Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Время на чтение: 14 минут

История и формулировки

Кубические уравнения составлялись ещё в Древней Греции и Египте. Археологами были найдены клинописные таблицы XVI века до нашей эры, содержащие описание возможного их решения. Вычислением кубов занимался Гиппократ, пытавшийся свести задачу к нахождению отрезков с помощью чертёжных инструментов. Архимед использовал для поиска ответа пересечение двух конусов.

Впервые методы решения такого рода уравнений были описаны в китайском учебнике «Математика в девяти книгах», составленном во втором столетии до нашей эры. В седьмом веке Омар Хайям на основании своих работ приходит к выводу, что решение уравнений третьей степени может иметь более одного ответа.

Математик Шараф ад-Дин публикует тракт об уравнениях, в котором описывает восемь различных типов кубических выражений, имеющих положительное решение. В своих вычислениях он использует численную аппроксимацию. Учёный не только разработал подход для решения с использованием производной функции и экстремумов, но и понял важность дискриминанта многочлена при нахождении кубов.

В 1530 году итальянский математик Никколо Тарталья разрабатывает методику решения, которой он после поделился с Джероламо Кардано.

Согласно этому способу нужно было извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Параллельно с этими исследованиями, основоположник символической алгебры Франсуа Виет, предлагает свой способ решения кубического равенства с тремя корнями. Позднее его работу описал и обосновал Рене Декарт.

Уравнением третьей степени называют выражение вида: a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0. В математике оно называется кососимметрическим. Число y, значение которого необходимо найти, при подстановке превращает формулу в тождество. Называется оно корнем уравнения или просто решением. Кроме этого, y ещё является и корнем многочлена куба.

Формула квадратного уравнения

Используется при решении простейшего равенства методом разложения кубического уравнения на множители. Когда последний член равен нулю, решить такую задачу можно по методу квадратных уравнений. При n = 0, уравнение примет вид :

a*y 3 + d*y 2 + c*y + n = 0.

В полученном выражении каждый член представлен произведением на неизвестное, поэтому переменную y можно вынести за скобки: y*(d*y 2 + c) = 0. Уравнение в скобках является классическим квадратным, которое можно решать несколькими способами:

• разложением на множители;
• с использованием формулы корней квадратного уравнения;
• методом дополнения.

При выборе первого варианта разложение выполняют следующим образом. Например, необходимо решить равенство вида: *y 2 — 11*y — 16 = 0. Квадратный член можно записать в виде двух множителей: 3*y и y.

Поэтому их можно записать сразу как произведение в скобках: (3 * + n) * (y + n) = 0.

Так как определённый член можно записать в виде произведения 2*2 или 1*4, то формулу можно представить как (3 *y +1) * (y — 16).

Если раскрыть скобки, то получится равенство 3*y 2 — 12 *y + y + 16. Решением (-12*y + y) будет (-11*y). Как раз тот член, который нужен. Используя же произведение 2*2 — искомый член найти не получится.

Равенство раскладывают на два множителя: (3*y +1) (х — 16) = 0. Согласно аксиоме произведение двух членов равно нулю только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняв каждое выражение в скобках к нулю, можно записать два равенства: 3*y + 1 = 0 и y — 16 = 0. При решении каждого из них получится два ответа: y = 1/3 и y = 16.

Для проверки результата необходимо оба возможных решения подставить в формулу. Так как для квадратного уравнения существует только два решения, а для кубического три, то в этом случае третьим ответом будет ноль. Поэтому решением уравнения будет три корня: 0, 1/3, 16.

Но проще и нагляднее всего использовать второй вариант. Формула корней кубического уравнения имеет вид: y = ((-d + (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a и y = ((-d — (d 2 — 4*a*c) ½ ) / 2*a.

Корни квадратного уравнения и будут ответом для кубического. Например, 5*y 2 — 7*y — 14 = 0. Приняв, что a = 5, d = -7, c = — 14 и подставив числовые значения, будет верным запись: y = 1 4 / 5 и y = -1.

