Уравнение моментов в физике

Представьте, что вы футболист и перед вами футбольный мяч. Чтобы он полетел, его нужно ударить. Всё просто: чем сильнее ударите, тем быстрее и дальше полетит, и бить будете, скорее всего, в центр мяча (см. рис. 1).

Рис. 1. Прямая траектория полета мяча (Источник)

А чтобы мяч в полете вращался и летел по искривленной траектории, вы ударите не в центр мяча, а сбоку, что и делают футболисты, чтобы обмануть соперника (см. рис. 2).

Рис. 2. Кривая траектория полета мяча

Здесь уже важно, в какую точку бить.

Еще один простой вопрос: в каком месте нужно взять палку, чтобы она при подъеме не перевернулась? Если палка равномерная по толщине и плотности, то возьмем мы её посередине. А если она с одного края массивнее? Тогда мы возьмем её ближе к массивному краю, иначе он перевесит (см. рис. 3).

Рис. 3. Точка подъема

Представьте: папа сел на качели-балансир (см. рис. 4).

Рис. 4. Качели-балансир

Чтобы его перевесить, вы сядете на качели поближе к противоположному концу.

Во всех приведённых примерах нам важно было не просто подействовать на тело с некоторой силой, но и важно, в каком месте, на какую именно точку тела действовать. Эту точку мы выбирали наугад, пользуясь жизненным опытом. А если на палке будет три разных груза? А если поднимать ее вдвоем? А если речь идёт о подъемном кране или вантовом мосте (см. рис. 5)?

Рис. 5. Примеры из жизни

Для решения таких задач интуиции и опыта недостаточно. Без четкой теории их решить уже нельзя. О решении таких задач сегодня и пойдёт речь.

Обычно в задачах у нас есть тело, к которому приложены силы, и мы их решаем, как всегда до этого, не задумываясь над точкой приложения силы. Достаточно знать, что сила приложена просто к телу. Такие задачи встречаются часто, мы умеем их решать, но бывает, что недостаточно приложить силу просто к телу, – становится важно, в какую точку.

Пример задачи, в которой размеры тела не важны

Например, на столе лежит маленький железный шарик, на который действует сила тяжести 1 Н. Какую силу нужно приложить, чтобы его поднять? Шарик притягивается Землей, мы будем действовать на него вверх, прикладывая некоторую силу.

Силы, действующие на шарик, направлены в противоположные стороны, и, чтобы поднять шарик, нужно подействовать на него с силой, большей по модулю, чем сила тяжести (см. рис. 6).

Рис. 6. Силы, действующие на шарик

Сила тяжести равна , значит, на шарик нужно подействовать вверх с силой:

Мы не задумывались, как именно мы берем шарик, мы его просто берем и поднимаем. Когда мы показываем, как мы поднимали шарик, мы вполне можем нарисовать точку и показать: мы воздействовали на шарик (см. рис. 7).

Рис. 7. Действие на шарик

Когда мы можем так поступить с телом, показать его на рисунке при объяснении в виде точки и не обращать внимания на его размеры и форму, мы считаем его материальной точкой. Это модель.

Реально же шарик имеет форму и размеры, но мы на них в этой задаче не обращали внимания. Если тот же шарик нужно заставить вращаться, то просто сказать, что мы воздействуем на шарик, уже нельзя.

Здесь важно, что мы толкали шарик с краю, а не в центр, заставляя его вращаться. В этой задаче тот же шарик уже нельзя считать точкой.

Мы уже знаем примеры задач, в которых нужно учитывать точку приложения силы: задача с футбольным мячом, с неоднородной палкой, с качелями.

Точка приложения силы важна также в случае с рычагом. Пользуясь лопатой, мы действуем на конец черенка. Тогда достаточно приложить небольшую силу (см. рис. 8).

Рис. 8. Действие малой силы на черенок лопаты

Что общего между рассмотренными примерами, где нам важно учитывать размеры тела? И мяч, и палка, и качели, и лопата – во всех этих случаях речь шла о вращении этих тел вокруг некоторой оси. Мяч вращался вокруг своей оси, качели поворачивались вокруг крепления, палка – вокруг места, в котором мы ее держали, лопата – вокруг точки опоры (см. рис. 9).

Рис. 9. Примеры вращающихся тел

Рассмотрим поворот тел вокруг неподвижной оси и увидим, что заставляет тело поворачиваться. Будем рассматривать вращение в одной плоскости, тогда можно считать, что тело поворачивается вокруг одной точки О (см. рис. 10).

