В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов.
И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов.
Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:
- sin 00=0, cos 00 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
sin 900 = 1, cos 900 =0, ctg900 = 0,тангенс от 900 будет неопределенным - Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:
- sin 300 = 1/2, cos 300 = √3/2, tg 300 = √3/3, ctg 300 = √3
sin 450 = √2/2, cos 450 = √2/2, tg 450= 1, ctg 450 = 1
sin 600 = √3/2, cos 600 = 1/2, tg 600 =√3 , ctg 600 = √3/3 - Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:
- Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:
Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 00+3600*z …. 3300+3600*z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.
Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:
В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 10200 = 3000+3600*2. Найдем по таблице.
Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.
Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
- Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).
- Синус и косинус
- tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.
- tg до 900 и ctg малых углов.
Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.
Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.
Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.
При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054
При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 200 = 0.9397
Значения tg угла до 900 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 780 37мин = 4,967
а ctg 200 13мин = 25,83
Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в х!
Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Источник: https://reshit.ru/trigonometricheskaya-tablitsa
Измерение углов
Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.
Углы больше 360 градусов
Мы говорили о том, что когда объект делает полный круг вокруг точки, то он проходит 360°, однако, когда объект делает более одного круга, то он делает угол более 360 градусов. Это обычное явление в повседневной жизни. Колесо проходит многие круги, когда автомобиль движется, то есть оно образует угол больше 360°.
Для того, чтобы узнать количество циклов (пройденных кругов) при вращении объекта, мы считаем количество раз, которое нужно прибавить 360 к самому себе, чтобы получить число равное или меньшее, чем данный угол. Точно так же мы находим число, которое мы умножаем на 360, чтобы получить число меньшее, но наиболее близкое к данному углу.
-
Пример 2
1. Найти количество кругов, описанных объектом, образующем угол a) 380°
b) 770°
c) 1000° - Решение
a) 380 = (1 × 360) + 20
Объект описал один круг и 20°
Так как $20^{circ} = frac{20}{360} = frac{1}{18}$ круга
Объект описал $1frac{1}{18}$ кругов. b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Объект описал два круга и 50°
$50^{circ} = frac{50}{360} = frac{5}{36}$ круга
Объект описал $2frac{5}{36}$ круга
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^{circ} = frac{260}{360} = frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2frac{7}{9}$ кругов
Положительные и отрицательные углы
Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.
Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
- Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.
-
Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол a) -35°
b) -60°
c) -180° - d) — 670°
2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°
2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°
Радиан
Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.
Это единица измерения угловой величины. Такой угол примерно равен 57,3°.
В большинстве случаев, это обозначается как рад.
Таким образом $1 рад approx 57,3^{circ}$
Радиус = r = OA = OB = AB
- Угол BOA равен одному радиану
- Поскольку длина окружности задается как $2pi r$, то в окружности $2pi$ радиусов, а значит в целом круге $2pi$ радиан.
Радианы обычно выражаются через $pi$ во избежание десятичных частей в вычислениях. В большинстве книг, аббревиатура рад (rad)
не встречается, но читатель должен знать, что, когда речь идет об угле, то он задан через $pi$, а
единицами измерения автоматически становятся радианы.
-
$360^{circ} = 2pi rad$
$180^{circ} = pi rad$ - $90^{circ} = frac{pi}{2} rad$
- $30^{circ} = frac{30}{180}pi = frac{pi}{6} rad$
- $45^{circ} = frac{45}{180}pi = frac{pi}{4} rad$
- $60^{circ} = frac{60}{180}pi = frac{pi}{3} rad$
- $270^{circ} = frac{270}{180}pi = frac{27}{18}pi = 1frac{1}{2}pi rad$
Пример 4
1. Преобразовать 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радианы через $pi$.
