Уравнения максвелла в интегральной форме, с примерами

Сохрани ссылку в одной из сетей:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Лекция 14

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла для электромагнитных полей в интегральной форме. Закон неразрывности заряда.

  1. Открытое Фарадеем явление электромагнитной индукции поставило вопрос о природе ЭДС в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле.

    1. Максвелл предложил гипотезу, в соответствии с которой всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

    2. Теория Максвелла:

      1. Последовательная теория единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов.

      2. Решает основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определяются характеристики их электрического и магнитного полей.

      3. Является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского-Гаусса, закона полного тока, закона электромагнитной индукции.

      4. Феноменологическая – в ней не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, происходящих в среде в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость (известны из опыта).

      5. Макроскопическая – в ней изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул.

      6. Является теорией близкодействия – электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света

    3. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул.

  2. Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид

Читайте также:  Формула скорости химической реакции, с примерами

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

    1. Из выражения для магнитного потока следует

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Интеграл в правой части является функцией только от времени.

    1. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

    2. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

    3. По теореме Стокса в векторном анализе

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

где ротор вектора Е выражается определителем

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула этилена в химии

Оценим за полчаса!

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

  1. Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.

    1. Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

    2. Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

    3. Током смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность S называется физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения сквозь эту поверхность

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

  • с плотностью тока смещения
  • где D – вектор электрического смещения.
    1. Токи смещения проходят по тем участкам цепи переменного тока, где отсутствуют проводники (например, между обкладок конденсатора).

    2. В диэлектрике вектор электрического смещения равен

  1. где Р – вектор поляризованности.
  2. Тогда плотность тока смещения

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

где – плотность тока смещения в вакууме, а – плотность тока поляризации (смещение зарядов в молекулах неполярных диэлектриков или поворот диполей полярных диэлектриков).

    1. Токи смещения не сопровождаются выделением теплоты.

    2. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

а полный ток

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

вследствие чего в дифференциальном виде второе уравнение Максвелла имеет вид

  1. Для областей поля, где нет макротоков

  • где знак минус в первом уравнении Максвелла означает, что вектора Н и dD/dt соответствуют правовинтовой системе, а вектора Е и dB/dt – левовинтовой.
  1. Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой обобщения теоремы Остроградского-Гаусса для электрического и магнитного полей

    1. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

  1. где величина свободных зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью S выражается через объемную плотность заряда
    1. По теореме Гаусса из векторного анализа

  • где дивергенция вектора определяется выражением
    1. В дифференциальной форме третье и четвертое уравнения Максвелла имеют вид

где – объемная плотность свободных зарядов в рассматриваемой точке поля.

  1. Полная система уравнений Максвелла включает четыре уравнения

1. 2.

3. 4.

    1. Из первых двух уравнений следует, что переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, образуя единое электромагнитное поле. Разные знаки в правых частях первых двух уравнений обеспечивают устойчивость электромагнитного поля.

    2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Если же существуют поверхности разрыва (где свойства среды меняются скачком), то более общей является система интегральных уравнений.

    3. Для стационарных электрического и магнитного полей

  1. и, следовательно, эти поля существуют независимо друг от друга и описываются соответственно уравнениями электростатики
  2. и магнитостатики
    1. Систему уравнений Максвелла необходимо дополнить «материальными уравнениями«, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды

  • а также граничными условиями
  • где σ – поверхностная плотность свободных зарядов, а – вектор линейной плотности поверхностного тока проводимости.
  1. Документ

    Введение. Принято считать, что токи смещения входят в правую часть уравнений Максвелла [1] совершенно равноправно с токами переноса. Однако «до настоящего времени эти уравнения через токи смещения никто еще не решал, так как решения

  2. Решение

    В настоящее время в ЦНИИ проводятся разработки по изучению солитонных полей, солитонных каналов связи, а так же изучается воздействие на третий глаз человека излучений от соответствующих генераторов.