Рис. 10. Точка вращения

Если мы захотим уравновесить качели, у которых балка будет стеклянной и тонкой, то она может просто сломаться, а если балка из мягкого металла и тоже тонкая – то согнуться (см. рис. 11).

Рис. 11. Стеклянная балка (слева) и балка из мягкого металла (справа)

Такие случаи мы рассматривать не будем; будем рассматривать поворот прочных жестких тел.

Неправильно будет сказать, что вращательное движение определяется только силой. Ведь на качелях одна и та же сила может вызвать их вращение, а может и не вызвать, смотря где мы сядем.

Дело не только в силе, но и в расположении точки, на которую воздействуем. Все знают, насколько трудно поднять и удержать груз на вытянутой руке.

Чтобы определять точку приложения силы, вводится понятие плеча силы (по аналогии с плечом руки, которой поднимают груз).

Плечо силы – это минимальное расстояние от заданной точки до прямой, вдоль которой действует сила.

Из геометрии вы наверняка уже знаете, что это перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую, вдоль которой действует сила (см. рис. 12).

Рис. 12. Графическое изображение плеча силы

Почему плечо силы – минимальное расстояние от точки О до прямой, вдоль которой действует сила

Проделаем такой опыт: привяжем к рычагу нить. Подействуем на рычаг с некоторой силой в точке, где привязана нить (см. рис. 13).

Рис. 13. Нить привязана к рычагу

Если создастся момент силы, достаточный для поворота рычага, он повернется. Нить покажет прямую, вдоль которой направлена сила (см. рис. 14).

Рис. 14. Направление силы

Попробуем потащить рычаг с той же силой, но теперь взявшись за нить. В воздействии на рычаг ничего не изменится, хотя точка приложения силы поменяется. Но сила будет действовать вдоль той же прямой, ее расстояние до оси вращения, то есть плечо силы, останется тем же. Попробуем подействовать на рычаг под углом (см. рис. 15).

Рис. 15. Действие на рычаг под углом

Теперь сила приложена к той же точке, но действует вдоль другой прямой. Ее расстояние до оси вращения стало малό, момент силы уменьшился, и рычаг может уже не повернуться.

На тело оказывается воздействие, направленное на вращение, на поворот тела. Это воздействие зависит от силы и от её плеча. Величина, характеризующая вращательное воздействие силы на тело, называется момент силы, иногда его называют еще вращающим или крутящим моментом.

Значение слова «момент»

Нам привычно употреблять слово «момент» в значении очень короткого промежутка времени, как синоним слова «мгновение» или «миг». Тогда не совсем понятно, какое отношение имеет момент к силе. Обратимся к происхождению слова «момент».

Слово происходит от латинского momentum, что означает «движущая сила, толчок». Латинский глагол movēre означает «двигать» (как и английское слово move, а movement означает «движение»). Теперь нам ясно, что вращающий момент – это то, что заставляет тело вращаться.

• Момент силы – это произведение силы на ее плечо.
• Единица измерения – ньютон, умноженный на метр: .

Если увеличивать плечо силы, можно уменьшить силу и момент силы останется прежним. Мы очень часто используем это в повседневной жизни: когда открываем дверь, когда пользуемся плоскогубцами или гаечным ключом.

Остался последний пункт нашей модели – надо разобраться, что делать, если на тело действует несколько сил. Мы можем вычислить момент каждой силы. Понятно, что если силы будут вращать тело в одном направлении, то их действие сложится (см. рис. 16).

Рис. 16. Действие сил складывается

Если в разных направлениях – моменты сил будут уравновешивать друг друга и логично, что их нужно будет вычесть. Поэтому моменты сил, которые вращают тело в разных направлениях, будем записывать с разными знаками. Например, запишем, если сила предположительно вращает тело вокруг оси по часовой стрелке, и  – если против (см. рис. 17).

Рис. 17. Определение знаков

1. Тогда мы можем записать одну важную вещь: чтобы тело пребывало в равновесии, сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю.
2. Формула для рычага
3. Мы уже знаем принцип действия рычага: на рычаг действуют две силы, и во сколько раз больше плечо рычага, во столько раз меньше сила:
4. Рассмотрим моменты сил, которые действуют на рычаг.

Выберем положительное направление вращения рычага, например против часовой стрелки (см. рис. 18).

Рис. 18. Выбор направления вращения

Тогда момент силы  будет со знаком плюс, а момент силы  – со знаком минус. Чтобы рычаг был в равновесии, сумма моментов сил должна быть равна нулю. Запишем:

• Математически это равенство и соотношение, записанное выше для рычага, – одно и то же, и то, что мы получили экспериментально, подтвердилось.

