Центр окружности вписанной в треугольник

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Вписанная окружность

Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?

Центр окружности вписанной в треугольник Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех (трёх) его сторон.

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)

Читайте также:  Свойства окружности, с примерами
Центр окружности вписанной в треугольник Во всякий треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать к темам «Биссектриса».
  • Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Теперь немножко о радиусе.
Центр окружности вписанной в треугольник Посмотри, пусть у нас в   вписана окружность с центром  . Тогда отрезки  ,  , и   – радиусы этой окружности.

Поэтому они, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Степень окисления лития (li), формула и примеры

Оценим за полчаса!
Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника.

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник

Можно ли найти как-то отрезочки  ,  ,   и.д. — отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки   проведено две касательных, значит их отрезки   и   равны.

Центр окружности вписанной в треугольник Мы обозначим их « ». Далее, точно так же:   (обозначили).   (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины « », « », « » — смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок « » состоит из двух отрезков « » и « », да и отрезки « » и « » тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

  1. Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
  2.  , то есть:
  3. А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
  4.  , то есть:
  5. И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
  6. Ну вот, всё нашли:

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Центр окружности вписанной в треугольник

Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть « » (« » и « ») будут с плюсом, а та сторона, где нет « » (это « »), будет с минусом. Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

На « » и « » есть « » — они с плюсом, на « » нет « » — она с минусом

На « » и « » есть « » — они с плюсом, на « » нет « » — она с минусом.

Вписанная окружность и площадь

Центр окружности вписанной в треугольник

  • Здесь скажем совсем коротко:
  • Есть такая формула:
  •  ,
  • где   — это полупериметр треугольника, то есть  , а   — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: «вневписанная окружность»? Сначала посмотри на картинку:

Центр окружности вписанной в треугольник

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот, так:

Центр окружности вписанной в треугольник

Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа

  1. — A откуда взялся  ?
  2. — A что это за точка  ?
  3. — И что это вообще за тьма линий на рисунке?
  4. А сейчас вернёмся к одной, какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один, но очень важный факт.

Центр окружности вписанной в треугольник

  •  ,
  • или, что то же самое:  , где   — полупериметр.
  • Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:
до «дальней» точки касания вневписанной окружности – ровно полупериметр.

Вписанная и вневписанная окружность

Вписанная в треугольник окружность — окружность, которая касается всех (трёх) сторон треугольника.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность, причём единственным образом.

  • Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
  • Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника:

 ,  ,  .

  • Отрезки от вершин треугольника до точек касания выражаются по формулам:

 .

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности:  , где   — полупериметр треугольника, а   — радиус вписанной окружности.

Вневписанная окружность — окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ) и биссектрис двух внешних углов (  и  ).

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности:  , где   — полупериметр треугольника, а   — радиус вневписанной окружности.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/vpisannaya-i-vnevpisannaya-okruzhnost-1

Свойства вписанной в треугольник окружности

В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности). Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.

Центр окружности вписанной в треугольник

Рисунок 1

  1. Центр вписанной в треугольник окружности (на рис. 1 – точка О) лежит на пересечении биссектрис треугольника (на рис.1 – АО, ВО и СО).
  2. В любой треугольник вписывается окружность и притом только одна.
  3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен: Центр окружности вписанной в треугольник Где S – это площадь треугольника, p — полупериметр треугольника, a, b, c — стороны треугольника.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.

Доказательство.

