Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — .

В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения — .

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.

  • Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
  • Решение. Интегрируем обе части уравнения:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Оба интеграла — табличные. Идём к решению:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Гидролиз нитрата аммония (nh4no3), уравнения и примеры

Оценим за полчаса!

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

В таком уравнении и — функции только переменной x, а и — функции только переменной y.

Поделив члены уравнения на произведение , после сокращения получим

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.

Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и получим

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Почленно интегрируем:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.

  1. Так как , то перепишем данное уравнение в виде
  2. .
  3. Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение , получаем
  4. .
  5. Почленно интегрируем:
  6. Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,
  7. .
  8. Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:
  9. .

Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть правильные решения

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

.

Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.

  • Пусть , .
  • Тогда , .
  • Находим общее решение уравнения:
  1. Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
  2. ,
  3. удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

  • или
  • .
  • Записываем производную y в виде и получаем
  • Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
  • , которое почленно интегрируя:
  • ,
  • находим общее решение уравнения:
  • .
  • Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
  • .
  • Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
  • .

В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде и получим

  1. .
  2. Разделяем «игреки» и «иксы»:
  3. .
  4. Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:
  5. .
  6. Теперь по свойству логарифма имеем
  7. .
  8. Находим общее решение уравнения:
  • Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения
  • ,
  • удовлетворяющее условию .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на и получим

  1. или
  2. .
  3. Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
  4. которое почленно интегрируя:
  5. находим общее решение уравнения:
  6. .
  7. Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
  8. .
  9. Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
  10. .

Выводы.

В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения Бернулли Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/differential_equations2.html

Примеры уравнений с разделяющимися переменными

  • Рассмотрим примеры решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
  • 1) Проинтегрировать дифференциальное уравнение:  (1+x²)dy-2xydx=0.
  • Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, записанное в виде 
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Оставляем слагаемое с dy в левой части уравнения, с dx — переносим в правую часть:
  • (1+x²)dy = 2xydx

Разделяем переменные, то есть в левой части оставляем только dy и все, что содержит y, в правой dx и x. Для этого обе части уравнения делим на (1+x²) и на y. Получаем

  1. Интегрируем обе части уравнения:
  2.     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  3. В левой части — табличный интеграл. Интеграл в правой части можно найти, например, сделав замену t=1+x², тогда
  4. dt=(1+x²)’dx=2xdx. 
  5.     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

В примерах, где есть возможность провести потенцирование, то есть убрать логарифмы, удобно брать не С, а lnC. Именно так мы и сделаем: ln│y│=ln│t│+ln│C│. Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, то ln│y│=ln│Сt│, откуда y=Ct. Делаем обратную замену,и получаем общее решение: y=C(1+x²).

Мы делили на 1+x²   и на y при условии, что они не равны нулю. Но 1+x² не равно нулю при любых x.  А y=0 при С=0, таким образом, потери корней не произошло.

  • Ответ: y=C(1+x²).
  • 2) Найти общий интеграл уравнения
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Переменные можно разделить.
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Умножаем обе части уравнения на dx  и делим на
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Получаем:
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Теперь интегрируем 
  •     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

В левой части — табличный интеграл. Справа — делаем замену 4-x²=t, тогда dt=(4-x²)’dx=-2xdx. Получаем

  1.     Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  2. Если вместо С взять 1/2 ln│C│, можно ответ записать более компактно:
  3. Умножим обе части на 2 и применим свойство логарифма:
  4. Мы делили на

  Они не равны нулю: y²+1 — так как сумма неотрицательных чисел не равна нулю, а подкоренное выражение не равно нулю по смыслу условия. Значит, потери корней не произошло.

  • Ответ:
  • 3) a) Найти общий интеграл уравнения  (xy²+y²)dx+(x²-x²y)dy=0.
  • б) Найти частный интеграл  этого уравнения, удовлетворяющий начальному условию y(е)=1.
  • Решение.
  • а) Преобразуем левую часть уравнения: y²(x+1)dx+x²(1-y)dy=0, затем

y²(x+1)dx=-x²(1-y)dy. Делим обе части на x²y² при условии, что ни x, ни y не равны нулю. Получаем:

  1. Интегрируем уравнение:
  2. Отсюда 
  3. Так как разность логарифмов равна логарифму частного, имеем:

Это — общий интеграл уравнения. В процессе решения мы ставили условие, что произведение  x²y² не равно нулю, откуда следует, что x и y не должны быть равными нулю. Подставив x=0 и y=0 в условие:(0.0²+0²)dx+(0²-0²0)dy=0 получаем верное равенство 0=0.

Значит, x=0 и y=0 тоже являются решениями данного уравнения. Но в общий интеграл они не входят ни при каких С (нули не могут стоять под знаком логарифма и в знаменателе дроби), поэтому эти решения следует записать дополнительно к общему интегралу.