  3. Документ

    Специальная теория относительности (СТО) покоится на двух китах: оптике и механике, и прошла свое развитие от Галилея до Эйнштейна в механике и от Гюйгенса и Максвелла до Эйнштейна в теории света и электродинамике.

  4. Реферат

    Джеймс Клерк Максвелл родился 13 июня 1831г. в Эдинбурге, в семье юриста — обладателя поместья в Шотландии. В мальчике рано проявились любовь к технике и стремление постичь окружающий мир.

  5. Документ

    В статье предлагается альтернативный подход к решению проблемы единого поля электромагнетизма и гравитации в рамках классической теории Максвелла, вместо общей теории относи– тельности Эйнштейна.

Источник: https://refdb.ru/look/2292793.html

Уравнения Максвелла: дифференциальные формы закона Гаусса для электро и магнитных полей, закона Ампера и закона Фарадея

В статье мы, используя теорему Гаусса-Остроградского и теорему Стокса приведем четыре уравнения Максвелла к дифференциальной форме. В конце статьи вы сможете посмотреть видео-лекцию для закрепления информации.

Четыре фундаментальных уравнения электромагнетизма сформулированы Джеймсом Клерком Максвеллом. Они описывают свойства электрического и магнитного полей и отношения между этими полями. Из уравнений Максвелла можно вывести уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме со скоростью света

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Первое уравнение Максвелла, дифференциальной формы Фарадея

Закон Фарадея — интегральная форма:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) в левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

 Мы можем оставить правую сторону в законе Фарадея в виде:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Теперь мы можем сравнить оба поверхностных интеграла:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Итак, мы получаем закон Фарадея — дифференциальную форму:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Второе уравнение Максвелла, дифференциальной формы обобщенного закона Ампера

Обобщенный закон Ампера — интегральная форма:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

На основании теоремы Стокса мы меняем линейный интеграл (циркуляцию) с левой части уравнения на поверхностный интеграл:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Мы можем представить правую часть в обобщенном законе Ампера как поверхностный интеграл:

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

С учетом того, что прямой ток I можно выразить плотностью тока j :

записываем правую сторону как один поверхностный интеграл:

Теперь мы сравним оба поверхностных интеграла друг с другом:

Чтобы это уравнение было истинным для каждой поверхности A, независимо от ее размера и формы, подфункции с обеих сторон уравнения должны быть равны.

Таким образом, мы получаем обобщенный закон Ампера — дифференциальную форму :

Третье уравнение Максвелла, дифференциальной формы закона Гаусса для электрического поля

Закон Гаусса для электрического поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Нагрузка Q также представлена ​​как интеграл объема от плотности заряда ρ :

Из равенства обоих интегралов объема:

получаем закон Гаусса для электрического поля — дифференциальную форму:

Четвертое уравнение Максвелла,дифференциальная форма закона Гаусса для магнитного поля

Закон Гаусса для магнитного поля — интегральная форма:

Основываясь на теореме Гаусса — Остроградского, мы меняем поверхностный интеграл в левой части уравнения на интеграл объема:

Поскольку на основе закона Гаусса для магнитного поля оба этих интеграла равны нулю, то подфункции также равны нулю, поэтому мы сразу получаем закон Гаусса для магнитного поля — дифференциальную форму:

Финальный вывод уравнений Максвелла

Видео-лекция

В данном видео подробно разберем уравнения Максвелла.

Источник: https://meanders.ru/uravnenija-maksvella.shtml

Граничные условия. Уравнения Максвелла в интегральной форме

4.
Граничные условия.
Уравнения Максвелла в интегральной форме. Граничные
условия.

4.1.
Уравнения Максвелла для материальных сплошных сред в интегральной форме. Граничные
условия.
Дифференциальные системы
уравнений Максвелла для материальных сплошных средв четырех,
приведенных выше формах, эквивалентны. Применимы они лишь для описания полей в
областях, где нет разрывов (скачков) соответствующих функций.

