Уравнение фурье в физике

В отличие от тонких тел нагрев массивных характеризуется тем, что тепловая волна проникает вглубь не сразу, косвенно. Послойное включение материала в нагрев объясняется не бесконечной (как в тонких телах), а конечной скоростью распространения тела.

Время, в течение которого тепловая волна достает самого удаленного слоя материала, называется инерционным (иррегулярным). При одностороннем нагреве таким слоем является противоположная поверхность тела, а при симметричном двустороннем – его центр.

При нагреве массивного тела необходимо знать распределение величин Т в нем, или как мы сказали температурное поле, обусловленное внешним тепловым режимом.

Определение температурного поля становится возможным, если известны математические зависимости между температурой, временем и пространственными координатами в любом элементарном объеме материала.

Связь между этими зависимостями устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности.

При этом считают, что твердое тело однородно и изотропно, его теплофизические параметры и агрегатное состояние не изменяются, а также внутренние источники теплоты в нем отсутствуют.

Давайте выведем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем, виде.

Выделим в нагревательном теле элементарный параллепипед с гранями dx, dy, dz.

В соответствии с законом сохранения энергии, разность между количеством тепла подводимого в элементарный объем за время dt и убывающего из него за то же время, равна изменению его энтальпии.

Через грань dy dz поступает количество тепла

а уходит через противоположную грань

где qx, qx+dx – плотность потока, соответственно подводимого и отводимого в направлении оси Х.

Плотность теплового потока в этой грана находится путем разложения в ряд Тейлора

Найдем разность между количеством тепла, поступившим в параллепипед и вышедшем из него в направлении оси Х: из (1) – (2)

Аналогично определяются соответствующие величины для осей Y и Z:

Оставшееся в элементарном объеме количество тепла, расходуемое на изменение энтальпии тепла равно:

• ; (7)
• Составим баланс тепла в элементарном объеме:
• Уравнение (7) приравняем к уравнениям (3), (4), (5)
• ; (8)
• Согласно закону Фурье:
• Тогда формула (8) запишется так (разделив также правую часть на r с):
• ; (9)
• Вводят оператор Лапласа Ñ2 ²набла²: и зная, что – коэффициент температуропроводности, мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в компактной форме:

Коэффициент температуропроводности а м2/с, (в условиях нестационарных процессов) характеризует теплоинерционные свойства тепла. Чем больше а, тем выше скорость изменения (параметров) Т в любой точке тела и тем быстрее перестраивается его температурное поле.

Для различных веществ значение а м2/с, как и l, зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры.

Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье устанавливает зависимость между температурой, временем и пространственными координатами в любой элементарном объеме нагреваемого материала. Выше приведенное уравнение Фурье записано в общем виде.

1. .
2. Для тел сферической формы
3. где r – радиус цилиндра или шара.
4. При одномерных температурных полях то же уравнение для простейших форм тела имеет вид:
5. ,
6. где k1 – коэффициент формы тела.

Мы отметили, что дифференциальное уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения (применительно к конкретному случаю) необходимо кроме основного дифференциального уравнения Фурье задать дополнительные условия.

В условия однозначности входят:

геометрические условия, определяющие форму и размеры тела;

физические условия, т. е. физические параметры и свойства тела – l, r, Ср;

начальные условия, т. е. распределение температуры в объеме тела в некоторый момент времени, принятый за начало отсчета, t=0;

граничные условия, характеризующие тепловое взаимодействие окружающей среды с поверхностью тела, т. е. связь внешнего теплообмена в рабочем пространстве, с внутренним.

Начальное распределение температур показывает t0 состояние тела перед тем, как начался процесс нагрева и может быть различным. Наиболее простой случай имеющий практическое значение – одинаковое значение Т по всему объему: .

• Например: это нагрев или охлаждение металла после стационарного режима.
• Во многих задачах используется начальное параболическое распределение t0 по объему тела:
• где Тц.о – температура центра в начальный момент времени;

DТ0 – нач. перепад t по сечению тела (нагрев или охлаждение предварительно разогретого металла).

Граничные условия можно задавать различными способами и на них влияет характер взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.

1. Граничные условия первого рода (первая краевая задача).

В этом случае задается распределение t по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени, т. е. задается функция: Тпов.=f(х, у, z, t).

1. Примером граничных условий первого рода является линейное изменение t0 поверхности во времени:
2. где Сн – скорость нагрева.
3. К описанному условию можно отнести задачу разогрева кладки печи или задачу нагрева (охлаждения) тел при термообработке с заданной скоростью.
4. Другим примером граничных условий первого рода является постоянство температуры поверхности:

Это задачи нагрева или охлаждения с мгновенным повышением (снижением) t0пов. Тела (закалка, выдержка, томление металла).

2. Граничные условия второго рода (вторая краевая задача).