  • Ответ:
  • б) Так как y(е)=1, подставляем в полученное решение x=e, y=1 и находим С:
  • Ответ:
  • Примеры для самопроверки:
  • Показать решение
  • Ответ:
  • Ответ:
  • Ответ:

Источник: http://www.matematika.uznateshe.ru/primery-uravnenij-s-razdelyayushhimisya-peremennymi/

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Многие студенты спрашивают «Как найти решение дифференциального уравнения?» Ответ возможно неординарен, но что Вы знаете о дифференциальных уравнениях (ДУ), их типах, какие распространенные схемы вычислений ДУ? С этого нужно начинать. Сферы применения дифференциальных уравнений были в общем очерчены на предыдущем уроке.

Здесь речь пойдет об одном из самых простых (в плане вычислений) типов ДУ первого порядка среди всех возможных уравнений что Вас ждут. Начнем с базовых понятий теории которые Вы должны знать и мы будем использовать в терминологии.

Для одних это не нужно, потому что они ищут готовые ответы по дифференциальным уравнениям и думают, что таким образом решат все проблемы. Но это ошибка, потому что не знание элементарных понятий по теории ДУ сравнимо с тем, что Вы пытаетесь говорить, предварительно не изучив звуки и алфавит.

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать формулой N(х)dx+М(у)dy=0 (1) называют уравнением с разделенными переменными. Их не трудно обнаружить среди других уравнений, основной признак — множители при dx и dy являются функциями (константами), которые зависят только от х при множителе dx и у при dy.

Чтобы найти общее решение (общий интеграл) уравнения с разделенными переменными необходимо проинтегрировать уравнение (1) Int(N(x), x) + Int(M(y),y) = С, Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Для понимания дифференциальное уравнение (1) можно принимать, как условие равенства нулю полного дифференциала некоторой функции двух переменных U(x,y) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Отсюда следует что функция U(x,y)=С=const равна постоянной. Дифференциальное уравнение вида

f1(x)*g1(y)dx+f2(x)*g2(y)dy=0 (2)

называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными в симметричной форме. В уравнении (2) коэффициенты при дифференциалах dx и dy является произведениями двух функций: одна зависит только от x, а вторая — от y. В области, где g1(y), f2(x) принимают отличные от нуля значения в уравнение с разделяющимися переменными (2) сводится к уравнению с разделенными переменными Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Звучит как игра слов: разделенными, разделяющимися, однако между ними как видите есть маленькая разница, и теперь Вы ее знаете.

Рассмотрим типичные для практики задания на диф. уравнения первого порядка, которые в достаточно простой способ можно свести к уравнениям с разделенными переменными.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменнымиРешение:Имеем дифференциальное уравнение первого порядка, по теории его можно назвать уравнением с разделяющимися переменными или уравнением в дифференциалах. Для его упрощения сгруппируем слагаемые, содержащие dx, dy по разные стороны знака равенства Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Далее выделим общие множители для каждой суммы и перепишем уравнение в дифференциалах в форме

Читайте также:  Как убрать лишнюю страницу в ворде

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными После этого все, что содержит y переносим к dy, то же самое проделываем с множителями которые содержат переменную x. В результате придем к дифференциальному уравнению с разделенными переменными Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Теперь посмотрите почему данное уравнение называется уравнением с разделенными переменными? — Возле dx имеем функцию зависимую только от «икс», у dy — только от y. Проинтегрируем дифференциальное уравнениеДифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Выносим множители, чтобы при переменной в знаменателе стояли единицы. Также, чтобы в числителе получить дифференциалы знаменателя умножаем обе части на 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Это позволяет упростить вычисления интеграла ДУ (после интегрирования получить логарифмы) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Константу рекомендуем внести в логарифм, для этого записывайте всегда ее в виде C1=ln(C) Чтобы раскрыть логарифмическое уравнение экспонируем (находим экспоненту) правую и левую сторону зависимости

  • (3)

Также выделяем значение функции Конечная запись имеет двойной корень и является общим решением уравнения с разделяющимися переменными. Это не совсем хороший тон подавать ответ, лучше решение оставить в виде формулы (3), только тройку перенести в правую сторону.

Пример 2 Найти общий интеграл дифференциального уравнения Решение:Имеем уравнение в дифференциалах первого порядка.

Разделим в уравнении переменные, содержащиеся при dx, dy и перенесем их по разные стороны знака равенства С первых скобок выносим общий для двух слагаемых множитель y за скобки Далее разделим множители так, чтобы при dy получить функцию только от y, а при dx — функцию аргумента x. В результате получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными После интегрирования

получим корневую зависимость для y и арктангенс в результате вычисления интеграла по аргументу (правая сторона). Общий интеграл можем оставить в такой форме или перенести артангенс в левую часть зависимости.

Так же можем записать решение дифференциального уравнения в виде зависимости y(x) (явном виде). Для этого возведем обе части к квадрату

и перенеся сталую в правую сторону, вычислим корень квадратный Это и есть искомое решение дифференциального уравнения.

