Уравнение затухающих колебаний в физике

Характеристики затухающих колебаний.

1. Коэффициент затухания β.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

.

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды Азат.(t) и Азат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ— физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

где Азат.(t) и Азат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

где Ne – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Энергия затухающих колебаний

П осле подстановки сюда выражений , из (1.3.1) получим зависимость , которая графически представлена на рисунке 1.3.2.Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления.

Энергия системыпропорциональна квадрату амплитуды и при затухающих колебаниях убывает по закону

где —энергия колебаний в начальный момент времени(рис.1.3.2).

Билет 13.

В широком смысле, под волной понимают процесс распространения в пространстве колебаний или возмущений состояния вещества или поля с течением времени. Математически этот процесс выражается функцией, описывающей распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные.

Хар-ки бегущей волны:

1.Длина волны.

Минимальное расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания точки среды около положения равновесия, называется длиной волны .

Длиной волны называется наименьшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в фазе (т.е. разность их фаз равна ) .

Если точки разделены расстоянием , их колебания происходят в противофазе.

2. Фазовая скорость волны.

Из повседневного опыта известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды, например, глубина воды, не меняется, что говорит о том, что скорость распространения волнового процесса в пространстве остается постоянной. В случае гармонических бегущих волн (см. определение выше) эта скорость называется фазовой .

Фазовая скорость — это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны.

Связь длины волны , фазовой скорости и периода колебаний Т задается соотношением:

.

3. Фазовая скорость различна для разных сред. В случае упругих поперечных волн (в твердом теле) фазовая скорость равна:

,

где — модуль сдвига среды, -ее плотность в невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна).

• Фазовая скорость упругих продольных волн в твердом теле равна
• ,
• где Е — модуль Юнга, — плотность невозмущенной среды (твердого тела до момента распространения по нему волны).
• Фазовая скорость продольных волн в жидкости и газе определяется соотношением:
• ,
• где К – модуль объемной упругости среды – величина, характеризующая способность среды сопротивляться изменению ее объема, — плотность невозмущенной среды.
• Фазовая скорость продольных волн в идеальном газе задается формулой:
• ,

— показатель адиабаты, — молярная масса, Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная. Фазовая скорость в газе зависит от сорта газа ( ) и от его термодинамического состояния (Т).

4. Фронт волны. Волновая поверхность.

1. При прохождении волны по среде ее точки вовлекаются в колебательный процесс последовательно друг за другом.
2. Геометрическое место точек, до которого к некоторому моменту времени дошел колебательный процесс, называется волновым фронтом .
3. Геометрическое место точек, колеблющихся в фазе, называется волновой поверхностью .

Волновой фронт – частный случай волновой поверхности. Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности остаются неподвижными. Они проходят через положения равновесия частиц среды, которые колеблются в одинаковой фазе.

5. Уравнение бегущей волны.

• Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении по ней волны.
• ,
• где — смещение точки О от положения равновесия, — частота, А – амплитуда колебаний.

6. Волновое уравнение.

,

где — фазовая скорость волны.

Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены для случая одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В волновое уравнение входят вторые частные производные по времени и координате от смещения потому, что есть функция двух переменных t и y.

7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек среды.

1. Если смещение любой точки среды с координатой y в момент времени t задано уравнением:
2. ,
3. то скорость этой точки есть величина , а ускорение —
4. (5)

Уравнение (5) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х.

Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Уравнение (5) соответствует случаю, когда частицам в начальный момент была сообщена начальная скорость.

Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (5) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х, меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х=0, на величину, равную .

• Если плоская волна распространяется в направлении убывания х(налево), то уравнение (5) преобразуется к виду:
• (6)
• Билет 14.

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т. е.

ее свойства не изменяются под дей­ствием возмущений, создаваемых волной, то к ним применимпринцип суперпозиции (наложения) волн:при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирую­щее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают части­цы, участвуя в каждом из слагающих во­лновых процессов.

С тоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.

Представим себе, что в точке S(рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль лучаOраспространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е.

вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная.

Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.

Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.

В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.

Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе.

1. Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
2. Билет 15.
3. Концепция Эйнштейна позволяет отказаться от существования эфира и построить теорию, называемую ныне специальной теорией относительности (СТО) и и подтверждаемая всеми известными сегодня опытами.
4. В основе СТО лежат два постулата.
5. «Принцип постоянства скорости света».
6. Скорость света не зависит от скорости движения источника света, одинакова во всех инерциальных системах координат, и равна в вакууме с=3×108м/с.
7. Позднее, в общей теории относительности (ОТО), опубликованной в 1916 году, утверждалось, что скорость света остается неизменной и в неинерциальных системах координат.

Рекомендуемые страницы:

Источник: https://poisk-ru.ru/s38844t9.html

Магнитомеханические явления. Электромагнитная индукция. Гармонические колебания. Затухающие колебания (Главы 4-7 учебного пособия по общей физике), страница 16

Мы вновь получили однородное дифференциальное уравнение
второго порядка.

Данное уравнение ничем не отличается
от того, которое было получено для пружинного маятника в предыдущем разделе.
Следовательно, его решение имеет такой же вид: , где .

Это означает, что в
колебательном контуре с потерями энергии могут происходить затухающие
колебания.

7.3.  Характеристики затухающих
колебаний

Из решения
дифференциального уравнения видно, что амплитуда затухающих колебаний
уменьшается с течением времени по закону . Чем
больше коэффициент b,
тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний. Поэтому его называют коэффициентом
затухания.

Поскольку , постольку колебания затухают тем быстрее,
чем больше коэффициент трения r и чем меньше масса колеблющегося груза m.

Этот вывод достаточно легко
понять – чем больше трение, которое препятствует всякому движению, тем быстрее
пре-кратится колебательное движение реального осциллятора. Умень-шение массы
означает, что уменьшается запас кинетической энергии осциллятора и поэтому при
равном трении энергия будет быстрее израсходована на его преодоление.

Если обозначить символом t время, за которое амплитуда колебаний
уменьшится в е раз, то , т. е. bt = 1 и .

• Таким образом, b есть величина, обратная времени, за
  которое амплитуда уменьшается в е раз.
• Время t называют временем релаксации
• В качестве характеристики
  затухания колебаний используется также логарифмический декремент затухания

1. где A(t) –
   амплитуда колебания в некоторый момент t; A(t + T) –
   амплитуда колебания через один период затухающего колебания.
2. Из последнего соотношения
   следует, что l = bT.
3. Целесообразность использования такой
   характеристики видна из следующего.

Поскольку l = bT, а
b = 1/t, постольку .
Но Т – это время, за которое совершается одно колебание, а t – время, за которое произойдёт, в
общем случае, несколько колебаний*.

Тогда

• где Nе – число
  колебаний, в ходе которых амплитуда уменьшится в е раз.
• Таким образом, b и l являются характеристиками затухания, дополняющими друг друга:
  b показывает, как быстро затухают
  колебания, но при этом не содержит информации о количестве колебаний; l же показывает, за сколько колебаний
  амплитуда уменьшится в е раз, но ничего не говорит о времени, за которое
  произойдёт это уменьшение.
• Из решения
  дифференциального уравнения также следует, что частота затухающих колебаний w меньше частоты колебаний идеального
  маятника wо: .

Циклические частоты w и wо соотносятся
следующим образом. Допустим, маятник совершает затухающие колебания с частотой w; если избавиться от трения, он будет
совершать гармонические колебания с частотой wо.

1. Поскольку , где r – коэффициент трения, с
   ростом трения частота затухающих колебаний уменьшается.
2. Колебания, совершаемые
   пружинным маятником с трением, не являются гармоническими.
3. ____________________________
4. * В ходе этих колебаний амплитуда как
   раз и уменьшится в е раз.

Они также не являются и
периодическими. Однако в физике принято использовать так называемый период
затухающих колебаний ; при этом под Т
подразумевают время, за которое совершается одно колебание. 

7.4.  Критическое затухание

На качественной основе в
разд. 7 было показано, что при достаточно большом трении колебания станут
невозможны. Выведенная из положения равновесия колебательная система просто
вернётся в него.

В этом случае решение
диффе-ренциального уравнения принимает такой вид:

т. е. х от времени зависит экс-поненциально, колебаний
нет. Система, которую вывели из положения равновесия, действительно постепенно
возвращается в него (см. рисунок).