• В этом случае задается распределение плотности теплового потока q по всей поверхности тела и изменение этого распределения во времени.
• где n – координата, направленная к поверхности тела.
• Таким образом, задание граничных условий второго рода – это задание величины градиента t0 на поверхности тела .
• Часто принимают, что q=const – постоянный во времени и по всей поверхности тела.
• Встречается в металлургических и камерных печах граничные условия третьего рода (смешанная краевая задача).
• В этом случае задаются t0 окружающей среды или внешнего источника тепла Т0 и закон теплообмена между средой и поверхностью тела.
• Граничные условия часто третьего рода – часто встречаются на практике.
• По существу задаемся некоторая связь между известной t0 окружающей среды (внешнего источника тепла) и неизвестными t0 поверхности тела и градиентом температур на поверхности.
• Например, если внешний теплообмен осуществляется путем конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока, подводимого к поверхности тела, выражается формулой Ньютона:
• где T0 – t0 окружающей среды;

Тпов. – t0 поверхности тела.

1. С другой стороны плотность теплового потока на поверхности тела q может быть выражена постулатом или формулой Фурье:
2. где n – координата, направленная по нормам к поверхности тела.
3. Приравнивая правые части уравнений, на основании закона сохранения энергии, получим математическую формулировку граничных условий третьего рода:
4. ;

Частный случай Т0=const или Тпеч.= const; – нагрев заготовки в печи при постоянной температуре. На практике при нагреве металла производят сочетание граничных условий нагрева. Например вначале нагрев при q.= const, а заканчивать нагрев при tпеч=.const.

Лекция 14:

Источник: https://megaobuchalka.ru/11/33838.html

Уравнение Фурье в физике

Уравнение Фурье использует аппарат весьма абстрактной дисциплины – математической физики. На практике же оно применяется для изучения процессов теплопроводности разных тел. Это дифференциальное уравнение в частных производных позволяет узнать, насколько быстро изменяется температура тела, к которому подвели теплоту.

Однако до того как было получено уравнение Фурье, для него была построена математическая модель и выдвинута соответствующая гипотеза.

Мы рассматриваем стержень из однородного материала, для которого известна теплопроводность . Будем считать, что стержень тонкий – настолько, что температура во всех точках каждого поперечного сечения одинакова. Стержень теплоизолирован от внешней среды, и теплота подводится и распространяется только вдоль оси Ох – вдоль стержня.

• Для этого случая существует гипотеза (или закон) Фурье, связывающий количество подведенной теплоты, изменение температуры стержня во времени, геометрические и физические характеристики стержня:
•    
• Физический смысл гипотезы более понятен, если некоторые множители из правой части перенести в левую:
•    

Количество теплоты , подведенное к элементу поверхности за отрезок времени пропорционально градиенту температуры . Температурный градиент – это, по сути, изменение температуры на отрезке стержня .

Используется обозначение n (нормаль), а не х, чтобы указать: температура распространяется перпендикулярно изотермическим поверхностям поперечного сечения. Коэффициент пропорциональности – это коэффициент теплопроводности стержня.

Знак «минус» означает, что теплота передается в направлении снижения температуры.

1. С другой стороны, количество подведенной теплоты, подведенное к участку стержня длиной dx, чтобы его температура возросла на dt:
2.    
3. Здесь с – теплоемкость стержня, – плотность.
4. С использованием этой гипотезы и было получено уравнение Фурье:
5. Здесь переменная u – температура (обозначена буквой, традиционной в матфизике), t – время, – оператор Лапласа:
6.    
7. Если задача одномерная (а в случае со стержнем так оно и есть), уравнение Фурье примет вид:
8. Чтобы решить это уравнение, нужно задать граничные условия (температура на концах стержней в какой-то момент времени) и начальные условия (распределение температур по стержню в начальный момент времени).

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravnenie-fure/

Теплопроводность. Уравнение Фурье. Коэффициент теплопроводности

Теплопрово́дность — способность материальных тел к переносу энергии (теплообмену) от более нагретых частей тела к менее нагретым частям тела, осуществляемому хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества.

Теплопроводностью называется также количественная характеристика способности тела проводить тепло. В сравнении тепловых цепей с электрическими это аналог проводимости.

Количественно способность вещества проводить тепло характеризуется коэффициентом теплопроводности. Эта характеристика равна количеству теплоты, проходящему через однородный образец материала единичной длины и единичной площади за единицу времени при единичной разнице температур (1 К). В системе СИ единицей измерения коэффициента теплопроводности является Вт/(м·K).

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием гипотетического теплорода от одного тела к другому.

Молекулы в более нагретых частях тела движутся быстрее и передают энергию посредством столкновений медленным частицам в более холодных частях тела.

В 1807 году французский ученый Фурье доказал экспериментально, что во всякой точке тела (вещества) в процессе теплопроводности присуща однозначная взаимосвязь между тепловым потоком и градиентом температуры:

• где Q – тепловой поток, выражается в Вт;
• grad(T) – градиент температурного поля (совокупности числовых значений температуры в разнообразных местах системы в выбранный момент времени), единицы измерения К/м;
• S – площадь поверхности теплообмена, м2;
• λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(м К).
• Коэффициент теплопроводности устанавливает физические параметры вещества, и описывает его способность проводить теплоту. Коэффициент теплопроводности находим по формуле:

Численно коэффициент теплопроводности диагностируется количеством теплоты, проходящим в единицу времени через единицу изотермической поверхности при соблюдении требования gradt=1.