На поверхностях
разрыва функций происходит обращение в бесконечность производных. Необходимо
иметь граничные условия (соотношения на разрыве) для «сшивания» полей по разные
стороны от поверхности разрыва. Такая ситуация возникает, в частности на
фронтах ударных волн по причине проявления нелинейности.

В линейных задачах
разрывы полей возникают на поверхностях (контактные поверхности),
разделяющих среды с различными свойствами. Конечно, такая трудность возникает
из-за чрезмерной идеализации в постановке задачи. В линейной ситуации поля
будут изменяться непрерывно, если заменить границу раздела сред неоднородной
переходной областью.

Однако это приводит к большому усложнению решения задачи.
По этой причине часто используется более «грубая» идеализация резкой границы
раздела сред. Боле первичными по отношению к дифференциальным уравнениям
Максвелла являются уравнения Максвелла в интегральной форме. Переход от
дифференциальных уравнений к уравнениям в интегральной форме неоднозначен.

Читайте также:  Полимеры, теория и примеры реакций

«Наиболее первичными», являются уравнения Максвелла в интегральной форме в виде
законов сохранения. По сути, это первичные постулаты электродинамики сплошных
сред (в рамках теории сплошной среды они ни откуда не выводятся). Из этих
уравнений и получаются граничные условия.

Отметим, что предельный переход от
неоднородной переходной области к резкой границе раздела сред, дает те же граничные
условия, что и уравнения в интегральной форме в виде законов сохранения. Это
является дополнительным аргументом правильности граничных условий, получаемых
из уравнений в интегральной форме.

            Начнем
с вывода граничного условия для вектора магнитной индукции . Для этого используем интегральную форму

Связь
уравнения (4.1) с известным нам дифференциальным уравнением

                                                         (4.2)

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Это
условие непрерывности нормальной к границе раздела сред компоненте вектора
магнитной индукции.

            Получим
теперь граничное условие для вектора электрической индукции

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

входящий
в третью форму уравнений Максвелла            . От дифференциального уравнения

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

можно
прейти к первичной интегральной форме следующим способом: проинтегрируем (4.3)
по объему

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

С
учетом формулы Гаусса-Остроградского будем иметь первичную интегральную форму

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

где
 — полный свободный заряд внутри объема , ограниченного площадками .

Не
следует воспринимать приведенные рассуждения, как вывод уравнения (4.4) из
(4.3). На самом деле первичным является уравнение (4.4). Более того: уравнение
(4.4) это постулат.

Используем в качестве  поверхность
цилиндра, изображенного на Рис.4.1. Действуя аналогично тому, как это делалось
при выводе граничного условия для вектора , получим
соотношение

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

  • где
     — плотность свободного поверхностного
    заряда на границе раздела.
  •             При
    получении граничных условий для векторов  и  будем исходить из
  • уравнений

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

                                                                                           (4.6)

в
соответствующей им первичной интегральной форме. С этой целью выберем
прямоугольную площадку , перпендикулярную границе
раздела и ограниченную контуром  (Рис.4.2). Направления  ортогональны друг другу.  — нормаль к границе раздела.

Вектор — лежит в плоскости границы раздела и
вектор  ортогонален площадке . Интегрирование по площади  компонент уравнений (4.5), (4.6) по
направлению  и использование формулы Стокса, позволяет
перейти к первичной интегральной форме уравнений (4.

5), (4.6)

                                                ,                                   (4.7)

                                                .                       (4.8)

  1. Выбирая
    величину  достаточно малой, и устремляя вертикальный
    размер  к нулю (при этом площадь  стремится к нулю), будем иметь
    представления
  2.                                                 ,      ,
  3.                         ,            ,
  4.                         ,   ,   ,   ,

получим
из (4.7), (4.8) два граничные условия

                                                ,                                   (4.9)

                                    .                     (4.10)

Здесь
-плотность поверхностного тока проводимости
в направлении . Так как выбор  (и соответственно выбор направления
вектора ) произволен, граничное условие (4.9) можно
записать в виде

                                                ,

где- произвольное касательное к границе
раздела сред направление. Аналогичные рассуждения, позволяют представить
граничное условие (4.10) в векторной форме

                                                ,

где
— вектор плотности поверхностного тока
проводимости.

