Внесение под знак дифференциала, с примерами

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решениймы научились раскрывать дифференциал. Напоминаем пример, который мы приводили:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Формула индукции магнитного поля, b

Оценим за полчаса!

Внесение под знак дифференциала, с примерами

  • То есть, раскрыть дифференциал – это почти то же самое, что найти производную.
  • Пример 1
  • Найти неопределенный интеграл.

Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу:

Внесение под знак дифференциала, с примерами

Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию (3x + 1) под знак дифференциала:

Внесение под знак дифференциала, с примерами

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что, действительно, проведено тождественное преобразование:

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!
Читайте также:  Физические и химические свойства галогенов

Оценим за полчаса!

Внесение под знак дифференциала, с примерами

Фактически

и Внесение под знак дифференциала, с примерами – это запись одного и того же.

Внесение под знак дифференциала, с примерами

  1. Почему так, а не иначе?
  2. ФормулаВнесение под знак дифференциала, с примерами и все другие табличные формулы справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменнойx, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ(в нашем примере — это 3x + 1) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.
  3. Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так:

«Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент (3x + 1) и формулой я сразу воспользоваться не могу. Но если мне удастся получить (3x + 1) и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу d(3x + 1), тогда: d(3x + 1) = (3x + 1)’dx = 3dx.

  • Но в исходном интеграле
  • множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо её домножить на (1/3)».
  • В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
  • .
  • Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово. Единственное отличие: у нас не буква «икс», а сложное выражение (3x + 1).

  1. Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:
  2. Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
  3. Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции .
  • По сути дела, подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.
  • Пример 2
  • Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь:

  1. .
  2. Подводим функцию (5 — 2x) под знак дифференциала:
  3. Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: .
  4. Получается -2dx, значит, чтобы ничего не изменилось, надо домножить интеграл на (-1/2).
  5. Далее используем табличную формулу
  6. :
  7. Проверка:
  8. Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
  9. Пример 3
  10. Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл

. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

  • При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
  • И так далее.
  • В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на случае, когда в линейной функции переменная x входит с единичным коэффициентом, например:
  • .
  • Строго говоря, решение должно выглядеть так:
  • .

Как видите, подведение функции (x+3)под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.



Источник: https://infopedia.su/15xdd00.html

11.1.4. Непосредственное интегрирование

Что такое непосредственное интегрирование? Это интегрирование с использованием свойств и простейшей таблицы интегралов (Интегралы). Рассмотренный метод подведения под знак дифференциала (занятие 11.1.

3) также относится к непосредственному интегрированию, так как нашей новой переменной служила линейная функция вида u=kx+b, но никаких новых букв мы не использовали, а просто применяли свойство VI (Интегралы), а именно:

Внесение под знак дифференциала, с примерами Это свойство значительно расширяет таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией. В занятии 11.1.3. мы учились применять метод подведения переменной под знак дифференциала, используя формулы 1) и 2) (Интегралы), причем, прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду:

  • ∫f (φ(x))φ′(x) dx=∫f (u) du, где u=φ(x).     
  • Далее, продолжим непосредственное интегрирование с помощью остальных формул таблицы интегралов.
  • Рассмотрим пример на применение формулы 5) (Интегралы), а именно формулы:
  • Внесение под знак дифференциала, с примерами
  • Внесение под знак дифференциала, с примерами

В примере 1 неявно подразумевалось u=9x-2, что и позволило нам применить свойство VI и формулу 5), в результате чего под знак дифференциала мы подвели (9х-2). Перед знаком интеграла стоит множитель 1/9, так как d (9x-2)=9dx.

  1. Рассмотрим пример на применение формулы 4) (Интегралы), а именно, формулы:
  2. Внесение под знак дифференциала, с примерами
  3. Внесение под знак дифференциала, с примерами

В примере 2 неявно подразумевается u=25x-1, поэтому, под знак дифференциала подвели 25х-1, отсюда du=25dx. Вот почему перед интегралом стоит множитель 1/25.

