = 90° и ∠NKP = 120°, значит ∠MKP = 30°
5. ∠MKP = ∠KMN, как накрест лежащие углы при KP II NM => ∠KMN = 30°
6. А сумма углов в треугольнике 180°, да-да, не всегда, конечно, но Неевклидовая геометрию оставим на другой раз.
7. ∠KNM = 180 − ∠NKM − ∠KMN = 60°
8. Ответ: 60° и 30°
9. Теперь поговорим о самых распространенных отрезках в треугольнике: высота, биссектриса, медиана.
10. Высота — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90° (такой угол называется прямым).

Обратите внимание, что именно на прямую. В задаче №5 разберем почему.

• Угол 90° обозначается таким квадратиком у пересечения с прямой.
• Биссектриса — луч, делящий угол, из которого выходит, пополам.

Запомнил, как обозначаем одинаковые углы? Одинаковым дугами.

1. Медиана — отрезок, опускающийся из вершины треугольника на середину противоположной стороны. 
2. Задача №4. Дано на рисунке:
3. Давай посмотрим, что такое AB? АВ делит угол пополам (одинаковые дуги), значит, это биссектриса => ∠BAD = 20° => ∠CAD = 40°
4. В Δ CAD: ∠D = 180°− ∠C − ∠CAD = 50°, тогда 
5. В Δ ВAD: ∠DBA = 180° − ∠D − ∠ВAD = 180° − 50° − 20° = 110°
6. ∠DBA и ∠ABC — смежные (их сумма 180°) => ∠ABC = 180° − 110° = 70°

Задача №5. В ΔABC ∠B = 120°; ∠C = 30°. Из вершины А проведена высота, чему равен угол ∠BAH и ∠BAС?

Хороший рисунок — это 50% успеха, а в этой задаче все 90%. Рисуем треугольник примерно с углом 120°:

Рисунок получился плохой, а еще проблемы в ΔABH. Сумма углов должна быть 180°, но ∠B = 120° и ∠AHB = 90°, уже 210°! Что-то не так, вернемся к определению высоты — отрезок, опускающийся на прямую, содержащую противоположную сторону, под углом 90°.

• Тогда продлим сторону BC, а на нее опустим высоту. Высота получится вне треугольника:
• В ΔBAH: ∠HBA = 60° (смежный с ∠ABC) => ∠BAH = 180° − 60° − 90° = 30°
• В ΔABC: ∠BAC = 180° − 120° − 30° = 30°
• Ответ: 30° и 30°

Получается, что ∠BAC = ∠C = 30°, значит, этот треугольник равнобедренный. А что это такое?

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Такие стороны называют боковыми, а сторону, которая им не равна, основанием.

1. Есть пара крайне полезных свойств в равнобедренном треугольнике:
2. 1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 
3. Против равных сторон лежат равные углы. Верно и обратное: если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный
4. 2) Медиана, проведенная к основанию треугольника, также является биссектрисой и высотой.

А что будет, если еще и третья сторона получится той же длины? Тогда этот треугольник равносторонний или правильный.

А чему равен каждый угол в равностороннем треугольнике? Сумма 180°, но все углы равны, они лежат против одинаковых сторон. Значит, один угол будет равен 180°/3 = 60°

А есть еще какие-то треугольники? Есть прямоугольный. 

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90° (прямой угол).

А два угла в треугольнике могут быть по 90°? Нет, тогда третьему углу останется 0°, нарисуешь такой?

• Полезные свойства: 
• 1) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
• Гипотенуза будет в два раза больше катета и равна 16.
• 2) Медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.
• 3) Теорема Пифагора 
• Теорема, которая встречается в 60% задач, а если дан прямоугольный треугольник — в 90%. 
• Квадрат гипотенузы (стороны против угла в 90°) равен сумме квадратов катетов. 
• Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов, но о ней мы потом поговорим.
• Задача №6. Дано на рисунке:
• В ΔABC равнобедренный: ∠BAC = ∠BCA = 30°
• Опустим высоту из вершины В:
• В равнобедренном треугольнике высота так же будет являться биссектрисой и высотой, значит AH = 18. 
• В ΔABH ∠A = 30°, скажем что BH = a, тогда AB = 2a. (против угла в 30° лежит катет в два раза больше гипотенузы)
• В ΔABH по т. Пифагора:
• Ответ: 6√3.

