Таблица градусов и углов, с примерами решений

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов.

Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

  • sin 00=0, cos 00 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
    sin 900 = 1, cos 900 =0, ctg900 = 0,тангенс от 900 будет неопределенным
  • Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:
  • sin 300 = 1/2, cos 300 = √3/2, tg 300 = √3/3, ctg 300 = √3
    sin 450 = √2/2, cos 450 = √2/2, tg 450= 1, ctg 450 = 1
    sin 600 = √3/2, cos 600 = 1/2, tg 600 =√3 , ctg 600 = √3/3
  • Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица градусов и углов, с примерами решений

  1. Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 00+3600*z …. 3300+3600*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

Таблица градусов и углов, с примерами решений

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 10200 = 3000+3600*2. Найдем по таблице.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Строение атома свинца (pb), схема и примеры

Оценим за полчаса!

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  • Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).
  • Синус и косинус

Таблица градусов и углов, с примерами решений

  1. tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

  • tg до 900 и ctg малых углов.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

Таблица градусов и углов, с примерами решений
Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.Таблица градусов и углов, с примерами решений
При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054
При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 200 = 0.9397

Значения tg угла до 900 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 780 37мин = 4,967

а ctg 200 13мин = 25,83

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в х!

Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник: https://reshit.ru/trigonometricheskaya-tablitsa

Измерение углов

Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Углы больше 360 градусов

Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.

Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.

  • Пример 2
    1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол a) 380°
    b) 770°
    c) 1000°
  • Решение

a) 380 = (1 × 360) + 20
Объект описал один круг и 20°
Так как $20^{circ} = frac{20}{360} = frac{1}{18}$ круга
Объект описал $1frac{1}{18}$ кругов. b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Объект описал два круга и 50°
$50^{circ} = frac{50}{360} = frac{5}{36}$ круга
Объект описал $2frac{5}{36}$ круга
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^{circ} = frac{260}{360} = frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2frac{7}{9}$ кругов

Положительные и отрицательные углы

Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

Таблица градусов и углов, с примерами решений
Таблица градусов и углов, с примерами решений

Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.

  1. Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.
  2. Пример 3
    1. Найти соответствующий положительный угол a) -35°
    b) -60°
    c) -180°
  3. d) — 670°

2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°

Угол равен 360 + 50 = 410°

2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°

Таким образом 1300° = -1220°

Радиан

Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.
Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57,3°.
В большинстве случаев, это обозначается как рад.
Таким образом $1 рад approx 57,3^{circ}$

Таблица градусов и углов, с примерами решений
Радиус = r = OA = OB = AB

  • Угол BOA равен одному радиану
  • Поскольку длина окружности задается как $2pi r$, то в окружности $2pi$ радиусов, а значит в целом круге $2pi$ радиан.

Радианы обычно выражаются через $pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad)
не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об угле, то он задан через $pi$, а
единицами измерения автоматически становятся радианы.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

  1. $360^{circ} = 2pi rad$
    $180^{circ} = pi rad$
  2. $90^{circ} = frac{pi}{2} rad$
  3. $30^{circ} = frac{30}{180}pi = frac{pi}{6} rad$
  4. $45^{circ} = frac{45}{180}pi = frac{pi}{4} rad$
  5. $60^{circ} = frac{60}{180}pi = frac{pi}{3} rad$
  6. $270^{circ} = frac{270}{180}pi = frac{27}{18}pi = 1frac{1}{2}pi rad$

Пример 4
1. Преобразовать 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радианы через $pi$.

  • Решение
  • $240^{circ} = 240 imes frac{pi}{180} = frac{4}{3}pi=1frac{1}{3}pi$
  • $120^{circ} = 120 imes frac{pi}{180} = frac{2pi}{3}$
  • $270^{circ} = 270 imes frac{1}{180}pi = frac{3}{2}pi=1frac{1}{2}pi$
  • $750^{circ} = 750 imes frac{1}{180}pi = frac{25}{6}pi=4frac{1}{6}pi$
  • $390^{circ} = 390 imes frac{1}{180}pi = frac{13}{6}pi=2frac{1}{6}pi$

Умножим углы на $frac{pi}{180}$.