Запись имеет метки: непосредственное интегрирование

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-1-4-neposredstvennoe-integrirovanie.html

Подведение числителя под знак дифференциала

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа, они имеют вид: или Внесение под знак дифференциала, с примерами

(коэффициенты a, b и f не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14

Найти неопределенный интеграл

  • Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм.
  • 1) Когда дан интеграл вида
  • или Внесение под знак дифференциала, с примерами

(где коэффициенты a, b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

3) Раскрываем дифференциал:

Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x. В данном случае с подходящим множителем получится:

  1. 4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:
  2. Снова смотрим на числитель нашего интеграла:

. Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2).

  • 5) К нашему дифференциалу
  • приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:
  • .
  • – Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)
  • наше «не то» слагаемое:
  • – Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:
  • – Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:
  • .
  • 6) Выполняем проверку:
  • У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.
  • Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1) Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2) Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

(3) Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4) Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу (константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.

  1. И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.
  2. Пример 15
  3. Найти неопределенный интеграл
  4. .
  5. Пример 16
  6. Найти неопределенный интеграл
  7. .
  8. Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:
  9. .
  10. Как видите, интегрирование дробей — дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать…

Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.

  • Решения и ответы:
  • Пример 2: Решение:
  • .
  • Пример 4: Решение:
  • .
  • Пример 7: Решение:
  • Пример 8: Решение:
  • .
  • Пример 10: Решение:
  • .
  • Пример 13: Решение:
  • .
  • Пример 15: Решение:
  • Пример 16: Решение:
  • .

Источник: https://megaobuchalka.ru/1/34162.html

Интегралы. Внесение под знак дифференциала

В рамках данной статьи мы разберём следующие понятия:

  • первообразная;
  • неопределённый интеграл;
  • интегрирование по частям.

Первообразная и неопределённый интеграл

Интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции.

Определение 1

Первообразной функция $F(x)$ для функции $y=f(x)$ называется тогда, когда на некотором промежутке $(a,b)$ для любого $xin (a,b)$ выполняется равенство $F'(x)=f(x)$.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Задание. Найти первообразную $f(x)=x^5$.

Решение. $F'(x)=(frac{x^6}{6})'=frac{1}{6}(x^6)'=frac{1}{6}6x^5=x^5.$

Обратим внимание, что функции $g_1(x)=frac{x^6}{6}+7; g_2(x)=frac{x^6}{6}+322$ также имеют первообразную, которая равна $x^5$. То есть к выражению $frac{x^6}{6}$ можно прибавить любую постоянную $C$. Получается, что решение задачи нахождение первообразной не единственно, и решений много.

Дадим определения.

Определение 2

Неопределённый интеграл для непрерывной функции $y=f(x)$ — это выражение $int f(x)dx$, которое объединяет множество всех первообразных функций.

$int f(x)dx=F(x)+C$, где $F'(x)=f(x)$.

Читайте также:  Формулы периметра квадрата и примеры применения

Внесение под знак дифференциала, с примерами

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

  • Интегрирование функции — это операция нахождения неопределённого интеграла.
  • Это действие является обратным операции дифференцирования (то есть обратным действию нахождения производной).
  • Пример интеграла: $int x^2 dx=x^2+C$.

Интегрирование по частям

  1. Действие внесения функции под знак дифференциала относится к одному из основных методов интегрирования — интегрированию по частям.

    Для применения этого метода используется следующее равенство:

  2. $int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-int v(x)du(x)$.

  3. Для рассмотрения примеров вычисления интегралов данным методом, необходимо привести некоторые формулы неопределённых интегралов:
  4. $int x^adx=frac{x^{a+1}}{a+1}+C, x>0, a
    eq -1$;
  5. $int e^x dx=e^x + c$.

Пример 2

Условие. Вычислить интеграл $int x e^xdx$.

  • Решение. Занесём функцию $e^x$ под знак дифференциала:
  • $int xe^xdx = int xd(e^x)=xe^x-int e^xdx=xe^x-e^x+C$.
  • Это и есть ответ.

Рассмотрим другой пример.

Пример 3

Условие. Вычислить интеграл $int x^2ln x dx$.

