Диагональная матрица, формула и примеры

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Матрицы — что это?

Матрицы в математике — один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: «Матрица — это прямоугольная таблица…». Мы начнём этот экскурс несколько с другой стороны.

Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте — ни что иное, как матрицы. Такие матрицы имеют примерно следующий вид:

Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день.

Эти матрицы бывают с различным числом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строк и только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудь организации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, где может не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца — имя и телефон).

Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции, однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к тому же можно и подвинуться рассудком.

Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образом различные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

Матрицы, в которых столбцы — выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки — годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

• Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукции различными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.
• Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки — средняя себестоимость того или иного вида продукции:
• Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка, содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей) и записывается так:

В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2,   n).

Матрица называется прямоугольной, если .

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом |A|.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Например,

,

Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.

Матрица A', которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A', транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Транспонированной относительно матрицы является матрица A, то есть

(A')' = A.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 1. Найти матрицу A', транспонированную относительно матрицы

и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Правильное решение и ответ.

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Пример 2. Даны матрицы:

Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

1. Определитель матрицы B вычислим по формуле
2. Легко получаем, что
3. Следовательно, матрицы A и – неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B– особенная (вырожденная, сингулярная).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

• Пример 3. Даны матрицы
• ,
• ,
• .
• Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).
• Правильное решение и ответ.

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричные модели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими данными средствами линейной алгебры.

Так, известной матричной моделью экономики является модель «затраты-выпуск», внедрённая американским экономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственный сектор экономики разбит на n чистых отраслей.

Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасли выпускают разную продукцию.

Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведена за отчётный период, обозначается через и называется полным выпуском i-й отрасли. Выпуски удобно разместить в n-компонентную строку матрицы.

1. Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j-й отрасли для производства единицы своей продукции, обозначается и называется коэффициентом прямых затрат.
2. Коэффициенты прямых затрат , среди которых многие могут равняться нулю, удобно записать в nxn матрицу коэффициентов прямых затрат:

Матрица содержит много информации о структуре межотраслевых связей. При этом j-й столбец матрицы полностью характеризует затраты j-й отрасли для производства единицы продукции.

Пример 4. На некоторой благоустроенной исследовательской странции в Арктике действуют три отрасли производства. Первая из них — небольшая электростанция, производящая электроэнергию. Вторая — установка для производства пресной воды из снега. Третья — хлебопекарня.

Записать в матрицу коэффициентов прямых затрат данные о том, что 0,10 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы электроэнергии, 0,40 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы пресной воды, 0,30 единиц электроэнергии расходуется для производства одной единицы хлебопродуктов; 0,05 единиц пресной воды расходуется для производства одной единицы электроэнергии, 0 единиц пресной воды расходуется на производство одной единицы пресной воды, 0,20 единиц пресной воды расходуется на производство одной единицы хлебопродуктов; затраты же хлебопродуктов на производство всех видов продукции, включая хлебопродукту равны нулю.

Решение. Записываем коэффициенты затрат каждой отрасли в свою строку: электростанции — в первую, установки для производства пресной воды — во вторую, хлебопекарни — в третью. Получаем искомую матрицу:

Матрицы оказались очень востребованной структурой данных в программировании и вообще в информационных технологиях. В частности, такие объекты, как графы, в памяти компьютера часто задаются в форме матриц смежности и матриц инцидентности. Кроме того, матрицы очень удобны для формализации многих ситуаций в бизнесе и жизни вообще, задачи на которые решаются в теории игр.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Умножение матрицы на число Найти ранг матрицы: способы и примеры Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Системы линейных уравнений

Источник: https://function-x.ru/matrices.html

algebra2:ort_matrix [VF]

• Указатель — Разделы— Обозначения — Автор — О проекте
• §
• Вспомогательный раздел к разделу МАТРИЦА.
• ⊗

Страница — в разработке; начало работ — 09.10.2016, окончание — ??.??.????