  1. Пример 3 Решить дифференциальное уравнение Решение:Данное ДУ первого порядка необходимо свести под правило решения уравнений с разделенными переменными. Для этого второе слагаемое, что со знаком минус, переносим в правую сторону от знака равенства и разделяем переменные

Проинтегрируем левую и правую сторону зависимости В результате придем к логарифмическому уравнению вида И снова обращаем Ваше внимание на то что в таком виде как правило не записывают. Целесообразно, для компактности конечного решения, постоянную вносить под логарифм, то есть в форме Взяв экспоненту от правой и левой части формулы придем к конечному виду решения дифференциального уравнения Как Вы могли убедиться примеры достаточно просты, методика вычислений ДУ з разделенными переменными легкая для изучения.

Пример 4 Решить дифференциальное уравнениеРешение: Одно из слагаемых (не содержит производной) переносим за знак равенства и записываем уравнение в дифференциалах..

Следующим шагом сводим зависимость к дифференциальному уравнению с разделенными переменными. Для заданного уравнения всего лишь перекрестным делением записываем корни в знаменатели В таком виде можем интегрировать уравнения Левая сторона содержит функцию которая при иртегрировании даст корневую зависимость, для правой стороны по формулам получим арксинус. Выполняем манипуляции с корнем, чтобы получить зависимость вида y=y(x) Решение дифференциального уравнения будет иметь вид На этом вводный урок закончен и основные выводы Вы должны сделать самостоятельно. Для закрепления темы рекомендуем самостоятельно решить несколько из следующих примеров.

Хотите верьте, а хотите — нет, но это самый простой тип дифференциальных уравнений, с которым Вам придетсяиметь дело на контрольной, экзаменах, практических занятиях, модулях. Это можно сказать важнейшая часть, поскольку сложные дифференциальные уравнения придется упрощать и сводить к уравнениям с разделенными переменными.

Схему вычислений должны заучить и знать на зубок — это один из основных методов решения сложных примеров на диф. уравнения.

Источник: https://yukhym.com/ru/reshenie-diff-uravnenij/differentsialnye-uravneniya-s-razdelennymi-peremennymi.html

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрен способ решения дифференциальных уравнений, приводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными. Дан пример подробного решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными.

Содержание

Постановка задачи ⇓Метод решения ⇓Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными ⇓

Рассмотрим дифференциальное уравнение (i)   , где f – функция, a, b, c – постоянные, b ≠ 0. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Метод решения

Делаем подстановку: u = ax + by + c Здесь y – функция от переменной x. Поэтому u – тоже функция от переменной x. Дифференцируем по x u′ = (ax + by + c)′ = a + by′ Подставляем (i) u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f(u) Или:

(ii)  

Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на a + b f(u). Если a + b f(u) ≠ 0, то Интегрируя, мы получаем общий интеграл исходного уравнения (i) в квадратурах: (iii)   .

В заключении рассмотрим случай (iv)   a + b f(u) = 0. Предположим, что это уравнение имеет n корней u = ri, a + b f(ri) = 0, i = 1, 2, … n. Поскольку функция u = ri является постоянной, то ее производная по x равна нулю.

Поэтому u = ri является решением уравнения (ii).

Однако, уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением (i) и, возможно, не все решения u = ri, выраженные через переменные x и y, удовлетворяют исходному уравнению (i).

Таким образом, решением исходного уравнения является общий интеграл (iii) и некоторые корни уравнения (iv).

Пример решения дифференциального уравнения, приводящегося к уравнению с разделяющимися переменными

  • Решить уравнение (1)  
  • Решение
  • Делаем подстановку: u = x – y Дифференцируем по x и выполняем преобразования:
  • ;

Умножаем на dx и делим на u2.

  1. Если u ≠ 0, то получаем: Интегрируем: Применяем формулу из таблицы интегралов: Вычисляем интеграл Тогда
  2. ;

, или Общее решение:

.

Теперь рассмотрим случай u = 0, или u = x – y = 0, или y = x. Поскольку y′ = (x)′ = 1, то y = x является решением исходного уравнения (1).

Ответ

; .

Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Источник: https://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/razdelyayuschiesya_peremennie_privodyaschiesya/

Примеры решения ДУ с разделенными переменными

В общем виде дифференциальные уравнения (сокращённо будем записывать как «ДУ») первого порядка имеют форму $P(x, y) + Q(x,y) cdot y’=0left(1
ight)$, здесь и дальше $P(x, y)$ и $Q(x, y)$ — некоторые многочлены.

Помня о том, что $y’= frac{dy}{dx}$ и произведя замену этого значения в уравнении $(1)$, получим, что оно приобретает форму $P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0$.

Замечание 1

Если оба члена $P$ и $Q$ зависят только от одной различной для них переменной — то речь идёт об ДУ первого порядка с так называемыми разделёнными переменными, его вид — $P(x)dx + Q(y)dy = 0 left(2
ight)$.

