Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний


alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!
  • Обратная связь
  • ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
  • Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
  • Как определить диапазон голоса — ваш вокал
  • Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
  • Целительная привычка
  • Как самому избавиться от обидчивости
  • Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
  • Тренинг уверенности в себе
  • Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»
  • Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

  1. Как научиться брать на себя ответственность
  2. Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
  3. Световозвращающие элементы на детской одежде
  4. Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
  5. Как слышать голос Бога
  6. Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
  7. Глава 3. Завет мужчины с женщиной
  8. Энергия гармонических колебаний

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Энергия гармонических колебаний
Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Энергия гармонических колебаний
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

При гармоническом колебательном движении кинетическая энергия колеблющейся материальной точки непрерывно меняется. Меняется и потенциальная энергия взаимодействия между точкой и окружающими телами, приводящего к появления квазиупругих сил.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула гидроксида кальция в химии

Оценим за полчаса!

Мы не буде интересоваться природой возникновения сил взаимодействия, главное, что она квазиупруга и нам известен коэффициент k. Как сила, так и потенциальная энергия при этом определяются положением колеблющейся точки М, т.е. ее координатой x.

Полная энергия механического движения есть сумма кинетической и потенциальной энергий.

Энергия гармонических колебаний Энергия гармонических колебаний Энергия гармонических колебаний

Уравнение для Екин принимает выражение

Энергия гармонических колебаний

Таким образом Екин меняется со временем также по гармоническому закону, но по сравнению с координатой x с удвоенной частотой. Кроме того значение Екин колеблется не около 0, а около меняясь от 0 до . Удвоение частоты Екин объясняется тем, что за один период скорость точки дважды обращается в ноль.

При вычислении потенциальной энергии квазиупругих сил условимся отсчитывать ее от положения равновесия, т.е. при x=0 и Епот=0. Тогда потенциальная энергии в точке x будет численно равна работе квазиупругой силы, совершенной при перемещении из положения равновесия в данную точку взятую с обратным знаком

  • Подставляя вместо x его значение получаем
  • Следовательно, потенциальная энергия Епот меняется частотой 2w и в тех пределах, что и Екин, но со сдвигом фазы на p.
  • Найдем теперь полную энергию Е материальной точки M, совершающей гармонические колебания с частотой w и амплитудой А

Таким образом, полная энергия гармонически колеблющейся точки есть величина постоянная и пропорциональна квадрату амплитуды А2. В процессе движения происходит переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но сумма их остается постоянной.

Когда точка проходит через положение равновесия x=0, то потенциальная энергия обращается в нуль, а кинетическая максимальной и равна полной.

Когда же точка доходит до одного из своих крайних положений x=±А, то u=0, то кинетическая энергия обращается в ноль, потенциальная максимальна и равна полной.

Затухающие колебания

В условиях, когда на тело действует только одна квазиупругая сила, оно будет совершать незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой А=const. На реально же движущиеся тела всегда будут действовать со стороны окружающей среды силы трения, препятствующие их движению.

На преодоление сопротивления среды, на трение в опорах, на создание волн, на возникновение не упругих деформаций и т.п. будет затрачиваться энергия. Вследствие этого механическая энергия колеблющегося тела будет непрерывно уменьшаться переходя в другие формы энергии и рассеиваясь в окружающую среду.

Согласно с тем что с уменьшением энергии колебаний будет уменьшаться его амплитуда и колебания станут затухающими.

Полная сила F, действующая на колеблющуюся точку будет тогда суммой квазиупругой силы Fкв.упр и силы трения Fтр. При малых скоростях движения сопротивление обычно пропорционально первой степени скорости и направлено противоположно ей т.е. Fтр=-bu, где b – коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела.

  1. Чтобы решить задачу о колебательном движении при наличии трения, вернемся к уже разработанной задаче о гармоническом колебательном движении и найдем строгое математическое ее решение.
  2. Заменяя во втором законе динамики ускорение w второй производной от смещения по времени, получим основное дифференциальное уравнение одномерного движения .
  3. При наличии только одной квазиупругой силы равной –kx это уравнение принимает вид Mx¢¢=-kx

Это и есть дифференциальное уравнение движения материальной точки массы М под действием квазиупрогой силы с коэффициентом жесткости k.