Например, определим, будет ли пребывать в равновесии рычаг, изображенный на рисунке. На него действуют три силы (см. рис. 19). ,  и . Плечи сил равны ,  и .

Рис. 19. Рисунок к условию задачи 1

Чтобы рычаг пребывал в равновесии, сумма моментов сил, которые на него действуют, должен быть равен нулю.

На рычаг по условию действуют три силы: ,  и . Их плечи соответственно равны ,  и .

1. Направление вращения рычага по часовой стрелке будем считать положительным. В этом направлении рычаг вращает сила , ее момент равен:
2. Силы  и  вращают рычаг против часовой стрелки, их моменты запишем со знаком минус:
3. Осталось вычислить сумму моментов сил:

Суммарный момент не равен нулю, значит, тело не будет пребывать в равновесии. Суммарный момент положительный, значит, рычаг будет поворачиваться по часовой стрелке (в нашей задаче это положительное направление).

Что произойдет с рычагом дальше?

Мы решили задачу и получили результат: суммарный момент сил, действующих на рычаг, равен . Рычаг начнет поворачиваться. И при его повороте, если силы не изменят направление, будут изменяться плечи сил. Они будут уменьшаться, пока не станут равны нулю, когда рычаг повернется вертикально (см. рис. 20).

Рис. 20. Плечи сил равны нулю

А при дальнейшем повороте силы станут направлены так, чтобы вращать его в противоположном направлении. Поэтому, решив задачу, мы определили, в какую сторону начнет вращаться рычаг, не говоря о том, что будет происходить потом.

Как толкать шкаф, чтобы он не перевернулся?

Мы знаем, что, когда мы толкаем шкаф с силой  в верхней его части, он переворачивается, а чтобы этого не произошло, мы толкаем его ниже. Теперь мы можем объяснить это явление. Ось его вращения находится на том его ребре, на котором он стоит, при этом плечи всех сил, кроме силы , либо малы, либо равняются нулю, поэтому под действием силы  шкаф падает (см. рис. 21).

Рис. 21. Действие на верхнюю часть шкафа

Прикладывая силу ниже, мы уменьшаем ее плечо , а значит, и момент этой силы, и опрокидывания не происходит (см. рис. 22).

Рис. 22. Сила приложена ниже

Шкаф как тело, размеры которого мы учитываем, подчиняется тому же закону, что и гаечный ключ, дверная ручка, мосты на опорах и т. п.

На этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений — 10-е изд., доп. – М.: Дрофа, 2006. – 192 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Abitura.com (Источник).
2. Solverbook.com (Источник).

Домашнее задание

1. Дайте определение плеча силы, момента сил.
2. Чему равна размерность момента сил?
3. Подвешенный однородный стержень с двумя грузами на концах находится в равновесии. Как нужно изменить плечо , чтобы стержень остался в равновесии, если массу первого груза увеличили в 2 раза?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/7-klass/rabota-moshnost-energija/moment-sily?konspekt

Момент силы: определения, единица измерения, примеры, относительно оси и точки

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы, действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело. 

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты. Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и момент инерции. В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0o или 180o. Каков эффект применения момента силы М?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a, момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

а следовательно

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Момент силы пример и решение задач относительно точки

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

• а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1: M = r • F = 1м • 2N = 2Н • м 
• б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0: 
• да направленная сила не может дать точке вращательное движение. 
• c)    поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5: 
• Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела, однако ее эффект будет меньше, чем в случае a).

M = 0 M = 0,5 r • F = 1Н • м. 

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P. В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo ). Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz. Комбинируя точку A (xo, yo, zo ) с началом системы, мы получаем вектор p.

 Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz.

Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где ( i, j, k) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

1. Координаты вектора моментов Mo (P) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:
2. Mz = Pyxo — Pxyo
3. Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже. 

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью.

 Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy, а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс  символом O.

Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось). 

Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет: Mx = 0, My = 0, Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo.

Метка крутящего момента: плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке, 

минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

Источник: https://meanders.ru/moment-sily.shtml

Статика – FIZI4KA

ЕГЭ 2018 по физике ›

Статика – это раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Виды равновесия тел

• Устойчивое равновесие – это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, возвращается в прежнее положение.

• Неустойчивое равновесие – это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, будет еще больше отклоняться от положения равновесия.

• Безразличное равновесие – это равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, не меняет своего положения.

Момент силы

Момент силы – это физическая величина, равная произведению модуля силы на ее плечо.