  • Для решения ДУ такого вида проводят отдельно интегрирование каждого члена $P(x)$ и $Q(x)$ по соответствующей им переменной. Перед этим многочлены уравнения, зависящие от разных переменных, могут разнести по разным частям уравнения:
  • $int Q(y)dy = -int P(x) dx + C left(3
    ight)$ — найдя интегралы в этом уравнении и выразив при необходимости $y$ получаем общее решение.
  • Если нужно решение в некоторой конкретной начальной точке с координатами $(x_0;y_0)$ — то тогда интегралы приобретают такой вид:

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

$int limits_{y_0}^y Q(y)dy = -int limits_{x_0}^x P(x) dx + C$, представляющий собой частное решение.

Примеры решения

Пример 1

  1. Решите пример: $cos x cdot dx – 4y cdot dy = 0$, таже найдите частное решение при $x=0; y=4$.
  2. Перенесём часть с игреком вправо:
  3. $cos x cdot dx = 4y cdot dy$;
  4. Проинтегрируем обе части, левую по $x$, правую — по $y$:
  5. $int cos x cdot dx = int 4y cdot dy$;
  6. $sin x = frac{4}{2}y^2 + C$ — такая форма уравнения называется общим интегралом.
  7. Константу $C$ можно записать только один раз, так как получающиеся постоянные при интегрировании левой и правой части по отдельности при сложении также дают некоторую константу.
  8. Выразим $y$:
  9. $y=±sqrt{frac{sin x + C}{2}}$.
  10. Теперь подставим заданные значения (поиск решения, соответствующего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши):
  11. $4=sqrt{frac{sin 0 + C}{2}}$;
  12. $4=sqrt{ frac{C}{2}}$;
  13. $16 = frac{C}{2}$
  14. $C=32$.
  15. Подставим это значение в уравнение и получим:
  16. $y=±sqrt{frac{sin x + 1}{2}}$.

Пример 2

  • Найдите общее решение для уравнения $4x cdot dx — y cdot dy=0$.
  • Перенесём часть с игреком вправо и проинтегрируем:
  • $4int x cdot dx = int y cdot dy$;
  • $frac{4}{2} x^2 + C = frac{1}{2} y^2$;
  • $C+2x^2 = frac{y^2}{2}$;
  • $2C + 4x^2 = y^2$ — общий интеграл;
  • Выразим игрек:
  • $y = ± sqrt{4x^2 + 2C}$.

ДУ, которые первоначально не выглядят как уравнения с разделёнными переменными

Существуют некоторые диф. уравнения, которые первоначально не выглядят как уравнения с разделёнными переменными, обычно для этих уравнений характерно то, что $P$ и $Q$ можно представить в следующем виде: $P(x, y)=P_1(x)P_2(y)$ и $Q(x, y)=Q_1(x)Q_2(y)$.

  1. В этом случае можно применить метод разделения переменных, для этого уравнение $P_1(x)P_2(y)dx + Q_1(x)Q_2(y)dy = 0 left(4
    ight)$ делим на $P_2(y)Q_1(x)$ и получаем
  2. $frac{P_1(x)}{Q_1(x)}dx + frac{Q_2(y)}{P_2(y)}dy=0 left(5
    ight)$.
  3. Данная форма также представляет из себя обыкновенное ДУ с разделёнными переменными.
  4. Теперь от теории к практике.

Примеры решения

Пример 3

Решите уравнение $y cdot sin frac{x}{2} dx — cos frac{x}{2}dy = 0$

Это уравнение имеет форму $(4)$, а значит, мы можем разделить переменные. Здесь $P_1(x)= sin{x}{2}, P_2(y)= y$, а $Q_1(x) = cos frac{x}{2}; Q_2(y)=1$. Это значит, что для разделения нужно разделить всё уравнение на $y cdot cos frac{x}{2}$:

  • $frac{dy}{y}=frac{sin frac{x}{2}} {cos frac{x}{2}} dx$
  • Мы получили форму $(5)$, теперь проинтегрируем полученное:
  • $ ln y = — 2 ln cdot cos frac{x}{2} + ln с$;
  • $ ln y = ln frac{1}{cos frac{x}{2}} + c$;
  • Упростим, используя формулу половинного угла, напомним её, $cos^2 x frac{α}{2} = frac{1+ cos α}{2}$:
  • $ln y = lnfrac{2}{1 + cos x}+ c$
  • Избавимся от логарифма:
  • $y = frac{2e^{c}}{(1+ cos x)}$
  • Значение $2e^{c}$ является константой, поэтому заменим его просто буквой $C$:
  • $y=frac{C}{1+ cos x}$.
  • Особыми решениями в этом случае будут решения, проистекающие из равенства $y cdot cos frac{x}{2}=0$, то есть $y=0$ и $x=frac{π}{2}$.