Его размерность Вт/(м·К). Величину указанного параметра для разнообразных материалов находим из справочных таблиц, сформированных на данных полученных эмпирически.

У подавляющего числа веществ взаимозависимость коэффициента теплопроводности и температуры демонстрирует линейная функция:

где λ0 — значение коэффициента теплопроводности при t0=00С;

b — постоянная, определяемая эмпирически.

Газы — самые плохие проводники тепла. Их коэффициент теплопроводности прогрессирует с возрастанием температуры и представлен в границах от 0,006 до 0,6 Вт/(м·К). Рекордсменами выступают гелий и водород, коэффициент теплопроводности у них в 5 — 10 раз выше, чем у прочих газов.

Для жидкости λ колеблется от0,07 до 0,7 Вт/(м·К).

Металлы – лучшие проводники тепла, у них λ=20÷418 Вт/(м·К). Максимальная теплопроводность свойственна серебру.

Материалы с λ < 0,25 Вт/(м·К), принято обозначать как теплоизоляционные, обычно к ним обращаются, когда требуется выполнить теплоизоляцию.

Источник: https://cyberpedia.su/5x7bd2.html

ПОИСК

Распространение тепла в твердом теле (тормозном шкиве) выражается дифференциальным уравнением Фурье
 [c.

601]

Отмеченные особенности при анализе реальной многослойной термоизоляции позволяют обычно выделить лишь один основной слой, для которого одновременно учитывается и термическое сопротивление, и аккумулирующая способность.

Если теплопроводность X и удельную теплоемкость с этого слоя допустимо считать постоянными, то изменение его температуры T(z, t) по времени t и по координате z описывается одномерным дифференциальным уравнением Фурье (см. 2.1) в виде
 [c.144]

Дифференциальное уравнение Фурье. Свойства температурного поля могут быть установлены только при наличии соответствующего уравнения, характеризующего пространственно-временное распределение температуры в теле. Уравнение, которое в наиболее общем виде
 [c.13]

Рис. 6. Схема к выводу дифференциального уравнения Фурье.

При выводе дифференциального уравнения Фурье не принимались во внимание какие бы то ни было конкретные условия процесса. В основе вывода лежат только общие физические принципы закон сохранения и превращения энергии и закон Фурье. Поэтому уравнение (9) дает наиболее общую связь между входящими в него переменными и определяет все без исключения явления теплопроводности, т. е. определяет весь класс этих явлений.
 [c.15]

Дифференциальному уравнению Фурье можно дать также геометрическое толкование.
 [c.16]

Основные положения. Как уже отмечалось, дифференциальное уравнение Фурье описывает весь класс явлений теплопроводности. Однако в нем не отражены частные особенности отдельных конкретных явлений. Это объясняется следующим образом.
 [c.16]

Используя уравнение переноса (1-2-16) и полагая удельный поток энтальпии равным потоку тепла jq(fh=iq)< из уравнения (1-2-87) получаем дифференциальное уравнение Фурье—Кирхгофа [Л. 1-2]  [c.23]

Дифференциальное уравнение Фурье — Кирхгофа описывает перенос тепла в движущейся среде. Если пренебречь диффузионной теплопроводностью и переносом теплоты за счет диффузии, то в отсутствие поля внешних сил уравнение примет вид  [c.93]

К детерминированному подходу можно отнести модели помещения (в форме дифференциальных и разностных уравнений), которые основаны на описании физических процессов, происходящих при теплообмене в помещении.

Динамические свойства теплоемких внешних ограждений описываются дифференциальными уравнениями Фурье в частных производных [34]. Нестационарному теплообмену в СЦТ посвящены работы [55, 102].

Внутренние тепловыделения, медленные и быстрые тепловые потери учитываются обыкновенными дифференциальными уравнениями в [34].
 [c.78]

Система уравнений (49), (50) описывает общие термогидродинамические свойства изотропной жидкости. Она содержит как частный случай обычную гидродинамику, которая основана только на уравнениях (45) — (48), если предположить, что выполняется либо изотермическое, либо адиабатическое условие. В обоих случаях р является функцией только р, так что гидродинамическое свойство задается уже уравнениями (45) — (47), если р = р(р). Отметим, что (46) является хорошо известным уравнением Навье — Стокса с дополнительным членом, характеризующим вращение, и что первые два члена в правой части уравнения (48) являются функцией рассеяния Рэлея. Полная система уравнений содержит также теорию теплопроводности. В частности, уравнение (48) для покоящейся системы превращается в дифференциальное уравнение Фурье
 [c.13]

Задача будет описываться линейным дифференциальным уравнением Фурье и линейным граничным условием 3-го рода совместно с начальным условием  [c.614]

Если в дифференциальное уравнение Фурье
 [c.60]

Дифференциальное уравнение Фурье применительно к температурной задаче в ФС [45] решается для граничных условий, выраженных зависимостью (2.269), с учетом принятых допущений. При этом средняя температура поверхности трения
 [c.224]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФУРЬЕ — КИРХГОФА
 [c.30]

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением Фурье — Кирхгофа. Левая часть уравнения (1-9-4) отражает полное изменение энтальпии текучей среды в данной точке. В правой части первый член характеризует диффу-. зионный перенос тепла (теплопроводностью и диффузионной теплопроводностью).