  1. Опустим из центра окружности перпендикуляры (OL, OK и OM) к каждой из сторон треугольника ABC (рис. 2). Также из каждого угла проведем прямую к центру окружности (OA, OC и OB). Центр окружности вписанной в треугольник

    Рисунок 2

  2. Рассмотрим 2 треугольника AOM и AOK. Они являются прямоугольными, т.к. OM и OK – перпендикуляры к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для обоих треугольников.
  3. Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной к окружности), то катеты OМ и OК являются радиусами окружности и, следовательно, равны.
  4. Из вышесказанного следует, что прямоугольные треугольники AOМ и AOК равны по гипотенузе и катету. Т.к. треугольники равны, то углы OAМ и OAК тоже равны, отсюда следует, что OA – биссектриса угла BAC.
  5. Аналогичным образом доказывается, что OC – биссектриса угла ACB, а OB – биссектриса угла ABC.
  6. То есть биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой является центр вписанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Второе свойство

Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство

  1. В треугольник можно вписать окружность только в том случае, если найдется точка равноудаленная от его сторон.
  2. Проведем 2 биссектрисы OA и OC. Опустим из точки их пресечения перпендикуляры (OK, OL и OM) ко всем трем сторонам треугольника ABC (рис. 3). Центр окружности вписанной в треугольник

    Рисунок 3

  3. Рассмотрим треугольники AOK и AOM.
  4. У них общая гипотенуза AO. Углы OAK и OAM равны (т.к. OA – биссектриса угла KAM). Углы OKA и OMA прямые (т.е. тоже равны), т.к. OK и OM – перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно.
  5. Поскольку 2 пары углов равны, то и 3-я пара (AOM и AOK) также является равной.
  6. Из вышенаписанного следует, что треугольники AOK и AOM равны по стороне (AO) и 2-м прилежащим к ней углам (рис. 4). Центр окружности вписанной в треугольник

    Рисунок 4

  7. Отсюда следует, что стороны OM и OK равны, т.е. равноудалены от сторон треугольника AC и AB соответственно.
  8. Аналогичным образом доказывается, что OM и OL равны, т.е. они равноудалены от сторон треугольника AC и BC соответственно.
  9. Из вышенаписанного следует, что точка O равноудалена от сторон треугольника, т.е. является центром вписанной окружности.
  10. Аналогичным образом можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности.
  11. Из вышенаписанного следует, что в любой треугольник можно вписать окружность.
  12. Следует отметить, что центр данной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  13. Допустим, что в треугольник можно вписать две (или более) окружности.
  14. Проведя 3 отрезка из вершин треугольника к центру этой окружности и, опустив перпендикуляры из этого центра к каждой из сторон треугольника, мы сможем доказать, что эта окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника (см. доказательство первого свойства).
  15. То есть центр этой окружности совпадает с центром первой окружности, уже вписанной в треугольник, а ее радиус равен перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника (как и в первом случае). Это говорит о том, что данные окружности совпадают.
  16. Аналогичным образом можно доказать, что любая новая вписанная окружность совпадает с первой, которую мы впишем.
  17. То есть вписать в треугольник можно только одну окружность.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к полупериметру p.

А также равенство:

Центр окружности вписанной в треугольник

Доказательство.

Центр окружности вписанной в треугольник

Рисунок 5

  1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b и c (рис 5). Полупериметр данного треугольника p рассчитывается по формуле: Центр окружности вписанной в треугольник
  2. Центр нашей окружности (точка O на рис. 5) находиться на пересечении биссектрис треугольника. Отрезки OA, OB и OC, соединяющие O с вершинами треугольника АВС, делят треугольник на три: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих трех треугольников. Центр окружности вписанной в треугольник
  3. Поскольку площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA равна радиусу окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно найти как:
  4. Выразим площадь S треугольника ABC через сумму площадей этих трех треугольников:
  5. Заметив, что второй множитель – это полупериметр треугольника ABC, можно представить наше равенство в виде: Или
  6. Итак, мы доказали, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру.
  7. Вспомним формулу Герона, которая в нашем случае будет иметь вид:
  8. Теперь радиус можно выразить как:

Что и требовалось доказать.

Источник: https://people-ask.ru/nauki/geometriya/svojstva-vpisannoj-v-treugolnik-okruzhnosti

5.1.5 Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника

  • Видеоурок 1: Вписанная окружность
  • Видеоурок 2: Окружность, описанная около треугольника
  • Лекция: Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника
  • Около некоторых треугольников можно описать окружность, а в некоторые можно окружность вписать.
  • Вписанный треугольник

Если все вершины некоторого треугольника лежат на окружности, то такой треугольник называется вписанным.