Обозначение – ​( M )​, единицы измерения – Н·м.

где ​( d )​ – плечо силы ​( F )​.

Плечо силы – это кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила. Обозначение – ​( d )​ или ​( l )​, единицы измерения – м.

Знак момента силы

Если сила, приложенная к телу, вращает его по часовой стрелке, то момент силы положителен (​( M )​ > 0):

Если сила, приложенная к телу, вращает его против часовой стрелки, то момент силы отрицателен (( M ) < 0):

Момент силы равен нулю, если плечо силы, приложенной к телу, равно нулю.

Условия равновесия тел

Тело находится в равновесии, если

1. векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю;
2. алгебраическая сумма всех моментов сил, вращающих тело по часовой стрелке, равна алгебраической сумме моментов сил, вращающих его против часовой стрелки:

• Центр тяжести – это точка внутри тела или вне его, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующих на отдельные его части, равна нулю. Центр масс – геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле:

Важно! Для твердого тела центр тяжести совпадает с центром масс.

Простые механизмы

1. Простые механизмы – это приспособления, служащие для преобразования силы.
2. Рычаг – это простейшее механическое устройство, представляющее собой твердое тело (перекладину), вращающееся вокруг точки опоры.

3. Рычаг дает выигрыш в силе:

Блок — простое механическое устройство, представляющее собой колесо с желобом по окружности, вращающееся вокруг своей оси. Желоб предназначен для каната, цепи, ремня и т. п.

Блок бывает подвижный и неподвижный.

• Неподвижный блок – это блок, ось которого закреплена.
• Неподвижный блок не дает выигрыша в силе, он используется для изменения направления действия силы.
• Подвижный блок – это блок, имеющий свободную ось.
• Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза:

«Золотое правило» механики

При использовании простых механизмов во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, т. е. простые механизмы выигрыша в работе не дают.

Давление жидкости

1. Давление жидкости – это величина, равная произведению плотности жидкости на модуль ускорения свободного падения и на высоту столба жидкости.
2. где ​(
   ho )​ – плотность жидкости, ​( h )​ – высота столба жидкости.
3. Сила давления жидкости – это сила, равная произведению давления жидкости на площадь поверхности:

Сообщающиеся сосуды

• Сообщающиеся сосуды – это сосуды, соединенные между собой ниже уровня жидкости.
• Закон сообщающихся сосудов: в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах любой формы давление жидкости на любом горизонтальном уровне одинаково.
• Следствия из закона сообщающихся сосудов:

• в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах высоты столбов жидкостей, отсчитываемых от уровня, ниже которого жидкость однородна (уровня mn), обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:

• в неподвижных и открытых сообщающихся сосудах однородная жидкость всегда устанавливается на одинаковом уровне независимо от формы сосудов.

Важно! Давление, которое создает жидкость, находящаяся в равновесии при действии на нее силы тяжести, называют гидростатическим. Гидростатическое давление определяется формулой ​( p=
ho gh )​. Давление внутри жидкости на любой глубине складывается из атмосферного давления, или внешнего давления на жидкость, и гидростатического давления:

где ​( p_0 )​ – атмосферное давление.

Закон Паскаля

1. Закон Паскаля Давление, производимое на жидкость или газ, передается по всем направлениям одинаково.
2. Следствие из закона Паскаля — гидростатический парадокс: давление, производимое на дно сосуда, зависит только от высоты столба жидкости:

Сила давления жидкости на дно разная, т.к. она зависит от площади дна:

• Гидравлический пресс – два сообщающихся сосуда, заполненные жидкостью и закрытые поршнями различной площади. Гидравлический пресс дает выигрыш в силе, но проигрыш в длине пути поршня:
• Силы, действующие на поршни гидравлического пресса, пропорциональны площадям этих поршней:

Атмосферное давление – это давление, которое оказывает атмосфера на все находящиеся в ней предметы. Атмосферное давление уменьшается с увеличением высоты подъема над Землей.

Нормальное атмосферное давление: ​( p_0 )​ = 105 Па.

Приборы для измерения давления:

• барометры – приборы, предназначенные для измерения атмосферного давления (ртутный барометр, барометр-анероид);
• манометры – приборы, предназначенные для измерения давлений жидкостей и газов.

Закон Архимеда

Архимедова сила – это выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ.

Причина возникновения выталкивающей силы – разница давлений жидкости или газа на верхнюю и нижнюю грани. Архимедова сила всегда направлена перпендикулярно поверхности жидкости.