Дробное решение и отрицательное будет являться корнями кубического равенства.

Разложение на множители

Если определённый член не равен нулю, то посчитать игрек при помощи квадратных уравнений невозможно. В этом случае используется метод разложения на свободные множители. Например, 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0. Чтобы разложить кубическое уравнение на множители и определить неизвестное, придерживаются следующего порядка:

1. Вычисляют множитель кубического коэффициента и свободного члена. Это те числа, которые при умножении друг на друга дают исходное число. Например, цифру шесть можно представить перемножением 6*1 и 2*3, то есть множителями шести являются: 1, 2, 3, 6. Коэффициентом кубического члена является двойка, соответственно её множители — цифры один и два.

1. Выполняют деление множителей кубического члена на цифры разложения свободного. В результате действия получится набор, состоящий из дробных частей и целых чисел, при этом они могут быть и отрицательными. Для уравнения 2 * y 3 + 9 * y 2 +13 * y + 6 = 0 такой набор будет состоять из 1, -1, ½, -½, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3 .
2. Определяют ряды чисел, в которых существуют рациональные решения кубического выражения. Для рассматриваемого примера они будут следующие: -1*2 = -2; 9 + (-2) = 7; (-1) * 7 = -7; 13 +(-7) = 6; (-1)*6 = -6; 6+(-6) = 0 .

Вычисление рационального числа операция долгая и требующая внимания. Поэтому для быстрого нахождения ответа используется деление по схеме Горнера. По этой схеме выполняют деление целых цифр на коэффициенты всех членов равенства. Если в ответе получается только целая часть, то эти числа считаются вариантами решения. Таким методом можно находить и иррациональные выражения.

Чтобы освоить способ Горнера, необходимо тщательно в нём разобраться. Способ заключается в делении коэффициентов многочлена без учёта степенных показателей. Вычитание заменяется сложением как при делении в столбик.

То есть уравнение, впрочем, как и неравенство, вида y 3 + 2*y 2 — 4 *y + 8, записывается как 1 2 -4 8 с необходимым делимым. В результате должен получиться многочлен с остатком.

Если он будет нулевым, то одним из ответов уравнения и будет делимое .

Использование дискриминанта

Дискриминант степенного выражения представляет произведение квадратов разностей корней в различных сочетаниях. Другими словами, берут пару, состоящую из любых корней уравнения, вычитают друг из друга и возводят в квадрат. Это и будет один множитель. Затем берут другую пару и повторяют действия. Таким образом, перебирают все варианты.

При решении кубических равенств используют значения коэффициентов. Например, для уравнения y 3 — 3* y 2 + 3* y — 1, они будут равны: a = 1, d = -3, c = 3, n = -1. Затем вычисляют дельта нулевое. Это ключевая величина, которая после подставляется в формулу. В примере, Δ0 = d 2 — 3 * a * c, определяют как (-3) 2 — 3 * (1) * (3) = 9 − 3 * 3 = 0 .

Затем находят дельта один. Δ1 = 2 * d 3 — 9 * a * d * c + 27 * a 2 * n. Подставив значения в формулу, вычисляют Δ1:

2 (-3) 3 — 9 (1)(-3)*(3) + 27 (1) 2 * (-1) = 2 (-27) — 9 (-9) + 27 (-1) = -54 + 81 — 27 = 81 − 81 = 0 = Δ 1.

Используя найденное, по аналогии с квадратичным равенством находят дискриминант: d 2 — 4 * a * c.

Применительно к кубическому виду применяется правило, что показатель отрицательный, когда уравнение может иметь только одно решение. Если же его значение равно нулю — одно или два.

Уравнение кубического вида всегда должно иметь хотя бы одно решение, так как его график должен проходить через ось икс.

Так как в примере дельта-ноль и один равны нулю, то можно использовать следующее выражение:

• Δ1 2 — 4 * Δ0 3 / — 27 *a 2;
• (0) 2 — 4 * (0) 3 / — 27 * (1) 2;
• (0−0) / 27;
• Δ = 0.

