Задача Д.10.

Колебания механической  системы с одной степенью свободы

около устойчивого положения равновесия

(Методические  указания)

 

Пример решения задачи  Д. 10.1             

Для механической системы (рис. 1876) заданы следующие величины:  2кг, = 2кг, = 3кг, = 6кг  массы тел; = 0,6м; = 0,4м; = 0,2м; = 0,2м; = 0,4м; = 400н/м – коэффициент жесткости пружины; = 0,02м; = 0,2м/с  – начальные условия.

Требуется определить уравнение свободных колебаний y=y(t) заданной механической системы.

 

 

Рис. 187


 

 

Решение

На схеме рис. 187 покажем скорости характерных точек тел механической системы: .

 Запишем связи между этими скоростями.

;

.

При  уравнение Лагранжа второго рода для консервативных сил будет иметь следующий вид:

.

Вычисляем  кинетическую энергию системы.

;

;

;

;           .

 

 


 

Так как диск 3 сплошной и однородный, то

.

Окончательно

,

где  а - обобщенный коэффициент инерции.

  .

Запишем геометрические связи между характерными точками системы:

;

;   .

Вычисляем потенциальную энергию механической системы.

, а для сил тяжести  точки приложения  А и  не меняют своей высоты.

;.


 

 

Деформация пружины , поэтому

;

.

Тогда  .

Запишем условие равновесия системы   

.

Откуда    .

Статическая деформация пружины .

Запишем квадратичную функцию потенциальной энергии

               .

Здесь  c - обобщенный коэффициент жесткости равен  .
 

Полученные значения подставим в уравнение Лагранжа.

.

.

Нормальный вид , откуда круговая частота свободных колебаний

.

Период колебаний .

Определяем амплитуду колебаний по формуле

.

Сдвиг  фазы колебаний

.

Окончательно запишем уравнение свободных колебаний механической системы

.


 

 

Пример решения задачи  Д. 10.2

Для механической системы (рис.187) известны следующие параметры: - частота свободных колебаний;  - логарифмический декремент затухания. Определить уравнение затухающих колебаний системы y=y(t)  и коэффициент демпфирования , если .

Решение

По формуле (11) определяем коэффициент затухания

.

Частота затухающих колебаний

.

Обобщенный коэффициент сопротивления

.

Сила сопротивления в демпфере .

.

При этом .

   Откуда  , вычисляем коэффициент демпфирования  .


 

 

Запишем дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

.

Общее решение полученного уравнения

.

Вычисляем параметры A1 и g1.

.

Окончательно запишем уравнение затухающих колебаний

.  Коэффициент демпфирования .
 

 

Пример решения задачи  Д. 10.3

В механической системе рис. 187 на стержень 6 действует возмущающий момент  - амплитуда,  - частота возмущающего момента.

Требуется определить уравнение вынужденных колебаний  с учетом сил сопротивления, а также рассчитать и построить графики амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Решение

Определим обобщенную силу возмущающих сил.

,    .

При ,  получим

       и       .

Тогда , где 

Запишем уравнение Лагранжа

.

При  ,   ,     и  , получим:

.

Полученное уравнение приведем к нормальному виду

     

Запишем параметры по данным предшествующих задач Д.10.1 и  Д.10.2:

;   .

По формуле (14) вычисляем амплитуду вынужденных колебаний

.

Сдвиг фазы колебаний по формуле (13)

.

Записываем уравнение вынужденных колебаний

.

По формуле (15)

.

По формуле (16), при ,  резонансная амплитуда

.

Строим амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики.

 

Преобразуем формулы (11) и (12) к следующим видам:

,             .

Для нашей задачи, при

,  получим

 


 

.

 

На рис. 189 и рис. 190 показаны графики АЧХ ФЧХ.

Вычислим частоту вынужденных колебаний, соответствующую амплитуде          

.

Тогда .


 

Рис. 189.  Амплитудно-частотная характеристика


 

 

 

Рис. 190.  Фазо-частотная характеристика