2. Преобразовать следующие углы в градусы.
a) $frac{5}{4}pi$ b) $3,12pi$
c) 2,4 радиан

  1. Решение
  2. $2,4 = frac{2,4 imes 57,3}{1} = 137,52$

$180^{circ} = pi$
a) $frac{5}{4} pi = frac{5}{4} imes 180 = 225^{circ}$
b) $3,12pi = 3,12 imes 180 = 561,6^{circ}$ c) 1 рад = 57,3°

Читайте также:  Гибридизация электронных орбиталей и геометрия молекул

Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2pi$ радиан

Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2pi$.

Пример 5
1. Преобразовать $-frac{3}{4}pi$ и $-frac{5}{7}pi$ в позитивные углы в радианах.

  • Решение
    Прибавляем к углу $2pi$
    $-frac{3}{4}pi = -frac{3}{4}pi + 2pi = frac{5}{4}pi = 1frac{1}{4}pi$
  • $-frac{5}{7}pi = -frac{5}{7}pi + 2pi = frac{9}{7}pi = 1frac{2}{7}pi$

Когда объект вращается на угол больший, чем $2pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.

  1. Пример 6
    1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах a) $-10pi$
    b) $9pi$
  2. c) $frac{7}{2}pi$
  3. Решение
    a) $-10pi = 5(-2pi)$; $-2pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
  4. объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.
  5. b) $9pi = 4(2pi) + pi$, $pi =$ пол цикла
    объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки
  6. c) $frac{7}{2}pi=3,5pi=2pi+1,5pi$, $1,5pi$ равно три четверти цикла $(frac{1,5pi}{2pi}=frac{3}{4})$
    объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки

Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/ugli/izmerenie-uglov/izmerenie-uglov.html

Радианная и градусная мера угла

Здесь рассматриваем задачи Proc32 — Proc33 из задачника Абрамяна: описание функций преобразования углов из градусов в радианы и наоборот.

Так что такое радианная мера угла? Рассмотрим некоторую окружность радиуса R с центром в точке О. Поскольку окружность делится на 360 градусов, а длина окружности равна 2πR, то на 1 градус приходится длина дуги равная 2πR/360 = πR/180. Тогда углу α градусов соответствует длина дуги L = πRα/180.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

В этом смысле очень интересна ситуация, когда длина дуги L равна радиусу окружности R. Каков при этом угол дуги? Вспоминая предыдущую формулу для вычисления длины дуги, имеем: πRα/180 = R, откуда πα/180 = 1, а отсюда получаем α = 180/π.

  • Итак, если длина дуги равна радиусу окружности, то соответствующий угол равен 180/π. Этот угол называется радианом (Rad):
  • 1 Rad = 180/π градуса.
  • Таким образом,
  • π радианов = 180°, а 1° = π/180 радиана.
  • Радианная мера угла – это такая мера угла, при которой за 1 Rad принимается угол дуги, равной радиусу этой дуги. Поскольку 1 радиану соответствует длина дуги равная радиусу, то отсюда следует такой вывод:
  • Величина радианной меры угла равна отношению длины дуги окружности к радиусу этой окружности.

Например, если длина дуги равна 1.5R, то радианная мера угла этой дуги равна 1.5; если длина дуги равна 0.25R, то радианная мера равна 0.25; для дуги длиной 2πR (вся окружность) радианная мера равна 2π и т.д. Вообще, для дуги длиной L угол в радианах равен L/R, где R – радиус.

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Радиан – это очень удобный способ измерения углов, поскольку вместо самих углов мы можем оперировать коэффициентами отношений длин дуг и их радиусов. В высшей математике во всех тригонометрических функциях используется только радианная мера.

Proc32. Описать функцию DegToRad(D) вещественного типа, находящую величину угла в радианах, если дана его величина D в градусах (D — вещественное число, 0 ≤ D < 360). Воспользоваться следующим соотношением: 180° = π радианов. В качестве значения π использовать 3.14. С помощью функции DegToRad перевести из градусов в радианы пять данных углов.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   { Функция возвращает величину угла в радианах, если дана его величина D в градусах (D — вещественное число, 0 ≤ D < 360) } function DegToRad(D: real): real; const pi = 3.14; {

Источник: https://progmatem.ru/proc/proc-32-33.html

Радианная и градусная мера угла

3 ноября 2011

В школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:

  1. Геометрический подход — основан на сторонах прямоугольного треугольника и их соотношениях. В этом случае все синусы и косинусы положительны, поскольку длина отрезка всегда задается положительным числом;
  2. Алгебраический подход — работа ведется на тригонометрической окружности. Такой подход возникает на стыке 9—10 классов, и с этого момента синусы и косинусы вполне могут быть отрицательными. А «старые» геометрические определения становятся лишь частным случаем.

Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила.

Переход от радианной меры к градусной

Вспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении.

С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной.

Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается как 2π радиан. А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен π/4 радиан.

У многих возникает вопрос: при чем здесь число π? Ведь π ≈ 3,14. Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило:

Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять число π на 180°. Пишется это так: π → 180°.

Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать sin π = sin 180°. Но если мы хотим найти примерную длину отрезка l = 5π, придется считать: l = 5 · π ≈ 5 · 3,14 = 15,7.

Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается.

Теперь взгляните на конкретные примеры:

Задача. Перейдите от радианной меры угла к градусной (значение тригонометрических функций вычислять не надо):

  1. sin π/3;
  2. cos 7π/6;
  3. tg π;
  4. sin π/4;
  5. tg 2π/3;
  6. ctg π/2;
  7. sin 3π/2;
  8. cos 5π/4.

Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: π → 180°. Имеем:

  1. sin π/3 = sin 180/3 = sin 60°;
  2. cos 7π/6 = cos (7 · 180/6) = cos 210°;
  3. tg π = tg 180°;
  4. sin π/4 = sin 180/4 = sin 45°;
  5. tg 2π/3 = tg (2 · 180/3) = tg 120°;
  6. ctg π/2 = ctg 180/2 = ctg 90°;
  7. sin 3π/2 = sin (3 · 180/2) = sin 270°;
  8. cos 5π/4 = cos (5 · 180/4) = cos 225°.

Итак, вместо непонятного множителя π мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам.

Границы координатных четвертей

Теперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Это будет ключом к решению задачи B11.

Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением оси ОХ, а углы откладываются в направлении против часовой стрелки.

Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните:

Таблица градусов и углов, с примерами решений

Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:

  1. α ∈ (0°; 90°) ⇒ это угол I координатной четверти;
  2. α ∈ (90°; 180°) ⇒ II координатная четверть;
  3. α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть;
  4. α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.

Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру.

Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете.

Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 90° + 90° = 180°; 180° + 90° = 270°; 270° + 90° = 360°.

Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°.

А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

  1. sin 8π/9;
  2. tg 12π/15;
  3. cos 9π/10;
  4. cos 7π/18;
  5. sin 3π/5;
  6. ctg 5π/3;
  7. tg 4π/9;
  8. cos 9π/20.

Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:

  1. sin 8π/9 = sin (8 · 180/9) = sin 160°; т.к. 160° ∈ [90°; 180°], это II четверть;
  2. tg 12π/15 = tg (12 · 180/15) = tg 144°; т.к. 144° ∈ [90°; 180°], это II четверть;
  3. cos 9π/10 = cos (9 · 180/10) = cos 162°; т.к. 162° ∈ [90°; 180°], это II четверть;
  4. cos 7π/18 = cos (7 · 180/18) = cos 70°; т.к. 70° ∈ [0°; 90°], это I четверть;
  5. sin 3π/5 = sin (3 · 180/5) = sin 108°; т.к. 108° ∈ [90°; 180°], это II четверть;
  6. ctg 5π/3 = ctg (5 · 180/3) = ctg 300°; т.к. 300° ∈ [270°; 360°], это IV четверть;
  7. tg 4π/9 = tg (4 · 180/9) = tg 80°; т.к. 80° ∈ [0°; 90°], это I четверть;
  8. cos 9π/20 = cos (9 · 180/20) = cos 81°; т.к. 81° ∈ [0°; 90°], это I четверть.

Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол.

Нестандартные углы и периодичность

До сих пор мы рассматривали углы α ∈ [0°; 360°].

Но что произойдет, если, например, угол α = 420°? А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов.

Итак, что если угол α > 360°? Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз).

С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол α ∈ [0°; 360°]. Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:

  1. Перейти от радианной меры угла к градусной. Для этого достаточно сделать замену: π → 180°;
  2. Если полученный угол оказался больше 360°, отнимаем от него по 360° до тех пор, пока новый угол не окажется на отрезке [0°; 360°];
  3. Аналогично, если угол будет отрицательным, увеличиваем его на 360° до тех пор, пока он не попадет в отрезок [0°; 360°];
  4. Выясняем, в какой координатной четверти находится полученный угол, ориентируясь на стандартные границы: 90°, 180°, 270° и 360°.

Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:

  1. sin 21π/6;
  2. cos 19π/3;
  3. sin (−25π/9);
  4. tg (−11π/4).

Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке [0°; 360°]. И только затем выясняем координатную четверть. Получим:

  1. sin 21π/6 = sin (23 · 180/6) = sin 690°. Очевидно, что 690° > 360°, поэтому выполняем преобразование: sin 690° → sin (690° − 360°) = sin 330°. Но 330° ∈ [270°; 360°], это IV четверть;
  2. cos 19π/3 = cos (19 · 180/3) = cos 1140°. Поскольку 1140° > 360°, имеем: cos 1140° → cos (1140° − 360°) = cos 780° → cos (780° − 360°) = cos 420° → cos (420° − 360°) = cos 60°. Т.к. 60° ∈ [0°; 90°], это I четверть;
  3. sin (−7π/9) = sin (−7 · 180/9) = sin (−140°). Но −140° < 0°, поэтому увеличиваем угол: sin (−140°) → sin (−140° + 360°) = sin 220°. Поскольку 220° ∈ [180°; 270°], это III четверть;
  4. tg (−11π/4) = tg (−11 · 180/4) = tg (−495°). Т.к. −495° < 0°, начинаем увеличивать угол: tg (−495°) → tg (−495° + 360°) = tg (−135°) → tg (−135° + 360°) = tg 225°. Это уже нормальный угол. Т.к. 225° ∈ [180°; 270°], это III четверть.

Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать.

В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную.

Источник: https://www.berdov.com/ege/trigonometry/radian_degree_measure/

Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, обороты

Таблица . Единицы измерения углов (плоских) вводятся как:

Единицы измерения углов

тысячная (артиллерийская РФ) 1/6000 полного оборота
угловая секунда = 1'' 1/60 угловой минуты
угловая минута = 1' 1/60 углового градуса
угловой градус = 1° 1/360 полного оборота
радиан = 1 рад Угловая величина дуги длины=1 взятой на окружности радиуса=1 . Таким образом, величина полного угла равна 2 π радиан.
полный оборот = полный угол = оборот = 1 об. Очевидно

Таблица 1. Перевод угловых градусов, минут, секунд, радиан, оборотов в тысячные.

Перевод угловых градусов, минут, секунд, радиан, оборотов в тысячные.

Точно в тысячных Численное значение
1 угловая секунда = 1'' 6000/360*60*60=1/216 0,00462963 … тысячных
1 угловая минута = 1' 6000/360*60=5/18 0,27777778 … тысячных
1 угловой градус = 1° 6000/360=50/3 16,66666667 …. тысячных
1 радиан = 1 рад 6000/2π 954,92965855 … тысячных
1 полный оборот = полный угол = оборот = об. 6000 6000 тысячных

Таблица 2. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, радиан, оборотов в угловые секунды.

Перевод тысячных, угловых градусов, минут, радиан, оборотов в угловые секунды.

Точно в угловых секундах Численное значение
1 тысячная (артиллерийская РФ) 360*60*60/6000=216 216 угловых секунд
1 угловая минута = 1' 60 60 угловых секунд
1 угловой градус = 1° 360*60=21600 21600 угловых секунд
1 радиан = 1 рад 360*60*60/2π 206264,80624710…угловых секунд
1 полный оборот = полный угол = оборот = 1 об. 360*60*60=1296000 1296000 угловых секунд

Таблица 3. Перевод тысячных, угловых градусов, секунд, радиан, оборотов в угловые минуты.

Перевод тысячных, угловых градусов, секунд, радиан, оборотов в угловые минуты.

Точно угловых минут Численное значение
1 тысячная (артиллерийская РФ) 360*60/6000=18/5=3,6 3,6 угловых минут
1 угловая секунда = 1'' 1/60 0,01666667…угловых минут
1 угловой градус = 1° 60 60 угловых минут
1 радиан = 1 рад 360*60/2π 3437,74677078 … угловых минут
1 полный оборот = полный угол = оборот = 1 об. 360*60=21600 21600 угловых минут

Таблица 4. Перевод тысячных, угловых минут, секунд, радиан, оборотов в угловые градусы.