Неизвестная функция x(t) в этом выражении встречается в чистом виде и виде второй производной. Для решения этого уравнения вспомним, что функциями которые при двукратном дифференцировании превращаются сами в себя являются sin и cos. Поэтому решать будем в виде x=Acos(wt+j0) c с произвольными значениями постоянных А, j0, w. Введение j0 необходимо для объединения sin и cos в одну функцию.

  • Выполняя двукратное дифференцирование этого выражения по t и подставив x и x¢¢ в диф. Уравнение движения получаем
  • Если сократить на Аcos(wt+j0), то получаем Mw2=k или
  • Таким образом мы математически подтвердили правильность уравнения частоты собственных колебаний системы.
  • Разберем аналогичным образом затухающие колебания при наличии сил трения

F=Fк.у.+Fтр=-kx-bu=-kx-bx получаем диф. уравнение движения

Mx¢¢=-bx’-kx’

Mx¢¢+bx’+kx=0

Это диф. уравнение движения системы под действием квазиупругих сил и сил трения.

  1. Решение такого диф. уравнения ищется в виде
  2. Решение довольно трудоемкое. Можно отметить, что в результате получается система из двух уравнений
  3. Решив эти уравнения находим что
  4. Это частота собственных колебаний системы на которую действуют силы трения.

Отличительной особенностью амплитуды является то, что если раньше она была постоянной, то теперь изменяется по экспоненциальному закону А(t)=A0e-at который является затухающей функцией. Амплитуда затухающих колебаний за каждый период убывает в одно и то же количество раз. И скорость этого затухания определяется логарифмическим декрементом затухания

  • Вынужденные колебания
  • (одномассовая колебательная система)

Для получения не затухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно восполняла бы убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Подобная переменная сила называется вынуждающей Fвын, а возникшие под ее действием не затухающие колебания называются вынужденными.

Разберем простейший случай вынуждающей силы, меняющейся по закону синуса или косинуса Fвын=F0coswt, где F0 – амплитуда вынуждающей силы, т.е. ее максимальное значение. Полная сила действующая на колеблющуюся точку будет алгебраической суммой квазиупругой силы, силы трения и вынуждающей силы. Диф. уравнение движения примет вид

  1. Mx¢¢=-kx-bx¢+F0coswt
  2. Mx²+bx+kx=F0coswt
  3. Как известно из курса высшей систематики, решение этого уравнения
  4. x(t)=xсвоб(t)+xвын(t)
  5. представляет собой сумму свободных колебаний и вынуждающих колебаний.

Свободные колебания будут происходить с собственной угловой частотой и довольно быстро затухнут. Таким образом частота вынужденных колебаний должна совпадать с частотой колебаний вынуждающей силы. Амплитуда этих колебаний должна быть постоянной, т.к. постоянна амплитуда вынуждающей силы.

  • Поэтому пренебрегая собственными колебаниями системы, будем искать решение уравнения в виде: x=xвын(t)=Acos(wt+j), с неизвестными заранее амплитудой А и сдвигом фазы j — между силой и направлением движения .
  • Решив данное диф. уравнение получаем

1. ww0 j»p Движение точки противоположно направлению действия сил. Устойчивый режим работы всех виброприборов.

3. w=w0 Резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний системы при совпадении частот вынуждающей и собственной.

  1. Отрицательные и положительные проявления.
  2. Усиление слабых колебаний.
  3. Лекция 4

Источник: https://megapredmet.ru/1-48721.html

I. Механика

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

Читайте также:  Низшая степень окисления, формулы и примеры

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Энергия гармонических колебаний

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Энергия гармонических колебаний

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

Энергия гармонических колебанийЭнергия гармонических колебаний

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично.

Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия.

Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Энергия гармонических колебанийЭнергия гармонических колебаний

Если колебание описывать по закону синуса

Энергия гармонических колебанийЭнергия гармонических колебаний

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Находим производную сложной функции.