матрица — это квадратная вещественная матрица , удовлетворяющая равенству:

здесь — единичная матрица того же порядка, а означает транспонирование. Иными словами, строки матрицы удовлетворяют условию

где — символ Кронекера. Если скалярное произведение строк и задается стандартным способом:

то определение ортогональной матрицы оправдано тем, что ее строки оказываются взаимно ортогональными. К тому же, они все имеют «единичную длину»: сумма квадратов элементов любой строки равна . Как следствие имеем, что любой элемент ортогональной матрицы не превышает по модулю: .

§

В литературе под ортогональной матрицей иногда понимают и матрицу с комплексными элементами, удовлетворяющую соотношению
. Тогда для матрицы из приведенного выше случая используют название вещественная ортогональная матрица.

П

Пример. Матрица

1. — ортогональная.
2. П

Пример. Единичная матрица — ортогональная. Вообще, любая диагональная матрица, элементы диагонали которой равны либо либо являются ортогональными. Ортгональными будут и матрицы, полученные из них произвольной перестановкой столбцов (или строк).

Одно из подмножеств таких матриц имеют специальное название.

П

Пример. Матрица называется матрицей перестановки если в любой ее строке и любом ее столбце в точности один элемент равен при всех остальных равных . Она тесно связана с понятием перестановки элементов.

Пусть имеются различные числа1) . Любое их упорядочивание называется перестановкой.

Если имеются две перестановки одного и того же набора чисел, записываемые в виде векторов-строк: и , то они связаны между собой посредством умножения на матрицу перестановки порядка :

Так, к примеру, если , то

Т

Теорема. Если матрица — ортогональная, то и матрица — ортогональная, т.е. у ортогональной матрицы взаимно ортогональны не только строки, но и столбцы:

Т

Теорема. Если линейный оператор в задан ортогональной матрицей, то он сохраняет скалярное произведение. Иными словами, инвариантными остаются длины векторов и углы между ними.

Доказательство. Пусть столбцы связаны соотношением при ортогональной матрице . Если

то

♦

Т

Теорема. Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Т

Теорема. Определитель ортогональной матрицы равен либо либо .

Доказательство. В равенстве переходим к определителям . ♦

=>

Для ортогональной матрицы обратная матрица всегда существует и совпадает с ей транспонированной:

• =>
• Множество ортогональных матриц одинакового порядка образует группу относительно операции умножения.
• ?

Будет ли эта группа коммутативной, т.е. абелевой?

Т

Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента ортогональной матрицы с точностью до знака совпадает с этим элементом:

1. =>
2. Для ортогональности квадратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен либо либо , и для каждого ее элемента было выполнено равенство из предыдущей теоремы.

Произвольная матрица порядка задается параметрами — своими элементами, симметричная матрица того же порядка — элементами, кососимметричная — элементами. Сколько параметров надо задать, чтобы определить ортогональную матрицу? Какова размерность подмножества ортогональных матриц во множестве всех матриц?

Для ответа на эти вопросы проанализируем условия ортогональности . Для случая ортогональной матрицы порядка эти условия перепишем в виде системы

квадратных уравнений относительно ее элементов. Можно ожидать, что какие-то элемента могут быть выбраны произвольными, а остальные определятся из полученной системы уравнений.

Возникает подозрение, что эти два типа матриц завязаны друг на друга.

Т

Теорема [Кэли]. Любая матрица с определителем равным будет ортогональной тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде произведения

где — единичная, а — некоторая кососимметричная матрица.

Доказательство. Если — кососимметричная, т.е. , то

поскольку матрицы и коммутируют. Обратные к матрицам и всегда существует поскольку характеристический полином кососимметричной матрицы не имеет вещественных корней ( кроме, возможно, ).

Обратно, если — ортогональная, т.е. , то в качестве матрицы можно взять матрицу

Докажем, что матрица кососимметричная. Имеем:

• §
• Здесь, похоже, какое-то дополнительное условие на ортогональную матрицу требуется, блокирующее вырождение матрицы …
• ♦
• =>
• Произвольная ортогональная матрица может быть представлена в виде произведения

где — единичная, — кососимметричная, а

1. — диагональная матрица, на диагонали которой стоят числа или .
2. Т
3. Теорема [Родриг]. Любая ортогональная матрица с определителем равным может быть представлена в виде

• при некоторых вещественных значениях параметров .
• Доказательство следует из теоремы Кэли при

♦

В пространстве со стандартным скалярным произведением линейное преобразование

1. с ортогональной матрицей с определителем равным определяет операцию поворота твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат .
2. Т
3. Теорема [Эйлер]. Произвольное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, закрепленной в начале координат, задается ортогональной матрицей

Доказательство. Матрицу можно представить в виде произведения

трех ортогональных матриц. Первая матрица определяет вращение вокруг оси на угол .