Исходя из этого, уравнение имеет два решения. Вычислив С, можно определить возможные решения уравнения. Заменив по мере необходимости дельты, решается равенство:

C = ((Δ 1 2 — 4 Δ 0 3 ) +Δ) / 2) ½ = (((0 — 0) + 0)/2) ½ = 0.

Корни куба определяются по формуле: u n C + Δ0/(u n C)) / 3*a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно одному, двум или трём. Если подставить эти значения в равенство, и оно будет верным, то эта цифра и является возможным решением уравнения. Этот способ показательный, но довольно сложный. Но если его понять, то проблем с решением уравнений любой сложности возникнуть не должно.

Теорема Виета и двучлен

Выражение вида: a*y 3 + d = 0 называется двухчленным или неполным уравнением. Для его решения нужно равенство привести к виду: y 3 + d/a = 0. Затем используя формулу сокращённого умножения для суммы кубов можно записать:

(y + 3 √ d/a) * (y 2 − ( 3 √ d/a)* y + 3 √ (d/a) 2 ) = 0.

Из первого множителя и находят значение игрека. Оно будет равно 3 √ d/a, ведь второй множитель — это квадратный трёхчлен с корнями комплексного вида.

Для проверки рациональных равенств удобно применять теорему Виета. Согласно ей корни уравнения связаны с коэффициентами выражениями:

• y1 + y2 + y3 = — d/a;
• y1 * y2 + y2 * y3 + y1 * y3 = c/a;
• y1 * y2 * y3 = — n/a.

Используя теорему, некоторые уравнения можно решить даже устно. Например, y3 + 2y — 24 = 0. Решение выполняется в следующей последовательности:

• записывают теорему применительно к равенству;
• определяют знаки корней;
• раскладывают определённый член.

Частным случаем применения теоремы являются тригонометрические формулы для кубического равенства:

S = Q 3 — R 2 , где Q = (a2 — 3d)/9, а R = (2 а 3 — 9ad + 27c) / 54.

В зависимости от знака S применяется одна из следующих формул : φ = (arcos (R/Q 3/2 ))/3 и φ = (arcos (ЇRЇ/Q 3/2 ))/3.

А второе при S < 0 и имеет только одно решение: y = -2sgn®*[q] ½ * ch (φ) — a/3. В случае же когда S=0,то уравнение имеет следующие корни: y 1= -2*R1 /3 — a/3; y 2= y 3 =R1/3 — a/3.

Теорему Виета можно использовать и для наивысшей, четвёртой степени, при которой ещё существует аналитическое решение.

Подробный онлайн-калькулятор

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Чтобы быстро находить решение, нужно не только знание теории, но и практические занятия. Конечно же, знать формулы и уметь решать уравнения нужно самому.

Но при самостоятельном вычислении существует вероятность допущения ошибки. Поэтому на помощь приходят своего рода решебники-онлайн. Они умеют не только точно и быстро определять корни равенства, но и показывать подробное вычисление. Благодаря этому можно не просто получить правильный ответ, но и разобраться в решении, понять различные нюансы, проверить свои знания.

Из наиболее популярных интернет-порталов, позволяющих найти корни кубического уравнения онлайн, можно выделить: mathforyou. net, allcalc.ru, wedmath.ru, kontrolnaya-radota.ru. Воспользоваться такими сайтами-решателями сможет любой пользователь, даже не имеющий представление о методах решения уравнений.

Для этого нужно просто заполнить предлагаемые на странице поля и нажать кнопку «Рассчитать» или «Решить». Калькулятор сам на основании запрограммированных формул, чаще всего по методу Вието — Кардано, выполнит расчёт и выведет на экран ответ. Кроме этого, будет предложено подробное решение с описанием. На этих сайтах также можно посмотреть и примеры решений, формулы, теоремы.

Источник: https://nauka.club/matematika/reshenie-kubicheskikh-uravneniy.html

Решение кубического уравнения

Уравнение представляет собой равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти. Для обозначение неизвестных чисел наиболее часто пользуются буквами х, у, z. Кубическое уравнение — уравнение 3-го порядка вида: ax3 + bx2 + cx + d = 0, где a не равно 0.