Источник: http://fizmat.by/kursy/kolebanija_volny/garmonicheskoe

Электромагнитные колебания

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Энергия гармонических колебаний

Рис. 1.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2).

Энергия гармонических колебаний

Рис. 2.

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Рис. 3.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4).

Рис. 4.

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Рис. 5.

Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6).

Рис. 6.

Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7).

Рис. 7.

Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8).

Рис. 8.

Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9).

Рис. 9.

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1. Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

  • В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:
  • Таким образом,
  • (1)
  • Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

  1. Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1):
  2. (2)
  3. Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.
  4. Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2), мы видим следующие соответствия:
  5. (3)
  6. (4)
  7. (5)
  8. (6)
  9. Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
  10. В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:
  11. B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:
  12. (7)

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если , то заряд левой пластины возрастает, и потому .

  • Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:
  • (8)
  • Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8); не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):
  • Подставляя сюда и , получим:
  • Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому
  • Перепишем это в виде:
  • (9)

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

  1. (10)
  2. Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:
  3. Мы снова пришли к формуле Томсона.
  4. Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:
  5. (11)
  6. Циклическая частота находится по формуле (10); амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

  • (12)
  • Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12), опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:
  • Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:
  • (13)
  • Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13).

А теперь посмотрите на рис. 8. Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13). Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

  1. Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.
  2. Используя формулу приведения
  3. запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Читайте также:  Степень окисления кремния (si), формула и примеры

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/elektromagnitnye-kolebaniya/

Энергия гармонических колебаний

Рассмотрим превращения энергии, которые происходят при гармонических колебаниях в консервативной системе на примере пружинного маятника.

Потенциальная энергия гармонических колебаний

  • В процессе механических колебаниях груза на пружине периодически кинетическая энергия ($E_k$) движущегося груза переходит в потенциальную энергию ($E_p$) колебательной системы, состоящей из потенциальной энергии упругодеформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести Земли. Потенциальная энергия пружины при упругой деформации равна:
  • где $left(x+x_0
    ight)$ — удлинение пружины; $k$ — жесткость пружины.
  • Потенциальную энергию груза в поле тяжести ($E_{p2}$) найдем как:
  • где $m$ — масса груза, прикрепленного к пружине.
  • Постоянную $C,$ будем выбирать так, чтобы в положении равновесия полная потенциальная энергия колебательной системы равнялась:
  • Тогда потенциальная энергия представлена выражением:

[E_{p1}=frac{k{left(x+x_0
ight)}^2}{2}left(1
ight),] [E_{p2}=-mg x+Cleft(2
ight),] [frac{kx^2_0}{2}+C=0 o C=-frac{kx^2_0}{2} left(3
ight).] [E_p=E_{p1}+E_{p2}=frac{k{left(x+x_0
ight)}^2}{2}-mg x-frac{kx^2_0}{2}=frac{kx^2}{2}left(4
ight).]

Кинетическая энергия пружинного маятника

  1. Кинетическая энергия рассматриваемой колебательной системы состоит из энергии движения груза. Используя уравнение смещения груза пружинного маятника при гармонических колебаниях, происходящих по оси X:
  2. найдем уравнение изменения кинетической энергии груза.

    Для этого найдем скорость движения груза как:

  3. В таком случае кинетическая энергия равна:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)(5) }] [v=frac{dx}{dt}=-A{omega }_0{sin left({omega }_0t+varphi
ight)left(6
ight).

}] [E_k=frac{m}{2}A^2{{omega }_0}^2{{sin}^2 left({omega }_0t+varphi
ight)left(7
ight). }]

Полная механическая энергия консервативной колебательной системы

Так как пружинный маятник мы считаем консервативной системой, то механическая энергия ее постоянна:

[E=E_k+E_p=const left(8
ight).]