Перевод тысячных, угловых минут, секунд, радиан, оборотов в угловые градусы.

Точно в угловых градусах Численное значение
1 тысячная (артиллерийская РФ) 360/6000=3/50=0,06 0,06 угловых градусов
1 угловая секунда = 1'' 1/60/60=1/3600 0,000277778… угловых градусов
1 угловая минута = 1' 1/60 0,016666667 …. угловых градусов
1 радиан = 1 рад 360/2π 57,295779513 … угловых градусов
1 полный оборот = полный угол = оборот = 1 об. 360 360 угловых градусов

Таблица 5. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, оборотов в радианы.

Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, оборотов в радианы.

Точно в радианах Численное значение
1 тысячная (артиллерийская РФ) 2π/6000 0,0010471976… радиан
1 угловая секунда = 1'' 2π/360/60/60 0,0000048481…радиан
1 угловая минута = 1' 2π/360/60 0,0002908882… радиан
1 угловой градус = 1° 2π/360 0,0174532925…радиан
1 полный оборот = полный угол = оборот = 1 об. 6,2831853072 … радиан

Таблица 6. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, радиан в обороты.

Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, радиан в обороты.

Точно в оборотах Численное значение
1 тысячная (артиллерийская РФ) 1/6000 0,00016666667…оборотов
1 угловая секунда = 1''

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/FlatAngleDegrees/

Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

  • Таблица СИНУСОВ…
  • Таблица косинусов…
  • Таблица тангенсов…
  • Таблица котангенсов…

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)

π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2

α (градусы)

30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
SIN α (СИНУС)

1/2 2/2 3/2 1 -1

Полная таблица синусов для углов от 0° до  360° с шагом всего в 1° 

Угол в градусах
Sin (Синус)
0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872
0.1045
0.1219
0.1392
0.1564
10° 0.1736
11° 0.1908
12° 0.2079
13° 0.225
14° 0.2419
15° 0.2588
16° 0.2756
17° 0.2924
18° 0.309
19° 0.3256
20° 0.342
21° 0.3584
22° 0.3746
23° 0.3907
24° 0.4067
25° 0.4226
26° 0.4384
27° 0.454
28° 0.4695
29° 0.4848
30° 0.5
31° 0.515
32° 0.5299
33° 0.5446
34° 0.5592
35° 0.5736
36° 0.5878
37° 0.6018
38° 0.6157
39° 0.6293
40° 0.6428
41° 0.6561
42° 0.6691
43° 0.682
44° 0.6947
45° 0.7071
46° 0.7193
47° 0.7314
48° 0.7431
49° 0.7547
50° 0.766
51° 0.7771
52° 0.788
53° 0.7986
54° 0.809
55° 0.8192
56° 0.829
57° 0.8387
58° 0.848
59° 0.8572
60° 0.866
61° 0.8746
62° 0.8829
63° 0.891
64° 0.8988
65° 0.9063
66° 0.9135
67° 0.9205
68° 0.9272
69° 0.9336
70° 0.9397
71° 0.9455
72° 0.9511
73° 0.9563
74° 0.9613
75° 0.9659
76° 0.9703
77° 0.9744
78° 0.9781
79° 0.9816
80° 0.9848
81° 0.9877
82° 0.9903
83° 0.9925
84° 0.9945
85° 0.9962
86° 0.9976
87° 0.9986
88° 0.9994
89° 0.9998
90° 1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол в градусах
Sin (Синус)
91° 0.9998
92° 0.9994
93° 0.9986
94° 0.9976
95° 0.9962
96° 0.9945
97° 0.9925
98° 0.9903
99° 0.9877
100° 0.9848
101° 0.9816
102° 0.9781
103° 0.9744
104° 0.9703
105° 0.9659
106° 0.9613
107° 0.9563
108° 0.9511
109° 0.9455
110° 0.9397
111° 0.9336
112° 0.9272
113° 0.9205
114° 0.9135
115° 0.9063
116° 0.8988
117° 0.891
118° 0.8829
119° 0.8746
120° 0.866
121° 0.8572
122° 0.848
123° 0.8387
124° 0.829
125° 0.8192
126° 0.809
127° 0.7986
128° 0.788
129° 0.7771
130° 0.766
131° 0.7547
132° 0.7431
133° 0.7314
134° 0.7193
135° 0.7071
136° 0.6947
137° 0.682
138° 0.6691
139° 0.6561
140° 0.6428
141° 0.6293
142° 0.6157
143° 0.6018
144° 0.5878
145° 0.5736
146° 0.5592
147° 0.5446
148° 0.5299
149° 0.515
150° 0.5
151° 0.4848
152° 0.4695
153° 0.454
154° 0.4384
155° 0.4226
156° 0.4067
157° 0.3907
158° 0.3746
159° 0.3584
160° 0.342
161° 0.3256
162° 0.309
163° 0.2924
164° 0.2756
165° 0.2588
166° 0.2419
167° 0.225
168° 0.2079
169° 0.1908
170° 0.1736
171° 0.1564
172° 0.1392
173° 0.1219
174° 0.1045
175° 0.0872
176° 0.0698
177° 0.0523
178° 0.0349
179° 0.0175
180°