Второй член является источником тепла, обусловленным источником массы Оу1 за счет фазовых или химических превращений. Третий член (йр (1х) отображает работу сил давления последующий член (а у) является источником тепла за счет диссипации энергии движения, т. е. за счет работы сил внутреннего трения.

Рассмотрим процессы теплообмена, в которых теплопроводность является основным фактором в переносе тепла. Дифференциальное уравнение Фурье — Кирхгофа (1-9-4) описывает перенос энергии в движущейся среде. Если пренебречь диффузионной теплопроводностью (Q = 0) и переносом тепла за счет диффузии, то в отсутствие поля внешних сил уравнение примет вид
 [c.95]

Решение задач, связанных с передачей тепла теплопроводностью, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений Фурье (1) и (2), при этом для того, чтобы найти постоянные интегрирования, необходимо знать граничные условия. Граничные условия разделяются на временные и пространственные.

Временные граничные условия состоят в задании начального распределения температуры, т. е. распределения температуры в момент времени z=0. Пространственные граничные условия относятся к поверхностям, ограничивающим данную среду. Различают три рода граничных условий.
 [c.

12]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ФУРЬЕ
 [c.192]

Дифференциальное уравнение Фурье. Уравнения (2.5) и (2.7) образуют замкнутую систему, которая содержит четыре неизвестные величины t, q , qy, qz- Так как процесс теплопроводности принято описывать при помощи поля температуры, то из этих уравнений обычно исключают вектор q. Подставив соотношение (2.7) в] уравнение (2.5), получим дифференциальное уравнение Фурье-
 [c.198]

Логическая схема феноменологической теории теплопроводности. Четыре этапа использования феноменологического метода (рис. 2.6) позволяют получить дифференциальное уравнение Фурье. Это уравнение описывает множество процессов теплопроводности и поэтому имеет множество решений.

К уравнению Фурье присоединяются геометрические, физические, временные и граничные условия однозначности. Поставленная таким образом задача разрешается либо аналитическим, либо численным, либо экспериментальным методом. В последнем случае используют методы физического подобия [7, 151 или физических аналогий [16].

В теории теплопроводности сравнительно большое распространение получили аналитические и численные методы решения [14].
 [c.202]

Если уравнение (4.16) подставим в уравнение (4.12), то получим дифференциальное уравнение Фурье—Остроградского для изобарических процессов конвективного теплообмена  [c.236]

Если жидкость однородна, т. е. ее теплофизические параметры Яд, и Ср постоянны, то дифференциальное уравнение Фурье—Остроградского принимает более простой вид  [c.236]

Если относительная скорость отсутствует, то член div (I) t), характеризующий конвективный перенос тепла, из уравнений (4.17)—(4.

19) выпадает и уравнения Фурье—Остроградского превращаются в уравнение Фурье для теплопроводности в среде, все части которой неподвижны относительно друг друга.

Таким образом, для практического использования дифференциального уравнения Фурье—Остроградского необходимо располагать сведениями о распределении скорости в потоке жидкости.
 [c.236]

При этих условиях однозначности распределение температуры в потоке является плоским и подчиняется дифференциальному уравнению Фурье — Остроградского  [c.267]

При помош и турбулентной температуропроводности можно записать дифференциальное уравнение Фурье — Остроградского для распределения температуры
 [c.277]

Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для рещения всего класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фурье.
 [c.58]

Чтобы описать и найти температурное поле в движущейся жидкости, аналогично дифференциальному уравнению теплопроводности на основе закона сохранения энергии выводится специальное дифференциальное уравнение -дифференциальное уравнение энергии.

Это уравнение учитывает и перенос тепла теплопроводностью, и накопление тепла в элементарно малом объеме в результате изменения его теплосодержания при протекании через него потока теплоносителя.

По форме оно похоже на дифференциальное уравнение Фурье
 [c.99]

Л. 68]. Этим игнорируется дискретность сы пучей среды, особенно сильно проявляющаяся именно при поперечном обтекании тел. Уравнение энергии по существу записано в форме дифференциального уравнения Фурье — Кирхгофа для стационарного двухмерного поля. Для отличия движущегося слоя от неподвижного в [Л.