Проверим справедливость выражения (8),) непосредственным суммированием правых частей выражений (4) и (7): (учитывая (5))

[E=frac{m}{2}A^2{{omega }_0}^2{{sin}^2 left({omega }_0t+varphi
ight)+ }{frac{kx^2}{2} =frac{m}{2}A^2frac{k}{m}{{sin}^2 left({omega }_0t+varphi
ight)+frac{k}{2}A^2 }{cos}^2left({omega }_0t+varphi
ight)=frac{k}{2}A^2=frac{1}{2}m{omega }^2_0A^2(9) },]

где ${{omega }_0}^2=frac{k}{m}$. Формула (9) показывает, что постоянная полная энергия колебательной системы равна потенциальной ее энергии в точках максимального отклонения от положения равновесия (при $x=pm A$). Энергия $E$ равна кинетической энергии при прохождении грузом положения равновесия, скорость груза равна:

[v_x=pm {omega }_0Aleft(10
ight).]

В ходе взаимных превращений потенциальная и кинетическая энергии гармонически колеблются с одинаковой амплитудой, равной $frac{E}{2}$ в противофазе друг с другом, частота их колебаний равна $2{omega }_0$.

[{E_k =frac{E}{2}left[1-{cos 2({omega }_0t+varphi ) }
ight]left(11
ight). }] [E_p=frac{E}{2}left[1+{cos 2({omega }_0t+varphi ) }
ight]left(12
ight).]

Примеры задач на энергию гармонических колебаний

Пример 1

Задание. Что собой представляет фазовая траектория пружинного маятника, при рассмотрении его как гармонического осциллятора?

Решение. Уравнение фазовой траектории — это уравнение закона сохранения энергии:

[frac{kx^2}{2}+frac{mv^2_x}{2}=E=const left(1.1
ight).]

Разделим обе части выражения (1.1) на $E$ получим:

[frac{x^2}{2{E}/{k}}+frac{v^2_x}{2{E}/{m}}=1left(1.2
ight).]

Выражение (1.2) — это уравнение эллипса, полуоси которого равны $sqrt{2{E}/{k}}$ и $sqrt{2{E}/{m}}$.

Фазовую траекторию часто сопоставляют с графиком потенциальной энергии осциллятора. При этом в верхней части рисунка (рис.1) изображают график потенциальной энергии ($E_p(x)$), в нижней части изображают фазовую траекторию, которая соответствует колебаниям со значением полной энергии равной E, указанной на верхнем графике.

Энергия гармонических колебаний

Пример 2

Задание. Материальная точка, имеющая массу $m=5cdot {10}^{-2}кг,$ совершает колебания в соответствии с законом: $xleft(t
ight)={cos (frac{3pi }{2}t)(м) }$. Какова полная энергия этой точки?

  • Решение. Полная энергия в консервативной колебательной системе величина постоянная и найти ее можно в соответствии с выражением:
  • Рассматривая уравнение колебаний точки, данное в условии задачи:
  • имеем: $A=1 м; {omega }_0=frac{3pi }{2}$. Вычислим искомую энергию:
  • Ответ. $E=0,56$ Дж

[E=frac{1}{2}m{omega }^2_0A^2 left(2.1
ight).] [xleft(t
ight)={cos (frac{3pi }{2}t)(м) },] [E=frac{1}{2}cdot 5cdot {10}^{-2}cdot {left(frac{3pi }{2}
ight)}^21^2approx 0,56 left(Дж
ight).]

Читать дальше: гидравлический пресс.

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_126_jenergija_garmonicheskih_kolebanij.php

Энергия гармонических колебания

При гармонических колебаниях полная энергия системы сохраняется, но в различные моменты времени кинетическая и потенциальная энергии имеют разное значении, достигая максимального и минимального значений. Запишем формулы энергии для случая пружинного маятника.

кинетическая энергия
потенциальная энергия
полная энергии

Из формул следует, что кинетическая и потенциальная энергии достигают максимумов дважды за период Т изменения смешения х и находятся в противофазах: когда кинетическая энергия максимальная, потенциальная равна нулю, и наоборот.

Тема 16. Вопрос 1.

Часть 1.

Затухающие колебания и вынужденные колебания.

При любом реальном движении всегда существуют силы трения или сопротивления. Это приводит к диссипации механической энергии. С течением времени механическая энергия колеблющейся системы переходит в тепловую, рассеиваясь в окружающую среду.