Матрица

является ортогональной если . Если не накладывать последнего условия, то множество подобных матриц

при

оказывается замкнутым относительно операций сложения и умножения. Это множество тесно связано со множеством гиперкомплексных чисел, известных как кватернионы.

Т

Теорема. Собственные числа ортогональной матрицы все равны по абсолютной величине (модулю). Характеристический полином

ортогональной матрицы нечетного порядка всегда имеет корнем или . Если характеристический полином не имеет корнем или же кратность этого корня — четная, то этот полином является возвратным. Если же кратность корня — нечетная, то частное

является возвратным полиномом.

Доказательство. Если

то

при означающем комплексное сопряжение. Тогда

или

Следовательно, . Если порядок матрицы нечетен, то хотя бы одно из ее собственных чисел вещественно, но тогда оно равно или .

Если является мнимым собственным числом ортогональной матрицы , то и также является ее собственным числом. Таким образом, все мнимые собственные числа ортогональной матрицы можно разбить на пары , и соответствующие линейные множители характеристического полинома перемножатся в виде

т.е. в виде возвратного полинома. Линейный полином и квадратный полином являются возвратными.

• Произведение возратных полиномов будет возвратным полиномом. ♦
• П
• Пример. Найти характеристический полином и спектр матрицы

Решение. Имеем:

т.е. действительно полином является возвратным.

Теоретически, его корни можно найти в радикалах, поскольку согласно алгоритму, изложенному ЗДЕСЬ, эта задача сводится к решению уравнения -й степени:

Но я ограничусь здесь приближенными значениями

♦

Т

Теорема [о QR-разложении]. Для любой вещественной неособенной матрицы существует вещественные ортогональная матрица и верхнетреугольная матрица , такие, что

1. §
2. Этот результат является следствием алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта столбцов матрицы .
3. §
4. Результат может быть обобщен и на случай неквадратной вещественной матрицы ранга ; матрица в QR-разложении будет иметь столбцы ортонормированными.

[1]. Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1840. V. 5, 380–440

[2]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.Наука. 1974; задача N 896.

Источник: http://pmpu.ru/vf4/algebra2/ort_matrix

Двумерный массив в Pascal, главная и побочная диагонали

6 сентября 2016

На занятии будет рассмотрен двумерный массив в Pascal и примеры работы с ним. Кроме того, предстоит знакомство с понятиями побочная диагональ матрицы в Паскаль и главная диагональ

Двумерный массив в Pascal

Матрица или двумерный массив – это прямоугольная таблица чисел (или других элементов одного типа). Каждый элемент матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца).

Исходные данные для решения многих задач можно представить в табличной форме:

Таблица результатов производственной деятельности нескольких филиалов фирмы может быть представлена так:

zavod1: array [1..4] of integer; zavod2: array [1..4] of integer; zavod3: array [1..4] of integer;

zavod1: array [1..4] of integer; zavod2: array [1..4] of integer; zavod3: array [1..4] of integer;

Или в виде двумерного массива так:

Объявление двумерного массива:

var A: array[1..3,1..4] of integer;

var A: array[1..3,1..4] of integer;

Варианты описания двумерного массива

1. Описание массива в разделе переменных:

const N = 3; M = 4; var A: array[1..N,1..M] of integer;

const N = 3; M = 4; var A: array[1..N,1..M] of integer;

2. Описание массива через раздел type:

const M=10; N=5; type matrix=array [1..M, 1..N] of integer; var A: matrix;

const M=10; N=5; type matrix=array [1..M, 1..N] of integer; var A: matrix;