Пример 4

  1. Решите уравнение:
  2. $(y+xy) cdot dx + (x – xy) cdot dy = 0$.
  3. Для решения данного уравнения используем метод разделения переменных, для этого в первом и втором слагаемом вынесем $y$ и $x$ за скобки:
  4. $y(1 + x) cdot dx + x(1-y) cdot dy = 0$;
  5. Здесь в качестве $P_1(x)=1+x, P_2(y) = y$, а для второго многочлена — $Q_1(x)=x; Q_2(y)=1-y$.
  6. Соответственно, разделить нужно на $P_2(y) cdot Q_1(x) = x cdot y$, принимаем во внимание, что произведение этих множителей не равно нулю:
  7. $frac{1+x}{x} dx + frac{1-y}{y} dy = 0$;
  8. Проинтегрируем:
  9. $x + |ln x| + |ln y| — y = C$;
  10. или $ln |xy|+ x – y = C$ — общее решение (интеграл) уравнения.
  11. Также для данного интеграла существуют особые решения, которые не входят в общий интеграл и вытекающие из множителя, на который мы делили уравнение для его разделения.
  12. Выглядят эти решения так: $x cdot y=0$, а решения, проистекающие из него — $x=0; y=0$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/primery_resheniya_du_s_razdelennymi_peremennymi/

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Глава 12. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решение этих уравнений.

В этой главе излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), когда неизвестные функции зависят от одной переменной.

Теория дифференциальных уравнений, когда известные функции зависят от нескольких переменных – уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

Простейшие обыкновенные дифференциальные уравнения рассматривал в своих работах еще И.Ньютон и Г.Лейбниц. Именно Г.Лейбниц ввел в 1676г. термин «дифференциальное уравнение». Задачу решения ОДУ И.Ньютон трактовал как обратную по отношению к нахождению производной для заданной функции, а вычисление неопределенного интеграла он считал частным случаем этой задачи.

Для Ньютона как создателя основ математического естествознания такой подход к восстановлению функции по зависимости между функцией и ее производными был вполне логичным, поскольку большинство известных в науке закономерностей может быть выражено в форме дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения

Опр.1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию или ее производную (или ее дифференциал).

В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид  (*), а если его удается решить относительно производной, то оно запишется так:  (1) .

Решением или интегралом уравнения (1) называется всякая дифференциальная функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. такая, после подстановки в которой в уравнение (1) оно обращается в тождество, т.е. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными  является тождеством относительно x.

Общим решением дифференциального уравнения (*) или (1) называется соотношение вида или (2), включающее одну произвольную постоянную величину и обладающее тем свойством, что решая их относительно у при любых частных значениях произвольной постоянной, получаем функции вида , являющаяся решениями уравнений (*) или (1). Уравнение (2) определяют свойство интегральных кривых (*).

Частным решением дифференциального уравнения (*) называется такое решение, которое получается из общего решения (2) при некотором частном значении произвольной постоянной. Произвольная постоянная С, входящая в (2) определяется из так называемых начальных условий.

Задача с начальными условиями ставится так:

Найти решение   уравнения (*) такое, чтобы оно принимало заданное значение  при заданном значении независимой переменной , т.е. выполнялось тождество .

С точки зрения геометрии задача с начальными условиями сводится к тому, чтобы из семейства интегральных кривых (2) выделить ту, которая проходит через точку  плоскости.

Задача Коши.Задача отыскания решения уравнения (*), удовлетворяющего начальным условиям  при  называется задачей Коши.

Возникает естественный вопрос о существовании решения задачи Коши и его единственности. Ответ на поставленные вопросы дает одна из центральных теорем в теории ОДУ – теорема Коши, которую мы сформулируем (без доказательства) далее.

Опр.2. Функция , определенная в области G удовлетворяет условию Липшица в G относительно у, если существует такое число L>0, называемое постоянной Липшица, что для любых двух точек (х,у) и (х, t) из G выполнены неравенства .

Замечание 1. Функция , имеющая в замкнутой ограниченной области G непрерывную частную производную , удовлетворяет условию Липшица.

Теорема 1. (теорема Коши)

Пусть функция  определена и непрерывна в прямоугольной замкнутой области  удовлетворяет в этой области условию Липшица относительно у. Тогда существует единственное решение  задачи Коши, т.е. решение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка  с начальным условием .

  • Это решение определено при , где  ,
  • .
Читайте также:  Как поставить ударение в ворде над буквой

Рис. 1.

Дадим геометрическую интерпретацию ограничения  на область определения функции . Так как , то интегральная кривая , проходящая через точку , должна лежать внутри заштрихованного на рис.1 участке области D и не может пересекать прямые, описываемые уравнениями  (иначе в окрестностях точки пересечения было бы ), что противоречит ОДУ (1).

Если , то казанные прямые пересекают границу области D в угле прямоугольника или по его вертикальным сторонам, а интегральная кривая гарантированно определена при , т.е. . Если же  (как изображено на рис.1), то точки пересечения прямых с границей области D лежат на горизонтальных сторонах прямоугольника и имеют абсциссы .