Таблица синусов для углов  181° — 270°

Угол
Sin (Синус)
181° -0.0175
182° -0.0349
183° -0.0523
184° -0.0698
185° -0.0872
186° -0.1045
187° -0.1219
188° -0.1392
189° -0.1564
190° -0.1736
191° -0.1908
192° -0.2079
193° -0.225
194° -0.2419
195° -0.2588
196° -0.2756
197° -0.2924
198° -0.309
199° -0.3256
200° -0.342
201° -0.3584
202° -0.3746
203° -0.3907
204° -0.4067
205° -0.4226
206° -0.4384
207° -0.454
208° -0.4695
209° -0.4848
210° -0.5
211° -0.515
212° -0.5299
213° -0.5446
214° -0.5592
215° -0.5736
216° -0.5878
217° -0.6018
218° -0.6157
219° -0.6293
220° -0.6428
221° -0.6561
222° -0.6691
223° -0.682
224° -0.6947
225° -0.7071
226° -0.7193
227° -0.7314
228° -0.7431
229° -0.7547
230° -0.766
231° -0.7771
232° -0.788
233° -0.7986
234° -0.809
235° -0.8192
236° -0.829
237° -0.8387
238° -0.848
239° -0.8572
240° -0.866
241° -0.8746
242° -0.8829
243° -0.891
244° -0.8988
245° -0.9063
246° -0.9135
247° -0.9205
248° -0.9272
249° -0.9336
250° -0.9397
251° -0.9455
252° -0.9511
253° -0.9563
254° -0.9613
255° -0.9659
256° -0.9703
257° -0.9744
258° -0.9781
259° -0.9816
260° -0.9848
261° -0.9877
262° -0.9903
263° -0.9925
264° -0.9945
265° -0.9962
266° -0.9976
267° -0.9986
268° -0.9994
269° -0.9998
270° -1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Угол
Sin (Синус)
271° -0.9998
272° -0.9994
273° -0.9986
274° -0.9976
275° -0.9962
276° -0.9945
277° -0.9925
278° -0.9903
279° -0.9877
280° -0.9848
281° -0.9816
282° -0.9781
283° -0.9744
284° -0.9703
285° -0.9659
286° -0.9613
287° -0.9563
288° -0.9511
289° -0.9455
290° -0.9397
291° -0.9336
292° -0.9272
293° -0.9205
294° -0.9135
295° -0.9063
296° -0.8988
297° -0.891
298° -0.8829
299° -0.8746
300° -0.866
301° -0.8572
302° -0.848
303° -0.8387
304° -0.829
305° -0.8192
306° -0.809
307° -0.7986
308° -0.788
309° -0.7771
310° -0.766
311° -0.7547
312° -0.7431
313° -0.7314
314° -0.7193
315° -0.7071
316° -0.6947
317° -0.682
318° -0.6691
319° -0.6561
320° -0.6428
321° -0.6293
322° -0.6157
323° -0.6018
324° -0.5878
325° -0.5736
326° -0.5592
327° -0.5446
328° -0.5299
329° -0.515
330° -0.5
331° -0.4848
332° -0.4695
333° -0.454
334° -0.4384
335° -0.4226
336° -0.4067
337° -0.3907
338° -0.3746
339° -0.3584
340° -0.342
341° -0.3256
342° -0.309
343° -0.2924
344° -0.2756
345° -0.2588
346° -0.2419
347° -0.225
348° -0.2079
349° -0.1908
350° -0.1736
351° -0.1564
352° -0.1392
353° -0.1219
354° -0.1045
355° -0.0872
356° -0.0698
357° -0.0523
358° -0.0349
359° -0.0175
360°

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Пример

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Bill4iam

Источник: https://kvn201.com.ua/table-of-sines.htm

Перевод градусов в радианы, перевод радианов в градусы на algebra24

  1. Гостям разрезали круглый торт на 12 равных кусков.