Затухание, при котором , называют критическим. При таком (и
большем) затухании колебания в системе невозможны.

Источник: https://vunivere.ru/work23450/page16

Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

http://www.pppa.ru/additional/02phy/04/phy_kv_07.php

• Затухающие колебания — свободные колебания механической системы при наличии сил трения или сил сопротивления среды.
• Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде
• s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс
• d=const — коэффициент затухания

w 0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс.

http://koi.tspu.ru/waves/ch3_1.htm

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы).

Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы.

 Рассмотрим вынужденные колебания на примере реального (с трением) пружинного маятника. Будем отталкиваться от уравнения движения (второй закон Ньютона), которое мы написали для затухающих колебаний. При наличии дополнительной вынуждающей силы F(t) необходимо дописать ее в правую часть уравнения. В каноническом виде дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний имеет вид:

Для пружинного маятника:

и

при  .

где А — амплитуда вынужденных колебаний, j۪ — сдвиг фаз между смещением и приложенной силой.

   Получившиеся колебания подчиняются закону синуса (или косинуса), то есть являются синусоидальными или гармоническими. Но это не свободные колебания в системе без трения; здесь вынуждающая сила постоянно поставляет энергию в систему, в точности компенсирующую потери на преодоление сил трения.

   Необходимо теперь найти амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз. Для этого необходимо подставить выражение для х в дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Обратите внимание, что необходимо найти два неизвестных из одного уравнения. Это возможно, если в процессе вычислений воспользоваться дополнительным (очевидным в процессе выкладок) условием.

Попытайтесь проделать это.

Для амплитуды и сдвига фаз получаются следующие выражения:

здесь w0 — частота свободных (незатухающих) колебаний маятника; b — коэффициент затухания.

   Обратите внимание, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты маятника. Максимальное значение амплитуды получается, если

   Частота  называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса.

График зависимости А(W) носит название резонансной кривой. Обратите внимание, что резонансная частота механических колебаний зависит от коэффициента затухания (а с ним и от коэффициента силы трения).

Если силы трения отсутствуют, амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

1.    Помимо поведения амплитуды при резонансной частоте рассмотрим ещё два предельных случая:  и
2.    В первом мы получим обычное статическое смещение маятника под действием постоянной силы F0 (статическое растяжение пружины):
3.    Во втором случае амплитуда равна нулю: инерция маятника не может успевать реагировать на бесконечную частоту.

   Зависимость сдвига фаз от соотношения частот представлена на рисунке. Сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой обусловлен инерцией маятника.

• Молекулярная физика

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 174;

Источник: https://studopedia.net/13_22827_zatuhayushchie-kolebaniya-differentsialnoe-uravnenie-zatuhayushchih-kolebaniy.html

Колебания. Затухающие и незатухающие

Повторяющиеся процессы определяют нашу жизнь. Зима сменяет лето, день сменяет ночь, вдох сменяет выдох. Бежит время, и его мы тоже отмеряем повторяющимися процессами. Повто­ряющиеся процессы и есть колебания.

Колебаниями называются повторяющи­еся во времени изменения физической величи­ны.

Если эти изменения повторяются через оп­ределенный интервал времени, то колебания называются «периодическими». Наименьший интервал времени T, через который повторяют­ся значения физической величины A(t), называ­ется периодом ее колебаний A(t + Т) = A(t).

Число колебаний в единицу времени v называ­ется частотой колебаний. Частота колебаний и период связаны соотношением v = 1 / Т. Колебания системы, которые совершаются в от­сутствие внешнего воздействия, называются свободными.

Это внешнее воздействие выводит систему из положения равновесия, и в дальнейшем она совершает дви­жение около положения равновесия, уходя и возвращаясь к нему, по инерции проскакивая его. И так повторяется раз за разом. Движение в данном контексте означает измене­ние состояния.

В механических системах это может быть перемещение в пространстве или изменение давления, в электрических — изменение величины заряда или напря­женности поля. Существует бесконечное множество раз­личных движений и соответствующих им колебательных процессов.

Любую систему, соверша­ющую колебательное дви­жение, именуют «осцилля­тор» (в пер. с лат. oscillo — «колеблюсь»), соответст­венно и слово «колеба­ния» часто заменяют тер­мином «осцилляции».