118] принимается, что коэффициент пропорциональности не равен коэффициенту эффективной теплопроводности неподвижного слоя и аналогичен коэффициенту теплопроводности при турбулентном теплообмене. Однако в критериальных уравнениях Ми сл и Ре сл выражены через эффективные характеристики неподвижного слоя.

При этом коэффициенты наружного и внутреннего трения движущегося слоя использованы в качестве аргументов неправильно, так к к они зависят от условий
 [c.349]

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле в начальный момент времени или начальные условия.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности, или краевыми условиями.
 [c.355]

Для рассматриваемых здесь одномерных задач ду—О, д11дх—0, А=сопз1, а дифференциальное уравнение Фурье записывается в виде
 [c.18]

Температурное поле, создаваемое линейным источником постоянной мощности (рис. 1.8,а X, а= onst Математическое описание состоит из дифференциального уравнения Фурье, записанного в цилиндрических координатах.
 [c.24]

Конечно-разностное представление дифференциального уравнения Фурье и граничных условий сводит решение задачи теплопроводности к расчету температур в конечном числе точек — узлов сетки (рис. 1.11). Чтобы дискретизованная задача была близка к исходной, необходимо сделать сетку достаточно частой.

Поэтому число неизвестных (т. е. значений температур в узлах) оказывается большим, и решение задачи требует использования ЭВМ. Конечно-разностную аппроксимацию уравнения теплопроводности можно получить, записывая закон сохранения энергии для контрольного объема, содержащего внутренний узел К, L (заштрихован на рис. 1.11).

 [c.31]

Поскольку Ш1дх=—д (где 9 —тепловой поток через единицу поверхности загрузки в единицу времени, а X— коэффициент теплопроводности загрузки), в преобразованном дифференциальном уравнении Фурье температура может быть заменена удельным тепловым потоком  [c.131]

Уравнение (III. 6-5) имеет вид общего уравнения баланса (III.4-1), поэтому в силу (III.4-4) оно локально эквивалентно в областях, где рё, ps, w и divh непрерывны, следующему дифференциальному уравнению (Фурье, Кирхгоф, К. Нейман)  [c.147]

Если коэффициент теплопроводности зависит от температуры тела, то дифференциальное уравнение Фурье нелинейно. Уравнение также является нелинейным если поверхность тела охлаждается через излучение. При решении задач первого типа очень удобным оказывается введение переменной Кирхгофа, позволяющей ли-неализировать уравнение.
 [c.214]

Дифференциальное уравнение Фурье — Остроградского для турбулентного течения жидкости в трубе. Турбулентный режим течения жидкости отличается от ламинарного наличием незатухаюш.

их пульсаций скорости и и температуры которые носят неупорядоченный, хаотический характер (рис. 7.3).

Если пульсации не затухают с течением времени, а средняя скорость сохраняет постоянное значение, то турбулентный поток называют стационарным в среднем.
 [c.277]

Уравнение (14.6) называется дифференциальным уравнением Фурье. Оператор Лапласа V t имеет также определенный физический смысл. Положительный или отрицательный его знак соответствует нагреванию или охлаждению тела.

Нулевое значение оператора соответствует стационарному режиму (дtlдx = 0), когда распределение температуры в теле сохраняется неизменным во времени. В этом случае в результате двойного интегрирования уравнения (14.

6) могут быть получены расчетные формулы теплопроводности, выведенные в 13.3 без учета внутренних источников теплоты.
 [c.232]

Источник: https://mash-xxl.info/info/734581/

Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — PDF Скачать Бесплатно

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАМИ Коган Е.А., Лопаницын Е.А.

РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения Одобрено методической комиссией по математическим и естественно-научным дисциплинам Москва

2 Разработано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом ВПО г. для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения на основе рабочей программы дисциплины «Математика». Рецензенты: проф., д.т.н. Ю.Г.

Григолюка Ряды Фурье и дифференциальные уравнения математической физики. Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения. ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет МАМИ».. 37 с.

Пособие предназначено для изучения разделов дисциплины «Математика», посвящённых рядам Фурье и уравнениям математической физики. Оно содержит теоретические сведения в объёме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач.

Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. Библ., илл.8. Коган Е.А., Лопаницын Е.А. Университет машиностроения,

3 3 СОДЕРЖАНИЕ Часть. Ряды Фурье.. 5 Введение. 5. Постановка основной задачи гармонического анализа и её решение.. 7.

Различные формы разложения функций в ряд Фурье Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T Разложение в ряд Фурье непериодических функций 7.. Разложение в ряд Фурье функции f, определённой на отрезке [, ] Комплексная форма ряда Фурье…6.

Обобщённый ряд Фурье. Ортонормированные системы функций Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений. 7 Часть.

Дифференциальные уравнения математической физики Классификация уравнений и постановка задач математической физики Уравнения гиперболического типа Задача о собственных колебаниях струны Вывод волнового уравнения Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения Решение однородного волнового уравнения методом разделения переменных методом Фурье…. Продольные колебания стержня Решение неоднородного волнового уравнения методом разложения по собственным функциям Задача о вынужденных колебаниях струны при отсутствии начальных возмущений Решение задачи о вынужденных колебаниях струны с учётом начальных возмущений Редукция общей неоднородной начально-краевой задачи для волнового уравнения.. 58

4 .