Решить уравнение означает найти такие значения числа х, подстановка которых в уравнение дает верное равенство. Число х будет корнем уравнения.
В кубическом уравнении 3 корня, которые могут быть как вещественными, так и комплексными. Как минимум один из них является действительным корнем.

Простейшим случаем таких уравнений является двучленное кубическое уравнение вида Ах3 + В = 0. Для решения такого уравнения необходимо:

1. разделить уравнение на коэффициент А, не равный 0, получим: х3 + В/А = 0
2. применить формулу сокращенного умножения суммы кубов, получим: .
В первой скобке получим корень х, равный: .
Во второй скобке получим квадратный трехчлен с комплексными корнями: .

Уравнение вида Ах3 + Вх2 + Вх + А = 0 называется возвратным кубическим уравнением, А и В — коэффициенты.

Для решения возвратного уравнения нужно произвести группировку, после чего получим:
В первой скобке получим корень, равный -1. Во второй скобке у нас квадратный трехчлен Ах2 + х (В — А) + А. Для решения квадратного трехчлена определяем дискриминант, а затем находим его корни.

Кубические уравнения с рациональными корнями

Пусть х, равное 0, будет корнем уравнения Ах3 + Вх2 + Сх + D = 0, тогда свободный член D будет равен 0, а уравнение примет вид: Ах3 + Вх2 + Сх = 0.

Выносим х за скобки, получаем уравнение: х (Ах2 + Вх + С) = 0. Корни полученного квадратного трехчлена находим через дискриминант.

• Найти корни кубического уравнения можно по формуле Кардано
• Пусть дано уравнение А0х3 + А1х2 + А2х + А3 = 0.
• Разделим все коэффициенты на А0, получим: В1 = А1 / А0, В2 = А2 / А0, В3 = А3 / А0, затем находим значение р и q: .

Выбираем значение кубических корней, чтобы их произведение равнялось — р / 3. Корни исходного уравнения будут равняться: х = у — В1 / 3.

Быстро найти корни кубического уравнения вы можете при помощи онлайн калькулятора.

Источник: https://infofaq.ru/reshenie-kubicheskogo-uravneniya.html

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

• Вспомним основные понятия.
• Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
• Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.
• Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

1. Например, уравнения  и  равносильны. Их корни совпадают:  или 
2. Замена переменной – ключ к решению многих задач.
3. Решим уравнение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену  Тогда frac{x}{x^{2}+1}=frac{1}{t},t eq 0

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

• Корни этого уравнения:  или 
• Вернемся к переменной 
• Если , то 
• Отсюда 
• Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
• Если , то  Получим квадратное уравнение для :
• У этого уравнения два корня:  или  Это ответ.
• Решим уравнение

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

1. Посмотрим на уравнение внимательно.
2. На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки 
3. Сделаем замену , тогда .
4. Тогда:
5. Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
6. И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

• Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что
• ;  отсюда  ,  .
• Если , то нет решений.
• Если , то Тогда или
• Если , то .
• Если , то .
• Ответ: 4; –8.
• Дальше – еще интереснее.
• 3. Решите уравнение

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

1. .
2. Получили квадратное уравнение:
3. Если , то
4. Если , то
5. Ответ:
6. Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.
7. 4. Решите уравнение
8. Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

• .
• Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
• Записывается это так:
• Ответ: -2; 1; 4.
• У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.
• Такой знак означает «или».
• Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

1. Выпишем целые делители числа 24:
2. 1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24
3. Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:
4. Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
5. , где .

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

• Ответ: 2; 3; 4.
• 6. Решите уравнение
• группируем слагаемые:
• А если сделать замену ?
• Тогда .

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

1. Если , то , нет решений.
2. Если , то
3. , .
4. Ответ: .
5. 7. Решите уравнение

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.

• Теперь группируем слагаемые:
• Сделаем замену .
• Тогда

Получили уравнение . Легко!