Ввод двумерного массива m x n с клавиатуры:

for i:=1 to N do for j:=1 to M do begin write('A[',i,',',j,']='); read ( A[i,j] ); end;

for i:=1 to N do for j:=1 to M do begin write('A[',i,',',j,']='); read ( A[i,j] ); end;

• Заполнение случайными числами:
• 
• «Красивый» вывод элементов двумерного массива m x n:
• Следующий фрагмент программы выводит на экран значения элементов массива по строкам:
  

1 2 3 4 5

for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do write ( A[i,j]:5 ); writeln; end;

for i:=1 to N do begin for j:=1 to M do write ( A[i,j]:5 ); writeln; end;

Рассмотрим следующую задачу: Получены значения температуры воздуха за 4 дня с трех метеостанций, расположенных в разных регионах страны:

Номер станции
1-й день
2-й день
3-й день
4-й день

1	-8	-14	-19	-18
2	25	28	26	20
3	11	18	20	25

Т.е. запись показаний в двумерном массиве выглядела бы так:

t[1,1]:=-8;	t[1,2]:=-14;	t[1,3]:=-19;	t[1,4]:=-18;
t[2,1]:=25;	t[2,2]:=28;	t[2,3]:=26;	t[2,4]:=20;
t[3,1]:=11;	t[3,2]:=18;	t[3,3]:=20;	t[3,4]:=25;

Объявление двумерного массива:

var t: array [1..3, 1..4] of integer;

var t: array [1..3, 1..4] of integer;

Задание array 1: Необходимо:

1. Распечатать температуру на 2-й метеостанции за 4-й день и на 3-й метеостанции за 1-й день.
2. Распечатать показания термометров всех метеостанций за 2-й день.
3. Определить среднюю температуру на 3-й метеостанции.
4. Распечатать, в какие дни и на каких метеостанциях температура была в диапазоне 24-26 градусов тепла.

Дополните код:

Показать решение:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

var t: array [1..3, 1..4] of integer; s,i,j:integer; begin t[1,1]:=-8; t[1,2]:=-14; t[1,3]:=-19; t[1,4]:=-18; t[2,1]:=25; t[2,2]:=28; t[2,3]:=26; t[2,4]:=20; t[3,1]:=11; t[3,2]:=18; t[3,3]:=20; t[3,4]:=25; {1. Распечатать показания термометров на 2-й метеостанции за 4-й день и на 3-й метеостанции за 1-й день} writeln('1-е задание: ',t[2,4] , ' и ',t[…,…]);   {2. Показания термометров всех метеостанций за 2-й день} for i:=1 to … do writeln ('2-е задание: ',t[…,…]);   {3. Определим среднее значение температуры на 3-й метеостанции:} i:=3; s:=0; for j:=1 to 4 do s:=…; {сумматор} writeln('3-е задание: ', s/4); {распечатаем всю таблицу} for i:=1 to 3 do for j:=1 to 4 do writeln(t[i,j]); {4. Распечатаем станции и дни с температурой 24-26 гр} writeln('4-е задание: '); for i:=1 to 3 do for … … do if (…) and (…) then writeln('станция ', i, ' день ', j) end.

var t: array [1..3, 1..4] of integer; s,i,j:integer; begin t[1,1]:=-8; t[1,2]:=-14; t[1,3]:=-19; t[1,4]:=-18; t[2,1]:=25; t[2,2]:=28; t[2,3]:=26; t[2,4]:=20; t[3,1]:=11; t[3,2]:=18; t[3,3]:=20; t[3,4]:=25; {1.

Распечатать показания термометров на 2-й метеостанции за 4-й день и на 3-й метеостанции за 1-й день} writeln('1-е задание: ',t[2,4] , ' и ',t[…,…]); {2. Показания термометров всех метеостанций за 2-й день} for i:=1 to … do writeln ('2-е задание: ',t[…,…]); {3.

Определим среднее значение температуры на 3-й метеостанции:} i:=3; s:=0; for j:=1 to 4 do s:=…; {сумматор} writeln('3-е задание: ', s/4); {распечатаем всю таблицу} for i:=1 to 3 do for j:=1 to 4 do writeln(t[i,j]); {4.