- Решение
- $240^{circ} = 240 imes frac{pi}{180} = frac{4}{3}pi=1frac{1}{3}pi$
- $120^{circ} = 120 imes frac{pi}{180} = frac{2pi}{3}$
- $270^{circ} = 270 imes frac{1}{180}pi = frac{3}{2}pi=1frac{1}{2}pi$
- $750^{circ} = 750 imes frac{1}{180}pi = frac{25}{6}pi=4frac{1}{6}pi$
- $390^{circ} = 390 imes frac{1}{180}pi = frac{13}{6}pi=2frac{1}{6}pi$
Умножим углы на $frac{pi}{180}$.
2. Преобразовать следующие углы в градусы.
a) $frac{5}{4}pi$ b) $3,12pi$
c) 2,4 радиан
- Решение
- $2,4 = frac{2,4 imes 57,3}{1} = 137,52$
$180^{circ} = pi$
a) $frac{5}{4} pi = frac{5}{4} imes 180 = 225^{circ}$
b) $3,12pi = 3,12 imes 180 = 561,6^{circ}$ c) 1 рад = 57,3°
Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2pi$ радиан
Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2pi$.
Пример 5
1. Преобразовать $-frac{3}{4}pi$ и $-frac{5}{7}pi$ в позитивные углы в радианах.
-
Решение
Прибавляем к углу $2pi$
$-frac{3}{4}pi = -frac{3}{4}pi + 2pi = frac{5}{4}pi = 1frac{1}{4}pi$ - $-frac{5}{7}pi = -frac{5}{7}pi + 2pi = frac{9}{7}pi = 1frac{2}{7}pi$
Когда объект вращается на угол больший, чем $2pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.
-
Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах a) $-10pi$
b) $9pi$ - c) $frac{7}{2}pi$
-
Решение
a) $-10pi = 5(-2pi)$; $-2pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что - объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.
-
b) $9pi = 4(2pi) + pi$, $pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки -
c) $frac{7}{2}pi=3,5pi=2pi+1,5pi$, $1,5pi$ равно три четверти цикла $(frac{1,5pi}{2pi}=frac{3}{4})$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки
Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/ugli/izmerenie-uglov/izmerenie-uglov.html
Радианная и градусная мера угла
Здесь рассматриваем задачи Proc32 — Proc33 из задачника Абрамяна: описание функций преобразования углов из градусов в радианы и наоборот.
Так что такое радианная мера угла? Рассмотрим некоторую окружность радиуса R с центром в точке О. Поскольку окружность делится на 360 градусов, а длина окружности равна 2πR, то на 1 градус приходится длина дуги равная 2πR/360 = πR/180. Тогда углу α градусов соответствует длина дуги L = πRα/180.
В этом смысле очень интересна ситуация, когда длина дуги L равна радиусу окружности R. Каков при этом угол дуги? Вспоминая предыдущую формулу для вычисления длины дуги, имеем: πRα/180 = R, откуда πα/180 = 1, а отсюда получаем α = 180/π.
- Итак, если длина дуги равна радиусу окружности, то соответствующий угол равен 180/π. Этот угол называется радианом (Rad):
- 1 Rad = 180/π градуса.
- Таким образом,
- π радианов = 180°, а 1° = π/180 радиана.
- Радианная мера угла – это такая мера угла, при которой за 1 Rad принимается угол дуги, равной радиусу этой дуги. Поскольку 1 радиану соответствует длина дуги равная радиусу, то отсюда следует такой вывод:
- Величина радианной меры угла равна отношению длины дуги окружности к радиусу этой окружности.
Например, если длина дуги равна 1.5R, то радианная мера угла этой дуги равна 1.5; если длина дуги равна 0.25R, то радианная мера равна 0.25; для дуги длиной 2πR (вся окружность) радианная мера равна 2π и т.д. Вообще, для дуги длиной L угол в радианах равен L/R, где R – радиус.
Радиан – это очень удобный способ измерения углов, поскольку вместо самих углов мы можем оперировать коэффициентами отношений длин дуг и их радиусов. В высшей математике во всех тригонометрических функциях используется только радианная мера.
