Уравнение движения материальной точки

  • ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО
  • • Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):
  • в векторной форме
  • или
  • где геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; т — масса; а — ускорение;p=mv импульс; N — число сил, действующих на точку;
  • в координатной форме (скалярной)
  • или , Уравнение движения материальной точки ,
  • где под знаком суммы стоят проекции силFi, на соответствующие оси координат.
  • • Сила упругости *
  • Fупр=-kx,
  • * Силы упругости и гравитационного взаимодействия более подробно рассмотрены в § 4.
  • где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);
  • х — абсолютная деформация.

где G — гравитационная постоянная; m1 и m2 — массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r расстояние между ними.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Интеграл степенной функции, формула и примеры

Оценим за полчаса!
  1. Fтр=fN,
  2. где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.
  3. • Координаты центра масс системы материальных точек
  4. Уравнение движения материальной точки , Уравнение движения материальной точки , Уравнение движения материальной точки
  5. где mi — масса i-й материальной точки; xi, yi;, zi; — ее координаты.
  6. • Закон сохранения импульса
  7. Уравнение движения материальной точки или Уравнение движения материальной точки
  8. где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.
  9. • Работа, совершаемая постоянной силой,
  10. , или Уравнение движения материальной точки ,
  11. где — угол между направлениями векторов силы F и перемещения r.
  12. • Работа, совершаемая переменной силой,
  13. где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.
  14. • Средняя мощность за интервал времени t
  • • Мгновенная мощность
  • , или N=Fvcos ,
  • где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.
  • • Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно,
  • T=mv2/2, или T=p2/(2m).
  • • Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением
  • F= — grad П или Уравнение движения материальной точки ,
  • гдеi, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда

* См. сноску на с. 19.

поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

  1. • Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)
  2. П=kx2/2.
  3. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1, и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П=mgh,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Закон авогадро, формулировка и следствия

Оценим за полчаса!

Дата добавления: 2015-05-06; просмотров: 826; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 9262 — | 7849 — или читать все…

Источник: https://studopedia.ru/8_197157_srednie.html

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

  • Министерство образования и науки российской федерации
  • Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
  • «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
  • ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (ДИНАМИКА)
  • КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ (третий семестр)
  • Направление подготовки                                                270800 – Строительство_______
  • Профиль подготовки                                                   ______________________________
  • Квалификация (степень) выпускника                       бакалавр_______________________
  • Форма обучения                                                           очная ________________________

Составитель: проф. В.И.Антонов

  1. г. Москва
  2. 2012г.
  3. ЛЕКЦИЯ 1 (9)
  4. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ, ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
  5. Основные понятия. Модели материальных тел

Как известно, под механическим движением понимают изменение с течением времени положения тела в пространстве по отношению к другим телам. Изучая движение какого-либо тела, необходимо указать другое тело – тело отсчёта, по отношению к которому рассматривается движение.

С телом отсчёта жестко связывают систему координат. Тело отсчета, связанная с ним система координат и счетчик времени – часы образуют систему отсчёта.

В классической механике считается, что время не зависит от движения и одинаково во всех точках пространства и во всех системах отсчёта.

Дадим определения основных моделей, используемых в теоретической механике.

Материальное тело, размерами и различием в движении отдельных точек которого можно пренебречь в рамках рассматриваемой задачи, называется материальной точкой.

2. Любое множество взаимодействующих материальных точек называется механической системой.

3. Если расстояние между любыми двумя точками механической системы не изменяется при любых механических взаимодействиях, то такая механическая система называется геометрически неизменяемой.

Фундаментальным понятием механики является сила, которая представляет собой количественную меру механического взаимодействия материальных тел. Сила является причиной изменения движения тела, к которому она приложена.

Кроме внешних воздействий, т.е. сил, характер движения любого тела определяется его инертностью, которая является одним из основных свойств движущейся материи.

Это свойство проявляется в способности тела сохранять свое движение при отсутствии сил и изменять его под действием сил не мгновенно, а постепенно, тем медленнее, чем больше вещества содержится в теле.

Одной из количественных мер инертности (инерции) тела является масса. Заметим, что масса полностью характеризует инерционные свойства тела при его поступательном движении.

  • Основные законы механики
  •  Аксиома 1
  • Существует система отсчета, по отношению к которой материальная точка находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, если на нее не действуют силы.
  1. Такая система отсчёта называется инерциальной, иногда её условно называют неподвижной.
  2. Аксиома 2 (Второй закон Ньютона.)
  3. В инерциальной системе отсчета произведение массы материальной точки на ее ускорение равно приложенной к точке силе:
  • Аксиома 3  (Третий закон Ньютона.)
  • Две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и действующими по одной прямой в противоположные стороны.  
  • Аксиома 4  (Принцип независимости действия сил.)
  • Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то ускорение точки равно сумме векторов ускорений, которые имела бы точка под действием каждой из этих сил в отдельности.
  • Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Положение материальной точки в системе отсчета определяется ее радиусом-вектором . Сила, действующая на точку может зависеть от положения точки, т.е. от её радиуса-вектора  (например, упругая сила), скорости точки (например, сила сопротивления) и от времени. Следовательно, основное уравнение динамики материальной точки (1.1) в общем случае можно записать в виде:

Уравнение движения материальной точки

Это равенство, представляющее собой физический закон, устанавливающий связь между массой точки, её ускорением и действующей на точку силой, можно одновременно рассматривать как дифференциальное уравнение, в котором радиус-вектор  является искомой функцией, а время  – аргументом. Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

В зависимости от выбора системы координат можно получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки.