  1. Решение. Заносим $x^2$ под знак дифференциала:
  2. $int x^2ln xdx=int xd left(frac{x^3}{3}
    ight)$.
  3. Выведем ответ:
  4. $int ln xdleft (frac{x^3}{3}
    ight ) = frac{x^3}{3}ln x-intfrac{x^3}{3}d(ln x)= frac{x^3}{3}ln x -intfrac{x^3}{3}frac{1}{x}dx=frac{x^3}{3}ln x-frac{x^3}{9}+C.$

Таким образом, в данной статье мы дали определения первообразной, неопределённому интегралу и разобрали метод интегрирования по частям с внесением функции под знак дифференциала.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/integraly_vnesenie_pod_znak_differenciala/

Подведение под знак дифференциала

При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала. Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f'(x) dx = d( f(x) ) $$

Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Формула

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:

$$ int f(varphi(x)) varphi'(x) dx = int f(varphi(x)) d(varphi(x))=int f(u) du $$ $$ u=varphi(x) $$

Подведение основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:

$ dx = d(x+c), c=const $ $ -sin x dx=d(cos x) $
$ dx=frac{1}{a} d(ax) $ $ cos x dx = d(sin x) $
$ xdx=frac{1}{2} d(x^2+a) $ $ frac{dx}{x} = d(ln x) $
$ -frac{dx}{x^2}= d(frac{1}{x}) $ $ frac{dx}{cos^2 x} = d(tg x) $
$$ int f(kx+b)dx = frac{1}{k} int f(kx+b)d(kx+b) = frac{1}{k} F(kx+b) + C $$
Пример 1
Найти интеграл $$ int sin x cos x dx $$
Решение
В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ соs x $. Используя формулы имеем: $$ int sin x cos xdx = int sin x d(sin x) = frac{1}{2} sin^2 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ int sin x cos x dx = frac{1}{2} sin^2 x + C $$
Пример 2
Найти интеграл $ int frac{dx}{x+5} $
Решение
В данном примере нужно внести под знак дифференциала $ x+5 $. Используя формулы внесения получаем: $$ int frac{dx}{x+5} = int frac{d(x+5)}{x+5} = ln |x+5| + C $$
Ответ
$$ int frac{dx}{x+5} = ln |x+5| + C $$
Пример 3
Найти интеграл $ int frac{xdx}{x^2+1} $
Решение
В таких случаях числитель подынтегральной функции является дифференциалом знаменателя. Убедиться в этом можно взяв производную знаменателя: $ d(x^2+1) = 2x dx $. После дифференцирования в правой части появляется наш числитель с множителем два. Из формул внесений следует, что от двойки нужно избавиться путем домножения интеграла на $ frac{1}{2} $. Пробуем: $$ int frac{xdx}{x^2+1} = frac{1}{2} int frac{2xdx}{x^2+1}= frac{1}{2}int frac{d(x^2+1)}{x^2+1} = frac{1}{2}ln(x^2+1)+C $$
Ответ
$$ int frac{xdx}{x^2+1} = frac{1}{2}ln(x^2+1)+C $$
Пример 4
Найти интеграл $ int ctg x dx $
Решение
Так как котангенс интеграл не табличный, то его попробуем решить методом подведения под знак дифференциала. Но прежде, катангенс нужно выразить через отношения косинуса с синусом. Известно, что $ ctg x = frac{cos x}{sin x} $ Получаем интеграл $ int ctg x dx = int frac{cos x dx}{sin x} $. Под знак дифференциала перенесем косинус: $$ int frac{cos x dx}{sin x} = int frac{d(sin x)}{sin x} = ln |sin x| + C $$
Ответ
$$ int frac{cos x dx}{sin x} = ln |sin x| + C $$
Пример 5
Найти интеграл $ int x^2 cos x^3 dx $
Решение
В примерах этого типа внесение нужно для квадрата икса, чтобы остался только косинус под интегралом. Для этого нужно понимать, что: $$ x^2 dx = frac{1}{3} d(x^3) $$ Подставив эту «замену» в исходный интеграл легко найдем ответ для задачи: $$ int x^2 cos x^3dx = frac{1}{3}int cos x^3 d(x^3) = frac{1}{3} sin x^3 + C $$
Ответ
$$ int x^2 cos x^3 dx = frac{1}{3} sin x^3 + C $$