Если механическую энергию не пополнять, то колебания будут затухать.

Дифференциальное уравнение движения (II закон Ньютона) в этом случае принимает более сложный вид, чем в случае незатухающих колебаний, но самое главное, заранее неизвестно выражение для силы сопротивления.

Мы рассмотрим частный случай, предполагая, что сила сопротивления пропорциональна скорости колеблющейся точки: ~υ. В этом случае амплитуда смещения оказывается не постоянной, а убывающей по

экспоненциальному закону.

сила сопротивления, r — коэффициент сопротивления среды
или II закон Ньютона при затухающих колебаниях
смещение при затухающих колебаниях
амплитуда при затухающих колебаниях β — коэффициент затухания амплитуда в начальный момент времени

Если подставить в дифференциальное уравнение второго закона Ньютона х, х, х, получим уравнение, члены которого будут содержать синусы и косинусы.

Объединяя члены с синусами и члены с косинусами, и учитывая, что уравнение должно выполняться при любых х, в-том числе при х = 0, получим два уравнения, из которых найдем коэффициент затухания β и циклическую частоту затухающих колебаний аx.

коэффициент затухания, его величина тем больше чем больше коэффициент сопротивления седы r
циклическая частота затухающих колебаний
циклическая частота собственных незатухающих колебаний, т. е колебаний, которые происходили бы в системе при отсутствии сил сопротивления
период затухающих колебаний

Тема 16. Вопрос 1.

Часть 2.

Если коэффициент затухания становится сравним с собственной частотой незатухающих колебаний , , и колебания переходят в периодическийрежим, при котором колебаний фактически нет, а наблюдается один «всплеск».

При этом вся механическая энергия за одно колебание переходит в тепловую энергию. А периодический режим используют в стрелочных приборах или в аналитических весах, чтобы погасить ненужные колебания.

Затухающие колебания характеризуют

следующими величинами.

логарифмический декремент затухания.Это натуральный логарифм отношения предыдущей амплитуды к последующей за время, равное периоду колебаний.
связь между различными характеристиками затухающих колебаний T – период, N – полное число колебаний за время t, число колебаний за которое амплитуда убывает в е раз (е = 2,7… основание натуральных логарифмов)
время релаксации- это время, за которое амплитуда убывает в е раз.

Коэффициент затухания — это величина, обратная времени релаксации, а логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда уменьшается в ераз. Например, пусть при некоторых колебаниях δ = 0,01, β = 100 1/с. Это означает, что за время 0,01 с амплитуда уменьшается в е раз и при этом совершается 100 колебаний.

Тема 16. Вопрос 2.

Вынужденные колебания.

Если на колебательную систему воздействовать внешней периодически изменяющейся силой , то в системе возникают вынужденные колебания.

Это II закон Ньютона дли системы, в которой действует возвращающая сила (кх), сила сопротивления (кυ) и внешняя вынуждающая сила, круговая частота изменения которой равна Ω,

Решение этого дифференциального уравнения складывается из двух решений: общего решения для свободных затухающих колебаний и частного решения для вынужденных колебаний:

Вначале в течение некоторого времени в зависимости от сдвига фаз Ф, могут преобладать те или иные колебания. Это время называют временем релаксации.

Но с течением времени собственные колебания затухают и в системе устанавливаются гармонические колебания, но не со своей частотой ω, а с частотой Ω, которую задает внешняя сила.

Амплитуда вынужденных колебаний сложным образом зависит от массы системы, амплитуды внешней силы ,коэффициента затухания β собственной частоты ω и частоты изменения вынуждающей силы Ω.

Если частота изменения внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний системы Ω = ω, происходит очень резкое увеличение амплитуды колебаний. Это явление называют резонансом. Резонанс может быть как полезным, так и вредным.

Если, например, двигатель плохо закреплен и «бьет», то при совпадении частот может быть разрушена опора. Известны случаи разрушения мостов под порывами ветра, разрушения самолетов. С другой стороны, на явлении резонанса основана вся прикладная акустика и радиотехника, аппараты, воспринимающие электрические и звуковые колебания. Резонанс является наиболее удобным методом измерения частоты колебаний.