Задача №7. ΔMNK ∼  ΔM₁N₁K₁. Площадь ΔMNK = 75, а площадь ΔM₁N₁K₁ = 225. Стороны соотносятся по названию. M₁N₁ = 9, чему равна MN

1. Вспомним про коэффициент подобия в площадях треугольника: если в подобных треугольниках отношение сторон равно k, тогда площади этих треугольников будут относится, как k²:
2. 225/75 = 3 = k² => k = √3 
3. M₁N₁/MN = k => MN = M₁N₁/k = 9/√3 = 3√3
4. Ответ: 3√3
5. Отлично, поздравляю тебя с Beginnerом по геометрии. 
6. Вторая часть по треугольникам − площадь треугольников, свойства треугольников, тригонометрия в прямоугольных треугольниках, что такое синус/косинус, таблицы Брадиса (как пользоваться), теорема синусов и косинусов
7. Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/teoria_treugolnik

Виды треугольников

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

• остроугольные
• прямоугольные
• тупоугольные

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

• равносторонние
• равнобедренные
• разносторонние

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

• Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
• Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.
• Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

разносторонний треугольник

равносторонний треугольник

равнобедренный треугольник

Источник: http://www.treugolniki.ru/vidy-treugolnikov/

Подобные треугольники

• Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.
• Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2
  , показанных на рисунке, записывается следующим образом:
• ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2
• Два треугольника являются подобными если:
• 1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
  ∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2
• 2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
  $frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}$
• 3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
  углы между этими сторонами равны:
  $frac{B_1A_1}{B_2A_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ и $angle A_1 = angle A_2$
  или $frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ и $angle B_1 = angle B_2$
  или
• $frac{B_1C_1}{B_2C_2}=frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

$frac{A_1B_1}{A_2B_2}=frac{A_1C_1}{A_2C_2}=frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

1. 2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);
2. 3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

• Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
  
• Решение:
  Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:
• $frac{PQ}{AB}=frac{6}{2}=3$
  $frac{QR}{CB}=frac{12}{4}=3$
  $frac{PR}{AC}=frac{15}{5}=3$
• Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.
  
• Решение:
  ∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)
• Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
  $frac{AB}{PQ}=frac{BC}{QR}=frac{AC}{PR}$
• $frac{BC}{QR}=frac{6}{12}=frac{AB}{PQ}=frac{4}{PQ} Rightarrow PQ=frac{4 imes12}{6} = 8$ и
  $frac{BC}{QR}=frac{6}{12}=frac{AC}{PR}=frac{7}{PR} Rightarrow PR=frac{7 imes12}{6} = 14$
• Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
  
• Решение:
• ∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.
• $frac{BC}{DE} = frac{3}{6} = frac{AB}{AD} = frac{AB}{AB + BD} = frac{AB}{AB + 4} = frac{1}{2} Rightarrow 2 imes AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$
• Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
  

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

1. AB || DE, CD || AC и BC || EC
   ∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC
2. Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.
3. Следовательно:
   $frac{DE}{AB} = frac{7}{11} = frac{CD}{CA} = frac{15}{CA} Rightarrow CA = frac{15 imes 11}{7} = 23.57$

x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке.

Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

• Решение:
• Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.
• Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE
  являются подобными. Следовательно,
• $frac{DE}{BC} = frac{3}{9} = frac{AD}{AB} = frac{8}{AB} Rightarrow AB = frac{8 imes 9}{3} = 24 м$
  x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м
• Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.
• А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:
• $AE = sqrt{AD^2 + DE^2} = sqrt{8^2 + 3^2} = 8.54 м$

Аналогично, $AC = sqrt{AB^2 + BC^2} = sqrt{24^2 + 9^2} = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac{AB}{DE} = frac{BC}{CD} = frac{AC}{CE}$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

$BC = frac{AB imes CD}{DE} = frac{15 imes 4.41}{5} = 13.23 км$
$CE = frac{AC imes CD}{BC} = frac{13.13 imes 4.41}{13.23} = 4.38 км$

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/podobnye-treugolniki.html

Треугольники, виды треугольников, свойства треугольников

Вспомним следующую аксиому для такого основного понятия геометрии, как прямая.

Аксиома 1: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Определение 1

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Определение 2

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Виды треугольников

Треугольники можно разделять на различные виды по углам и по сторонам треугольника. Рассмотрим для начала виды треугольников в различии от их углов.

Определение 4

Треугольник будем называть остроугольным, если все углы в нем менее $90^0$.

Определение 5

Треугольник будем называть тупоугольным, если один из углов в нем более $90^0$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 6

Треугольник будем называть прямоугольным, если один из углов в нем равен $90^0$.

Все эти виды изображены на рисунке 2.

По сторонам треугольники разделяются на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

Определение 7

Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны будут равны между собой.

Определение 8

Треугольник будем называть равносторонним, если три его стороны будут равны между собой.

Все эти виды треугольников изображены на рисунке 3.

Свойства треугольников

Введем теперь некоторые свойства треугольников в виде теорем. В данной статье доказательства их мы рассматривать не будем.

Вначале приведем теоремы, которые относятся ко всем видам треугольников. Но для них нам будут необходимы еще несколько понятий.

Определение 9

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Определение 10

Определение 11

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Теорема 1

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Теорема 2

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Теорема 3

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Следующие две теоремы рассматривают свойства для равнобедренных треугольников.

Теорема 4

Углы при основании равнобедренного треугольника будут равными.

Теорема 5

Высота, медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике являются одной и той же прямой.

Замечание 1

Отметим, что теоремы, относящиеся к равнобедренным треугольникам также справедливы и для равносторонних треугольников.

Пример задачи

Пример 1

Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что он будет равнобедренным в условиях рисунка 5.

Доказательство.

По условию задачи угол 1 равняется углу 2, а сторона $BD$ равняется стороне $CD$. Так как у треугольников $ADB$ и $ADC$ сторона $AD$ является общей, то треугольники $ADB$ и $ADC$ будут равняться по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $AC$ также равны между собой. Следовательно, данный треугольник будет равнобедренным.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/treugolniki_vidy_treugolnikov_svoystva_treugolnikov/

Катеты прямоугольного треугольника — свойства, основные формулы и примеры решений — Помощник для школьников Спринт-Олимпиады

Одним из простых замкнутых объектов является фигура, образующая три угла. Её изображение встречается в пергаментах и папирусах Древнего Египта и Греции.

Пожалуй, наиболее часто приходится сталкиваться с прямоугольным треугольником. Катеты такого объекта в месте соприкосновения образуют прямой угол.

Благодаря этому существует ряд закономерностей, зная которые можно определить основные характеристики геометрического тела.

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.

Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.

Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы – греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

• гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
• сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
• два катета являются высотами треугольника;
• середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
• численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй – подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Теорема Пифагора и углы

Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a2+b2 = c2.

Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них – это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов.

Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам.

Следующие выражения будут верными:

• BC/AB = HB/BC;
• AC/AB = AH/AC.

Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC2 = AB * HB; AC2 = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC2 + AC2 = AB * (HB + AH) = AB2. Что и следовало доказать.

Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.

Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.

Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.

Тригонометрические формулы

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:

В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.

Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.

Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.

Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.

Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.

Типовые примеры

Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.

Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.

Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.

Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.

Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3)½/2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 – (90 + 60) = 30.

ПредыдущаяСледующая

Источник: https://Sprint-Olympic.ru/uroki/matematika-uroki/92931-katety-priamoygolnogo-treygolnika-svoistva-osnovnye-formyly-i-primery-reshenii.html