Источник: https://labs-org.ru/pascal-10/

Диагональная матрица — это… Что такое Диагональная матрица?

• диагональная матрица — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] диагональная матрица Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю. Частным случаем Д.м., в которой все элементы главной диагонали, равны единице,… …   Справочник технического переводчика
• Диагональная матрица — [diagonal matrix] квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю. Частным случаем Д.м., в которой все элементы главной диагонали, равны единице, является единичная матрица …   Экономико-математический словарь
• диагональная матрица — diagonalioji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. diagonal matrix vok. Diagonalmatrix, f rus. диагональная матрица, f pranc. matrice diagonale, f …   Fizikos terminų žodynas
• Диагональная матрица —         квадратная Матрица порядка n, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю …   Большая советская энциклопедия
• ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица, у к рой все элементы, кроме, быть может, элементов главной диагонали, равны нулю. О. А. Иванова …   Математическая энциклопедия
• Блочно-диагональная матрица — [partitionned diagonal mat­rix] – квадратная матрица, которую можно разбить на подматрицы таким образом, чтобы только на ее «главной диагонали» стояли ненулевые квадратные матрицы …   Экономико-математический словарь
• блочно-диагональная матрица — Квадратная матрица, которую можно разбить на подматрицы таким образом, чтобы только на ее «главной диагонали» стояли ненулевые квадратные матрицы. [http://slovar lopatnikov.ru/] Тематики экономика EN partitionned diagonal matrix …   Справочник технического переводчика
• клеточно-диагональная матрица — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN cellwise diagonal matrix …   Справочник технического переводчика
• Блочно-диагональная матрица — Блочная (клеточная) матрица вид квадратной матрицы, каждый элемент которой является квадратной подматрицей меньшей, кратной размерности. Содержание 1 Пример записи 2 Операции с блочными матрицами 3 Виды блочных м …   Википедия
• матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… …   Справочник технического переводчика

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/113242

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная
матрица называется диагональной,
если все ее элементы, стоящие вне главной
диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные
элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие
на главной
диагонали)
могут также равняться нулю.

Пример

Определение

Скалярной называется
диагональная матрица ,
у которой все диагональные элементы
равны между собой.

Замечание. Если
нулевая матрица является квадратной,
то она также является и скалярной.

Пример

Определение

Единичной
матрицей называется
скалярная матрица порядка , диагональные
элементы которой
равны 1.

Замечание. Для
сокращения записи порядок единичной
матрицы можно не писать, тогда единичная
матрица обозначается просто .

Пример

2.10. Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную
(в частности симметричную) матрицу A можно
привести к диагональному виду
преобразованием подобия — 

A = TΛT−1

Здесь Λ =
diag(λ1,…,
λN)
— это диагональная матрица, элементами
которой являются собственные значения
матрицы A,
а T —
это матрица, составленная из соответствующих
собственных векторов матрицы A,
т.е. T =
(v1,…,vN). 

Например,

Рис.
23 Приведение к диагональному виду

Ступенчатая матрица

Определение

Ступенчатой называется
матрица, удовлетворяющая следующим
условиям:

1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;

2. если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером , то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем .

• Другое
  определение ступенчатой матрицы.
• Определение
• Ступенчатой называется
  матрица, которая содержит строк
  и у которой первые диагональных
  элементов ненулевые, а элементы, лежащие
  ниже главной диагонали и элементы
  последних строк
  равны нулю, то есть это матрица вида:

1. Определение
2. Главным
   элементом некоторой
   строки матрицы называется
   ее первый ненулевой элемент.
3. Пример
4. Задание. Найти
   главные элементы каждой строки матрицы 

Решение. Главный
элемент первой строки — это первый
ненулевой элемент этой строки, а
поэтому —
главный элемент строки под номером 1;
аналогично —
главный элемент второй строки.

• Другое
  определение ступенчатой матрицы.
• Определение
• Матрица называется ступенчатой,
  если:

1. все ее нулевые строки стоят после ненулевых;

2. в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.