Обратите внимание, если некоторый треугольник вписан в окружность, то все прямые, которые соединяют центр окружности с вершинами треугольника, равны. Более того, они имеют величину радиуса.

Существуют несложные формулы, позволяющие определить стороны треугольника по известному радиусу окружности, или же наоборот определить радиус по сторонам:

Центр окружности вписанной в треугольник

Если в окружность вписан правильный треугольник, то формулы упрощаются. Хотелось бы напомнить, что правильным называется тот треугольник, у которого все стороны равны:

Центр окружности вписанной в треугольник

Формула для нахождения площади правильного треугольника, если он вписан в окружность:

Центр окружности вписанной в треугольник

Если некоторый треугольник располагается внутри окружности, то существует правило размещения центра окружности.

Если в окружность вписали любой остроугольный треугольник, то центр этой окружности будет находится внутри треугольника:

Центр окружности вписанной в треугольник

Если в окружность вписан правильный треугольник, то центр окружности будет считаться центром треугольником, а также точкой пересечения его высот.

Если в окружность вписанный прямоугольный треугольник, то центр окружности будет лежать на середине гипотенузы:

Центр окружности вписанной в треугольник

Если в окружность вписан тупоугольный треугольник, то центр окружности будет находится за пределами треугольника:

Центр окружности вписанной в треугольник

  1. Вписанная окружность
  2. Окружность можно назвать вписанной в том случае, если она касается всех сторон треугольника в одной точке.
  3. Для треугольника, в который вписана окружность, существует некоторое правило:

Центр окружности вписанной в треугольник

Своими точками касания окружность отсекает три пары равных отрезков: КВ = BL, AK = AM, MC = CL.

Определить связь радиусов окружностей и длин сторон можно с помощью следующих формул:

Центр окружности вписанной в треугольник

Если окружность вписана в правильный треугольник, то формула упрощается:

Предыдущий урок Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/713-515-okruzhnost-vpisannaya-v-treugolnik-i-okruzhnost-opisannaya-okolo-treugolnika.html

Вписанная окружность

Геометрия

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность-это окружность, которая касается всех сторон данного многоугольника, а центр данной окружности находится внутри данной фигуры. Общие свойства всех фигур,  описанных около окружности:

Центр вписанной окружности находится на точке пересечения биссектрис.

Центр окружности вписанной в треугольник   ∠EBO=∠MBO; ∠EAO=∠OAK; ∠KCO=∠OCM;

Вершина равноудалена от точек касания, находящихся на сторонах, содержащих данную вершину.

 Центр окружности вписанной в треугольник BE=BM; AE=AK; CK=CM;

Радиус, выпущенный в точку касания, перпендикулярен касательной

. Центр окружности вписанной в треугольник  EO⊥AB; OM⊥AC; OK⊥BC;

Свойства четырехугольника, описанного около окружности:

Суммы длин противоположных  сторон четырехугольника, описанного около окружности,  равны.

Центр окружности вписанной в треугольник

  • AB+CD=AD+BC;
  • Формулы для нахождения радиуса:
  • Общая формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник: 

Центр окружности вписанной в треугольник

,где a-сторона многоугольника,  N-количество сторон многоугольника.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:

  1. , где S-площадь треугольника, а p-полупериметр треугольника.
  2. Вывод формулы:
  3. Дано:
  4. EO=MO=KO=r;
  5. Доказать:

Центр окружности вписанной в треугольник Центр окружности вписанной в треугольник