1. Ответ:

Источник: https://ege-study.ru/algebraicheskie-uravneniya-i-sposoby-ix-resheniya-uravneniya-tretej-i-chetvertoj-stepeni/

Кубическое уравнение — это… Что такое Кубическое уравнение?

График кубической функции , у которой 3 действительных корня (в месте пересечения горизонтальной оси, где у = 0). Имеется 2 критические точки

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, канонический вид которого

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Любое кубическое уравнение канонического вида можно привести к более простому виду:

поделив его на и подставив в него замену При этом коэффициенты будут равны:

Корни уравнения

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Итак, возможны только три случая:

• Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
• Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
• Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом[1]:

Методы решения

Точные методы решения:

Также можно применять численные методы решения уравнений.

См. также

Примечания

1. ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 139.

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 138—139.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/121009

Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные,  а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида Ax3+B=0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид Ax3+B=0 . Его необходимо приводить к x3+BA=0   с помощью деления на А, отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x3+BA=0x+BA3x2-BA3x+BA23=0

Результат первой скобки примет вид x=-BA3, а квадратный трехчлен — x2-BA3x+BA23, причем только с комплексными корнями.

Пример 1

• Найти корни кубического уравнения 2×3-3=0.
• Решение
• Необходимо найти х из уравнения. Запишем:
• 2×3-3=0x3-32=0
• Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что
• x3-32=0x-3326×2+3326x+923=0

Раскроем первую скобку и получим x=3326. Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x=3326.

Решение возвратного кубического уравнения вида Ax3+Bx2+Bx+A=0

Вид квадратного уравнения — Ax3+Bx2+Bx+A=0, где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

Ax3+Bx2+Bx+A=Ax3+1+Bx2+x==Ax+1×2-x+1+Bxx+1=x+1Ax2+xB-A+A

Корень уравнения равен х=-1, тогда для получения корней квадратного трехчлена Ax2+xB-A+A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Пример 2

Решить уравнение вида 5×3-8×2-8x+5=0.

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

1. 5×3-8×2-8x+5=5×3+1-8×2+x==5x+1×2-x+1-8xx+1=x+15×2-5x+5-8x==x+15×2-13x+5=0
2. Если х=-1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5×2-13x+5:
3. 5×2-13x+5=0D=(-13)2-4·5·5=69×1=13+692·5=1310+6910×2=13-692·5=1310-6910
4. Ответ:
5. x1=1310+6910×2=1310-6910×3=-1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х=0, то он является корнем уравнения вида Ax3+Bx2+Cx+D=0. При свободном члене D=0 уравнение принимает вид Ax3+Bx2+Cx=0. При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид xAx2+Bx+C=0.

Пример 3

• Найти корни заданного уравнения 3×3+4×2+2x=0.
• Решение
• Упростим выражение.
• 3×3+4×2+2x=0x3x2+4x+2=0

Х=0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3×2+4x+2. Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D=42-4·3·2=-8. Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х=0.

Когда коэффициенты уравнения Ax3+Bx2+Cx+D=0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A≠1, тогда при умножении на A2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у=Ах:

Ax3+Bx2+Cx+D=0A3·x3+B·A2·x2+C·A·A·x+D·A2=0y=A·x⇒y3+B·y2+C·A·y+D·A2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x1=y1A. Необходимо произвести деление многочлена Ax3+Bx2+Cx+D на x-x1. Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Пример 4

1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
2. Решение
3. Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 22 обеих частей, причем с заменой переменной типа у=2х. Получаем, что
4. 2×3-11×2+12x+9=023×3-11·22×2+24·2x+36=0y=2x⇒y3-11y2+24y+36=0
5. Свободный член равняется 36, тогда необходимо зафиксировать все его делители:
6. ±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±36
7. Необходимо произвести подстановку y3-11y2+24y+36=0, чтобы получить тождество вида
8. 13-11·12+24·1+36=50≠0(-1)3-11·(-1)2+24·(-1)+36=0

Отсюда видим, что у=-1 – это корень. Значит, x=y2=-12.