1. Архимедова сила равна разности веса тела в воздухе и веса тела в жидкости или газе:
2. где ​( P_1 )​ – вес тела в воздухе, ​( P_2 )​ – вес тела в жидкости или газе.
3. Закон Архимеда На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа, вытесненных телом:
4. Если тело полностью погружено в жидкость, то
5. где ​( V_m )​ – объем тела, погруженного в жидкость.
6. Если тело не полностью погружено в жидкость, то
7. где ​( V_{чm} )​ – объем части тела, погруженной в жидкость.

Условия плавания тел

На любое тело, погруженное в жидкость или газ, действуют две силы, направленные в противоположные стороны, – это сила тяжести и архимедова сила. Направление движения тела зависит от того, какая из этих сил больше по модулю.

• Условия плавания тел

• Тело плавает внутри жидкости:

• Тело плавает на поверхности жидкости:

где ​( V_1 )​ – объем части тела, погруженной в жидкость.

Важно! Выталкивающая сила действует на тела в жидкостях и газах, потому что сжаты силой притяжения к Земле. В состоянии невесомости эта сила не действует.

Основные формулы по теме «Статика»

Источник: https://fizi4ka.ru/egje-2018-po-fizike/statika.html

Определение моментов импульса, силы и инерции. Уравнение моментов. Пример решения задачи :

Динамика вращения является одним из важных разделов современной механики, которая рассматривает законы вращательного перемещения тел вокруг осей и точек. В данной статье подробно изучим главное уравнение динамики вращения — уравнение моментов.

Момент импульса

Каждому школьнику известно, что представляет собой механический импульс, который более правильно называть количеством движения. Теперь предположим, что материальная точка, имеющая массу m, вращается вокруг оси O с линейной скоростью v. Если радиус вращения обозначить как r, тогда можно записать следующее выражение:

L¯ = [m*v¯*r¯].

Первые два множителя в правой части равенства являются линейным импульсом точки. Произведение векторное этого импульса на вектор r¯, направленный от оси вращения к точке, называется моментом импульса L¯.

Величина L¯ является векторной. Направлена она перпендикулярно плоскости вращения точки. Направление момента импульса материальной точки определяется с помощью правила правой руки либо правила буравчика. Вращение точки против часовой стрелки создает положительный момент импульса.

Поскольку скорость вращения v¯ направлена по касательной к круговой траектории, то векторное выражение можно переписать в скалярной форме:

L = m*v*r.

Момент силы

Это еще одна важная характеристика вращательного перемещения. Вводится в физике эта величина аналогичным образом, как и момент импульса материальной точки, только вместо количества движения в записанную выше формулу следует подставить касательную силу. Имеем:

M¯ = [r¯*F¯].

Момент силы, который также называется вращательным моментом, характеризует способность последней совершить поворот системы и придать ей угловое ускорение.

Направление вектора вращающего момента M¯ определяется по тем же правилам, что и для вектора L¯. Если система совершает ускоренное вращение, тогда M¯ и L¯ по направлению совпадают, если замедленное, то они будут противоположно направленными.

Если сила F¯ и радиус-вектор r¯ будут взаимно перпендикулярными, тогда векторная форма записи перейдет в аналогичную скалярную:

M = r*F.

Величину r называют рычагом силы. Чем больше его значения, тем больший момент создает сила F, и тем большим будет угловое ускорение системы.

Примерами, которые позволят яснее представить, в чем заключается физический смысл величины M¯, являются откручивание гайки специальным длинным ключом, процесс открывания двери с помощью ее толчка около ручки и около дверных петель, а также процесс удержания тела некоторой массы на вытянутой и прижатой к телу руке.

Момент инерции

Осталось дать определение третьему моменту, который используется для количественного описания процесса вращения. Момент инерции материальной точки, параметры которой были записаны в начале статьи, рассчитывается по формуле:

I = m*r2.

В отличие от двух других моментов (M¯ и L¯), момент инерции является скаляром. С помощью него описывают инерционные свойства системы (аналогия с массой при поступательном движении).

Очевидно, что для определения значения I для твердого тела сложной формы и неравномерной плотности, следует воспользоваться интегральным счислением:

I = ∫m(r2*dm).

Момент инерции I является характеристикой не только формы и распределения массы в системе вращения, но также он зависит от расположения оси. Например, многие замечали, что вращать металлический стержень или деревянную швабру вдоль оси, проходящей через их длину, гораздо проще, чем вдоль перпендикулярной оси. Во втором случае момент инерции принимает большее значение.

Уравнение моментов для материальной точки

Теперь пришло время перейти непосредственно к теме статьи. Если вращающий момент M действует в течение времени dt, тогда он приводит к изменению момента импульса на величину dL, то есть:

dL = M*dt.