  • Доказательство:
  • S∆ABC=S∆AOB+S∆AOC+S∆BOC;
  • S∆ABC=1/2 AB×OE+1/2 AC×OM+1/2 BC×OK;
  • S∆ABC=1/2 r(AB+AC+BC);
  1. Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник:
  2. , где p-полупериметр треугольника, а a,b,c-стороны треугольника.
  3. Вывод формулы:
  4. Используя формулу Герона и формулу r=S/P, имеем:
  5. Формула, для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник:
  6. , где r-радиус вписанной окружности, a- боковая сторона треугольника, b-основание треугольника.
  7. Вывод формулы:
  8. Зная, что   и что в равнобедренном треугольнике b=c и 
  9. , имеем:
  10. Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник: 
  11. ,где -радиус вписанной окружности, a-сторона треугольника.
  12. Вывод формулы:
  13. Зная, что   и что в равностороннем треугольнике a=b=c и 
  14. p=(a+b+c)/2, имеем:
  15. Формула, для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
  16. ,где r-радиус вписанной окружности, a и b- катеты, с- гипотенуза.
  17. Вывод формулы:
  18. Дано:
  19. ABC- прямоугольный треугольник;
  20. OE=OK=OM=r;
  21. Доказательство:
  22. OM⊥AC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания ,=>∠OMC-прямой.
  23. OK⊥BC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания,=> ∠OKC-прямой.
  24. OK=OM
  25. Принимая во внимание 3 предыдущих утверждения, можем сказать, что OMCK-квадрат.
  26. AM=AC-r;
  27. AM=AE, по свойству касательных, выпущенных из одной точки к окружности.
  28. AE=AC-r;
  29. BK=BC-r;
  30. BK=BE, по свойству касательных, выпущенных из одной точки к окружности.
  31. BE=BC-r;                                                                                                                                              
  32. AB=AE+BE;
  33. AB=AC-r+ BC-r;
  34. AB=AC+BC-2r;
  35. ,где AC и BC –катеты,а AB-гипотенуза.
  36. Формула для нахождения радиуса окружности,  вписанной в квадрат:
  37. ,где r-радиус вписанной окружности, a-сторона квадрата.
  38. Вывод формулы:
  39. ДАНО:
  40. ABCD- квадрат;
  41. OK=OE=OM=ON=r;
  42. Доказательство:
  43. OK⊥BC,по свойству радиуса, выпущенного в точку касания, и OK=OE=>OEBK- квадрат.
  44. BK=OK=KC=r;
  45. BC=BK+KC;
  46. BC=2r; 
  47. ,где BC- сторона квадрата.
  48. Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в равнобедренную трапецию:
  49. , где r-радиус вписанной окружности,a и b- основания трапеции. 
  50. Вывод формулы:
  51. Дано:
  52. ABCD- трапеция;
  53. EK-средняя линия;
  54. YX=2r;
  55. Доказательство:
  56.  ∆ABM-прямоугольный.
  57. AD=AM+MN+ND;
  58. AM=ND;
  59. MN=BC;
  60. AD=2AM+BC;
  61. AM=(AD-BC)/2;
  62. AB=EK,по свойству средней линии трапеции;
  63. EK=(AD+BC)/2;
  64. AB=(AD+BC)/2;
  65. Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:
  66. , где r-радиус вписанной окружности,a-сторона шестиугольника.
  67. Вывод формулы:
  68. Для доказательства будем использовать формулу:
  69. Автор статьи: Исмаилов Илькин Илхамович
  70. Редактор: Гаврилина Анна Викторовна

Источник: http://www.teslalab.ru/articles/geometry/61/

Центр вписанной в треугольник окружности

Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? Что можно сказать о центре окружности, вписанной в многоугольник?

Теорема.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.

Центр окружности вписанной в треугольник

O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC.

Центр окружности вписанной в треугольник

Дано: ∆ ABC,

окр. (O; r) — вписанная.

  • Доказать:
  • O — точка пересечения биссектрис ∆ ABC.
  • Доказательство:

Обозначим точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами AC, BC и AB соответственно M, K. F.

Центр окружности вписанной в треугольник

(как радиусы, проведенные в точки касания). Следовательно, треугольники AOF и AOM — прямоугольные.