Источник: https://vunivere.ru/work21892

Уравнения Максвелла

  • Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных[28]) линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для 12 компонент четырёх векторных функций (Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами):
  • Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются векторные величины, курсивом — скалярные.
  • Введённые обозначения:

Приведённые выше уравнения Максвелла не составляют ещё полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины , , ,  и  и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Интегральная форма

При помощи формул Остроградского — Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Название СГС СИ Примерное словесное выражение Закон Гаусса

Закон Гаусса для магнитного поля

Закон индукции Фарадея

Теорема о циркуляции магнитного поля

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами Поток электрической индукции через замкнутую поверхность  пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме , который окружает поверхность .
Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).
Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность , взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .
Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре , который является границей поверхности .

Поток электрического поля через замкнутую поверхность

Введённые обозначения:

  •  — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём , и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур ).
  •  — электрический заряд, заключённый в объёме , ограниченном поверхностью  (в единицах СИ — Кл);
  •  — электрический ток, проходящий через поверхность  (в единицах СИ — А).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади  направлен из объёма наружу. Ориентация  при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением правого винта, «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по .

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее электродвижущей силы). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции  являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

Источник: http://msk.edu.ua/ivk/Fizika/AK/Z90/ur_maxvella.htm

Материальные уравнения — Джеймс Максвелл. Уравнения электромагнитного поля

Материальные уравнения устанавливают связь между  и . При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин[35].

СГССИ

где введены безразмерные константы:  — диэлектрическая восприимчивость и  — магнитная восприимчивость вещества (в системе единиц СИ эти константы в  раз больше, чем в гауссовой системе СГС). Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

СГССИ
Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

где  — относительная диэлектрическая проницаемость,  — относительная магнитная проницаемость. Размерные величины  (в единицах СИ — Ф/м) и  (в единицах СИ — Гн/м), возникающие в системе СИ, называются абсолютная диэлектрическая проницаемость и абсолютная магнитная проницаемость соответственно.

  • В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая законом Ома:

где  — удельная проводимость среды (в единицах СИ — Ом−1•м−1).

  • Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между  и может быть нелинейной. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между  и  наблюдается в средах с пространственной или временной дисперсиями. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить ).

Источник: https://www.sites.google.com/site/uravneniaelektromagnitnogopola/uravnenia-maksvella-v-srede/materialnye-uravnenia

Система уравнений Максвелла в интегральной форме

В основе теории Максвелла, позволившей с единых позиций объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, лежат рассмотренные уже ранее четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным [его циркуляция определяется (77.3) и равна нулю], так и вихревым [его циркуляция

определяется (77.2) и равна -|^?с15]. Поэтому

циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электричеасие заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н [см. (78.8)]:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D |см. (20.3)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного,

где Q — алгебраическая сумма заключенных внутри поверхности свободных электрических зарядов.

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, то формула (79.3) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В [см. (60.5)], которая, как предположил Максвелл, справедлива для любого магнитного поля:

Таким образом, система уравнений Максвелла в интегральной форме включает четыре уравнения: (79.1), (79.2), (79.4) и (79.5):

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнето- электрические и неферромагнитные среды):

где е0 и р0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; ? и р — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; у — удельная проводимость вещества.

Физический смысл уравнений Максвелла: источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

  • Если электрические и магнитные поля стацио-
  • ЭD Л дВ п
  • нарны, то —— = 0 и —- = 0, поэтому система урав- dt at
  • нений Максвелла в случае стационарных полей'.

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, а источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные ноля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Источник: https://bstudy.net/743539/estestvoznanie/sistema_uravneniy_maksvella_integralnoy_forme

Ссылка на основную публикацию