Это равенство является дифференциальной формой записи уравнения моментов в физике. Перенесем член dt в левую часть равенства и перепишем dL в явном виде, получим:

dL/dt = M =>

m*dv*r/dt = M.

Вспомним, что линейная скорость в кинематике связана с угловой следующим равенством:

v = ω*r.

Подставляя его в уравнение моментов, получаем:

m*dω*r2/dt = M =>

I*α = M, где α = dω/dt, I = m*r2.

Полученное равенство часто используется для определения кинематических характеристик вращающейся системы, если известны момент внешних сил M и момент инерции I.

Закон сохранения величины L

Уравнение моментов показывает, как изменяется момент импульса, если действует внешний момент M. Что будет происходить с системой, если M окажется равным нулю? В таком случае величина L будет сохраняться. Математическая формула для такой ситуации записывается следующим образом:

L = const или

L = m*r*v = m*r2*ω = I*ω = const.

Заметим, что условие M = 0 должно соблюдаться только для внешних сил. Внутренние силы, создающие момент M, не могут изменить момент импульса системы.

Закон сохранения L используется для поворота искусственных спутников в космическом пространстве и в фигурном катании. Так, группируясь различным образом, спортсмен изменяет значение своего момента инерции, что приводит к пропорциональному изменению скорости его углового вращения.

Пример задачи

На материальную точку массой 2 кг действует сила 10 Н. Зная, что радиус вращения материальной точки вокруг оси составляет 0,5 м, а также учитывая, что сила действует по касательной к траектории, необходимо найти угловую скорость вращения точки через 5 секунд после начала движения.

Запишем уравнение моментов и выразим ускорение α:

I*α = M =>

α = M/I.

Подставим теперь выражения для M и I, учитывая условия задачи, имеем:

α = F*r/(m*r2) = F/(m*r).

Поскольку рассматриваемое движение происходит с постоянным ускорением α, то для вычисления величины ω подойдет следующая формула:

ω = α*t.

Подставляя в нее полученное выражение для α, приходим к конечной рабочей формуле:

ω = F*t/(m*r).

С учетом данных задачи, можно записать ответ: ω = 50 рад/c. Это значение соответствует практически 8 полным оборотам вокруг оси в секунду.

Источник: https://www.syl.ru/article/451038/opredelenie-momentov-impulsa-silyi-i-inertsii-uravnenie-momentov-primer-resheniya-zadachi

§ 68. Уравнение моментов

• Установим связь между моментом внешних сил и моментом импульса материальной точки (в соответствии с предыдущим, для случая, когда внешние силы лежат в плоскости, перпендикулярной к оси моментов). Если на материальную точку массы т действует сила F (это может
• быть равнодействующая многих сил), то уравнение второго закона Ньютона имеет вид
• d ^ — mv~F. at

Выберем какую-либо неподвижную ось, перпендикулярную к пло­скости движения точки. Пусть след этой оси есть точка О (рис. 136).

Проведем от точки О к точке массы т радиус-вектор г. При движе­нии точки этот радиус-вектор изменяется, т. е. г есть функция вре­мени. Умножим векторно обе части уравнения движения на г:

[r^mv =
F.   (10.3)

Правая часть этого уравнения есть момент сил, взятый относительно выбранной нами оси. Левая же часть, как мы увидим, есть производ­ная по времени от момента импульса материальной точки относительно

'r+clr

Рис. 136.        Рис. 137.

dt

Но dr есть элементарное изменение радиуса-вектора (рис. 137), т. е. элементарное перемещение точки за время dt> и, значит, dr/dt = v. Таким образом, первый член в правой части (10.4) есть векторное произведение двух колинеарных векторов (v и mv)9 которое, как известно, равно нулю. Следовательно,

rnv| = m©j + (т®)].   (10.4)

1. [rmv] — |V ~ mv J.
2. Поэтому уравнение (10.3) можно записать следующим образом:
3. ~[rmv] = [rf],
4. dt
5. или согласно определению (10.2)

f = M.   (10.5)

Рис. 138»

Уравнение моментов (10.5) гласит, что производная по времени от момента импульса N материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту М действующих на материальную точку сил относительно этой оси. В частности, если М = 0, то

N= const.        (10.6)

Силы не изменяют момента импульса относительно какой-либо оси, если сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю.