Далее следует деление 2×3-11×2+12x+9 на x+12 при помощи схемы Горнера:

xi
Коэффициенты многочлена

2	-11	12	9
-0.5	2	-11+2·(-0.5)=-12	12-12·(-0.5)=18	9+18·(-0.5)=0

Имеем, что

2×3-11×2+12x+9=x+122×2-12x+18==2x+12×2-6x+9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x2-6x+9. Имеем, что уравнение следует привести к виду x2-6x+9=x-32, где х=3 будет его корнем.

Ответ: x1=-12, x2,3=3.

Замечание

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что -1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х+1. Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A0x3+A1x2+A2x+A3=0 необходимо найти B1=A1A0, B2=A2A0, B3=A3A0.

• После чего p=-B123+B2 и q=2B1327-B1B23+B3.
• Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что
• y=-q2+q24+p3273+-q2-q24+p3273

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению -p3. Тогда корни исходного уравнения x=y-B13. Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Пример 5

1. Найти корни заданного уравнения 2×3-11×2+12x+9=0.
2. Решение
3. Видно, что A0=2, A1=-11, A2=12, A3=9.
4. Необходимо найти B1=A1A0=-112, B2=A2A0=122=6, B3=A3A0=92.
5. Отсюда следует, что
6. p=-B123+B2=—11223+6=-12112+6=-4912q=2B1327-B1B23+B3=2·-112327—112·63+92=343108
7. Производим подстановку в формулу Кордано и получим
8. y=-q2+q24+p3273+-q2—q24+p3273==-343216+34324·1082-49327·1233+-343216-34324·1082-49327·1233==-3432163+-3432163

-3432163  имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

• -3432163=76cosπ+2π·k3+i·sinπ+2π·k3, k=0, 1, 2
• Если k=0, тогда -3432163=76cosπ3+i·sinπ3=7612+i·32
• Если k=1, тогда -3432163=76cosπ+i·sinπ=-76
• Если k=2, тогда -3432163=76cos5π3+i·sin5π3=7612-i·32
• Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим -p3=4936.
• Тогда получим пары: 7612+i·32  и 7612-i·32, -76 и -76, 7612-i·32 и 7612+i·32.
• Преобразуем при помощи формулы Кордано:
• y1=-3432163+-3432163==7612+i·32+7612-i·32=7614+34=76y2=-3432163+-3432163=-76+-76=-146y3=-3432163+-3432163==7612-i·32+7612+i·32=7614+34=76
• Значит,
• x1=y1-B13=76+116=3×2=y2-B13=-146+116=-12×3=y3-B13=76+116=3
• Ответ: x1=-12,  x2,3=3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kubicheskih-uravnenij/

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения

Кубическим уравнением называется уравнение вида

• ax3 + bx2 + cx +d = 0 , (1)
• где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b3d + b2c2 — 4ac3 + 18abcd — 27a2d2  (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка).

Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано решения кубических уравнений (нахождения корней)

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

• x= y — b/3a (3)
• p= — b2/3a2 + c/a
• q= 2b3/27a3 — bc/3a2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

• Q=(p/3)3 + (q/2)2
• α = (-q/2 + Q1/2)1/3
• β = (-q/2 — Q1/2)1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = — 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

• y1= α + β
• y2= — (α + β)/2 + (31/2(α — β)/2)i
• y3 =- (α + β)/2 — (31/2(α — β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y1. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y2, y3 и подставьте их в (3).

Если Q0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

• x1= — 2(Q)1/2cos(φ) — a/3
• x2= — 2(Q)1/2cos(φ+2π/3) — a/3
• x3= — 2(Q)1/2cos(φ-2π/3) — a/3

б) Если S

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/Equations/cubeEquationsUniversalMethods/

Кубическое уравнение

Сегодня выполняем запрос пользователя Решение кубического уравнения.
Канонический вид кубического уравнения:

Решать кубическое уравнение мы будем по формуле Виета.
Формула Виета — способ решения кубического уравнения вида

Соответственно, чтобы привести к этому виду оригинальное уравнение первым шагом все введенные коэффициенты делятся на коэффициент а:

Калькулятор ниже, а описание формулы Виета — под ним

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Кстати сказать, на других сайтах почему-то для решения кубических уравнений используют формулу Кардано, однако я согласен с Википедией в том, что формула Виета более удобна для практического применения. Так что почему везде формула Кардано — непонятно, разве что лень людям Гиперболические функции и Обратные гиперболические функции реализовывать. Ну мне не лень было.