Записывая уравнение (1.2) в проекциях на оси ортогональной декартовой системы координат, получаем:

Уравнение движения материальной точки

  1. где  – координаты точки;  – проекции на координатные оси приложенной к точке силы.
  2. Если траектория точки заранее известна, удобно использовать оси естественного трёхгранника. Напомним, что в этом случае положение точки определяется её дуговой координатой , а проекция вектора скорости на касательную к траектории , касательное  и нормальное  ускорения точки определяются по формулам:
  3. где  – радиус кривизны траектории в данной точке. Таким образом, дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трёхгранника имеют вид:
  4.                                                                  (1.4)
  5. где  – проекции на оси естественного трёхгранника приложенной к точке силы.

Дата добавления: 2019-09-02; просмотров: 41;

Источник: https://studopedia.net/15_13271_differentsialnie-uravneniya-dvizheniya-materialnoy-tochki.html

Урок 2. равномерное прямолинейное движение материальной точки — Физика — 10 класс — Российская электронная школа

  • Физика, 10 класс
  • Урок 2. Равномерное прямолинейное движение материальной точки
  • Перечень вопросов, рассматриваемых в теме: 1) основная задача механики; 2) относительность механического движения; 3) система отсчёта, материальная точка, перемещение, траектория, скорость; 4) кинематическое уравнение.
  • Глоссарий по теме:
  • Раздел механики, в котором изучается движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение, называют кинематикой.
  • Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальной точкой называют тело, размерами и формой которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.

  1. Траектория — линия, по которой движется точка в пространстве.
  2. Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путем, пройденным за этот промежуток времени.
  3. Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.
  4. Равномерное прямолинейное движение – это движение, при котором за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения.
  5. Скорость равномерного прямолинейного движения точки – величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
  6. Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта
  7. Основная и дополнительная литература по теме урока:
Читайте также:  Свойства логарифмов и их формулы

Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н.. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016.– С.10-30.

Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.

Открытые электронные ресурсы по теме урока:

http://kvant.mccme.ru/1974/12/byvaet_li_ravnomernoe_dvizheni.htm.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основная задача классической механики — определить положение тела в пространстве в любой момент времени. По характеру решаемых задач классическую механику делят на кинематику, динамику и статику.

В кинематике описывают движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение. Раздел механики, в котором изучаются причины движения, называют динамикой. Статика — раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твердых тел.

Законы сохранения импульса и энергии являются следствиями законов Ньютонов.

Механическим движением тела называется изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Сформулируем закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно каких тел мы рассматриваем движение. Нет абсолютно неподвижных тел.

Рассмотрим самое простое движение – прямолинейное равномерное движение. Описать движение тела – это значит, указать способ определения его положения в пространстве в любой момент времени.

Для описания движения нужно ввести некоторые понятия: материальная точка, траектория, путь, перемещение, координата, момент времени, промежуток времени, скорость. Материальной точкой называют тело, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь. Это первая физическая модель реальных тел.

Практически всякое тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами. Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца.

В данном случае различия в движении разных точек любой планеты, вызванные её суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение.

Но при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении времени восхода солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой нельзя, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек её поверхности.

Тело, движущееся поступательно, можно принимать за материальную точку даже в том случае, если его размеры соизмеримы с проходимыми им расстояниями. Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любой отрезок, соединяющий любые две точки тела, остается параллельным самому себе.

Что нужно знать для того, чтобы в любой момент времени указать положение тела? Надо, во-первых, знать, где оно было в начальный момент времени; во-вторых, каков вектор перемещения в любой момент времени. Мы уже знаем, что движение любого тела относительно.

Поэтому, изучая движение тела, мы обязательно указываем, относительно какого тела это движение рассматривается. Тело, относительно которого рассматривается движение, называется телом отсчета. Чтобы рассчитать положение материальной точки относительно выбранной точки отсчета, надо связать с ним систему координат и измерить время.

Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов называют системой отсчета.

Рассмотрим два наиболее часто применяемых способа описания движения тел: координатный и векторный. В координатном способе положение тела в пространстве задается координатами, которые с течением времени меняются.

Рассмотрим движение материальной точки М с координатами (х, y, z) в момент времени t.

Математически это принято записывать в виде:

Количество координат зависит от условия задачи: на прямой – одна, в плоскости – две, в пространстве – три.

В векторном способе используется радиус-вектор. Радиус-вектор – это направленный отрезок, проведенный из начала координат в данную точку. Закон (или уравнение) движения в векторной форме — зависимость радиуса-вектора от времени:

Итак, для задания закона движения материальной точки необходимо указать либо вид функциональной зависимости всех трех ее координат от времени, либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки.