1. Пример
2. Примеры
   ступенчатых матриц:
3. , , , ,
4. Примеры
   матриц, которые не являются ступенчатыми:
5. , , 
6. Пример

Задание. Выяснить,
является ли матрица ступенчатой.

Решение. Проверяем
выполнение условий из определения:

1. все строки под первой нулевой строкой матрицы (четвертая строка) являются нулевыми;

Источник: https://studfile.net/preview/4031368/page:3/

Диагональ матрицы — Diagonal matrix

В линейной алгебре , А диагональная матрица представляет собой матрицу , в которой элементы вне среды главной диагонали равны нулю. Термин обычно относится к квадратным матрицам . Пример 2-на-2 диагональной матрицы ; следующая матрица представляет собой 3-на-3 диагональная матрица: .

Матрица любого размера, или любое кратное ему, будет диагональная матрица.
[ 3 0 0 2 ] { Displaystyle { {начинают bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 2 конец {bmatrix}}}
[ 6 0 0 0 7 0 0 0 19 ] { Displaystyle { {начинают bmatrix} 6 & 0 & 0 \ 0 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 19 конец {bmatrix}}}

Фон

Как было указано выше, недиагональные элементы равны нулю. То есть, матрица D = ( д я , J ) с п столбцов и п строк является диагональной , если

∀ я , J ∈ { 1 , 2 , … , N } , я ≠ J ⟹ d я , J знак равно 0 { Displaystyle FORALL I, J в {1,2, ldots, п }, я NEQ J означает D_ {I, J} = 0}
,

Тем не менее, основные диагональные элементы являются неограниченными.

Прямоугольные диагональные матрицы

Термин диагональная матрица иногда может относиться к прямоугольной диагональной матрице , которая представляет собой т матрицу с размерностью п матрица со всеми записями не вид д я , я равен нулем. Например:

[ 1 0 0 0 4 0 0 0 — 3 0 0 0 ] { Displaystyle { {начинают bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & -3 \ 0 & 0 & 0 \ конец {bmatrix}}}
или же [ 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 — 3 0 0 ] { Displaystyle { {начинают bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -3 & 0 & 0 конец {bmatrix}}}

Симметричные диагональные матрицы

Следующая матрица является симметричной диагональной матрицей:

[ 1 0 0 0 4 0 0 0 — 2 ] { Displaystyle { {начинают bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & -2 {конец bmatrix}}}

Если записи являются действительными числами или комплексными числами , то это нормальная матрица а.

В оставшейся части этой статьи мы рассмотрим только квадратные матрицы.

Скалярная матрица

Квадратная диагональная матрица со всей ее основными диагональными элементами равны является скалярной матрицей , то есть скалярным кратного lambda ; i о единичной матрице I . Его влияние на векторе является скалярным умножением на Л . Например, 3 × 3 скалярная матрица имеет вид:

[ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ] ≡ λ я 3 { Displaystyle { BEGIN {bmatrix} Lambda & 0 & 0 \ 0 & Lambda & 0 \ 0 & 0 & Lambda конец {bmatrix}} эквив лямбда { boldsymbol {I}} _ {3}}

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть, они являются именно матрицы , которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами одного и того же размера.

Все остальные диагональные матрицы , которые не являются скаляром коммутировать только с другими диагональными матрицами , а не с какой — либо матрицы в отличие от скалярных матриц.

Интуитивно, это связано с тем , что скалярные матрицы являются единичными матрицами , умноженные с скаляров.

Для абстрактного векторного пространства V (а не конкретного векторного пространства ), или в более общем виде модуля М над кольцом R , с эндоморфизм алгебры End ( M ) (алгебра линейных операторов на М ) заменой алгебры матриц, аналоговый скалярные матрицы являются скалярным преобразованием . Формально, скалярное умножение есть линейное отображение, вызывая карту (отправить скаляр λ к соответствующему скалярному преобразованию, умножение на Л ) , про вл End ( М ) в качестве R — алгебра . Для векторных пространств, или в более общем смысле свободных модулей , для которых эндоморфизм алгебра изоморфна матричной алгебре, скалярные преобразования в точности центр эндоморфизмов алгебры, а так же обратимых преобразований являются центром общей линейной группы GL ( V ) , где они обозначены Z ( V ), следуют обычные обозначения для центра.
К N { Displaystyle K ^ {п}}
р → Конец ⁡ ( M ) , { Displaystyle Р к OperatorName {End} (M),}
M ≅ р N { Displaystyle М Cong R ^ {п}}