• Итак, формула Виета (из Википедии)
• Обратите внимание, что по представлению формулы Виета а — второй коэффициент, а коэффициент перед x3 всегда считается равным 1. Калькулятор позволяет ввести а как коэффициент перед х3, но сразу же на него и делит уравнение, чтобы получить 1
• Вычисляем:

2. Если S < 0, то заменяем тригонометрические функции гиперболическими. Здесь возможны два случая в зависимости от знака Q
3. Q > 0:
4. (действительный корень)
5. (пара комплексных корней)
6. Q < 0:
7. (действительный корень)
8. (пара комплексных корней)
9. Если S = 0, то уравнение вырождено и имеет меньше 3 различных решений (второй корень кратности 2):

По этим формулам калькулятор и работает. Решает вроде правильно, хотя решения с мнимой частью не проверял. Если что, пишите.

Источник: https://planetcalc.ru/1122/

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

• $5 (5 + 3х) — 10х = 8$
• Раскроем скобки.
• $25 + 15х — 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

1. $15х — 10х = 8 — 25$
2. Приведем подобные слагаемые.
3. $5х = -17$ — это конечный результат преобразований.
4. После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$
5. $х=-{17}/{5}$
6. $х = — 3,4$
7. Ответ: $- 3,4$

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

• $a$ — старший коэффициент;
• $b$ — средний коэффициент;
• $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

• $4х^2 — 5х = 0$
• Вынесем х как общий множитель за скобки:
• $х (4х — 5) = 0$
• Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.
• $x = 0$ или $4х — 5 = 0$
• $х_1 = 0   х_2 = 1,25$
• Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

1. Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.
2. $ax^2 + c = 0$
3. $ax^2 = — c$
4. $x_2 = {-c}/{a}$
5. При решении последнего уравнения возможны два случая:
6. если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$
7. если ${-c}/{a} 0$. Тогда корни уравнения равны:

   $x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

   2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

   $x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

   3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

   1. $3х^2 — 11 = -8х$
   2. Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней
   3. $3х^2 + 8х — 11 = 0$
   4. $a = 3 ,b = 8, c = — 11$
   5. $D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$
   6. $x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$
   7. $x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$
   8. Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

   Устные способы

   Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

   • $4х^2+ 3х — 7 = 0$
   • $4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$
   • Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

   Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

   1. $5х^2+ 7х + 2 = 0$
   2. $5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$
   3. Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

   Кубические уравнения

   Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

   • $(x — 3)^3 = 27$
   • Представим обе части как основания в третьей степени
   • $(x — 3)^3 = $33
   • Извлечем кубический корень из обеих частей
   • $х — 3 = 3$
   • Соберем известные слагаемые в правой части
   • $x = 6$
   • Ответ: $х = 6$

   Дробно рациональные уравнения

   Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

   Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

   1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
   2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
   3. решить получившееся целое уравнение;
   4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.
   1. $4x + 1 — {3}/{x} = 0$
   2. 1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
   3. $x≠0$
   4. 2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения
   5. $4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$
   6. $4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$
   7. 3. решаем полученное уравнение
   8. $4x^2 + x — 3 = 0$

   Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

   Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

   4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

   Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

   При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

   Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

   • ${3х-5}/{-2}={1}/{х}$
   • Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
   • $x≠0$
   • Воспользуемся основным свойством пропорции
   • $х (3х — 5) = -2$
   • Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения
   • $3х^2- 5х + 2 = 0$

   Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

   1. $a + b + c = 0$
   2. $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$
   3. В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.
   4. Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

   Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/kvadratnye_uravneniya