В нашем примере с равномерным движением материальной точки по окружности сила натяжения нити не изменяет момента импульса относительно оси, проходящей через центр вращения, именно потому, что мо­мент силы относительно этой оси равен нулю (сила проходит через ось). Если бы мы выбрали ось, не проходящую через центр вращения, то момент силы не был бы равен нулю и поэтому изменялся бы момент импульса относительно этой оси.

Примером движения, к которому может быть применен закон сохранения моментов, слу­жит движение планет по своим орбитам (рис. 138). Так как сила, действующая со стороны Солнца на планету, всегда направлена к центру Солнца S, то момент импульса планеты относи­тельно оси, проходящей через центр Солнца, всег­да остается постоянным.

Отсюда видно, что скорость планеты в перигелии Р должна быть больше скорости движения в афелии А в отношении r2/rlf так как моменты им­пульса тиггк и mv2r2 должны быть равны (угол между v и г в обоих случаях прямой). Для промежуточных положений нужно принять во внимание, что угол между г и тъ изменяется.

Однако, как легко видеть, г sin а для любой точки больше, чем rlf и поэтому скорость в любой точке меньше, чем в перигелии.

Уравнение моментов (10.5) указывает, как изменяется момент импульса матери­альной точки под действием сил. Так как dN = Mdt, то момент сил, совпадающий

Рассмотрим пример движения, при котором мо­мент импульса изменяется (рис.139): к круглой па­лочке на нерастяжимой нити привязан шарик (сил тяжести не будем принимать во внимание). Сообщим шарику начальную скорость v0 в направлении, пер­пендикулярном к нити.

Шарик начнет вращаться вокруг палочки, причем нить будет накручиваться на палочку и шарик будет двигаться по закручивающейся спирали.

Относительно оси О, совпадающей с осью палочки, момент силы не равен нулю (так как нить не проходит через ось палочки), и, следовательно, момент импульса отно­сительно этой оси не будет оставаться постоянным; можно показать, что он будет уменьшаться.

Уменьшение момента импульса шарика обусловлено тем, что на шарик действует момент силы натяжения нити F, направленный навстречу начальному моменту им­пульса шарика.

Действительно, в нашем примере начальный момент импульса от­носительно оси О, равный N— [г тфп], направлен на наблюдателя, а момент силы натяжения нити относительно этой оси направлен за чертеж. Следовательно, dN также направлен за чертеж, т.

е. навстречу N. Поэтому начальный момент импульса при движении уменьшается.

-О

Рис. 139.

Уравнение моментов справедливо для любой произвольно выбран­ной неподвижной оси. Но оно приобретает особенно простой вид для случая вращения по окружности, если в качестве оси моментов вы­брать ось, проходящую через центр окружности.

Так как, с другой стороны, для вращения по окружности v = cor, где со — угловая скорость вращения, то

• N = mr2 со     (10.7)
• и
• dN 9 d(o •— — тг* — dt dt'
• Уравнение моментов (10.5) принимает вид

= iИ.    (10.8)

Это уравнение записано нами в скалярной форме. Однако для рассмотренного частного случая легко восстановить его векторный характер, рассматривая угловую скорость и угловое ускорение как векторы.

Так как ось вращения постоянна, то вектор угловой ско­рости изменяется только по величине и, следовательно, вектор угло­вого ускорения направлен по оси вращения.

Вектор момента силы также направлен по оси вращения; эти векторы совпадают по на­правлению, и мы можем написать уравнение моментов в следую­щем виде:

/f=M,    (10.9)

где / = гаг2 для нашего частного случая представляет собой некото­рую скалярную величину.

В таком виде это уравнение аналогично уравнению Ньютона для линейных ускорений, но вместо сил в него входит момент сил, а вместо массы —величина / = тг2, которая называется моментом инерции материальной точки массы т относи­тельно данной оси.

При помощи момента инерции удобно выражать и момент импульса. Как видно из (10.7), при движении по окруж­ности момент импульса относительно оси вращения есть

N = 1 со.         (10.10)

Это выражение справедливо и для случая, когда движение про­исходит не по окружности и для любых неподвижных осей, но мы пока его получили и будем им пользоваться только для движения по окружности и для оси, проходящей через центр вращения. Опять

N=Ib>. (10.11)

В таком виде это выражение аналогично выражению для импульса, только вместо линейной скорости в него входит угловая скорость, а вместо массы —момент инерции.

Математический маятник

Применим уравнение моментов к задаче о движении так называемого «математи­ческого маятника», т. е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь (рис. 140).

За ось момента выберем горизонтальную ось, проходящую через точку подвеса перпендикулярно к плоскости качаний маятника. Момент силы натяжения нити относительно этой оси всегда равен нулю.