Матричные операции

Операции сложения матриц и умножение матриц особенно простые для симметричных диагональных матриц. Написать DIAG ( 1 , …, п ) для диагональной матрицы, диагональные элементы , начинающиеся в верхнем левом углу находятся 1 , …, н . Тогда для того, у нас есть

Diag ( 1 , …, п ) + Diag ( б 1 , …, б п ) = Diag ( 1 + б 1 , …, п + б п )

и для умножения матриц ,

Diag ( 1 , …, п ) · Diag ( б 1 , …, б п ) = Diag ( 1 б 1 , …, п б п ) .

Диагональная матрица диаг ( 1 , …, п ) является обратимым тогда и только тогда , когда элементы 1 , …, п являются все ненулевые. В этом случае мы имеем

Diag ( 1 , …, п ) -1 = Diag ( 1 -1 , …, п -1 ) .

Умножив в п матрицу с размерностью п матрицы А из влево с DIAG ( 1 , …, п ) составляет умножения I — й строки из A с помощью в I для всех I ; умножения матрицы А от права с DIAG ( 1 , …, п ) составляет умножая I — я колонка из А на В I для всех I .

матрица оператора в базисе

Как поясняется в определении коэффициентов матрицы оператора существует специальный базис, е 1 , …, е п , для которых матрица имеет диагональный вид. Следовательно, в уравнении определяющего , все коэффициенты с I ≠ J равны нулю, в результате чего только один член каждой суммы.

Выжившие диагональные элементы, , известны как собственные значения и обозначены в уравнении, которое сводит к . Полученное уравнение называется собственным значение уравнения и используется для определения характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов .

A { Displaystyle A}
A е → J знак равно Σ a я , J е → я { Displaystyle А { VEC {е}} _ {J} = сумма A_ {I, J} { VEC {е}} _ {я}}
a я , J { Displaystyle a_ {I, J}}
a я , я { Displaystyle a_ {я, я}}
λ я { Displaystyle Lambda _ {я}}
A е → я знак равно λ я е → я { Displaystyle А { VEC {е}} _ {я} = Lambda _ {я} { VEC {е}} _ {я}}

Другими словами, собственные из DIAG ( λ 1 , …, λ п ) являются λ 1 , …, λ п с соответствующими собственными векторами в е 1 , …, е п .

свойства

Определитель из DIAG ( 1 , …, п ) является произведением 1 … п .

• Adjugate диагональной матрицы снова по диагонали.
• Квадратная матрица является диагональной , если и только если она является треугольной и нормально .
• Любая квадратная диагональная матрица также является симметричной матрицей .

Симметричная диагональная матрица может быть определена как матрица , которая является одновременно прописной и нижним треугольным . Единичная матрица I п и любой квадрат нулевой матрицы диагональные. Одномерная матрица всегда диагонально.

Приложения

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простое описание работы матрицы и собственных значений / собственных векторов , приведенных выше, то , как правило , желательно , чтобы представлять данную матрицу или линейную карту , с помощью диагональной матрицы.

На самом деле, данный п матрицы с размерностью п матрицы является аналогичен диагональной матрицей ( это означает , что существует матрица X такое , что Х -1 АХ диагональна) тогда и только тогда , когда она имеет п линейно независимые собственные векторы. Такие матрицы называются диагонализируемы .

Над полем из реальных или комплексных чисел, более верно.

Кроме того, разложение по сингулярным значениям следует , что для любой матрицы А , существуют унитарные матрицы U и V таким образом, что БЛА * диагональна с положительными элементами.

теория операторов

В теории операторов , в частности, изучение ФДЭ , операторы особенно легко понять и ФДЭ легко решить , если оператор является диагональным по отношению к основанию , с которым один работает; это соответствует сепарабельному дифференциальному уравнению в частных .