Три скалярных уравнения или эквивалентное им одно векторное уравнение называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Двигаясь, материальная точка занимает различные положения в пространстве относительно выбранной системы отсчета. При этом она «описывает» в пространстве какую-то линию. Линия, по которой движется точка в пространстве, называется траекторией. По форме траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные.

Траектория движения указывает все положения, которые занимала точка, но, зная траекторию, ничего нельзя сказать о том, быстро или медленно проходила точка отдельные участки траектории. Длину траектории, по которой двигалось тело в течение какого-то промежутка времени, называют путём, пройденным за этот промежуток времени, его обозначают буквой S.

Путь – скалярная величина.

Для описания движения тела нужно указать, как меняется положение точек с течением времени. Если участки криволинейные, то изменение координат тела описывают с помощью такого понятия как перемещение.

Перемещением тела (материальной точки) называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением.

Обозначается на чертежах как направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение тела в пространстве:

Путь и модуль перемещения могут совпадать по значению, только в том случае, если тело движется вдоль одной прямой в одном направлении.

Важной величиной, характеризующей движение тела, является его скорость. Скорость – векторная величина. Она считается заданной, если известен ее модуль и направление. Скорость равномерного прямолинейного движения точки – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло. Пусть радиус-вектор задает положение точки в начальный момент времени t0, а радиус-вектор- в момент времени t. Тогда промежуток времени:

и перемещение:

  • Если начальный момент времени t0 принять равным нулю, то скорость равна:
  • Выразим отсюда радиус-вектор :

Это и есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в векторной форме. Оно позволяет найти радиус-вектор точки при этом движении в любой момент времени, если известны скорость точки и радиус-вектор, задающий ее положение в начальный момент времени. В проекциях на ось ОХ уравнение можно записать в виде:

х=х0+vхt.

Это уравнение есть уравнение равномерного прямолинейного движения точки, записанное в координатной форме. Оно позволяет найти координату х тела при этом движении в любой момент времени, если известны проекция его скорости на ось ОX и его начальная координата х0.

  1. Путь S, пройденный точкой при движении вдоль оси ОХ, равен модулю изменения ее координаты:
  2. Его можно найти, зная модуль скорости

Строго говоря, равномерного прямолинейного движения не существует. Но приближенно на протяжении не слишком большого промежутка времени движение автомобиля можно считать равномерным и прямолинейным с достаточной для практических целей точностью. Таково одно из упрощений действительности, позволяющее без больших усилий описывать многие движения.

Полученные результаты можно изобразить наглядно с помощью графиков. Для прямолинейного равномерного движения график зависимости проекции скорости от времени очень прост. Это прямая, параллельная оси времени.

  • Как мы уже знаем, зависимость координаты тела от времени описывается формулой х=х0+????хt. График движения представляет собой прямую линию:

Из второго рисунка видим, что углы наклона прямых разные. Угол наклона второй прямой больше угол наклона первой прямой , т.

е за одно и тоже время тело, движущееся со скоростью , проходит большее расстояние, чем при движении со скоростью А значит А что же в случае 3, когда угол α < 0? В случае 3 тело движется в сторону, противоположную оси ОХ.

Проекция скорости в случае 3 имеет отрицательное значение и график проходит ниже оси ОХ. Проекция скорости определяет угол наклона прямой х(t) к оси t и численно равна тангенсу угла

Относительность механического движения – это зависимость траектории движения тела, пройденного пути, перемещения и скорости от выбора системы отсчёта. В рамках классической механики время есть величина абсолютная, то есть протекающее во всех системах отсчета одинаково.

Примеры и разбор решения заданий

1. Тело движется равномерно и прямолинейно в положительном направлении оси ОХ. Координата тела в начальный момент времени равна xо = -10м. Найдите координату тела через 5с, если модуль её скорости равен ʋ=2 м/с. Какой путь проделало тело за это время?

Дано: xо = — 10 м, t = 5 c, ʋ = 2 м/с. Найти s, х.

  1. Решение: координату точки найдем по формуле:
  2. х = х0 + ????х t
  3. Так как направление вектора скорости совпадает с направлением оси координат, проекция вектора скорости положительна и равна ʋx=ʋ; тогда вычисляем:
  4. х = — 10 + 2· 5 = 0 (м).
  5. Пройденный путь найдем s = ʋ t; s = 2·5 = 10 м.

2. Равномерно друг за другом движутся два поезда. Скорость первого равна 72 км/ч, а скорость второго — 54 км/ч. Определите скорость первого поезда относительно второго.

  • Дано:
  • Найти .
  • Решение: Из условия задачи ясно, что векторы скоростей поездов направлены в одну сторону. По закону сложения скоростей запишем:
  • ,
  • где — искомая величина.
  • Находимпроекцию скоростей на ось ОХ и записываем, чему равен модуль искомой величины
  • Ответ: .

Источник: https://vcs.resh.edu.ru/subject/lesson/6287/conspect/

Ссылка на основную публикацию