Тема 17. Вопрос 1.

Волновые процессы.

Если в какой-либо упругой среде (твердой, жидкой, газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. При волновом процессе частицы не переносятся с волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны (звуковые волны).

В поперечной волне частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (Волны на поверхности воды, электромагнитные волны).

Волны характеризуют следующими величинами.

длина волны — это: 1) расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний T, или 2) это расстояние между соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
v (Гц = 1/с) — частота колебаний — это число колебаний за единицу времени, υ — скорость волны (не путать со скоростью колебаний).
  ω (рад/с) круговая (циклическая частота) колебаний  
волновое число  

Получим уравнение простейшей плоской монохроматической бегущей волны. Волна называется плоской, когда на бесконечно малом интервале расстояний dx смещение y остается постоянным во всей своей плоскости.

Монохроматической волной называют волну, в которой колебания происходят с одной частотой. Пусть в точке О происходят колебания. Представим себе, что это поверхность воды.

В точку В колебания дойдут с задержкой во времени

уравнение колебаний в точке О
уравнение колебаний в точке B. Это и есть уравнение волны, т.к. смещение является функцией не только времени t, но и расстояния х.

Используя вышеприведенные формулы, уравнение волны можно записать в различной форме.

уравнение плоской монохроматической волны

Тема 17. Вопрос 2.

Стоячие волны.

При наложении двух встречных волн с одинаковыми периодами и амплитудами возникает колебательный процесс, который называют стоячей волной. Стоячая волна образуется при отражении волн от препятствий.

Падающая (прямая) и отраженная (обратная) волны накладываются одна на другую и образуют стоячую волну. Стоячую волну можно наблюдать, если привязать один конец веревки, например, к стене, а свободный конец быстро перемещать вверх-вниз.

Получим уравнение стоячей волны.

уравнение прямой волны
уравнение обратной волны
смещение в образующейся стоячей волне

Подставляя и после тригонометрических преобразований, получим

выражение для смещения точек в стоячей волне.

уравнение стоячей волны
амплитуда стоячей волныλ — длина бегущей волны

В стоячей волне каждая точка совершает вертикальные колебания с различными амплитудами (в бегущей волне, о которой говорилось ранее, все точки колеблются с одинаковыми амплитудами). Если точки находятся на расстояниях

х = λ/4, З λ /4, 5 λ /4,..,она не совершает колебаний, такие точки называются

узлами. Амплитуда точек, находящихся на расстояниях х = 0,2 λ/4, 4 λ /4,…, оказывается максимальной и равной 2 λ. Эти положения точек в стоячей волне называются пучностями.

Тема 18. Вопрос 1.

Электромагнитная волна — это распространяющиеся в пространстве электрическое и магнитное поля.

связь между напряженностью электрического поля и напряженностью магнитного поля электромагнитной волны
υ — скорость электромагнитной волны в середе с — скорость электромагнитной волны в вакуумеп — показатель преломления вещества μ ≡ 1 — магнитная проницаемость для большинства веществ близка к единице

Тема 18. Вопрос 2.

Если записать уравнения теории Максвелла в дифференциальной форме для простейшего случая, когда электрическое и магнитное поле распространяется в однородном диэлектрике (вакуум) только в одном направлении х, т.е напряженности Е и H=f(x,t), можно получить волновое уравнение для E и аналогичное для H. Решениями этих уравнений являются:

уравнения плоской бегущей монохроматической волны

Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны являются поперечными: векторы Е и H направлены всегда перпендикулярно х — направлению их распространения.

связь между напряженностью электрического поля и напряженностью магнитного поля электромагнитной волны
υ — скорость электромагнитной волны в середе с — скорость электромагнитной волны в вакуумеп — показатель преломления вещества μ ≡ 1 — магнитная проницаемость для большинства веществ близка к единице

Тема 18. Вопрос 3.

⇐ Предыдущая567891011121314

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://lektsia.com/2x474e.html

Ссылка на основную публикацию