В этом случае интегральная кривая гарантированно определена лишь при .

Если в обыкновенном дифференциальном уравнении (ОДУ) первого порядка  правая часть  непрерывна в некоторой области D и удовлетворяет условию Липшица по у, то через каждую точку  этой области проходит, согласно теореме Коши, единственная интегральная кривая. Такую точку интегральной кривой называют обыкновенной. Точку , не являющуюся обыкновенной, называют особой точкой ОДУ . Через особую, точку вообще говоря, не проходит ни одна интегральная кривая или же проходят по крайней мере две интегральные кривые.

Нарушение условий теоремы Коши в точке  является лишь необходимым условием того, что эта точка является особой. Например, для ОДУ   точка  будет особой, поскольку через нее проходят бесконечное множество интегральных кривых , где С – произвольная постоянная. Напротив, через особую точку  ОДУ  не проходит ни одной интегральной кривой .

Особым решением ОДУ называется такое решение ОДУ (1), которое во всех своих точках не удовлетворяет свойству единственности, т.е. в окрестности каждой точки  особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Теорема Коши дает достаточные условия для того, чтобы в некоторой области не существовали особые решения. Таким образом, для существования последних необходимо, чтобы условия этой теоремы были нарушены. Если, например,  непрерывна в некоторой области, то особые решения могут проходить только через те точки, в которых не выполнено условие Липшица.

Пусть задано уравнение , определяющее на плоскости некоторое семейство кривых, зависящих от параметра С. Если составить систему двух уравнений и , то, исключая из этой системы параметр С, получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение заданного семейства кривых.

Пример 1. Рассмотрим ОДУ . Интегрируем его, находим общее решение  (рис.2). Кроме того, это ОДУ имеет особое решение , проходящее через точки, где не выполнено условие Липшица (см. рис.2).

Действительно, если бы условие Липшица было выполнено для кривой части   этого ОДУ, то при  было бы справедливо неравенство , где L – постоянная Липшица, но при  и  левая часть этого неравенства стремится к бесконечности.

Рис. 2.

Пример 2. Найти дифференциальное уравнение семейства окружностей .

Имеем систему уравнений

Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим  и, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем , т.е. . Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Далее рассматриваются специальные виды ОДУ первого порядка, решения которых удается найти в квадратурах. Предполагается, что обсуждаемые ОДУ удовлетворяют условиям теоремы Коши.

  1. Если общее решение (общий интеграл) представлено в виде квадратур от элементарных функций, входящих в состав дифференциального уравнения, то говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах.
  2. Выясняя вопрос об интегрируемости данного дифференциального уравнения в квадратурах, нужно рассмотреть все формы записи этого уравнения, принимая за искомую функцию как у, так и х.
  3. В случае, когда в точке  правая часть уравнения  обращается в бесконечность, рассматривают перевернутое уравнение   и ищут интегральную кривую, проходящую через эту точку, в виде .

Вообще решение задачи Коши для уравнения в любой из форм его записи ищут в том виде, в каком это оказывается наиболее удобно, т.е. в виде , ,  или в параметрической форме .

В следующих параграфах рассматриваются уравнения, интегрируемые в элементарных функциях или квадратурах. При этом мы ограничиваемся в большинстве случаев формальным интегрированием, в частности, не всегда указываем область задания общего решения.

  • Если данное уравнение не интегрируется в квадратурах или выполнение квадратур затруднительно, решение задачи Коши обычно находят методом последовательных приближений или при помощи степенных рядов.
  • Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
  • Если в дифференциальное уравнение первого порядка  производная  входит в первой степени, то после решения его относительно   получаем уравнение вида .

Так как , то уравнение может быть переписано так . В частном случае, когда каждая из функций  и  является произведением двух функций, одна из которых – функция только х, а вторая только у, т.е.   (3).

Уравнение (3) называют уравнением с разделяющими переменными.

Разделение переменных производится делением обеих частей (3) на произведение , в котором  — функция только от у, являющаяся множителем при dx, а  — функция только от х, являющаяся множителем при dy.

  1. После деления на это произведение уравнение (3) примет вид    (4), а его общий интеграл запишется так   (5).
  2. Особые решения с разделяющимися переменными.
  3. Уравнение (5) может быть переписано так
  4. Поэтому, кроме найденного ранее общего интеграла (5) уравнения (3) ему могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения .
  5. Если эти решения не входят в общий интеграл, то они и будут особыми решениями уравнения (3).

Особое решение.Решение дифференциального уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной, включая ±  называется его особым решением.

  • При решении дифференциального уравнения надо стремиться к тому, чтобы наряду с определением общего решения были найдены также и особые.
  • Замечание 2. С помощью подстановки  к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида  (•),
  •      =>
  • Уравнение (•) примет вид: , ,    или .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение.

Разделим обе части на .

   =>     берем интегралы обеих частей    => . В нашей задаче  является особым решением (оно не может быть получено из общего интеграла ни при одном частном значении произвольной постоянной С).