    Скольким радианам будет равен угол при вершине каждого из кусков? Посмотреть решение Решение:

    • Поскольку круг описывает угол 360 градусов, то каждый из кусков будет отсекать угол 360/12=30 градусов.
    • Чтобы найти радианную меру угла 30 градусов, воспользуемся формулой
    • $$ alpha = 30^0 cdot frac{ pi }{ 180^0 } = 30^0 cdot frac{3,14}{180^0} approx 0,524 rad $$

    Ответ:

    $$ alpha approx 0,524 rad$$

  2. Спутник Земли за некоторое время пролетел расстояние, равное 2 ее радиусам. Какой угол он при этом описал? Ответ подайте в радианах и градусах. Посмотреть решение Решение:

    Согласно определению, 1 радиан отсекает на окружности сектор с длиной дуги, равной радиусу. Таким образом, если дуга равна 2 радиусам, то отсеченный угол равен 2 радиана. Переведем 2 радиана в градусы, воспользовавшись формулой:

    $$ alpha = 2 cdot frac{ 180^0 }{ pi } = 2 cdot frac{180^0}{3,14}=114,592^0 $$

    Ответ:

    $$ alpha approx 114,592^0$$

  3. Двигаясь на север, капитан корабля решил повернуть на северо-восток. На сколько радиан ему нужно изменить курс судна? Посмотреть решение Решение:

    Угол между направлениями север и северо-восток составляет 45 градусов. Для его перевода в радианную меру применим формулу:

    $$ alpha = 45^0 cdot frac{pi}{180^0} = 45^0 cdot frac{3,14}{180^0} approx 0,785 $$ радиан.

    Ответ:

    $$ alpha approx 0,785 rad$$

  4. Определите центральный угол в градусах, если он отсекает дугу 16 см, не прибегая к измерениям. Радиус окружности 12 см. Посмотреть решение Решение:
    1. Для определения радианной меры центрального угла воспользуемся формулой θ=L/R, где L – длина дуги, R – радиус окружности. Чтобы перевести его в градусную меру, воспользуемся формулой:
    2. $$ heta^0 = heta cdot frac{180^0}{ pi} $$
    3. Преобразуем формулу и получим решение в виде:
    4. $$ heta^0 = L cdot frac{180^0}{(pi cdot R)} = 16 cdot frac{180^0}{3,14 cdot 12} = 76,433^0 $$

    Ответ:

    $$ heta approx 76,433^0$$

  5. Известно, что точка, двигаясь по окружности, произвела угловое перемещение на 15 радиан. На какой угол в градусах она отклонилась от первоначального положения после остановки? Посмотреть решение Решение:(способ 1)

    Для перевода 15 радиан в градусы воспользуемся формулой:

    $$ alpha^0 = alpha cdot frac{180^0}{pi} = 15 cdot frac{180^0}{3,14} = 859,87^0 $$

    С учетом того, что каждые $$360^0$$ — это полный оборот, найдем остаток от деления $$859,87^0$$ на $$360^0$$. Получим $$139,87^0$$.

    Ответ:

    $$ alpha = 139,87^0$$

    Решение:(способ 2)

    Учитываем, что полный оборот соответствует углу с радианной мерой $$2pi$$. Находим остаток от деления $$15$$ радиан на $$2pi approx 6,28 $$, получим $$2,44 $$радиана.

    Затем воспользуемся формулой для перевода в градусы:

    $$ alpha^0 = alpha cdot frac{180^0}{pi} = 2,44 cdot frac{180^0}{3,14} = 139,87^0 $$

    Ответ:

    $$ alpha = 139,87^0$$

Источник: https://algebra24.ru/gradus-radian

Ссылка на основную публикацию