Таким образом, ключевой методом для понимания операторов является изменением координат в языке операторов, интегральное преобразование -Какого изменяет базис к базису из собственных функций : что делает уравнение разъемным.

Важный пример этого является преобразование Фурье , который диагонализует постоянные операторы коэффициента дифференциации (или в более общем плане перевода инвариантных операторов), такие , как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .

Особенно легко являются операторами умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированная функция-значение функции в каждой точке соответствует диагональным элементам матрицы.

Смотрите также

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Diagonal_matrix

Математика. Матрицы. Введение

Приветствую всех. Пришло время ознакомиться с новым для нас понятием. Если быть точнее то это — матрицы. Сегодня мы разберёмся с самим словом, где оно применяется в математике и какие основные виды матриц бывают. Поехали…

Матрица — это таблица состоящая из элементов, расположение которых определяется при помощи порядкового номера столбца и строки. Элементы записанные слева направо по диагонали называются элементами «главной диагонали«.

Наоборот, справа налево, то элементы «побочной диагонали«. Элементы главной диагонали: а11, а22, …, аmn. Побочной: вы уже догадались.

Матрица как правило обозначается квадратными или круглыми скобками.

Размерность зависит от количества строк «m» и столбцов «n». Подписывается размерность снизу под матрицей в виде «(mxn)» . Считаются все элементы слева направо, сверху вниз.

Для наглядности возьмём парочку матриц и подпишем их размерность.

Знать и записывать размерность очень важно, ведь в дальнейшем нам понадобятся эти данные.

Мы забыли порассуждать для чего нам могут понадобиться такие таблицы с циферками. Далеко идти не надо, в математике используются они при решении систем линейных уравнений и в ходе линейных преобразований. Системы линейных уравнений в скором мы рассмотрим, а с линейными преобразованиями торопиться не будем, мало материала пока что узнали.

Пока мы далеко не ушли от размерностей, введём понятие «квадратной матрицы» относящееся к видам матриц.

Квадратная матрица — это матрица состоящая из одинакового количества строк и столбцов, иначе говоря их количество совпадает и выполняется равенство «m=n». Приведём пример.

Размерность (2×2), то есть m=2, n=2, «m=n», следовательно матрица квадратная.

Остальные виды матриц:

• Прямоугольная
• Нулевая
• Единичная
• Вектор (строка или столбец)
• Диагональная
• Треугольная (верхняя или нижняя)

С каждой по отдельности.

Прямоугольная

Прямоугольная матрица — это матрица в которой количество строк и столбцов не совпадает. То есть это те матрицы рассмотренные в самом начале статьи.

Прямоугольные матрицы.

Нулевая

Нулевая матрица — это матрица состоящая только из нулей и ничего более. Если присутствует хоть один не нулевой элемент то это матрица не нулевая (относится к другому виду).

Размерность при этом может быть произвольной.

Единичная

Единичная матрица — это матрица состоящая из всех единиц на главной диагонали.

Единичная матрица.

Вектор (строка или столбец)

Матрица вектор — это матрица записанная в виде одного лишь столбца или одной строки.

А — матрица строка. В — матрица столбец.

Диагональная

Диагональная матрица — это матрица, элементы которой расположены не на главной диагонали имеют нулевые значения.

Если в матрице присутствует строка или столбец из всех нулей, то мы имеем право его убрать или вычеркнуть. Таким образом мы получили из матрицы (3х3), матрицу (2х2). Вид свой она не потеряла, так и осталась диагональной.А

Треугольная (верхняя или нижняя)

Треугольная матрица — это матрица элементы которой находятся ниже или выше главной диагонали состоят из нулей.

А — верхняя треугольная, В — нижняя треугольная.Подведём итоги. Сегодня мы разобрали самые основные сведения касающиеся раздела «матрицы». В следующий раз мы попробуем выяснить какие преобразования и операции можно с ними выполнять. Оставляйте в х свои пожелания и критику. Спасибо за внимание.

Другие темы:

• Четыре основных класса функций.
• Производные по направлению.
• Аналитичность функции.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c764fc306dc8700b30ed31a/5cef752e3be90a00af76852b