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 540;

Источник: https://studopedia.net/1_1765_differentsialnie-uravneniya-s-razdelyayushchimisya-peremennimi.html

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: примеры

В целом ряде обыкновенных ДУ 1-го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения.

Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f(y)dy=g(x)dx. Разделить переменные в ОДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx можно путем проведения преобразований.

Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.

В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.

Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx

Определение 1

Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.

Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.

Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)=0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.

Пример 1

  • Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.
  • Решение
  • Проинтегрируем обе части равенства: 
  • ∫y23dy=∫sin xdx

Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.

Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:

∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2 где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.

  1. Получаем: 
  2. 35y53+C1⇒y=-53cosx+C35, где C=53(C2-C1)
  3. Общим решением данного ДУ является функция y=-53cosx+C35
  4. Ответ:
  5. Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=-53cosx+C35

Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=0.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx

y'=dydx в тех случаях, когда у является функцией аргумента х.

В ДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y'=f2(y)·g2(x)dx мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx.

Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу.

В качестве проверки можно использовать условие, по которому f2(y) и g1(x) не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования.

Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.

Пример 2

  • Найти все решения дифференциального уравнения y'=y·(x2+ex).
  • Решение
  • Мы можем разделить х и у, следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.
  • y'=y·(x2+ex)⇔dydx=y·(x2+ex)⇔dyy=(x2+ex)dx при y≠0

При у=0 исходное уравнение обращается в тождество: 0'=0·(x2+ex)⇔0≡0. Это позволят нам утверждать, что у=0 является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.

Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными dyy=(x2+ex)dx:
∫dyy=∫(x2+ex)dx∫dyy=lny+C1∫(x2+ex)dx=x33+ex+C2⇒lny+C1=x33+ex+C2⇒lny=x33+ex+C

Проводя преобразование, мы выполнили замену C2-C1 на С. Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции lny=x33+ex+C. Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:

lny=x33+ex+C⇔elny=ex33+ex+C⇔y=ex33+ex+C

Ответ: y=ex33+ex+C, y=0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=f(ax+by), a≠0, b ≠ 0

  1. Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ 1-го порядка y'=f(ax+by), a≠0, b≠0, к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную z=ax+by, где zпредставляет собой функцию аргумента x.

  2. Получаем:
  3. z=ax+by⇔y=1b(z-ax)⇒y'=1b(z'-a)f(ax+by)=f(z)
  4. Проводим подстановку и необходимые преобразования:
  5. y'=f(ax+by)⇔1b(z'-a)=f(z)⇔z'=bf(z)+a⇔dzbf(z)+a=dx, bf(z)+a≠0

Пример 3

  • Найдите общее решение дифференциального уравнения y'=1ln(2x+y)-2 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = e.
  • Решение
  • Введем переменную z=2x+y, получаем:
  • y=z-2x⇒y'=z'-2ln(2x+y)=ln z
  • Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:
  • y'=1ln(2x+y)-2⇔z'-2=1ln z-2⇔dzdx=1ln z
  • Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:
  • dzdz=1ln z⇔ln zdz=dx⇔∫ln zdz=∫dx

Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.

  1. ∫ln zdz=u=ln z, dv=dzdu=dzz, v=z=z·ln z-∫zdzz==z·ln z-z+C1=z·(ln z-1)+C1∫dx=x+C2
  2. Мы можем утверждать, что z·(ln z-1)+C1=x+C2. Теперь, если мы примем, что C=C2-C1 и проведем обратную замену z=2x+y, то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции: 
  3. (2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x+C

Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию y(0)=e. Проведем подстановку x=0 и y(0)=e в общее решение ДУ и найдем значение константы С.

  • (2·0+e)·(ln(2·0+e)-1)=0+Ce·(ln e-1)=CC=0
  • Получаем частное решение:
  • (2x+y)·(ln(2x+y)-1)=x
  • Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента х, при которых исходное ДУ имеет смысл.
  • В нашем случае ДУ имеет смысл при ln(2x+y)≠0,2x+y>0

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=fxy или y'=fyx

  1. Мы можем свести ДУ вида y'=fxy или y'=fyx к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены z=xy или z=yx, где – функция аргумента x.

  2. Если z=xy, то y=xz и по правилу дифференцирования дроби:
  3. y'=xy'=x'·z-x·z'z2=z-x·z'z2
  4. В этом случае уравнения примут вид z-x·z'z2=f(z) или z-x·z'z2=f1z

Если принять z=yx, то y=x⋅z и по правилу производной произведения y'=(xz)'=x'z+xz'=z+xz'. В этом случае уравнения сведутся к z+xz'=f1z или z+xz'=f(z).