5 5 Часть. РЯДЫ ФУРЬЕ Введение Тригонометрические ряды Фурье представляют собой эффективный математический аппарат, который широко применяется в математике для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, в задачах интерполяции, аппроксимации, обработки сигналов и экспериментальных данных и др.

Особенно широко применяются ряды Фурье при изучении колебательных и периодических процессов и явлений. Поэтому рассмотрим, прежде всего, определение и свойства периодических функций, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Как известно, функция f, определённая на всей числовой оси, называется периодической, если существует постоянное число T> такое, что для любого, взятого из области её определения, справедливо равенство f T f. Геометрически периодическая функция характеризуется тем, что ординаты любых двух точек, абсциссы которых отличаются на величину, кратную периоду, равны между собой.

Можно указать следующие основные свойства периодических функций.. Если Т период функции f, то и T тоже её период, где любое целое число. Это следует сразу из последовательного рассмотрения равенств f f T f T f T. Следовательно, если функция f периодическая, то она имеет множество периодов. Поэтому обычно под периодом функции подразумевают наименьший из всех положительных периодов..

Если функция f имеет период Т, то функция ϕ f имеет период T/. Действительно, ϕ T f [ T ] f T f ϕ. 3. Если функция f имеет период Т, то интеграл от этой функции, Ф у р ь е Жан Батист Жозеф марта мая 83 французский математик.

6 6 взятый в пределах, отличающихся на период, не зависит от положения интервала интегрирования на числовой оси, то есть при любом T f d T f d Действительно, как известно, определённый интеграл численно равен площади под кривой f на интервале интегрирования. Но, как видно из рис., заштрихованные площади для обоих интегралов от периодической функции f равны при любом. Рис..

7 7. Постановка основной задачи гармониче ского анализа и её решение Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются так называемые гармоники.

Легко убедиться в том, что при сложении гармоник разной частоты график результирующей функции будет заметно отличаться по виду от графика каждой из составляющих.

Например, суммой синусоидальных функций разных аргументов f si t,5si t,3si 3t,si t будет периодическая функция с периодом, равным периоду основного члена этой суммы si t, график которой, как видно, существенно отличается от синусоиды см. рис.. Рис..

8 8 На практике большое значение имеет обратная задача: можно ли и при каких условиях разложить произвольную периодическую функцию f с периодом T на сумму простых гармоник разной частоты, то есть представить её в виде суммы гармонических колебаний. Эта задача и составляет предмет гармонического анализа или теории рядов Фурье.

Отметим, в дополнение к сказанному во введении, что метод разложения произвольной периодической функции на сумму простейших периодических функций оказался исключительно эффективным для решения задач, возникающих в самых разных областях естествознания и техники: в механике абсолютно твердого и деформируемого тела, в гидро- и аэромеханике, в теории колебаний, в электротехнике и радиотехнике, в акустике, при расчёте различных конструкций и инженерных сооружений и т.п. Многочисленные примеры применения гармонического анализа для решения различных прикладных задач широко освещены в учебной и научной литературе. Для решения поставленной основной задачи гармонического анализа предварительно введём понятие основной тригонометрической системы функций. Это система функций вида:, cos, si, cos, si,…, cos, si,… Все функции, её образующие, имеют общий период хотя в соответствии со свойством периодических функций cos и si имеют и меньший период /. Единица может рассматриваться, как постоянная величина, имеющая любой период, в частности,. Рассмотрим интегралы от произведения функций, образующих основную тригонометрическую систему. Все интегралы будем вычислять на отрезке [, ] длиной, равной периоду. Будем различать 3 случая. Для любых целых интегралы от произведения единицы на произвольные cos и si si cos d, cos cos cos si d. Воспользуемся далее известными формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

9 9 cosα cos β [cos α β cos α β ], siα si β [cos α β cos α β ], siα cos β [si α β si α β ].

Для любых целых и m m cos cosmd [cos m cos m ] d si m m si m m si si md [cos cos ] m m d, si cosmd 3 При m [si m si m ] d cos m m si cosmd si d, cos m m,. cos si cos d d, cos si d d.

Как видно, все интегралы от произведения функций, стоящих на разных местах в основной тригонометрической системе, равны нулю. Говорят, что функции ϕ и ϕ m,m,,, ортогональны на отрезке [, b], если при m

Вернёмся теперь к решению основной задачи гармонического анализа. Предположим, что произвольную периодическую функцию с периодом T можно представить в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда f cos b si cos b si cos b si…. то есть представить в виде суммы гармоник разной частоты. Напомним, что бесконечный функциональный ряд f f f f… f…

называется сходящимся для данного значения, если существует конечный предел s im s его частичных сумм s m f m,,…. Величина s называется суммой ряда, и для ряда, сходящегося для всех из отрезка [, b], сумма ряда определена на [, b].