• Если амплитуда колебаний не меняется во времени, гармо­нические колебания называются незатухающими.
• Диффе­ренциальное уравнение, описывающее гармонические не­затухающие колебания, имеет вид:
• d2A(t) / dt2 + ω02A(t) = 0.
• Производную по времени в физике принято обозна­чать точкой над дифференцируемой функцией. Тогда уравнение записывается:
• Ȧ + ω02A = 0.
• Если амплитуда уменьшается с течением времени, коле­бания называются затухающими.
• Часто встречающийся пример затухающих колебаний — колебания, в кото­рых амплитуда уменьшается по закону
• A0(t) = a0e-βt.
• Коэффициент затухания β > 0.

В системе СИ время из­меряется в с, а частота со­ответственно в обратных секундах (с-1). Эта единица измерения имеет специ­альное название «герц», 1 Гц = 1 с-1. Немецкий фи­зик Генрих Рудольф Герц много занимался изуче­нием электромагнитных колебаний и волн. «Ген­рих Герц» — первые слова, посланные с Земли в кос­мос. Материал с сайта http://worldofschool.ru

Затухающие периодические колебания

Затухающие апериодические колебания

На этой странице материал по темам:

Источник: http://WorldOfSchool.ru/fizika/volnovaya/t-kolebanij/kolebaniya.-zatuhayushhie-i-nezatuhayushhie

Уравнение затухающих колебаний

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут длиться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, в результате чего энергия движения объекта рассеивается трением. В электромагнитных цепях колебания затухают из-за сопротивления проводников.

• График затухания
• Затухающее уравнение
• Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме он записывается следующим образом:

Из этого выражения вы можете получить другую каноническую форму:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается вязким трением. И наоборот — чем больше масса (и, следовательно, инерция) тела, тем дольше он будет продолжать двигаться.

Строго говоря, в случае затухающих колебаний невозможно говорить о периоде — время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако, если колебания медленно исчезают, для них с достаточной точностью вы можете определить период T:

Циклическая частота затухающих колебаний

Другой характеристикой затухающих колебаний является циклическая частота:

1. Время релаксации — это коэффициент, указывающий, как долго амплитуда колебаний уменьшается в e раз:
2. Отношение амплитуды переменной в два последовательных периода называется коэффициентом затухания:
3. Такая же характеристика в расчетах часто представляется как логарифм:
4. Коэффициент качества Q характеризует, насколько упругие силы системы превышают силы сопротивления среды, предотвращая диссипацию энергии:
5. Примеры решения проблем
6. ПРИМЕР 1

Задача

После того, как груз был подвешен к весне, он растянулся на 9,8 см. Весна колеблется в вертикальном направлении .Определите период колебаний.

Решение

• Поскольку весна растягивается под весом, на ней действует гравитация:
• Сила тяжести противодействует пружинной силе:
• Из двух выражений получаем коэффициент упругости:
• Замените коэффициент упругости в формуле для периода затухающих колебаний:
• Зная, что декремент логарифмического демпфирования , из него выражаем неизвестную величину , подставляем в знаменатель формулы и выражаем T:

Ответ

1. Т = 0,7 с
2. ПРИМЕР 2

Задача

Затухающие колебания характеризуются следующими параметрами: периодом T = 4 с, логарифмическим декрементом демпфирования . В начальный момент не было фазового отклонения. Когда система прошла четверть периода, отклонение точки составляло 4,5 см. Получите уравнение этого колебания, а также график.

Решение.

• Используйте уравнение для затухающих колебаний в канонической форме:
• Поскольку при t = 0 не было фазового отклонения, второй член в аргументе косинуса равен нулю.
• Определите циклическую частоту:
• Найти коэффициент затухания:
• Подставим найденные параметры, а также отклонение точки в момент времени в каноническое уравнение:
• Тогда уравнение для этих колебаний примет окончательный вид:
• В соответствии с этим мы вычисляем значения x для моментов времени до t = 3T = 12 c включительно и строим график.

Ответ

Источник: https://sciterm.ru/spravochnik/uravnenie-zatuhayushih-kolebanij/