Момент же силы тяжести выразится так:

М = mgl sin а,

где I — длина нити, а — угол отклонения от вертикали. Момент импульса маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, выражается формулой (10.10), а момент инерции маятни­ка относительно той же оси есть / = ml2. Уравнение моментов (10.8) принимает вид

1. dcо _ mgl sin а
2. dt
3. ml2
4. Знак минус взят потому, что момент силы тяжести сообщает маят­нику угловое ускорение, обратное угловому отклонению. Так как d(d d2 а dt = di2> Т0

d2 a g . = Щ-sin а.

(j з) mgsi>nLt

dt2

Рис. 140.

Это — дифференциальное уравнение, определяющее угол отклоне­ния а как функцию времени. Для общего случая определение вида функции а (0 из полученного дифференциального уравнения тре­бует громоздких вычислений. Но если ограничиться малыми уг­лами а, то задача весьма упрощается. При малых углах можно заменить sin а че­рез а, и тогда уравнение движения маятника принимает вид

• dt2″ fa*
• (10.12)
• Это уравнение показывает, что а должно быть такой функцией времени, чтобы вторая производная от этой функции в любой момент была равна самой функции, умноженной на величину —g/L Такими свойствами, как известно, обладают гармони­ческие функции синус и косинус. Следовательно, при колебаниях маятника угол а должен меняться со временем по гармоническому закону, например по закону а = а0 cos р/, где а0 — амплитуда колебаний, а р = 2пп, причем п есть частота ко-

лебанин, т. е. число колебаний, совершаемых маятником в 1 сек. Очевидно, р есть число колебаний за 2я секунд; р называют угловой частотой колебаний

Однако не всякая гармоническая функция будет удовлетворять полученному нами дифференциальному уравнению, т. е. обращать его в тождество. Подставив а = а0 соspt в уравнение (10.12), получим:

1. р2а0 cos pt = а0 cos pt. Для того чтобы уравнение удовлетворялось, должно быть р2 — g/l, или
2. р = Vffl-           (10.13)
3. Это выражение определяет угловую частоту колебаний маятника. Следовательно,
4. а = а0 cos Vg/it.
5. Маятник совершит полное колебание за время Т, в течение которого повторяется значение функции синус или косинус. Это время определяется из условия
6. отсюда время полного колебания маятника — период маятника —

Г = 2л|Л7&.    (10.14)

При подстановке решения а = а0 cos pt в дифференциальное уравнение (10.12) а0 сократилось, т. е. амплитуда колебанийа0 не определяется из уравнения движения. При законе колебаний а = а0 cos pt величина а0 представляет собой то значение, которое принимает а при t~ 0, т. е.

начальное отклонение маятника. Амплитуда колебаний маятника а0 определяется начальными условиями, в частности в нашем случае величиной начального отклонения.

Если бы мы приняли, что колебания ма­ятника происходят по закону а — а0 sin pt, то это значило бы, что в момент / = 0 а = 0, т. е. что начало отсчета времени совпадает с одним из моментов, когда маят­ник проходит через среднее положение.

Наше рассмотрение показывает, что период колебаний маятника зависит от его длины (и ускорения силы тяжести), но не зависит от амплитуды. При любых ам­плитудах период колебаний будет один и тот же. Это свойство называется изохрон­ностью колебаний маятника.

Однако все наше рассмотрение справедливо только при малых отклонениях (когда sin а можно заменить через а). В частности, и свойство изохронности имеет место только при этих предположениях.

При больших отклонениях это уже не будет справедливо: момент силы тяжести будет расти медленнее, чем угол а (так как мо­мент пропорционален sin а), и маятник будет медленнее возвращаться к положению равновесия, т. е. период колебаний будет возрастать, и тем заметнее, чем больше отклонения.

При больших отклонениях маятник уже не обладает свойством изохрон­ности, так как период колебаний зависит от амплитуды.

Рассматривая колебания маятника, мы не учитывали того, что на маятник будут действовать силы трения и сопротивления среды. Эти силы приведут к тому, что коле­бания маятника будут постепенно затухать, т. е. уже не будут подчиняться закону а — а0 cos pt, где а() — постоянная величина.

Величина а0 будет с течением времени уменьшаться. Но если силы трения невелики, то это уменьшение величины а0 будет происходить очень медленно, а период маятника будет оставаться практически неиз­менным.

Поэтому колебания маятника являются одним из удобных методов отсчета постоянных промежутков времени.

Источник: http://bookzie.com/book_799_glava_71_%C2%A7_68._Uravnenie_momentov.html