  1. У них общая гипотенуза AO, катеты OF=OM (как радиусы).
  2. Следовательно, треугольники AOF и AOM равны (по катету и гипотенузе).
  3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠OAF=∠OAM.
  4. Значит, точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины A.
  5. Аналогично из равенства треугольников BOF и BOK, COM и COK доказывается, что точка O лежит на биссектрисах треугольника ABC, проведенных из вершин B и C.
  6. Следовательно, центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечении биссектрис этого треугольника.
  7. Что и требовалось доказать.
  8. Замечание.
  9. Доказательство теоремы можно основать непосредственно на свойстве биссектрисы угла.
  10. 1) OM=OF=OK (как радиусы),
  11. 2) OM⊥AC, OM⊥AB, OK⊥BC (как радиусы, проведённые в точку касания).
  12. Значит точка O равноудалена от сторон углов BAC, ABC и ACB.
  13. Так как любая точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то AO, BO и CO — биссектрисы треугольника ABC, O — точка их пересечения.
  14. Аналогично, центр вписанной в многоугольник окружности (если в него можно вписать окружность) лежит в точке пересечения биссектрис этого многоугольника.

Источник: http://www.treugolniki.ru/centr-vpisannoj-v-treugolnik-okruzhnosti/

Расчет центра вписанной окружности в треугольник

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
Центр вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

В приведенном ниже примере, O является центров окружности.

Метод расчета центра окружности вписанного в треугольник

Даны точки вершин треугольника A(5,7), B(6,6) и C(2,-2). Итак, нам известны координаты точек вершин треугольника x1,y1, x2,y2 и x3,y3.
Для нахождения точки центра вписанной окружности необходимо найти уравнение биссектрисы.

Шаг 1 :

Давайте рассчитаем средние точки всех сторон треугольника AB, BC и CA заданных координатами x и y

  • Средняя точка стороны = x1+x2/2, y1+y2/2
  • Средняя точка AB = 5+6/2, 7+6/2 = (11/2, 13/2)
  • Средняя точка BC = 6+2/2, 6-2/2 = (4, 2)
  • Средняя точка CA = 2+5/2, -2+7/2 = (7/2, 5/2)

Шаг 2 :

Далее, найдем углы сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Пожалуйста, обратите внимание, что угол обозначается буквой ‘m’.

  • Угол AB (m) = 6-7/6-5 = -1.
  • Угол BC (m) = -2-6/2-6 = 2.
  • Угол CA (m) = 7+2/5-2 = 3.

Шаг 3 :

Теперь, давайте вычислить угол биссектрисы сторон AB, BC и CA.

  • Угол биссектрисы = -1/угол линии (стороны).
  • Угол биссектрисы стороны AB = -1/-1 = 1
  • Угол биссектрисы стороны BC = -1/2
  • Угол биссектрисы стороны CA = -1/3

Шаг 4 :

После того, как мы находим угол перпендикулярных линий, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис с углом и серединой. Уравнение перпендикуляра АВ с серединами (11/2, 13/2) и углом 1.

  • Уравнение центра окружности y-y1 = m(x-x1)
  • y-13/2 = 1(x-11/2)
  • Упростив, мы получим уравнение -x + y = 1
  • Кроме того, мы должны найти уравнение перпендикуляра, биссектрис линий BE и CF.
  • Для BC с средней точкой (4,2) и углом -1/2 y-2 = -1/2(x-4)
  • Упростив, мы получим уравнение x + 2y = 8
  • Для CA с средней точкой (7/2,5/2) и углом -1/3 y-5/2 = -1/3(x-7/2)
  • Упростив, мы получим уравнение x + 3y = 11

Шаг 5 :

Найдем значения x и y решив любые 2 из указанных 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y равны (2,3) которые являются координатами центра (o) вписанной окружности в треугольник.

Источник: https://wpcalc.com/okruzhnost-v-treugolnike/

Ссылка на основную публикацию