Proc32. Описать функцию DegToRad(D) вещественного типа, находящую величину угла в радианах, если дана его величина D в градусах (D — вещественное число, 0 ≤ D < 360). Воспользоваться следующим соотношением: 180° = π радианов. В качестве значения π использовать 3.14. С помощью функции DegToRad перевести из градусов в радианы пять данных углов.
Источник: https://progmatem.ru/proc/proc-32-33.html Радианная и градусная мера угла3 ноября 2011 В школьном курсе математики есть два определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
Для решения задачи B11 нужен именно алгебраический подход. Чуть позже мы убедимся, что такие задачи решаются элементарно — буквально с помощью одной формулы. Но для начала научимся быстро (буквально на лету) определять координатную четверть, в которой расположен искомый угол. В этом нам помогут следующие правила. Переход от радианной меры к градуснойВспомните: в 8—9 классах мы работали лишь с несколькими стандартными углами. А именно: 30°, 45° и 60°. В особо продвинутых случаях учителя рассказывали еще об углах 90° и 0°. Любые другие значения назывались «сложными», и возникновение таких углов, скорее всего, указывало на ошибку в решении. С введением тригонометрической окружности все ограничения на углы отпадают. Здесь я не буду рассказывать, как устроена тригонометрическая окружность — все это подробно описано в любом учебнике по математике. Вместо этого предлагаю обсудить другой вопрос — более важный, но которому почему-то не уделяется достаточно внимания. Речь идет о переходе от радианной меры угла к градусной. Исторически так сложилось (и небезосновательно), что углы на тригонометрической окружности измеряют в радианах. Например, полный оборот — 360° — обозначается как 2π радиан. А всеми любимый (или ненавидимый) угол 45° равен π/4 радиан. У многих возникает вопрос: при чем здесь число π? Ведь π ≈ 3,14. Так вот, чтобы избежать путаницы, запомните простое, но очень важное правило: Во всех тригонометрических функциях — синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе — можно без ущерба для здоровья заменять число π на 180°. Пишется это так: π → 180°. Обратите внимание: данное правило работает только для тригонометрических функций! Например, мы спокойно можем записать sin π = sin 180°. Но если мы хотим найти примерную длину отрезка l = 5π, придется считать: l = 5 · π ≈ 5 · 3,14 = 15,7. Разумеется, существует и обратное правило — переход от градусной меры угла к радианной. Однако нас это сейчас не интересует, поскольку в задачах B11 такой переход не встречается. Теперь взгляните на конкретные примеры:
Итак, перед нами восемь тригонометрических функций, аргументы которых заданы в радианах. Мы можем перейти от радианной меры аргументов к градусной по правилу: π → 180°. Имеем:
Итак, вместо непонятного множителя π мы получаем вполне вменяемое число, которое можно умножать и делить по стандартным правилам. Границы координатных четвертейТеперь, когда мы умеем заменять радианную меру углов градусной, попробуем переписать всю тригонометрическую окружность. Это будет ключом к решению задачи B11. Основные правила останутся прежними: «нулевой градус» совпадает с положительным направлением оси ОХ, а углы откладываются в направлении против часовой стрелки. Но числа, стоящие на границах координатных четвертей, станут другими. Взгляните: Отныне вместо непонятных «пи» и «пи-пополам» используйте простую и понятную шкалу:
Хорошая новость состоит в том, что эти правила очень быстро откладываются в голове — стоит лишь немного потренироваться. И вы точно не забудете эти числа на ЕГЭ по математике, чего нельзя сказать про радианную меру. Если же память на числа плохая, могу посоветовать одну хитрость. Взгляните еще раз на границы координатных четвертей: 90°, 180°, 270° и 360°. Первая из них — 90° — это прямой угол, знакомый еще из курса средней школы. Его вы точно не забудете. Остальные углы отличаются друг от друга на эти же самые 90°. Взгляните: 90° + 90° = 180°; 180° + 90° = 270°; 270° + 90° = 360°. Таким образом, даже если вы забудете эти числа, их всегда можно восстановить, если просто запомнить, что прямой угол — это 90°. А теперь разберем конкретные примеры. Будем учиться искать координатные четверти быстро, поскольку от этого умения напрямую зависит решение задачи B11. Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:
Для начала переведем все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. А затем найдем координатную четверть, ориентируясь по границам: 90°, 180°, 270°, 360°. Имеем:
Как видите, далеко не всегда можно найти значение самой тригонометрической функции. Например, попробуйте вычислить cos 162° или sin 108°. Зато мы всегда можем определить, в какой координатной четверти находится данный угол. Нестандартные углы и периодичностьДо сих пор мы рассматривали углы α ∈ [0°; 360°]. Но что произойдет, если, например, угол α = 420°? А как насчет отрицательных углов? Такие углы редко встречаются на ЕГЭ по математике (по крайней мере, в части B), но лучше застраховать себя от подобных «неожиданностей», поэтому предлагаю разобрать и такие задачи. Тем более, схема решения практически ничем не отличается от «стандартных» углов. Итак, что если угол α > 360°? Судя по тригонометрической окружности, точка сделает полный оборот — а затем пройдет еще чуть-чуть. Это самое «чуть-чуть» вычисляется очень просто. Достаточно отнять от исходного угла величину 360° (иногда это приходится делать несколько раз). С отрицательными углами работаем аналогично. Если добавлять к отрицательному углу величину 360°, мы очень скоро получим новый угол α ∈ [0°; 360°]. Таким образом, вся схема решения выглядит следующим образом:
Задача. Определите, в какой координатной четверти находится аргумент тригонометрической функции:
Снова переводим все углы из радиан в градусы по правилу: π → 180°. Дальше уменьшаем или увеличиваем аргумент на 360° до тех пор, пока он не окажется на отрезке [0°; 360°]. И только затем выясняем координатную четверть. Получим:
Вот и все! Обратите внимание: во втором пункте пришлось вычитать 360° три раза — и только затем получился нормальный угол. Аналогично, в четвертом пункте пришлось прибавлять два раза по 360°, чтобы выйти на положительный угол. Таким образом, добавлять и вычитать углы иногда приходится много раз — это не должно настораживать. В заключение хочу добавить, что если вы хорошо знаете математику и быстро ориентируетесь в радианных углах, то совсем необязательно переводить их в градусы. Однако большинство людей (и не только школьники) предпочитают именно градусную меру — знакомую еще со средней школы и, как следствие, более понятную. Источник: https://www.berdov.com/ege/trigonometry/radian_degree_measure/ Определение и численные соотношения между единицами измерения углов в РФ. Тысячные, угловые градусы, минуты, секунды, радианы, оборотыТаблица . Единицы измерения углов (плоских) вводятся как:
Таблица 1. Перевод угловых градусов, минут, секунд, радиан, оборотов в тысячные.
Таблица 2. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, радиан, оборотов в угловые секунды.
Таблица 3. Перевод тысячных, угловых градусов, секунд, радиан, оборотов в угловые минуты.
Таблица 4. Перевод тысячных, угловых минут, секунд, радиан, оборотов в угловые градусы.
Таблица 5. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, оборотов в радианы.
Таблица 6. Перевод тысячных, угловых градусов, минут, секунд, радиан в обороты.
Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/GuideMathematicsFiguresTables/FlatAngleDegrees/ Таблица СИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов
СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.
…
…
…
…
… Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе. Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать». Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла. Пример Чему равен синус 45? … — А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071 Bill4iam Источник: https://kvn201.com.ua/table-of-sines.htm Перевод градусов в радианы, перевод радианов в градусы на algebra24
Источник: https://algebra24.ru/gradus-radian Adblockdetector |