Пример 4

  • Решите дифференциальное уравнение y'=1eyx-yx+yx
  • Решение
  • Примем z=yx, тогда y=xz⇒y'=z+xz'. Подставим в исходное уравнение:
  • y'=1eyx-yx+yx⇔z+xz'=1ez-z+z⇔x·dzdx=1ez-z⇔(ez-z)dz=dxx
  • Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:
  • ∫(ez-z)dz=∫dxxez-z22+C1=lnx+C2ez-z22=lnx+C, C=C2-C1
  • Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:
  • eyx-12·y2x2=lnx+C

А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:

y'=a0yn+a1yn-1x+a2yn-2×2+…+anxnb0yn+b1yn-1x+b2yn-2×2+…+bnxn

Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на yn или xn, мы можем привести исходное ДУ в виду y'=fxy или y'=fyx

Пример 5

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения y'=y2-x22xy
  2. Решение
  3. В этом уравнении х и у отличны от 0. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на x2:
  4. y'=y2-x22xy⇒y'=y2x2-12yx
  5. Если мы введем новую переменную z=yx, то получим y=xz⇒y'=z+xz'.
  6. Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:
  7. y'=y2x2-12yx⇔z'x+z=z2-12z⇔z'x=z2-12z-z⇔z'x=z2-1-2z22z⇔dzdxx=-z2+12z⇔2zdzz2+1=-dxx
  8. Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:
  9. ∫2zdzz2+1=-∫dxx∫2zdzz2+1=∫d(z2+1)z2+1=lnz2+1+C1-∫dxx=-lnx+C2⇒lnz2+1+C1=-lnx+C2
  10. Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем -lnC=C2-C1 и применим свойства логарифма:
  11. lnz2+1=-lnx+C2-C1⇔lnz2+1=-lnx-lnC⇔lnz2+1=-lnCx⇔lnz2+1=lnCx-1⇔elnz2+1=eln1Cx⇔z2+1=1Cx⇔z±1Cx-1
  12. Теперь выполним обратную замену y=x⋅z и запишем общее решение исходного ДУ:
  13. y=±x·1Cx-1

В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену z=xy Рассмотрим этот вариант более подробно.

  • Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на y2:
  • y'=y2-x22xy⇔y'=1-x2y22xy
  • Пусть z=xy
  • Тогда y'=1-x2y22xy⇔z-z'xz2=1-z22z
  • Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:
  • y'=1-x2y22xy⇔z-z'xz2=1-z22z
  • Разделив переменные, мы получаем равенство dzz(z2+1)=dx2x, которое можем проинтегрировать: 
  • ∫dzz(z2+1)=∫dx2x
  • Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла ∫dzz(z2+1) на простейшие дроби, то получим:
  • ∫1z-zz2+1dz
  • Выполним интегрирование простейших дробей:
  • ∫1z-zz2+1dz=∫zdzz2+1=∫dtz-12∫d(z2+1)z2+1==lnz-12lnz2+1+C1=lnzz2+1+C1
  • Теперь найдем интеграл ∫dx2x:
  • ∫dx2x=12lnx+C2=lnx+C2
  • В итоге получаем lnzz2+1+C1=lnx+C2 или lnzz2+1=lnC·x, где lnC=C2-C1.
  • Выполним обратную замену z=xy и необходимые преобразования, получим:
  • y=±x·1Cx-1

Вариант решения, при котором мы выполняли замену z=xy, оказался более трудоемким, чем в случае замены z=yx. Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида y'=fxy или y'=fyx. Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены z=xy ввести переменную z=yx. На результат это никак не повлияет.

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R

Дифференциальные уравнения y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2 можно свести к уравнениям y'=fxy или y'=fyx, следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x0 , y0) — решение системы двух линейных однородных уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 и вводятся новые переменные u=x-x0v=y-y0. После такой замены уравнение примет вид dvdu=a1u+b1va2u+b2v.

Пример 6

  1. Найти общее решение дифференциального уравнения y'=x+2y-3x-1.
  2. Решение
  3. Составляем и решаем систему линейных уравнений:
  4. x+2y-3=0x-1=0⇔x=1y=1
  5. Делаем замену переменных:
  6. u=x-1v=y-1⇔x=u+1y=v+1⇒dx=dudy=dv

После подстановки в исходное уравнение получаем dydx=x+2y-3x-1⇔dvdu=u+2vu. После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем dvdu=1+2vu.

  • Вводим новую переменную z=vu⇒v=z·y⇒dvdu=dzdu·u+z, тогда
  • dvdu=1+2vu⇔dzdu·u+z=1+2z⇔dz1+z=duu⇒∫dz1+z=∫duu⇔ln1+z+C1=lnu+C2⇒ln1+z=lnu+lnC, lnC=C2-C1ln1+z=lnC·u1+z=C·u⇔z=C·u-1⇔vu=C·u-1⇔v=u·(C·u-1)
  • Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену u=x-1v=y-1:
    v=u·(C·u-1)⇔y-1=(x-1)·(C·(x-1)-1)⇔y=Cx2-(2C+1)·x+C+2
  • Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/differentsialnye-uravnenija-s-razdeljajuschimisja/

Ссылка на основную публикацию