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/vnesenie-pod-znak-differenciala.html

Практика. Математический анализ (Матан). Интегрирование подведением под знак дифференциала

Настало время очень «хайповой» темы интегрального исчисления. Носит она незаурядное, но малопонятное название — подведение под знак дифференциала. Ознакомившись с ней, ваши умения решать интегралы улучшаться до неузнаваемости. Даже самые сложные на первый взгляд, начнут щёлкаться как семечки.

Разберём сегодня прям ну очень простые примеры, ознакомимся с сутью.

А теперь, пока вы мотивированы на постижении новых высот, постараемся не перебить огонь в ваших глазах. Потихоньку начнём разбираться. Суть метода исходит из самого названия (в принципе как и всегда), что-то мы будем «подводить» под знак дифференциала.

Что именно, поможет нам в этом табличка.

Вот и табличка нарисовалась. Только не пугайтесь, сейчас разберёмся.

Первым делом смотрите на знаки равенства, какие функции между собой равны. Вспомните или найдите таблицу производных и вам станет легче воспринимать. Если легче не стало, давайте вместе попробуем поработать с табличкой. Вспомним, что такое производная.

Это математическая запись.

Теперь попробуем соотнести нашу формулу с табличкой.

Так, видимо есть вопросы, откуда взялась единица. Она там и стояла, мы её просто не пишем, в этом смысла нет, это же единица, вы чего. Отсюда видно что «f(x)=x+a», если от этой функции взять производную по переменной «икс», то получится единица. Всё просто. вся таблица построена по такому принципу, можете самостоятельно в этом убедиться на досуге.

Нам нужно ехать дальше, с этим разобрались. Рассмотрим простенький интегральчик (конечно же определённый), решение будет представлено двумя способами, что бы увидеть разницу.

Как мы тут видим, первый интеграл решён стандартным способом, расписали через сумму интегралов и поехали по накатаной… Второй уже иначе, тут использовали наш метод, подвели единицу под знак дифференциала, как мы поняли если взять нашу функцию находящуюся под знаком дифференциала, то есть «x+1» и взять от неё производную то получится такая же производная как и от функции «x», не зря в табличке записано же «dx=d(x+1)». Если дальнейшее решение не понятно, то стоит расписать полностью.

Полное решение не представляют таким образом на чистовике, все промежуточные действия как правило проделывают в голове. После десятка решённых примеров, это не будет составлять проблем. А пока что смотрим…

Замена всего лишь формальность как вы поняли, но с ней легче понять. Отсюда видно что мы привели интеграл к табличному виду «udu», дальше интегрируем его, делаем обратную замену и применяем формулу Ньютона-Лейбница.

Уместен сейчас вопрос: «Какое преимущество метода, решение то сложнее?». На самом деле решение становится проще, это станет заметно, когда довести до автомата данный метод. Теперь примерчик чуть сложнее, но интеграл будет неопределённый на этот раз.

Что же тут у нас, так-так, вынесли константу за знак интеграла, внесли четвёрку под знак дифференциала как в прошлом примере. Самое время посмотреть в нашу табличку, под номер два, как раз наш случай, у нас роль «а» выполняет «5/3», а вынести за знак интеграла мы должны обратную «a», то есть «3/5». Дальше точно так же, как в прошлых примерах получился интеграл «udu», интегрируем и не забываем наши константы.

Если вы не поняли откуда появляется константа перед знаком интеграла, тогда настоятельно рекомендую проделать то что делали в начале «связывали таблицу с формулой», проделав это, всё станет ясно.

За сегодня мы разобрали совсем самую малость, почти ничего. Но если всё что проделано на этом занятии было понятно, тогда могу вас поздравить, вы близки к освоению данной темы почти на 50%.Спасибо за внимание.

Продолжение следует…

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5c764fc306dc8700b30ed31a/5c82491fca921e00b3bab07c

Ссылка на основную публикацию