При этом функциональный ряд сходится равномерно на [, b], если для любого заданного ε > существует такой, не зависящий от, номер N, что для всех > N неравенство s s ε выполняется одновременно для всех [, b].

11 Свойство равномерной сходимости означает, что при достаточно больших графики суммы ряда s и соответствующих частичных сумм s отличаются друг от друга менее чем на заданную малую величину ε. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, то есть для них допустима перестановка порядка суммирования и интегрирования [8] b b f d f d, f f.

Воспользуемся этим свойством равномерно сходящихся рядов и свойством ортогональности тригонометрических синусов и косинусов для нахождения неизвестных коэффициентов ряда.. Сначала проинтегрируем равенство. почленно на отрезке ортогональности тригонометрических синусов и косинусов [, ]: f d d cos d b si d.

В силу ортогональности тригонометрических синусов и косинусов все интегралы в правой части под знаком суммы равны нулю. Следовательно, получаем f d.. Умножим теперь почленно равенство. на cosm и проинтегрируем на промежутке [, ]. Тогда f cos md cos md cos cos md b si cosmd.

В правой части, из-за ортогональности тригонометрических функций, будут равны нулю первое слагаемое и все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла от произведения косинусов при m. Поэтому из всей суммы остаётся одно слагаемое: f cosd cos d.

, коэффициенты которого определяются по формулам.., называется рядом Фурье для функции f. Условия, при которых справедливо разложение., устанавливаются так называемыми условиями Дирихле 3. Говорят, что функция f на отрезке [, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если она на этом интервале кусочно-монотонна и ограничена см. рис.3. Рис.3.

Функция f кусочно-монотонна на отрезке [, b], если его можно разбить конечным числом точек,,, на интервалы,,,,,,b так, что на каждом из них функция монотонна, то Э й л е р Леонард 5 марта 77 8 сентября 783 швейцарский механик, физик и математик, с 77 г. по 7г. и с 766 г. до конца жизни жил и работал в России.

3 Д и р и х л е Петер Густав Лежëн 3 февраля 85 5 мая 859 французский математик.

13 3 есть либо невозрастающая, либо неубывающая. Функция f кусочно-монотонная и ограниченная на [, b], может иметь на этом отрезке только точки разрыва -го рода, то есть такие точки разрыва, для которых существуют конечные предельные значения функции при приближении её к точке разрыва c слева и справа рис.3: im f f c, im f f c.

c c Можно показать, что справедлива следующая теорема о разложимости функции в ряд Фурье: если периодическая функция f с периодом удовлетворяет условиям Дирихле, то она может быть представлена в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда Фурье f cos b si, причём сумма членов полученного ряда S равна значению функции f в тех внутренних точках интервала,, в которых функция f непрерывна. В точках разрыва функции f сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому предельных значений функции слева и справа от точки разрыва c, то есть f c f c S c,.5 а на концах интервала сумма равна f f S ±. Замечание. Условиям теоремы разложимости удовлетворяет весьма широкий класс функций. Так, для разложения функции в ряд Тейлора f f f f f……!!! требуется, чтобы функция была не только непрерывной, но и бесчисленное число раз дифференцируемой так как коэффициенты ряда Тейлора выражаются через начальные значения функции и её производных, а в ряд Фурье можно разложить функцию не только непрерывную, но и имеющую точки разрыва -го рода. Т е й л о р Брук 8 августа декабря 73 английский математик.

14 Кроме того, в степенные ряды нельзя разлагать функции, выражающиеся на разных отрезках различными формулами. Тригонометрические ряды Фурье позволяют осуществлять разложение функций, заданных разными выражениями на разных отрезках. Поэтому ряды Фурье применяются очень широко.

15 5. Р азличные формы разложения функций в ряд Фурье.. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T Если функция f является чётной, то есть f f, то её график симметричен относительно оси ординат и f d f d. Тогда формулы.. упрощаются.

Действительно, подынтегральная функция fsi является нечётной, и b как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, а коэффициент будет равен f cosd f cosd,,,… так как подынтегральная функция fcos является чётной.

Таким образом, ряд Фурье для чётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, не содержит синусов и имеет вид причём f cos,. f cosd,,,,….. Если функция f является нечётной, то есть f f, то её график симметричен относительно начала координат.

16 6 причём b f si d,,3, Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T Если f периодическая функция с периодом T где > полупериод функции есть произвольное число, удовлетворяющая условиям Дирихле, то выполняя замену переменной по формуле t/, получим функцию f t ϕ переменной t с периодом. Её можно обычным образом разложить в ряд Фурье на отрезке [, ]: f f t ϕ cost b si, где ϕ costdt f t costdt,,,…, b ϕ si tdt f t si tdt,,3,…. Возвращаясь далее к старой переменной, то есть полагая t / и учитывая, что dt d/, получим в точках дифференцируемости f cos b si,.5 где f d, f cos d,.6 b f si d. Ряд.5, коэффициенты которого определяются по формулам.6, также называется рядом Фурье для функции f с периодом T. В точках разрыва функции f сумма ряда Фурье.5 будет определяться по формуле.5. Аналогично.. и соответственно.3. получим ряд Фу-

17 7 рье для чётной функции с периодом T : f cos,.7 f cos d,,,….8 и ряд Фурье для нечётной функции с периодом T : f b si,.9 b f si d,,3, Разложение в ряд Фурье непериодических функций Пусть f непериодическая, кусочно-монотонная и ограниченная функция, заданная на конечном отрезке [, ].

Присоединим к графику заданной функции все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные на рис. они показаны пунктиром. Рис.. Тогда получим так называемое периодическое продолжение заданной функции на всю числовую ось.

Получившаяся периодическая вспомогательная функция f *, определённая на всей числовой оси, в соответствии с теоремой о разложимости может быть представлена в виде ряда Фурье.5,.6. Но для всех,, кроме точек разрыва ±, значения * вспомогательной функции совпадают с заданной: f f.

Следовательно, сумма членов ряда Фурье для вспомогательной функции во всех точках,, кроме точек разрыва, даст значения заданной функции. Поэтому разложение непериодической функции в

18 8 ряд Фурье в действительности осуществляется без привлечения вспомогательной функции непосредственно по формулам.5 и.6. Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f, заданную на отрезке [-,]. при

Источник: https://docplayer.ru/26692557-Kogan-e-a-lopanicyn-e-a-ryady-fure-i-differencialnye-uravneniya-matematicheskoy-fiziki.html

Методичка — Ряды Фурье. Уравнения Математической физики

• Распознанный текст из изображения:
• 15
• Гд
• б'у

21 —. — О(х(. пхл

1. ( В„я(Х(ПХ =. 1,
2. (1 251
3. ПРИ О ( Х ( ! ГЛ,
4. при (УЛ(Х ( ЬХ2,
5. ПРЯ Ьгя ( Х ( ',.
6. — Пц хл(.
7. ц(х( -(

( (р.ЧЬГОПХ = р.-( Е,ва

• у
• получим. чта
• Рис.
• ПРЛ Х=О У(О( = У (О1 = О,

при х=(, у(ГП вЂ” у ((Л =. О.

1. (1 2О
2. а, — ( Г(х(в„(х(ах.
3. (1. 28(
4. пхх
5. ц(х( = Г О„злп — .
6. 1.
7. 291

Ряд (1.231 по сис(еие артагаяальных Функций, «оэвыцюнты которого определюотся по Фаркуге (1.2а1, называется обобненным рядом Фурье для Функцхк Г(х(.

для упроценкя Фариул для коэну(ь(иектюв применяют, тзк наэьваемое. нормирование Функции.

снагема Фузкций е, (х(, в, (х(, , е,(х;. Оязынас Гся норякраванной нв ('а; п(, есгз

ь

Числа ((чь (х1(( = у Г льэ(х(ах называется,нормой Функции Р,;х(. йслл систеиа Функции нормлрована. то. Очевкдно, Цчу,(х((( = 1. последовательность Функций Ф,(ХГ, в,(хц .. Ф„(хц …..апреле. лвнных на.са,п(. является артонариироввниой ва этом. интервале, осли всв Функции нормиравакы н взаимна ортогональном на (а.п(.

для ортогориирсвакнай систеиы Функ(В(и каэййхцкенты абобл(аннага ряда Фурье равны

1.т.применение рядов Фурье

• к интегрнровамию диФФеренциальиых уравнении
• Раооиатрки прнмененке рядов Фузье к янтегрнрсяанмю п,лкча-
• конных лю16ярспвивльвьх уравнаний на примере краевой залачл об иэг(бе балю настоянного поперечнсга ранения, раз Гиччьм образом злкропленюэп на концах.
• Личзвеввнциальнае УРавнгнве изгиба балки макет оыть завиолно в виде

глч у(х( прогкс Галки О произвоэп нэм поперачнаи сечгнин с аза циссай х, 51, -сопя( — яэглбная жесткость балке (и козуль упругости латернала, 1, — иаиент инерции посерею ога со пг:.ия(.

1. Пусть поперечная на: рузка на разных у (асгиаХ баххх льлзка В аиде (см, рлс 1 61.
2. Гассиотрнм два варианта граничньх условии.
3. 11. Пусть:раннчвые условия имеют яид

Этн граничные условия соответатвуют балке. свободна опертой па лавам конце и яоатка заыемленнаи на нравом (си, ряс.1 п(

Решение. Раскладыааеи Функцию ц(х( в ряд Фурье па скнусам ла праиекутке (о, Ы .

Источник: https://studizba.com/hs/149-mpu/files/1780-sem/298-matematika/2076-knigi-i-metodicheskie-ukazanija/13160-metodichka-rjady-fure.-uravnenija-matema.html